Các phương pháp giải hệ phương trình

http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp Nội dung phương pháp: Thông thường ta rút biến biểu thức thích hợp từ phương trình thay vào phương trình lại hệ ta thu phương trình ẩn Chú ý:  Phương trình ẩn phải giải  Một phương trình hệ đưa tích phương trình bậc hai ẩn  x  x y  x y  x  1 Ví dụ 1: Giải hệ phương trình :   2  x  xy  x  Giải 6x   x Phương trình    xy  thay vào phương trình 1 ta được: 2  x   x2   x   x2  x  2x     x   x  12 x  48 x  64 x  2     x   x  x  4     x  4 Với x = thay vào phương trình   ta thấy không thỏa mãn Với x  4 thay vào phương trình   ta y  17  x  4  Vậy nghiệm hệ phương trình :  17  y  Bài tập Giải hệ phương trình sau:  xy   y 1)  2  xy xy  y   y   y  x  x3  y  x  x  y   2)   x   y  x  y  1 x  y  1  3x  x  3)   xy  x   x ĐS:  x; y    0;3 ;  2;1 ;  4; 1 ĐS:  x; y   1;  5  ĐS:  x; y   1; 1 ;  2;   2  Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng –Giáo viên chuyên sư pham Trung tâm luyện thi VIP http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học  x  y  y  16 x 4)  2 1  y  1  x  HD: phương trình (2)  y  x  Thay vào phương trình (1) được: x   y  x  y  y  16 x ĐS:  x; y    0;  ;  0; 2  ; 1; 3  ;  1;3  xy  x  y  x  y 1 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:   x y  y x   x  y   Giải x  Điều kiện:  y  Phương trình (1)  x  xy  y   x  y     x  y  x  y  1  x  y  x   y    x  y 1   x  y 1 Với x = - y ( vô lí ) Với x = 2y + Thay vào phương trình (2) biến đổi, thu gọn ta được:  y  1 y    y  ( y  )  x    x  Vậy nghiệm hệ phương trình :  y  Bài tập: Giải hệ phương trình sau:  x  x3 y  x y  1)   x y  x  xy  6 x  xy  x  y  2)  3 x  y  3x  y   y  x  xy  16 x  y  16 3)   y   x    x  ĐS:  x; y   1;1 ;  1; 1 1  ĐS:  x; y    0;1 ;  ;  3   4  ĐS:  x; y    0;  ;  4;  ;  ;    Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng –Giáo viên chuyên sư pham Trung tâm luyện thi VIP http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học  x  y  xy  x  y 4)  ĐS:  x; y   4;  y  1  x  y    x  3 x  y   xy  x   5)  2 2 x  x y  x  y  xy  y   xy  x    1    1   HD   ĐS:  x; y   1;1 ;  ;  ;  ;    x  y   x  y  1      Phương pháp đặt ẩn phụ   Nội dung phương pháp: Điểm quan trọng việc giải hệ phát ẩn phụ u  f  x; y  , v  g  x; y  Có phương trình xuất sau số phép biến đổi  x  x  x  22  y  y  y  Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:  x  y  x  y    Giải Đặt y = - z, ta hệ phương trình  x  z  3( x  z )  9( x  z )  22    2 x  z  (x  z)    x  z   3xz  x  z    x  z 2  xz    x  z   22       x  z   xz   x  z    x  z  S Đặt :  , S  4P  xz  P S  3SP   S  P   9S  22  S    Ta có:   S  P  S   P   Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng –Giáo viên chuyên sư pham Trung tâm luyện thi VIP http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học    x    y   x  z  x  y          x   xz   xy       y        x   x  Vậy nghiệm hệ phương trình :  ; y   y     Bài tập Giải hệ phương trình sau: 3  x  y   xy  1)  2  x  y  x  y  4  x  y 2   x  y    HD:   2  x  y    x  y   4 u  x  y Đặt  2 v  x  y  x  y  xy  x  x  y   2  2)  2 2  x  y   xy  x  y  1   x  y 2  xy  x  y   2  HD:   2 2  x  y   xy  x  y  1  x2  y  u Đặt   xy  v 8 9 ĐS:  x; y    0;1 ;  ;   7 7 ĐS:  x; y   1;3  x y 1  y   x y   y   xy  30  3)  x y  x  y  y  y  11     xy  x  y   x y  x  y   30 HD:    xy  x  y   xy  x  y  11 Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng –Giáo viên chuyên sư pham Trung tâm luyện thi VIP http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học   21  21    21  21  ĐS:  x; y   1;  ;  2;1 ;  ; ;  ;    2    3  x  y  x y  xy  xy   4)   x  y  xy 1  x      2  x  y   xy  x  y   xy   HD:    x  y   xy     x2  y  u 25   3 Đặt  ĐS:  x; y    ;   ;  1;   16   2  xy  v  x  y  u Đặt   xy  v  xy  x  y  4  y  5)  ĐS:  x; y   1;1 ;  3; 1  y2  x    y  x  y  x  y   6)  ĐS:  x; y    5; 4  2 x  xy   y  xy     x   y  y  x   y Ví dụ 2: Giải hệ phương trình :   x  1  y  x    y Giải Nhận xét: y = nghiệm nên hệ cho tương đương với :  x2   y  yx4    x    y  x     y    x2  u u  v  u   Đặt :  y   uv  v  y  x   v  x   x2 1  1  y   y    y  x     x  2     y  Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng –Giáo viên chuyên sư pham Trung tâm luyện thi VIP http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học  x   x  2 Vậy nghiệm hệ phương trình :  ; y  y  Bài tập Giải hệ phương trình:  xy  x   y 1)  2  x y  xy   13 y  1 x  x  x   y    HD:    x    x  13   x y  x  y  u  Đặt  x  v  y 1  ĐS:  x; y    3;1 ;  ;1 3   2 7 4 xy   x  y   x  y   2)  2 x    x y 2  7 3  x  y    x  y   x  y   HD:   x  y   x  y   x y   u, u  x  y  x y Đặt  x  y  v   y  y x  x 3)  2 1  x y  x y1   y y2  y        x x x HD:   x    y2    y   x    x  x y  Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng –Giáo viên chuyên sư pham Trung tâm luyện thi VIP ĐS:  x; y   1;  http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học y  x  v Đặt  1  y  u  x     x  y        xy  4)   x  y     49   x2 y      1  x  y  x  y   HD:    x  y    49 x2 y2    x  x  u Đặt  y   v  y 1  ĐS:  x; y   1;  ;  ;1 2   73   73  ĐS:  x; y    ; 1 ;  1;      9 y  x3  1  125 5)  2 45 x y  75 x  y 125   27 x  y   HD:   3 x  x      y  y u  x  Đặt  v   y  1 5 2  ĐS:  x; y    ;  ;  ;5  3 2 3  Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số Nội dung phương pháp Điểm quan trọng phương pháp biến đổi phương trình hệ dạng f  u   f  v  với f hàm số đơn điệu D Từ suy u = v Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng –Giáo viên chuyên sư pham Trung tâm luyện thi VIP http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học  x  1 x   y  3  y  1 Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:   2 4 x  y   x  Giải ; y Phương trình (1)   x  1 x    y  1  y  f  x   f Đk: x  Xét hàm số f  t    t  1 t  f '  t   3t   0, t  f  t  hàm đồng biến với t  R x   f  2x  f  y  2x   y    4x2 y    Thay vào phương trình (2) ta được:     4x  4x        4x     Nhận xét x = 0, x  nghiệm   2   4x   3 Xét g  x   x      x   0;   4    3  g '  x   x  x  3   0, x   0;   4x  4  g  x  hàm nghịch biến 1 Mặt khác g     x   2  x  Vậy nghiệm hệ :   y  Bài tập Giải hệ phương trình sau:  x  y  1   x  1 x   1)  2 x y  y 1  x  x 1    Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng –Giáo viên chuyên sư pham Trung tâm luyện thi VIP  5 2y  http://baigiangtoanhoc.com  Khóa học: Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học  HD: hệ  y  y     x  1    2)   1 1    x x   Xét f  t   t  t   f  t  đồng biến  y     1   x; y    1;  x  2  4x2  4x   y  y   4 x3  y   y  5  1 ĐS:  x; y    1;  3  2  x  y 3  xy   3)  2 x  y  x  xy  y  x  y     1 1 ĐS:  x; y    ;   2  x y  y  4)   x y  xy  y  y y HD: Phương trình (2)  y  x  y    x  Đặt y t 00t  3 Thay vào phương trình (1) thu gọn: t   t   t   7t    3 9  t   t   t   7t     t    t   7t  Xét hàm số: f  t   t    t   7t  0,  t  3  f '  t   9t  9t   t     f  t  đồng biến  t  ĐS:  x; y    2;1  x  xy  y10  y 5)   x   y   ĐS:  x; y   1;1 ; 1; 1  x  16 y    y 6)  x  x  xy  y   Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng –Giáo viên chuyên sư pham Trung tâm luyện thi VIP http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học t 1  x HD: phương trình (1)  f    f  y  , với f  t   , t  0 t  2  ĐS:  x; y   2 2; 4      x   x2 y   y   7)   x x  xy   xy  x  HD: phương trình (1)  x   x   y   y  f  x   f   y   x   y   11 3  11  ĐS:  x; y   1; 1 ;  ;     x3  x  x   x   y   y  8)   x   14  x  y   1 HD: phương trình (1)  f  y  f 1    x    111  ĐS:  x; y    7;   98   x  y   x  y 1 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:  2  x   x  y  y     Giải 1  x  Đk:  0  y  Đặt z  x   z   0; 2 Phương trình (1)  z  z  y  y Xét hàm số: f  t   t  3t , t   0; 2  f '  t   3t  6t  3t  t    0, t  0; 2  f  t  hàm nghịch biến  0; 2 Mà f  z   f  y   z  y  x   y Thay vào phương trình (2) có: x   x    x  x  Vậy nghiệm hệ phương trình là:  y 1 Bài tập: Giải hệ phương trình sau:  x   y   x 1)  ĐS:  x; y    2;1 x   y    Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng –Giáo viên chuyên sư pham Trung tâm luyện thi VIP http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học  x  x  x   y 1  2)  ĐS:  x; y   1;1  y  y  y   3x 1  1   1  1    1  1   x   y  x y 3)  ĐS:  x; y   1;1 ;  ; ; ;    2   y  x3    3  1  1    1  1    x  x  y  y 4 4 ;   4)  ĐS: x ; y  ; ;        2 2  x  y       x  x  22  y  y  y  5)  2  y  y  22  x  x  x  HD: Trừ vế với vế hai phương trình ta được: f  x   f  y  với f  t   t  2t  22  t  t  2t  1, t   x  y Thay vào phương trình thứ  Phương trình có dạng : g  x   g 1 , với f  x   x  x   x  x  22  x , t  g ' x  2x   x ĐS:  x; y   1;1 x 1  x  x  22 x 1  2 0 x  x  22 Phương pháp đánh giá Nội dung phương pháp: Với phương trình cần phát biểu thức không âm hệ nắm vững cách vận dụng bất đẳng thức  y   x3  x  Ví dụ 1: Giải hệ phương trình :   x  y  y  Giải  y   ( x  1) ( x  2) Hệ cho    x   2( y  1) ( y  2) Nếu x > từ phương trình (1)  y   Điều mâu thuẫn với phương trình (2): x – y – dấu Nếu x < Lập luận tương tự, suy vô lý Nếu x = y = thay vào thỏa mãn hệ x  Vậy nghiệm hệ phương trình :  y  Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng –Giáo viên chuyên sư pham Trung tâm luyện thi VIP http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học xy   x2  y x  x  2x   Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:  xy y   y2  x  y  2y  Giải Cộng vế với vế hai phương trình ta được: xy xy  x  2x  Ta có:   x2  y (1) y  2y  x  x   ( x  1)2  23  2 xy x2  x  Tương tự   xy x2  x  xy  xy y  2y   xy  xy x  y 1 Mặt khác: x  y  xy  VT (1)  VP (1) Dấu xảy   x  y  x  x  Thử lại ta nghiệm hệ :  ;  y  y 1 Bài tập Giải hệ phương trình : 36 x y  60 x  25 y   1) 36 y z  60 y  25 z   2 36 z x  60 z  25 x   60 x  y  36 x  25   60 y HD:   z  36 y  25   60 z x  36 z  25  2 x  y  xy  2)   3x   y   x  y  z  ĐS:  x  y  z   ĐS: x = y =1 Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng –Giáo viên chuyên sư pham Trung tâm luyện thi VIP http://baigiangtoanhoc.com  x  y  xy  3)   x   y    x  32  x  y   4)  x  32  x  y  24   HD: Cộng vế phương trình x  32  x  x  32  x  y  y  21  VT  12; VT  12 Khóa học: Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học ĐS: x = y = ĐS:  x; y   16;3  2  x  1 y  1  xy 5)   x  y  xy  x  y  14    7  10  HD: Phương trình (2)  y  1;  ; x   2;   3  3  1  Phương trình thứ   x    y    x  y  Xét hàm số f  t   2t   f(t) đồng biến với t   0;   t ĐS:  x; y    2;1  f  x  f  y   f   f 1   12  x  y  x   6)   y  x  y  12   HD: Cộng vế hai phương trình ta được: 2  1  1   1  1  x  x   y  y  ĐS:  x; y    ;      0 2  2 2    2  x  y 3  xy   7)  2  x  y   x  xy  y  x  y   2  x  y 3  xy   HD:   2  x  y   2( x  y )  ( x  y )  (2 y  1)  Có:  x  y   xy Từ phương trình thứ   x  y    x  y     x  y  Phương trình (2) 2 ĐS:  x; y   1;1  x  y    x  y     x  y   1   y  1  Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng –Giáo viên chuyên sư pham Trung tâm luyện thi VIP http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học  x  xy  y  x  xy  y   x  y  8)   x  y   x  12 y   xy  y  HD:  x  xy  y  x  xy  y 2  2x  y    x  y    x  y   x  y  2x  y  x  y  x  y  3 x  y  Vậy phương trình thứ  x  y  Thay vào phương trình (2): 3x   19 x   x  x   x  x   x  1  3x     x    19 x      x  x   x  14   x2  x   3x   x     x   19 x   (19 x  8) x2  x x 1 0  x2  x  ĐS:  x; y    0;  ; 1;1 Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng –Giáo viên chuyên sư pham Trung tâm luyện thi VIP [...]... pháp: Với phương trình này cần phát hiện các biểu thức không âm trong hệ và nắm vững cách vận dụng các bất đẳng thức cơ bản  y   x3  3 x  4 Ví dụ 1: Giải hệ phương trình :  3  x  2 y  6 y  2 Giải 2  y  2  ( x  1) ( x  2) Hệ đã cho   2  x  2  2( y  1) ( y  2) Nếu x > 2 thì từ phương trình (1)  y  2  0 Điều này mâu thuẫn với phương trình (2): x – 2 và y – 2 cùng dấu Nếu x... của hai phương trình ta được: f  x   f  y  với f  t   t 2  2t  22  t  t 2  2t  1, t  0  x  y Thay vào phương trình thứ nhất  Phương trình có dạng : g  x   g 1 , với f  x   x 2  2 x  1  x 2  2 x  22  x , t  0 g ' x  2x  2  1 2 x ĐS:  x; y   1;1 x 1  2 x  2 x  22 x 1  2 2 0 x  2 x  22 4 Phương pháp đánh giá Nội dung phương pháp: Với phương trình này... x = y = 2 thay vào thỏa mãn hệ x  2 Vậy nghiệm của hệ phương trình là :  y  2 Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng –Giáo viên chuyên sư pham Trung tâm luyện thi VIP http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2 xy   x2  y x  3 2 x  2x  9  Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:  2 xy y   y2  x 2 3  y  2y  9 Giải Cộng vế với vế hai phương trình ta được: 2 xy 3 2 xy ... 6 y  24  0  HD: Cộng 2 vế của phương trình được x  32  x  4 x  4 32  x  y 2  6 y  21  VT  12; VT  12 Khóa học: Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học ĐS: x = y = 3 ĐS:  x; y   16;3 7  2 2  2 x  1 2 y  1  xy 5)  2  x 2  y 2  xy  7 x  6 y  14  0   7  10  HD: Phương trình (2)  y  1;  ; x   2;   3  3 1  1 7  Phương trình thứ nhất   2 x    2 y ...  2 x  9 2 xy  xy 2 y  2y  9  2 xy  xy 2 x  y 1 Mặt khác: x 2  y 2  2 xy  VT (1)  VP (1) Dấu bằng xảy ra   x  y  0 x  0 x  1 Thử lại ta được nghiệm của hệ là :  ;  y  0 y 1 Bài tập Giải các hệ phương trình : 36 x 2 y  60 x 2  25 y  0  1) 36 y 2 z  60 y 2  25 z  0  2 2 36 z x  60 z  25 x  0  60 x 2  y  36 x 2  25   60 y 2 HD:   z  36 y 2  25   60...  1  4 HD: Cộng vế hai phương trình ta được: 2 2  1  3 1  3  1  2 1  2 x  x   y  y  ĐS:  x; y    ;      0 2  2 2 2    2  x  y 3  4 xy  3  0 7)  4 2 2  x  y   2 x  4 xy  2 y  x  3 y  1  0 2  x  y 3  4 xy  3  0 HD:   4 2 2  x  y   2( x  y )  ( x  y )  (2 y  1)  0 2 3 2 Có:  x  y   4 xy Từ phương trình thứ nhất  2  x ... 12 y  8  2 xy  y  5 HD:  5 x 2  2 xy  2 y 2  2 x 2  2 xy  5 y 2 2  2x  y    x  y  2  2  x  2 y   x  y 2  2x  y  x  2 y  3 x  y  3 x  y  Vậy phương trình thứ nhất  x  y  0 Thay vào phương trình (2): 3x  1  2 3 19 x  8  2 x 2  5 x  5  2 x 2  2 x   x  1  3x  1   2  x  2   3 19 x  8   0  2  x  x  2  2 x  14   x2  x   3x  1...  x  y   4 xy Từ phương trình thứ nhất  2  x  y    x  y   3  0  x  y  1 Phương trình (2) 4 2 2 ĐS:  x; y   1;1  x  y   2  x  y   1   x  y   1   2 y  1  0 Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng –Giáo viên chuyên sư pham Trung tâm luyện thi VIP http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học  5 x 2  2 xy  2 y 2  2 x 2  2 xy  5 y 2  3 ...http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học  x  x 2  2 x  2  3 y 1  1 2)  ĐS:  x; y   1;1  y  y 2  2 y  2  3x 1  1 1  1  1  5 1  5   1  5 1  5  x   y  x y 3)  ĐS:  x;