Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 51 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
51
Dung lượng
2,58 MB
Nội dung
HỆ PHƯƠNG TRÌNH (Phần I) x y y x xy 2 x y x3 y y 3x y x2 x2 log 20 log 2 y y y y y x2 x e y 1 3log x y 2log x y x y x y 2 x xy y xy 12 x 1 y y 1 y 1 x x 1 x3 y 11 x y3 x y 2x y 13 2x y x y x y 2 x y x y 2 15 3 2x y 2x y x x x y y 8 y 17 x y y x y 3x 19 2 x x y 10 y x3 y y x 21 x y 2 x y x y 3x x 23 xy x x Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu hệ phương trình ln x ln y x y 2 x 12 xy 20 y x x x y 1 x 1 y y 2y 1 8y x 16 x y x y x y x y 2x y y 2x x x y x 1 698 x y 81 10 2 x y xy x y 42 x y 51 x y 22 x y 1 12 y x ln y x xy 3x y 16 14 2 x y x y 33 x y 3x y 16 2 3x y x y x xy y 18 y x x y xy 6x x y 20 x y 6x x y xy x 32 x y 3 22 x 32 x y 24 y xy x 24 2 1 x y x Trang y x x 25 2 y x xy 16 x y 16 x3 y x y xy 27 2 x xy y y 4 y 42 x 29 x3 2 y 42 x y x3 3x 31 x y y x3 x x y 33 y y y x x 3y 35 y x y 48 y 48 x 155 x xy 2000 y 37 y yx 500 x 1 xy x2 y2 39 x x y y 3 x y 41 2 x 2y x 4y 2 x y 3xy x y 43 y 2x 9x x x y y 45 2 x y x y 22 2 x y xy 47 2 x 1 y 1 Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu hệ phương trình x2 y x y y 26 x 1 x y 2 y 2 7 xy y x x y 28 2x x y xy x x2 y x 2x 30 xy y y2 x y 2y x y ex e y 32 log x 3log y 2 x x2 y y 34 y 35 0 y 12 x 1 x y 36 125 y 125 y 15 x y x y 38 x x y x x 2y 2y 1 40 2 x y 42 44 46 48 x3 x y y 2 x y x x3 y x y x y x xy x3 y 27 18 y 2 x y x y e x y e x y x x y x y 1 e Trang 49 51 53 55 x y 51 x y 3x y x2 y y y x 2x x y y y x y 2 x y x y 2 y x 5y y x 3 x y y x x y x 2y y 50 x x y x 3y y x y 12 52 2 x y x y 12 2 x y xy y 54 2 y x y 2x y 2 x x 2y 56 y y 2x 4x x y y 57 2 4x y 4x 3 x y xy 59 4 2 x y x y x y 3xy x y 58 y x x 2 2x 1 2x y y 61 4x y 2 y xy 6 x 60 3 1 x y 19 x x y xy y 62 y x y 2 x 1 x x3 y y y x x y x 63 2 x y x x3 y 35 64 2 x y x y y x 2 x y x 65 y x 3x 12 x 2 y x 66 12 y y 3x x 67 y x 3y 3 x2 y y 3x 0 x2 y xy x 5 x x 68 x y 3 y x x11 xy10 y 22 y12 69 4 y x y x x x x x y 2 71 x x 2 y Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu hệ phương trình 2 x y 70 x 3x 57 y 3x 25 2 x y 2x y 72 2x 4x y Trang x y 240 73 3 2 x y x y x y x3 x y x y 75 y x ln y x x y y x 77 x y xy 2 2x y 79 x y xy x y 14 3 y y x 3x x 74 1 x y y 1 2 x y y xy x 18xy 81 2 2 x y y x y x 208x y xy y y 82 xy y y 1 x3 3xy 49 84 2 x xy y x 17 y y y x 3x y 86 x xy x3 3xy y 83 y x y x3 xy 12 y 85 2 y x 12 3 x y xy 87 4 4x y 4x y x y 89 2 x x x y x2 y x xy y x y 91 x xy x xy x xy y xy y 93 1 y xy x y 2 x y 95 x y x y x y x y 97 x x y y y 41 2 2 x x y 1 y y 99 x x 1 y x y Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu hệ phương trình 2 x y x y xy 76 3 x y y 14 x x x3 y x y x 78 x xy x x y cos x cos y 80 x y y 18 27 x3 y 125 y 88 2 45 x y 75 x y x xy x y 90 2 x x y 3x y xy 2 x y x y 92 x y x2 y 5 x y x y xy xy 94 x y xy 1 x 5 5 x y xy y x y 96 xy x y x y x y x x y y y 98 x y x y xy x y 100 2 x y 10 y Trang CÁC BÀI GIẢI Bài Ta có: 2 x y y x xy x y x 2 y y x xy x y x y 2 2 x y x y x x y 3 y y x 2 x y Xét hàm số f t 2t t Ta có: f ' t 2t ln 3t t nên f t hàm Vậy x x3 y y x y x y x y 1 Lúc này, hệ trở thành: x y 1 x y Vậy hệ có nghiệm x ; y 1;1 , 1; 1 Bài 2: Điều kiện x , y 1 Ta có: đồng biến x y x 10 y ln x ln y x y x 12 xy 20 y ln x ln y x y x y x 10 y ln x x ln y y Dễ thấy x, y dấu Xét hàm số f t ln t t 1; t Đạo hàm: f ' t Ta có: f ' t t Vậy hàm số đồng biến 1 1 t 1 t 1;0 nghịch biến 0; +) Nếu x, y âm (tức thuộc 1;0 ) theo tính chất hàm số f t , ta có: x y Thay vào hệ giải nghiệm x y (loại) +) Nếu x, y dương, tương tự ta loại nốt +) x y thoả mãn hệ Vậy nghiệm hệ x ; y 0;0 Bài 3: Nhận xét: Chắc chắn sử dụng phép hay đánh giá Nhận thấy phương trình thứ hệ chứa hàm riêng biệt với x, y (chứa x3 , x y3 , y , y mà không chứa xy ) nên ta đưa phương trình thứ hàm số sử dụng đạo hàm để giải Điều kiện x 1;1 , y 1;3 Từ suy ra: x 2;0 y 2;0 Khai thác phương trình thứ hệ: x3 y3 y 3x y x3 3x y3 y y x x y y x x y y Xét hàm số f t t t t 3t 2;0 Đạo hàm: f ' t 3t 6t 3t t 2 Ta có: f ' t t t 2 Vậy đoạn 2;0 , hàm số f t đơn điệu Vậy, phương trình thứ hệ tương đương với x y y x Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu hệ phương trình Trang Thay vào phương trình thứ hai, ta có: log log log log x2 x2 log 20 2 y2 y 4y y x2 y 4y x2 4y y x2 x x2 x 1 1 x Đặt x t 2 x2 4 x 4 x x x2 2 x2 x x2 1 1 x 2 * t 0;1 Lúc * trở thành: t t t t t t 2t 2t 3t 2t 2t t t 1 1 (do điều kiện nên loại nghiệm t t 3t 2t t t 3 3 2 ) x 1 y +) t x x 1 y 1 1 x y 2 1 3 +) t x2 x 1 y 1 3 1 1 1 1 x , y 1;3 , 1;1 , ; , ;2 Nghiệm: 3 3 Bài 4: Phân tích: Hệ chứa ẩn hàm hữu tỉ hàm số mũ, chúng có tính chất khác nên chắn phải sử dụng đạo hàm Và lưu ý luôn, hệ chứa hàm có tính chất khác gần 90% sử dụng đạo hàm phương pháp đánh giá Cộng chéo vế theo vế giữ phương trình hệ ta hệ tương đương: x 1 x x y 1 y y 2 * x x x y 1 Xét hàm số f t 3t t t Hàm số có đạo hàm: f ' t 3t ln t t 1 3t ln Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu hệ phương trình t2 t t 1 Trang Ta có: t t t t t t t Từ suy f ' t t Vậy, f t đồng biến Ta thấy phương trình * có dạng f x f y Từ suy x y x y Lúc hệ tương đương với: x y x y x 1 x x ln x x x .ln Lại tiếp tục xét hàm số g t ln t t t ln 1 t t ln ln Hàm số có đạo hàm g ' t t t2 t2 1 Dễ thấy ln3 nên g ' t t Như hàm số g t nghịch biến t2 Mặt khác ta lại có g nên phương trình có nghiệm x x Vậy nghiệm hệ x ; y 1;1 Bài 5: Phương trình thứ hệ tương đương với: x2 e x y e y Xét hàm số f t t et 0; Hàm số có đạo hàm f ' t et et t t 0; Từ suy f t đồng biến 0; Vậy phương trình thứ hệ cho tương đương với: x y x y +) Nếu x y Thay vào phương trình thứ hai hệ ta được: 3log3 y 2log 2 log y y 31 y 3 x +) Nếu x y Thay vào phương trình thứ hai hệ ta được: 3log3 y 2log y 1 log y 1 log y 3log3 y 2log2 y 3log3 y 2log2 y * Xét hàm số g t 3log3 t 2log t 1; Hàm số có đạo hàm: g ' t t ln t ln 3 2 Ta có: mà nên ta có: ln3 ln t ln t ln t ln3 t ln , tức g ' t t ln t ln Như nên hàm số nghịch biến 1; Ta lại có g Vậy * có nghiệm y x Vậy nghiệm hệ phương trình x ; y 7;7 , ; 3 Cách khác: Trong trường hợp x y , ta đặt 3log3 x 2log2 x 6u hệ trở thành: Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu hệ phương trình Trang u u 2u x 1 8 3u 2u 1 1 3u 9 9 x u u 1 8 Ta lại thấy hàm số h u hàm nghịch biến mà h 1 nên u nghiệm 9 9 hệ x y Bài 6: Điều kiện: x 0; x y x y x y Đi từ phương trình thứ hai hệ: xy x y x x (1) Xét hàm số f t t t 0; Đạohàm: f ' t 2t nên f t đồng biến Mặt khác (1) có dạng f Đặt t x t 0 xy f x y x y x x y t t Thay vào phương trình thứ hệ ta có: t t t x nên (1) 8t t t t 16 t 2t 2t 8t 24 t t t 2t 12 t 2t 12 12 Với t x 4, y Vậy nghiệm hệ x ; y 4;2 Cách giải khác: Phương trình thứ hệ tương đương với: Phương trình thứ hệ tương đương với: x y 2 16 xy xy x y x y xy x y x y x y xy x y 4 x y x y 4 x2 y 4x y x y Bài 7: Điều kiện: x y Khai thác phương trình thứ nhất: x y x y Ta đặt t x y (điều kiện: t 1) trở thành: 1 t3 t Dễ thấy hàm số f t t t đồng biến 1; (vì t tăng f t tăng) Như phương trình với ẩn t có nhiều nghiệm Nhận thấy t = nghiệm phương trình Vậy, ta có: t x y Phương trình thứ hai hệ tương đương với: x x y y x y 12 8x y 12 Hệ cho tương đương với hệ sau: x y x y x y x y x y 36 x y 8 x y 8 x y 8 x y4 xy x y 81 xy 16 x y Vậy nghiệm hệ x ; y 4;4 Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu hệ phương trình Trang 1 2x y y 2x x Bài 8: Điều kiện y 1 Hệ cho: 2 x y x 1 Nếu x từ (1) suy y , thay vào (2) không thỏa mãn x y y3 x x3 (3) x x có đạo hàm f ' t 3t nên hàm số đồng biến Chia hai vế (1) cho x3 ta có: Xét hàm số f t 2t t y y Mặt khác (3) có dạng f f x x y x Thay vào (2), điều kiện x 2 : x x 2 x x x 1 x x 1 x 1 x x y Vậy nghiệm hệ x ; y 3;3 Bài 9: Điều kiện x , y Hệ cho tương đương với: x y y2 x 1 y y 1 I 2 3 y 1 x x 1 x x x 1 y y y 1 Xét hàm số f t t t t 1; Hàm số có đạo hàm: f ' t 2t Ta chứng minh 2t 1 2 1 1 t 2t 3 3 t 1 t t 3 t Thật vậy: 2t 3 t 6t t 2 Điều hiển nhiên t thuộc đoạn 1; Như vậy, f ' t t 1; f t đồng biến 1; Vì đó: x y x y I x x x Nhẩm nghiệm (2) x nên ta dùng phương pháp nhân liên hợp: x2 x 1 1 x x x2 x 1 1 x6 2 0 x2 x 6 x 0 1 0 x x x x x x 1 x2 3 x x 2 x x2 Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu hệ phương trình Trang (Dễ thấy phương trình vô nghiệm 1 1 x 1 1 1 x 2 x 1 ) Vậy nghiệm hệ phương trình x ; y 2;2 Bài 10: Xem phương trình thứ hai hệ phương trình bậc hai ẩn x, tham số y : x2 y 3 x y y Phương trình có nghiệm x y 3 y y 3 y 10 y 49 (1) y2 Lại xem phương trình thứ hai phương trình bậc hai ẩn y, tham số x : y x y x 3x 1 y Phương trình có nghiệm y x x 3x 3x x 256 (2) x4 81 49 256 697 698 Từ (1) (2) suy x y , mâu thuẫn với phương trình thứ 81 81 81 Từ suy hệ cho vô nghiệm Bài 11: Nhìn hệ số có nên ta chia hai vế cộng lại: 3y 1 y x x y3 y3 y x x x Xét hàm số f t t 3t Đạo hàm: f ' t 3t t Từ suy hàm số f t đồng biến Điều có nghĩa y x 3 Thay vào phương trình ta được: y y y y 0 x y 1 +) Với y y 2 y 1 y 2 1 +) Với y 2 2 x x x x 1 Vậy nghiệm hệ x ; y 1;1 , ; 2 1 t Bài 12: Đặt t x y phương trình thứ trở thành: Xét hàm số f t 1 t t 4 5. 2t 5 * t 4 5. 2t 5 t 4 Hàm số có đạo hàm: f ' t 5 ln 5.ln 2t 1.ln Do ln 0,ln 0,ln 5 nên f ' t t Mặt khác ta lại có f nên * t x y 1 t Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu hệ phương trình Trang 10 3x , rõ ràng điều vô lý x2 (+) Nếu y Thực phép nhân: (+) Nếu y = Thay vào (2) ta xy y Nhân (1) với y : xy y (3) x y2 xy 3x Nhân (2) với x : xy (4) x y2 3x y 3y Cộng (3) với (4) kết đẹp: xy y xy y x x y 2y Đến phải “chịu khổ” chút để giải phương trình bậc Thay vào (2): 9y y y 9y 2y y y y y 2y 2 y 3y y 2y Nhân hai vế với y ta được: 9 y 3 y y 18 y 18 y y y kTM y 3y y 1 x (kTM) 2y y 1 x Vậy hệ có hai nghiệm x ; y 0;1 , 3; 1 Bài 68: Phương trình thứ hai hệ tương đương với: 2x x3 y y3 (1) Xét hàm số f t 2t t có đạo hàm f ' t 2t.ln 3t nên f t đồng biến Ta lại có 1 f x f y x y Thay y x vào phương trình thứ ta được: x x x Tiếp tục sử dụng đạo hàm Xét hàm số g x x x x Đạo hàm: g ' x x3 x 1.2 x 2 2 x 2 x 5 (2) ln x 1 x x x 2 x 2 x ln Ta có: g ' x x (do x x x 2 x 4.ln ) mà g 1 nên (2) có nghiệm x Vậy nghiệm hệ x ; y 1;1 Bài 69: Nếu y từ phương trình thứ suy x , thay vào phương trình thứ hai thấy không thoả mãn nên suy y Chia vế phương trình thứ cho y11 : 11 Xét hàm số f t t11 t x x y11 y (1) y y có đạo hàm f ' t 11t10 nên f (t ) đồng biến x x Mặt khác (1) f f y y x y Thay vào phương trình thứ hai ta được: y y 13 x 13x x x x x 8 x x x 8 (2) x x Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu hệ phương trình Trang 37 13 x 5x x 8 0; x x 2 13 16 Đạo hàm: f ' x .15 x x . x3 x x x 0; nên x x hàm f x nghịch biến 0; Xét hàm số f x Mặt khác ta lại có f 2 nên (2) x (thoả mãn) y Vậy nghiệm hệ x ; y 2; Bài 70: Nhận xét: hệ chứa đầy đủ hạng tử x2 , y , xy, y, x nên ta nghĩ đến đẳng thức ax by c Bây ta nhân hệ số vào hai phương trình cách thích hợp để đưa đẳng thức Sử dụng phương pháp hệ số bất định ta nhân hệ số sau: 25 x 25 y 200 x 150 x 114 50 y 3x 225x2 25 y 150 x 114 150 xy 50 y (cộng hai phương trình lại với nhau) 15 x y 2.15 x.5 2.15 x.5 y 2.5 y.5 52 144 2 15 x y +) Nếu y y 3x 15 x y 12 12 15 x y 12 y 17 3x 3x , thay vào phương trình thứ hệ: 11 x y 42 44 7 25 25 x 3x 10 x x 0 25 5 x y 5 17 +) Nếu y 3x , thay vào phương trình thứ hệ: 102 284 17 x 3x 10 x x , phương trình vô nghiệm 25 11 Nghiệm hệ x ; y ; , ; (Chọn HSG Quốc gia tỉnh Nghệ An 2010 – 2011) 25 25 5 Cách giải khác lưu ý: Phương pháp hệ số bất định với hệ phương trình hai ẩn bậc hai trình bày Bài 258 tập “HỆ PHƯƠNG TRÌNH (Phần III)” Ta cộng phương trình thứ hai với K lần phương trình thứ hai tìm K = K = 4 Bài giải ta sử dụng K = Với K = –4 ta có sau: Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu hệ phương trình Trang 38 57 1 100 y 25 y 37 y x 1 x y x 25 5 75 1 y Bây ta trở lại vào phương trình thứ hệ: x 3x 100 y 25 y 37 15625 y 6250 y 12525 y 4100 y 244 0 y 75 y 75 y 75 25 y y 1 125 y 85 y 122 0 75 y Đến việc trở nên đơn giản nhiều! Bài 71: Điều kiện x Tương tự Bài 22, ta cộng hai vế hệ lại ta được: 2x x 2x x y2 2 y Đánh giá hai vế phương trình này: +) VP y 63 63 +) Đánh giá vế phải: Nhận xét vế phải x , dùng điểm rơi bất đẳng thức Cauchy, ta được: x2 2.x x 10 x x 2 222 x 6 x 2x 2.2.2.x 4 2.2 x 18 x 24 x x 4.4.4 4.4.4 x x x 10 x x 18 x VT VP y 2 4 y 6 x Vậy nghiệm hệ x ; y 2; Bài 72: Nhận thấy y thoả mãn hệ y Từ phương trình thứ hệ: y x2 x y Xem phương trình bậc hai với ẩn x , ta có phương trình có nghiệm ' y y y 1;1 Từ phương trình thứ hai hệ, ta suy ra: ' y3 y3 1 y 1 (1) (2) x x x 1 Từ (1) (2) suy y 1 Thay trở lại hệ ta được: 2 x x Vậy nghiệm hệ x ; y 1; 1 Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu hệ phương trình Trang 39 Bài 73: Từ hệ, ta nhận thấy có x4 , x3 , x2 , x y , y3 , y , y nên ta tìm cách đưa hệ dạng: x a y b Khi khai triển đẳng thức a b a 4a 3b 6a 2b 4ab b , thấy hệ có đủ điều kiện để nhóm đẳng thức bậc 4: 4 4 x y 240 x y 240 3 2 x x x y 12 y 32 y 8 x 24 x 32 x 16 y 96 y 256 y x4 8x3 24 x2 32 x y 16 y3 96 y 256 y 240 4 x x3 24 x 32 x 16 y 16 y 96 y 256 y 256 x y x2 y4 x24 y x y2 x6 y +) Nếu x y , thay vào phương trình thứ hệ ta được: y 2 4 y 240 y 24 y 32 y 224 y y y 14 y 2 x 4 +) Nếu x y , thay vào phương trình thứ hệ ta được: y y 240 1296 864 y 216 y 24 y 240 y y 36 y 44 y 2 y y 22 y x Vậy nghiệm hệ x ; y 4;2 , 4; 2 (Đề thi học sinh giỏi Quốc gia 2010 – 2011) Bài 74: Điều kiện 1 x 1, y Phương trình thứ hệ tương đương với: y y x 1 x 1 1 (1) 2 Xét hàm số f t t t Hàm số có đạo hàm f ' t 3t t nên f t đồng biến Mặt khác (1) có dạng f y f x 1 y x Thay vào phương trình thứ hai hệ ta được: y 1 y y y y y y (điều kiện y ) y y y y Đặt a y y a 2 y y ( a ) a2 Phương trình lúc trở thành: a 2a a a kTM a TM Với a 2 y y a2 y y y y y x Vậy nghiệm hệ x ; y 0;1 (Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Nghệ An 2010 – 2011) Bài 75: Biến đổi phương trình thứ hệ xuất nhân tử chung: x3 x y x y x x y x y x2 x y x y x 2x y Thay vào phương trình thứ hai hệ ta được: y y ln y y Tương tự Bài 12, ta giải tìm y 1 x Vậy nghiệm hệ x ; y 0; 1 Bài 76: Điều kiện x y Nhìn lướt qua ta thấy phương trình thứ có nhân tử chung x y : Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu hệ phương trình Trang 40 x x2 y y xy x2 x y y x y x y x y +) Nếu x2 y không thỏa mãn điều kiện +) Nếu x y , thay vào phương trình thứ hai hệ ta được: x2 x x3 14 x x x x x3 14 x 2x x 2 x2 x x 2x x 2 x 3 x3 14 14 x x 14 6 x 12 x x 2 x 3 14 x x3 14 x x 1 x 2 x x x 1 x 2 14 x x 14 0 0 3 x x 14 x2 x x x2 x x 14 Nghiệm hệ x ; y ;1 , ;1 Bài 77: Điều kiện x , y 1;1 Từ điều hiển nhiên sau: y x 1 y 1 x y 1 x 2x y2 2 x 1 y y 1 x 1 2 2 y x2 Vậy nên phương trình thứ hệ tương đương với: x y2 2 x y 0 x x, y 0;1 1 x 1 y y y x 1 x x Vậy ta lại có phương trình thứ hai hệ phải tương đương với 1 y y Thay trở lại hệ ta thấy thoả mãn Vậy nghiệm hệ x ; y 0;1 Cách giải khác: Cách giải dùng cho bạn tinh việc nhìn nhận bất đẳng thức Cách giải sau mang tính hệ thống hơn: x sin a sin a Đặt x cos a , y cos b a , b 0; (do a , b 0; ) 2 y sin b sin b Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu hệ phương trình Trang 41 Hệ trở thành: (do a , b 0; cos a.sin b sin a.cos b sin a b a b 1 cos a 1 cos b 1 cos a 1 cos b 1 cos a 1 sin a Giải phương trình với a 0; : 2 sin a cos a sin a.cos a 2 t2 Đặt t sin a cos a t sin a.cos a , phương trình trở thành: t2 t t 2t t (TM) t 3 (loại) a k 2 4 Với t sin a cos a sin a k 4 a k 2 4 Với điều kiện a 0; hệ thống có nghiệm a b a 2 2 Vậy x cos a cos 0, y cos b cos0 * Nhận thấy x , y 1;1 , ta nghĩ đến việc đổi biến hàm sin, cos x x2 Bài 78: Rút xy từ phương trình thứ hai: xy Thay vào phương trình thứ nhất: x x2 x x2 x 2x x x 12 x 48 x 64 x 2 x x 4 x x +) Nếu x , thay vào hệ tìm y +) Nếu x , không thoả mãn 17 17 Vậy nghiệm hệ x ; y 4; (Đề thi đại học Khối B năm 2008 – 2009 ) 4 Bài 79: Xem phương trình thứ hai hệ phương trình bậc hai ẩn x, tham số y : x y x y y 14 (*) (*) có nghiệm x y y y 14 3 y 10 y y Tương tự xem phương trình phương trình bậc hai ẩn y, tham số x : y x y x x 14 (**) (**) có nghiệm y x x x 14 3x 16 x 20 2 x 10 Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu hệ phương trình Trang 42 1 7 10 Vậy ta có y 1; x 2; Phương trình thứ hệ x y x y 3 3 1 10 2; có đạo hàm f ' x nên f x đồng biến x x 3 1 191 10 10 2; f x f x (1) x x 30 Xét hàm số f x x 1 89 7 Tương tự, ta có f 1 y f y y y 21 3 (2) 1 Từ (1) (2) x y Vậy nên phương trình thứ hai hệ tương đương với: x y x ; y 2;1 Thay trở lại vào hệ thấy không thoả mãn Vậy hệ cho vô nghiệm Bài 80: Phương trình thứ nhất: x y cos x cos y x cos x y cos y (1) Xét hàm số f t t cos t Đạo hàm f ' t sin t nên f t đồng biến Mặt khác (1) có dạng f x f y x y Thay vào phương trình thứ hai: x3 3x 18 x 3 x2 3x x (dễ thấy x2 3x ) Vậy nghiệm hệ x ; y 3;3 Bài 81: Nếu x y ngược lại nên 0;0 nghiệm hệ Với x 0, y Thực phép chia cho xy x y ta có: 1 1 x y 18 x y 18 x y x y I 2 x y 208 x y 212 x2 y2 x y 1 Đặt a x , b y x y a 2, b hệ I trở thành: a b 18 b 18 a a a 14 b 18 a 2 2 b a b 212 a 18 a 212 a 18a 56 b 14 x 4 a x x x x +) Nếu b 14 y 14 y 14 y y y a 14 x +) Tương tự, b y Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu hệ phương trình Trang 43 Vậy hệ có nghiệm x ; y 0;0 , 3;7 , 3;2 Bài 82: Điều kiện: y 1; xy ; xy y Phương trình thứ hai hệ tương đương với: y xy y y y Kết hợp x với điều kiện ta phải có y Thay vào hệ ta có: x x Thử lại thấy 1;1 nghiệm hệ Vậy nghiệm hệ x ; y 1;1 x x2 y y Bài 83: Biến đổi đưa hệ về: 2 y y 6x 1 2 Từ (2) suy y (do y x2 ) y x Đưa hệ dạng sau: 2 x3 x y 3xy y y x 3xy y x y x xy y y 2 y x y y x y 3 y 6x y Dễ thấy x xy y 3x x y (do x, y ) +) Nếu y y 1 x y x y x Với x 1, y ta lại có y3 x2 y , trái với (3), loại +) Tương tự với y 1, loại nốt +) Với y , thay vào phương trình thứ hệ ta x Thử lại, ta thấy 1;1 nghiệm hệ phương trình Vậy nghiệm hệ x ; y 1;1 Bài 84: Nhân hai vế phương trình thứ hai với cộng với phương trình thứ ta được: x3 3xy 3x2 24xy y 49 24 y 51x x3 3x2 51x 49 3xy y 24 xy 24 y x 1 x2 x 49 y x 1 24 y x 1 2 x 1 x x y 24 y 48 x 1 x 1 3 y x 1 x ; y 1;4 Thấy 1;4 nghiệm hệ nên ta xét trường hợp lại x 1 : 1 y 49 y 16 y 4 Thay x 1 trở lại hệ ta được: 1 y y y 17 Vậy hệ có hai nghiệm x ; y 1; (Đề thi học sinh giỏi Quốc gia 2004 – 2005) Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu hệ phương trình Trang 44 uv uv , y , thay vào hệ ta đưa hệ 2 phương trình Sau cộng hai vế đưa đẳng thức bậc (sẽ phức tạp với bạn chưa quen biến đổi phức tạp ) Bài 85: Dạng quen thuộc: phương trình đẳng cấp Thế số 12 phương trình thứ nhất: x3 xy y x2 y x3 x2 y xy y3 (1) Cách giải khác: Đặt u x y, v x y x Dễ thấy y không thoả mãn hệ y Chia hai vế (1) cho y3 : x x x x x2 x x 2 x 2 y y y y y y y y x 15 x2 x (thấy ) y y y 2 Thay x 2 y vào phương trình thứ hai hệ ban đầu: y x 2 y y 12 y y 1 x Vậy hệ có hai nghiệm x ; y 1; 2 , 1;2 Bài 86: Lại hệ chứa phương trình đẳng cấp Quá quen 6 6 ; ; Nghiệm hệ x ; y , 2 2 Bài 87: Thêm hệ chứa phương trình đẳng cấp Nghiệm hệ x ; y 0;1 , 1;0 Bài 88: Cách giải phương trình quen thuộc: Thấy y không thoả mãn hệ y Với y hệ tương đương với: 3 5 5 125 3 3x 3x 27.x y y y 2 5 5 45 x 75 x 5 3x y 3x. y 3. x y 3.3 x. y 18 y y2 2 5 5 5 3x x 3. x 3.3 x. 27 x 27 y y y y y 27 x 125 27 x 125 27 x 125 y3 y3 y3 5 5 x x x x y y 27 x3 x 3 2 x x y y 2 1 5 Vậy nghiệm hệ x ; y ;5 , ; 3 3 2 Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu hệ phương trình Trang 45 Bài 89: Phân tích: Trong phương pháp giải hệ ta gặp, ta sử dụng phép y phương trình thứ x – 2x + 2x ta nhận phương trình bậc Vẫn nhẩm số nghiệm hệ này, để dùng sơ đồ Hoóc–ne chia đa thức (để làm giảm bậc phương trình) có lẽ phức tạp (chưa thử làm có lẽ phức 4 tạp) Còn ta dùng phép nhân ước lượng để đưa dạng x a y b không làm hệ số x y dương mà chúng lại vế, nên chuyển vế không đưa dạng Đạo hàm? Nếu dùng phương trình thứ hai Thế việc không thực bên vế phải có y , mà vế phải đưa dạng Vậy dùng phương pháp đánh giá Đưa hệ về: 2 1 x y x 1 x 1 y 2 2 x x x y x 1 x x 1 y +) Nếu y từ (2) suy x từ (1) suy x2 1 x 1, mâu thuẫn +) Tương tự y , ta nhận điều mâu thuẫn +) Nếu y y 1, thay vào hệ tìm x Vậy nghiệm hệ x ; y 1; 1 Bài 90: Khó khăn giải phương trình ta không sử dụng phép Dùng thử điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai không đánh giá Không thể dùng hàm số chứa xy (ở phương trình thứ nhất) x2 y (ở phương trình thứ hai) Cần biến đổi khéo léo: +) Nếu x y +) Nếu x Ta chia hai vế phương trình hệ cho x , x2 , ta được: y y y x x 1 x y x 2 x y y x y y x x Giải hệ ta nghiệm: y x x +) , vô lí x x x x y y y y y x +) , vô nghiệm nốt x x x x y x Vậy nghiệm hệ x ; y 0;0 Bài 91: Phân tích: Nhận xét phương trình thứ hệ chứa bậc hai hàm tạm gọi hàm đẳng cấp bậc hai (hay hàm đồng bậc) x , y (hàm số chứa x2 , y , xy mà không chứa hệ số tự x, y ) Mà hàm bậc đẳng cấp hai ta coi hàm bậc Bên vế phải hàm bậc Vậy hai vế phương trình đồng bậc Vì ta áp dụng cách giải phương trình đồng bậc Chưa thể chia hai vế cho x (hay cho y) x âm hay dương mà đưa vào dấu căn.Vì ta bình phương với điều kiện x y , ta được: Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu hệ phương trình Trang 46 5 x2 y2 xy 2 x y 10 xy 12 2 x y x xy y x x y xy y x xy y (1) Tiếp tục bình phương được, trước hết ta nên đưa ẩn để dễ nhìn Dễ thấy x không thoả mãn hệ nên chia hai vế (1) cho x ( x đưa vào dấu căn) ta được: y2 y y 1 x 1 x x y 10 y 12 1 x x y t , phương trình trở thành: x 12 t 10t t 1 t t * 1 t 10t 24 1 t 1 t t t 20t 102t 20t 24 t 2t t t Đặt 25 23 Thử lại thấy t thoả mãn phương trình (*) Với t x y Thay vào phương trình thứ 23t 4t 54t 4t 23 t 1 23t 50t 23 t t hai hệ ta được: x x x x x Tiếp tục dùng biến đổi hệ quả: x2 x2 5x 3 x2 5x 3 x4 5x3 3x2 16 x4 25x2 40 x3 24 x2 30 x 14 x4 45x3 x2 30 x x 3 x 1 x 5x 3 1 109 x 14 Thử lại thấy x hệ ban đầu Vậy nghiệm hệ x ; y 3;3 x3 x Cách giải khác: Với người có phản xạ phát nhân tử chung nhanh ta thực phép nhân liên hợp sau với x khác y : x y x y x xy y x y 0 2 x xy y x y x2 y x y 4 0 2 2 x y x y x xy y x y 2 2 x y 2 x y 2 x y x y x xy y 2 3 x y 0 Với x khác y hai mẫu thức dương! Một cách khác ngắn gọn nhiều dùng bất đẳng thức: Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu hệ phương trình Trang 47 x2 y x y x xy y x y 2 Hơn nữa, việc nhìn nhận phương trình đẳng cấp quan trọng để tìm lời giải nhanh hay Ta thấy: x x x x x 6 x x x x x x Đây phương trình đẳng cấp dễ giải! Bài 92: Điều kiện x y Với điều kiện phương trình thứ hệ tương đương với: x x x y 2xy x y x y x y x y x y x y y x y 1 x y x y 1 x y 1 x y x y y2 2 2 2 2 x y (do x y nên x y x y ) (thỏa mãn) Thay vào phương trình thứ hai ta được: x 1 x x x x x – Nếu x y x – Nếu x y 1 Vậy nghiệm hệ x ; y 1;0 , 2; 1 t y 2t y y Bài 93: Đặt t xy Lúc hệ trở thành: y x t y 5t * t 1 Cộng hai vế hệ lại ta được: y 1 y 3t 3 2t 1 t +) Nếu t 1 1 trở thành , vô lí +) Nếu t 1 Xem phương trình ẩn y tham số t có biệt thức: 3t 3 t 1 1 2 y t 1 8t 1 t 1 nên phương trình có nghiệm y t 1 1 t 2t t2 y y t 1 t 1 2t (+) Nếu y , thay vào * ta được: 4t 5t , vô nghiệm t 1 t xy y x 2 t 2 (+) Nếu y , thay vào * ta được: t 5t t 1 t xy y 16 x 16 Vậy nghiệm hệ x , y 2; , ; 2 4 Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu hệ phương trình Trang 48 5 2 x y xy x y xy Bài 94: Hệ cho viết lại thành x y xy 5 Đặt u x y , v xy hệ trở thành: 5 1 u u v u v uv u u u uv u 5 v u v 5 u v u v v 3 x3 x2 y y x2 u (*) Nếu v xy x y 25 16 1 1 1 u x y x y x2 (*) Nếu 3 y v xy x 1 x x 3 25 ; Vậy nghiệm hệ x ; y 1; , 16 Bài 95: Đầu tiên tìm điều kiện xác định hệ phương trình: x y Từ phương trình thứ hệ suy x y x y Vậy nên ta phải có x y Thế x y x y vào phương trình thứ hai hệ ta được: y y y 1 Nếu y 1 x Thử lại thấy nghiệm thoả mãn hệ ban đầu Vậy nghiệm hệ x ; y 8; 1 Bài 96: Phương trình thứ hai hệ tương đương với: xy x y x y xy x y xy 1 xy 1 xy 1 x y xy x y * Nếu xy , thay vào phương trình thứ ta được: x y xy y xy x y y 5x xy y x xy y 3x2 xy y y x y y x y (+) Thấy y không thỏa mãn xy (+) Nếu x y xy x x 1 Thử hai nghiệm 1;1, 1; 1 ta thấy thỏa mãn * Nếu x y * , ta vào số phương trình thứ được: x y xy y x y x y y Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu hệ phương trình 5xy x y x Trang 49 y x y x x y x y (đã xét) 10 10 x y 5 Với x y , thay vào * ta y 10 10 x y 5 10 10 10 2 10 ; ; Vậy hệ có nghiệm x ; y 1;1, 1; 1 , , 5 Bài 97: Điều kiện x y x y x y Chuyển hệ dạng sau: x y x y 41 Đến ta đặt a x y , b x y a , b hệ trở thành: a b a b a b 2 2 b b 18 b 81 41 b a 41 b 36b 203 b b 29 (thỏa mãn) (không thỏa mãn) a a 20 11 y x y a x y y 1 Với b x y x 3y x 11 Vậy nghiệm hệ x , y 5;1 , ; 3 Bài 98: Điều kiện x , y 0, x2 y Ta thấy khó mà khai thác nhân tử chung phương trình thứ hai mà phương trình thứ Phương trình thứ nhât tương đương với: x y x y y y xy x y x y x (do x y y ) x y 2y x y y x x y (dễ thấy x y 2y Thay vào phương trình thứ hai ta được: y x ) x y 2y x x 3x x x x 3x x 1 1 Đến ta đặt u 3x , v x u 0, v phương trình trở thành: 3 u v u v u v 2u v u v 2 2u v u v 2uv u u 2v u u 2v Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu hệ phương trình Trang 50 1 v , không thỏa mãn u v , loại 3 v x u v x (*) Nếu x2 2 u v u v x 11 x x x Vậy nghiệm hệ x , y 2;2 (*) Nếu u x 2 x xy y y x Bài 99: Viết lại hệ dạng đẳng cấp: 2 x xy y x y Để thay đổi cách giải chút, ta giải theo cách sau: TH1: Nếu x , thay vào hệ I ta tìm y TH2: Nếu x , ta đặt y t x t , thay vào hệ I ta được: I x 2 t t x 3t 1 3t 1 t 3t 1 2t t t * II 2 x t 3t x 1 2t (dễ thấy t không thỏa mãn hệ 2t t t 1 nên ta nhân chéo) 3 * 9t 6t 2t 2t 3t 5t 7t 3t 7t t 1 t 1 7t 3 t t 1 t (+) Nếu t , thay vào hệ (II) tìm x y (+) Nếu t 1 , thay vào hệ (II) tìm x 1 y (+) Nếu t , thay vào hệ tìm x y 43 43 3 Vậy hệ có nghiệm x , y 0;0 , 1;1 , 1; 1 , ; 43 43 Bài 100: Thấy x hai phương trình hệ mâu thuẫn Do x Lúc hệ tương đương với: 7y 1 7y y y xy x y x x x x y 2 2y 2 y 10 y 10 y y 10 y y 1 x x x x x x2 x x xy x y xy x y xy x y y 16 y y 1 y 1 1 x 13 y x 3 y 39 x 13 x x x x 13 y x 3 y 1 x , y 1; , 3; 1 2 3 13 y y (VN) 3 y y 1 Vậy hệ có hai nghiệm x , y 1; , 3; 1 3 Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu hệ phương trình Trang 51 [...]... y Thay vào (*) ta được: x3 x3 500 x x 0 , loại – Nếu x y Thay vào (*) ta được: x x x 2 500 x x 0 , loại nốt 3 – Nếu x 2 y Thay vào ta được: y 3 4 y 3 1000 y y 3 1000 y 0 y y 2 1000 0 Điều này không thể xảy ra do y 0 , y 2 1000 0 – Nếu x 2 y Thay vào (*) ta được: 10 30 20 30 x y 3 3 y 3 4 y 3 1000 y y 3 y 2 1000 ... 5;3 Bài 53: Điều kiện x y 0, x y 0, y 0 Thay y 0 vào hệ thấy vô lí y 0 Chia hai vế của phương trình thứ nhất của hệ cho y 0 ta được: x 1 y x 1 2 y 3 a a b 2 x x 2 Đặt a 1, b 1 a b 0 , ta có hệ sau: 2 2 y y a b 2 b 1 2 x 5 5y Thay trở lại bước đặt ta tìm được x y 4 4 Thay vào phương trình thứ hai của hệ: 5y 4 5 4 5 y ... trình thứ nhất của hệ: 200 y 3 1 y 3 200 200 1 +) Nếu x 2 y , thay vào phương trình thứ nhất của hệ: 8 y 3 1 y x 1 2 1 1 6 ;3 Vậy nghiệm của hệ là x ; y 1 ; , 3 2 200 200 Bài 60: Nếu x 0 , thay vào phương trình thứ hai thấy không thoả mãn x 0 y y2 x 2 x 6 1 Thực hiện phép chia để đưa hệ về dạng: Đặt z z 0 thì hệ lại trở thành: x... được: 1 3 1 3 12 1 (1) Trừ vế theo vế ta được: x y x y y 3x Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình (2) Trang 35 Nhân vế theo vế của (1) với (2) ta được: 1 9 12 y 9x 12 x y y 3x xy y 3x 2 y y y y y 6 xy 27 x 0 6 27 0 3 (TM) 9 (loại) (do x, y > 0) x x x x 1 3 1 x 1 3 Với y 3x , thay vào 1 ta được: x 3x x 4 ... hiệu quả làm nhanh! x 3y x 3 1 2 2 x y Bài 67: Điều kiện: x , y không đồng thời bằng 0 Hệ đã cho: y y 3x 0 2 x2 y2 +) Nếu x 0 , thay vào (1) ta được y 1 Thay y 1 vào (2) thấy thoả mãn +) Nếu x 0 Chia làm hai trường hợp: Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 36 ... x 2 2 Vậy nghiệm của hệ là x ; y 2;2 , 4;4 Bài 33: Trừ vế theo vế hai phương trình của hệ đã cho ta được: x3 y 3 2 x 2 y 2 2 x 2 y x y x 2 xy y 2 2 x y x y 2 x y x 2 y 2 xy 2 x 2 y 4 0 x y 0 x y (do x 2 y 2 xy 2 x 2 y 4 Thay x y trở lại hệ ta được: 1 1 x y 2 x 2 2 y 2 2 ... y 2 1 y x x 1 x 1 x x x 1 x 1 x x2 1 y2 1 y x y x y 0 x y (loại x y 0 do x 2 1 ) x 0 x y Vậy x y Thay vào phương trình thứ nhất của hệ thấy thoả mãn và thay vào phương trình y 35 thứ hai của hệ ta được y 0 1 Dễ thấy rằng y 0 (vì nếu y 0 thì vế trái 2 12 y 1 x y dương nên nó vô lý) Kết hợp với điều kiện... – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 20 Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: y 4 4 2 x 3 y 2 16 x 2 48 x 11 0 Xem như đây là một phương trình bậc hai với ẩn là y 2 và tham số là x , ta có: ' y2 4 2 x 3 16 x 2 48 x 11 25 0 nên phương trình có hai nghiệm là: 2 y 2 2 2 x 3 5 hay chính là y 2 1 4 x hoặc y 2 11 4 x 1 y2 +)... 3 15 0 , nên 1 vô nghiệm 3 15 10 Vậy t 1 y Thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta tìm được x 5 5 10 15 ; Vậy các nghiệm của hệ là x ; y 5 5 x3 xy 2 2000 y x3 xy 2 2000 y 0 Bài 37: Biến đổi hệ như sau: 3 3 2 2 y yx 500 x 0 y yx 500 x * +) Nếu x 0 , thay vào phương trình thứ hai ta được y 0 , thoả mãn hệ ... cách giải trên thì ta còn có một cách giải khá hay nữa, áp dụng được rộng rãi hơn cho nhiều bài toán hệ phương trình dạng này cũng như phương trình: 7 x y 2 x y 5 7 x y 2 x y x ** Ta có: 7 x y 2 x y 5 * 7 x y 2x y Lấy (*) trừ đi (**) ta được 2 x y 5 x Đến đây ta thế vào phương trình thứ hai rồi rút x theo y để thế lại và giải phương trình ban đầu