Giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Nguyễn Phi Hùng - Võ Thành Văn Đại học Khoa học Huế ************** Phương pháp đặt ẩn phụ giải phương trình vô tỷ A Lời nói đầu Qua viết muốn giới thiệu cho bạn số kĩ đặt ẩn phụ giải phương trình vô tỷ Như biết có nhiều trường hợp giải phương trình vô tỷ mà ta biến đổi tương đương phương trình phức tạp , bậc cao Có lẽ phương pháp hữu hiệu để giải vấn đề đặt ẩn phụ để chuyển phương trình đơn giản dễ giải Có bước phương pháp : - Đặt ẩn phụ gán điều kiện cho ẩn phụ - Đưa phương trình ban đầu phương trình có biến ẩn phụ Tiến hành giải phương trình vừa tạo Đối chiếu với điều kiện để chọn ẩn phụ thích hợp - Giải phương trình cho ẩn phụ vừa tìm kết luận nghiệm * Nhận xét : - Cái mấu chốt phương pháp bước Lí định đến toàn lời giải hay, dở , ngắn hay dài toán - Có phương pháp đặt ẩn phụ mà muốn nêu viết : + PP Lượng giác hoá + PP dùng ẩn phụ không triệt để + PP dùng ẩn phụ đưa dạng tích + PP dùng ẩn phụ đưa hệ B Nội dung phương pháp I Phương pháp lượng giác hoá :    ;  x  a cos t , t  0;   2 Nếu |x|  a ta đặt x  a sin t ,t    Ví dụ : Giải phương trình:   x  x(1   x )    Lời giải : ĐK :| x | Đặt x  sin t , t    ;  Phương trình cho trở thành :  2  3t   t  t  cos t  sin t (1  cos t )  cos   sin t  sin 2t  sin   cos    2 2  t cos    t  3t  2  cos ( sin    1)     2 2 sin  3t       Kết hợ p với điều kiện t suy : t    Vậy phương trình có nghiệm : x  sin    6 Ví dụ : Giải phương trình:   x  (1  x)  t  (2k  1)   4 t   k    (1  x)   1 x2 Lời giải : ĐK : | x | Khi VP > Nếu x   1;0 : (1  x)  (1  x)  Nếu x  0;1 : (1  x)  (1  x)    Đặt x  cos t , với t  0;  ta có :  2  t  t    t  t    sin    cos   cos    sin      sin t  cos1  sin t    sin t      2    2  cos t  2  sin t    cos t  Vậy nghiệm phương trình x   2x  2x Ví dụ : Giải phương trình:  x   x    2x  2x Lời giải : ĐK : | x | Đặt x  cos t , t  0;     phương trình cho trở thành :  t t  t  t  sin t  sin t    cos t   sin    cos    tan    cot an   21  sin t   sin t 2   2  2 Vậy phương trình có nghiệm x  Ví dụ (THTT): Giải phương trình: x  3x  x  (1) Hướng dẫn : Nếu x  2 : phương trình không xác định Chú ý với x  ta có : x  3x  x  xx  4  x  x  Vậy để giải phương trình (1) ta cần xét với x   2;2 Đặt x  cos t , t  0;   t 2 phương trình cho trở thành : cos 3t  cos  Nếu | x | a ta đặt : a  a    , t  0;  ; t  x , t    ; , t  x  sin t  2 cos t  Ví dụ : Giải phương trình: x 1     1  x2 1  Lời giải : ĐK : | x | 1    Đặt x  ,t  ;  sin t  2 Phương trình cho trở thành : 1  cot ant     cos t  cot ant  cos t  cos t    sin t  sin t   cos t    t    k    sin t 12   kết hợp với điều kiện t suy t   12 Vậy phương trình có nghiệm : x    1    sin     12    a Tổng quát: Giải phương trình x  a   x    3x Ví dụ : Giải phương trình: x  2 x2  Lời giải : ĐK : | x | 3  Đặt x  , t  0;  , t  , phương trình cho trở thành : cos t 1    2   sin 2t  sin 2t  sin 2t   t   x  cos t sin t  Tổng quát: Giải phương trình: x  ax x  a2   (thoả mãn)   cos  4  b với a, b số cho trước    ;  để đưa phương trình lượng giác đơn giản :  2 Ví dụ : Giải phương trình: x  3 x  3x   (1) Đặt x  tan t , t    Lời giải : 3x  x  (2)  3x      Đặt x  tan t , t    ;  , Khi (2) trở thành : tan 3t   t   k  2    4   7  Suy (1) có nghiệm : x  tan  ; x  tan ; x  tan   9     Do x   không nghiệm phương trình nên (1) Ví dụ : Giải phương trình:   x2 1 x2 1 x 1   2x 2x  x 2   Lời giải : ĐK : x  0; x  1     Đặt x  tan t , t    ; , t  0; , phương trình cho trở thành :  2 1  1      1     sin t cos 2t  cos 2t   cos t sin 2t sin 4t cos t  sin t sin t cos 2t     t    k 2  sin t    sin t  sin t  sin t   sin t  sin t  sin t   sin t  1      t   k 2  sin t     Kết hợp với điều kiện suy : t    Vậy phương trình có nghiệm : x  tan   6 Mặc định điều kiện : | x | a Sau tìm số nghiệm số nghiệm tối đa phương     trình kết luận : Ví dụ : Giải phương trình: x   x Lời giải : Phương trình cho tương đương với : x  x  (1)  2 t  k k  Z      5   7  Suy (1) có tập nghiệm : S  cos ; cos ; cos       9 Đặt x  cos t , t  0;   , Lúc (1) trở thành : cos 3t  Vậy nghiệm phương trình cho có tập nghiệm S II Phương pháp dùng ẩn phụ không triệt để * Nội dung phương pháp : Đưa phương trình cho phương trình bậc hai với ẩn ẩn phụ ẩn phương trình cho : Đưa phương trình dạng sau : f x .Q x   f  x   Px .x : Đặt f  x   t , t  Phương trình viết thành : t  t.Q x   P x   Đến giải t theo x Cuối giải phương trình kết luận Ví dụ 10 : Giải phương trình 2 x    x  x  16 (1) Lời giải : ĐK : | x | f x   t sau đơn giản hóa Đặt t  24  x  Lúc :(1)  42 x    16 24  x   162  x   x  16  84  x   16 24  x   x  x Phương trình trở thành : 4t  16t  x  x  x x Giải phương trình với ẩn t , ta tìm : t1  ; t    Do | x | nên t  không thỏa điều kiện t   x0 x ( thỏa mãn điều kiên | x | )  x 2 8  x  x Ví dụ 11 :Giải phương trình x  x  12 x   36 Lời giải : ĐK : x  1 Đặt t  x   ,phương trình cho trở thành :   6t xt  12t  36   t  x   6t * Với t  , ta có : x  6t  6 (vô nghiệm : VT  0;VP  ) x   6t * Với t  , ta có :  (6  x)t x 6 Do x  không nghiệm phương trình nên : t   x 1  6 x 6x Bình phương hai vế rút gọn ta : x  (thỏa mãn) Tổng quát: Giải phương trình: x  ax  2b x  a  b Với t  : 24  x   x      Ví dụ 12 : Giải phương trình: x    x  x  x  Lời giải : Đặt x   t  Phương trình cho viết thành :    3t  1  x  t   x  xt  3t  8 x  3t  x  x  x Từ ta tìm t  t  1 x Giải : x  * Nhận xét : Cái khéo léo việc đặt ẩn phụ thể rõ phương pháp cụ thể ví dụ Ở dừng lại với việc chọn ẩn phụ không dễ để giải trọn vẹn Vấn đề việc kheo léo biến đổi phần lại để làm biến hệ số tự , việc gải t theo x thực dễ dàng Ví dụ 13 : Giải phương trình: 2008 x  x   2007 x x  Lời giải : ĐK : x  4 x   t  phương trình cho trở thành : 2008 x  2007 xt  t  t Giải : x  t x   (loại) 2008 x 1 * x  t ta có : x  x     x  Vậy x  1, x  nghiệm phương trình cho Đặt Ví dụ 14 : Giải phương trình: 4 x  1 x   x  x  Lời giải : ĐK : x  1 Đặt t  x  ,Phương trình cho trở thành 2t  1  x   4 x  1t  2t  4 x  1t  x   Phương trình đơn giản !!!!!!! III Phương pháp dùng ẩn phụ đưa dạng tích Dùng ẩn phụ Ví dụ 15 : Giải phương trình: x  x  Lời giải : ĐK : x    (1) 3  t  phương trình (1) trở thành : 2 t0   3  t     t  t t  3t  1    2  t  3t   02  x Đặt (2) giải đựoc cách áp dụng phương pháp I : Đặt x  cos t , t  0;   để đưa dạng : cos 3t   Tổng quát: Giải phương trình: x  x  a  a với a hắng số cho trước Ví dụ 16 :Giải phương trình: x  3x   x  23  x1 Lời giải : ĐK : x  2 Viết lại (1) dạng : x  3x x  2   x  23  02 Đặt t  x   , Khi (2) trở thành :  x0    xt  x x2  x2 x x20   x  xt  2t    x  t   x  2t      x0  x    x  2t  x  2 x    x  x   Vậy phương trình cho có nghiệm : x  2, x   Ví dụ 17 : Giải phương trình : x   x   Lời giải : ĐK : x  1;6 (1) Đặt t  x   (2) , phương trình cho trở thành : t   t  (3)  t  10t  t  20   t  t  t  t  5  Đối chiếu với hai điều kiện (1) (2) thay vào giải : x    Ví dụ 18 : Giải phương trình: x  2006  x 1   x  Lời giải : ĐK : x  0;1 (1) 11  17 2  Đặt t   x   t  , Khi : x   t , x  1  t  ,phương trình cho trở thành : 1  t   2006   t 1  t       1  t  1  t   2007  t 1  t   21  t  t  t  1003  Vì  t  nên t  t  1003  Do phương trình tương đương với : t    t  Do x  (thỏa (1)) 2 2 2 Dùng ẩn phụ Ví dụ 19 : Giải phương trình: x  x   x  x   x  Lời giải : Đặt a  x  x  1; b  x  x   a  b  x   a  b  a  b  a  b a  b  1       x x3  a b     a  b  9x    x    a  b 1  56    2a  x  x    65    56  Vậy tập nghiệm pt S   ;0;   65  Ví dụ 20 : Giải phương trình: 2x  x    x  (1)   x  (*)  x2 Lời giải : ĐK :  Đặt u  x  x  , v  x  ta có : u  v  x  x  Lúc (1) trở thành : 2u  v   3uv  2u  v u  2v    u  2v (Do 2u  v  ) Tìm x ta giải : x  x   x   x  x    x   13 (Thỏa (*)) Vậy (1) có nghiệm : x1,   13 Ví dụ 21 : Giải phương trình: x  14 x   x  x  20  x  Lời giải : ĐK : x  Chuyển vế bình phương hai vế phương trình ,ta có: x  15 x  9  x  24 x   10 x  4x  5x  1  2x  x  5  3x  4  x   x   x    (2) Đặt u  x  x  , v  x  , u, v  ,thì :  uv  x  5x    4 x  25 x  56  2u  3v (2)  2u  3v  5uv   u  v 2u  3v     Giải ta nghiệm thỏa mãn : x1   61 ; x2  Ví dụ 22 : Giải phương trình: x  x1  x 2  1  x 3   x  x  x 1  x  Lời giải : ĐK :  x   u0  u4 x   v0 Đặt :  v   x u  v   Từ phương trình ta : u  v  ( Do u  v  ) u  uv  v  v  u  u v  u  v u  v 1  u  v     u  v  1 từ ta giải nghiệm : x  0; x  1; x  Dùng ẩn phụ Ví dụ 23 : Giải phương trình: x   x  x   x  8x  