Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ (tt)

Các bài toán về phương trình là một phần quan trọng của đại số ở THPT.. Để giải tốt phương trình một ẩn không phải đơn giản, cần phải vận dụng tốt các phương pháp, hình thành các kĩ năng

MỞ ĐẦU 3

CHƯƠNG I: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ 4

1.1 Phương pháp biến đổi tương đương 4

1.1.1 Nội dung phương pháp 4

1.1.2 Bài tập minh họa 4_Toc515794134 1.2 Phương pháp đặt ẩn phụ 10

1.2.1 Nội dung phương pháp 10

1.2.2 Bài tập minh họa 11

1.3 Phương pháp làm xuất hiện biểu thức liên hợp 14

1.3.1 Nội dung phương pháp 14

1.3.2 Một vài bài toán minh họa: 14

1.4 Phương pháp đưa về phương trình tích 19

1.4.1 Nội dung phương pháp 19

1.4.1 Bài tập minh họa 19

1.5 Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình 23

1.5.1 Nội dung phương pháp 23

1.5.2 Bài tập minh họa 23

1.6 Phương pháp đánh giá 28

1.6.1 Nội dung phương pháp 28

1.6.2 Bài tập minh họa 28

KẾT LUẬN 39

TÀI LIỆU THAM KHẢO 40

Bước đầu đi vào thực tế, tìm hiểu về lĩnh vực sáng tạo trong nghiên cứu khoa học, kiến thức em còn hạn chế và còn nhiều bỡ ngỡ, do vậy không tránh khỏi những thiếu sót là điều chắc chắn Em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của quý thầy cô và các bạn

Lời cuối xin chúc sức khỏe tất cả các thầy cô, chúc thầy cô luôn hoàn thành tốt nhiệm vụ được giao

Chân thành cảm ơn!

MỞ ĐẦU

Toán học là một trong những môn học quan trọng Đây là môn học tương đối khó mang tính tư duy cao đòi hỏi người học phải chịu khó tìm tòi, khám phá và say mê nghiên cứu Một trong những đề tài lí thú của bộ môn này là

“phương trình” đã lôi cuốn nhiều nhà toán học và đã có những kết quả sâu sắc

Các bài toán về phương trình là một phần quan trọng của đại số ở THPT

Nó rất phong phú đa dạng và thường xuyên xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi, Cao đẳng và Đại học Để giải tốt phương trình một ẩn không phải đơn giản, cần phải vận dụng tốt các phương pháp, hình thành các kĩ năng trong quá trình làm bài

Việc vận dụng thành thạo và phát hiện các phương pháp giải toán phương trình, nâng cao chất lượng học và kiểm tra trong các kì thi Đại học được xem như là một trong những sáng tạo của giải toán phương trình và làm phong phú thêm kho tàng các phương pháp giải toán phương trình

Xuất phát từ lí do trên tôi chọn đề tài: “Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ” với mục tiêu xây dựng các bài toán hệ phương trình theo

từng phương pháp giải, nâng cao khả năng tự học của học sinh, phát huy năng lực tư duy của học sinh Tôi đã phân tích, tổng hợp, khai thác để tổng quan các công trình khoa học về các vấn đề thuộc phạm vi nghiên cứu của đề tài, xây dựng hệ thống các bài toán phương trình theo từng phương pháp giải, giúp người học phát hiện và vận dụng sáng tạo các phương pháp giải trong việc học tập và nghiên cứu, nâng cao thành tích trong các kì thi Đại học

Cấu trúc đề tài bao gồm:

Phần mở đầu

Phần nội dung:

- Chương 1: Một số phương pháp giải phương trình

- Chương 2: Bài toán giải phương trình qua các kì thi tuyển sinh đại học Kết luận

Tài liệu tham khảo

CHƯƠNG I: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ

TỶ 1.1 Phương pháp biến đổi tương đương

1.1.1 Nội dung phương pháp

Phương trình cơ bản

 2

2

( ) 0( ) ( )

1.1.2 Bài tập minh họa

Bài 1: Giải phương trình sau x18  2 3 x (1)

Nhận xét: Ta thấy vế trái luôn không âm, do đó nếu vế phải âm thì phương trình vô nghiệm, nên ta chỉ cần giải phương trình khi vế phải không âm, tức là

2

3

     Khi đó hai vế đều không âm và bình phương hai vế

được phương trình tương đương: 2

x x x

Vậy phương trình có một nghiệm là x 2

Bài 2: Giải phương trình sau x  3 2 3 3 x (2)

Giải: Điều kiện xác định 3  x 1

(2) x 3 2  3 3 x   x 3 4 x   3 4 3 3x

x x x

   thỏa mãn điều kiện

Vậy phương trình có một nghiệm x 2

Bài 3: Giải phương trình sau 2 3

  thỏa mãn điều kiện

Vậy phương trình có một nghiệm x0

Trong bài toán này ta không cần đặt điều kiện

Giải: Điều kiện 1

7

x x

Vậy x 1, x2 thỏa mãn điều kiện

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x 1, x2

Bài này củng có thể giải bằng cách như sau:

 4  x1x 1 x1x2 x1x7

Trường hợp 1: x 1 thỏa mãn phương trình (4)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là 1,

Với dạng tổng quát 3  3   3  ta lập phương hai vế và sử dụng hàng

3

ab a  b ab ab để giải như bài trên

Bài 6: Giải phương trình sau x  2 2 x2 (6)

Giải: Điều kiện x 2

x x x

Đối với phương trình này có thể đưa về dạng f x  g x  và giải bằng cách bình phương hai vế, dẫn đến phương trình bậc bốn (nhẩm được nghiệm

Bài toán dẫn chúng ta đến giải phương trình (4)

Thuật toán đặt ẩn phụ như trên còn gọi là thuật đặt “ẩn phụ đối xứng”

1.2.2 Bài tập minh họa

Bài 1: Giải phương trình 4x2  3x  1 5 13x (1)

6.22

y   y

x    thõa mãn y u x  Vì

thế trong phương trình (2), điều kiện 3 1 0 3

2

x   y nên nghiệm của hệ

hai phương trình (4), (5) là cặp số  x y; thỏa mãn 3

Phương trình (1) tương đương với hệ (4), (5) là hệ phương trình đối xứng hai

ẩn kiểu 2 Người ta gọi (1) là phương trình khả nghịch

Phương trình f x u x được gọi là phương trình khả nghịch nếu  ,    y u x 

là hàm ngược của hàm số f x y , 0 (ẩn x )

Thuật đặt ẩn phụ như trên bao giờ cũng dẫn phương trình khả nghịch đến hệ đối xứng hai ẩn kiểu 2 A A B', B C', C'

1.3 Phương pháp làm xuất hiện biểu thức liên hợp

1.3.1 Nội dung phương pháp

Trong các bài toán về phương trình, ta có thể thêm bớt hoặc nhóm các biểu thức liên hợp vào các biểu thức chứa căn rồi làm xuất hiện đa thức Nhờ việc phân tích các đa thức đó thành nhân tử làm xuất hiện ra thừa số chung ta đưa bài toán đã cho về các phương trình tích quen thuộc và từ đó xử lí tiếp Tất nhiên là có nhiều yếu tố khác cần chú ý nhưng với các bài toán thông thường thì ý tưởng tổng quát là:

Giả sử trong phương trình ta có biểu thức dạng P x  với P x  là một đa thức nào đó Bằng phương pháp nhẩm nghiệm, ta tìm được xalà một nghiệm của nó Khi đó, ta sẽ thêm vào biểu thức trên đại lượng  P x  để

có được biến đổi sau:

1.3.2 Một vài bài toán minh họa:

Bài 1: Giải phương trình 3 4 3 2 7

x x x

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là x4 , x7

Bài 2: Giải phương trình 10x 1 3x 5 9x 4 2x2

Giải: Điều kiện:

Giải: Điều kiện:

3

2

103

3 0

1 0

1 0

x x x x

1

1 0 33

Vậy x 1 3 là ngiệm của phương trình

Bài 4: Giải phương trình 2 2

4x 5x 1 2 x   x 1 9x3 (4)

Giải: Điều kiện

141

x x

Bài 5: Giải phương trình x 2 4 x 2x2 5x1 (5)

Giải: Điều kiện 2 x 4

Vậy x3 là nghiệm duy nhất

Bài 6: Giải phương trình

Vậy x2 là nghiệm duy nhất

Bài 7: Giải phương trình 2 2

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x2

1.4 Phương pháp đưa về phương trình tích

1.4.1 Nội dung phương pháp

    0

 

00

1.4.1 Bài tập minh họa

Bài 1: Giải phương trình 2

x  x  x  x  (1) Giải: Điều kiện: x 3

x x





  



Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x2, x1

Bài 2: Giải phương trình

236

   

x x

x x x x

x x





  

Vậy phương trình có hai nghiệm x0, x1

Bài 5: Giải phương trình  1 x 1 1  x 1 2x (5)

Giải: Điều kiện: 1  x 1

Đặt 1 x u  0 u 2

  thỏa mãn điều kiện

Nhận xét: Khi sử dụng phương pháp đưa về phương trình tích để giải phương trình vô tỷ ta cần chú ý các bước sau

Tìm tập xác định

Dùng phép biến đổi đại số đưa phương trình về dạng f x g x    0

Từ đó suy ra f x 0,g x 0 là những phương trình quen thuộc

Nghiệm của phương trình là tập hợp các nghiệm của phương trình f x 0,

  0

g x  thỏa mãn điều kiện

Biết vận dụng phối hợp linh hoạt các phương pháp khác nhau như nhóm các

số hạng, tách các số hạng hoặc đặt ẩn phụ thay thế cho một biểu thức chứa ẩn đưa về phương trình tích dạng quen thuộc

1.5 Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình

1.5.1 Nội dung phương pháp

Đặt ẩn phụ để đưa phương trình về dạng 2 2

0

aA bABcB 

1.5.2 Bài tập minh họa

Bài 1: Giải phương trình  2 3

x  x  x  (1) Giải: Điều kiện x0

1 x 8x 3 6 x x 3 0

Đặt

23

  

 

 

Vậy nghiệm của hệ là x1 , x3 , x 8 61 , x 8 61

Bài 2: Giải phương trình  2  3

2 x 2 5 x 1 (2) Giải: Điều kiện x1

3 x 2x 4 3 x x 4 0

Đặt

24

Bài 4: Giải phương trình 8x 1 3x 5 7x 4 2x2 (4)

Giải: Điều kiện:

  2

5.2   x 3 4x

134

x x

     x 3  tm Khi 0 x 1 1

Vậy nghiệm của phương trình là x3 , x 1

Bài 7: Giải phương trình 2 x 2 2 x 1 x 1 4 (7)

Giải: Điều kiện: x 1

 7 2 x  1 1 x 1 4 2 x  1 1 x 1 4  x 1 2

3

x

 

Vậy nghiệm của phương trình x3

Bài 8: Giải phương trình x 2 5 2 x  2x 7 3 x (8)

Giải: Điều kiện

1.6.2 Bài tập minh họa

Bài 1: Giải phương trình 4 2 2 2

Nhận xét: đối với bài toán này chúng ta đã sử dụng phương pháp

Do vậy phương trình f x g x  , x D xảy ra khi dấu đẳng thức xảy ra ở

Bài 4: Giải phương trình 6 8 6

nghiệm của phương trình Từ đó chứng minh phương trình không còn nghiệm nào khác nữa

Bài 5: Giải phương trình

CHƯƠNG II: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ 2.1 Phương trình biến đổi thông thường

1 2

1 1 1

1 4

3 1 1

Trường hợp 1: x 1  3  0 x 10 Khi đó phương trình (*) trở thành:

10 6

Kết hợp ba trường hợp ta được x = 1 và x = 26 là nghiệm của phương trình

x  x  x  x  x  xĐiều kiện: x ≥ 2 Khi đó ta có:

1



 x x với x ≥ 2 thì x 2  x 3 < 0

Vậy x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài 5:Giải phương trình :

x  là nghiệm của phương trình

Bài 6: Giải phương trình x2  x 7 7

2.2 Phương trình chứa tham số

Bài 1: Tìm điều kiện của m để phương trình 1 1

x x  x m Có nghiệm thực

m

Bài 2: Tìm điều kiện của m để phương trình 2

x    x x xm có nghiệm thực

Giải:

x    x x xm

Lập bảng biến thiên của hàm số y  t2 2t 6, t0 ta có m6

Bài 4: Tìm điều kiện của m để phương trình sau có nghiệm thực

Vậy với m27 thì phương trình có nghiệm thực

KẾT LUẬN

Trong đề tài này, tôi đã trình bày được những vấn đề cơ bản sau:

- Một số phương pháp giải phương trình qua các kì thi tuyển sinh đại học

- Chọn lọc những bài toán tương ứng

Tuy đã hết sức cố gắng nhưng do thời gian có hạn nên khóa luận vẫn không thể tránh khỏi những sai sót và hạn chế nhất định, rất mong được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Sách giáo khoa - Đại số 10, 11, 12 nâng cao, nhà xuất bản Giáo dục

[2] Hoàng Kỳ (Chủ biên), Hoàng Thanh Hà, đại số sơ cấp và thực hành giải toán; nhà xuất bản đại học Sư phạm

[3] Phan Huy Khải; Giới thiệu các dạng toán luyện thi đại học; nhà xuất bản

Hà Nội, năm 2002

[4] Trung tâm sách khuyến học, đề luyện thi tuyển sinh vào các trường đại học, cao đẳng và trung cấp chuyên nghiệp môn toán, nhà xuất bản giáo dục, năm 2001