Ôn thi đại học cấp tốc Lơng Tuấn Gv THPT Trần Phú - Móng Cái Bài 1: Hệ phơng trình đại số Một số loại hệ ph ơng trình th ờng gặp : I)Hệ đối xứng loại I 1) Dạng: Hệ phơng trình = = 0);( 0);( yxg yxf là hệ đối xứng loại I nếu = = );();( );();( xygyxg xyfyxf 2)Cách giải : - Đặt x y S xy P + = = . ĐK: 2 4S P . - Biểu thị hệ qua S và P . - Tìm S ; P thoả mãn điều kiện PS 4 2 . Khi đó x; y là 2 nghiệm của phơng trình : 0 2 =+ PStt . Từ đó có nghiệm của hệ đã cho. Chú ý 1 : +) Nếu hệ có nghiệm (a;b) thì do tính chất đối xứng của hệ nên hệ cũng có ghiệm (b; a). Vì vậy hệ có nghiệm duy nhất chỉ khi có duy nhất x = y. +) Hệ có nghiệm khi và chỉ khi hệ S, P có nghiệm S, P thỏa mãn PS 4 2 . +) Khi PS 4 2 = thì x = y = -S/2 Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi chỉ khi có duy nhất S, P thỏa mãn PS 4 2 = . Chú ý 2 : Nhiều trờng hợp ta có thể sử dụng ĐK cần để tìm giá trị của tham số sau đó thay vào hệ kiểm tra xem có thoả mãn hay không - (Đ/K đủ). II) Hệ đối xứng loại II 1)Hệ : = = 0);( 0);( yxg yxf là hệ đối xứng loại II nếu : );();( yxgxyf = 2)Cách giải : +)Đối với hầu hết các hệ dạng này khi trừ 2 vế ta đều thu đợc phơng tình : (x-y).h(x;y) = 0 Khi đó hệ đã cho 0 ( ; ) 0 ( ; ) 0 ( ; ) 0 x y h x y f x y f x y = = = = ( Chú ý : Có những hệ đối xứng loại II sau khi trừ 2 vế cha xuất hiện ngay x - y = 0 mà phải suy luận tiếp mới có điều này). +) Phơng pháp điều kiện cần và đủ: Phơng pháp này đ ợc áp dụng tốt cho hệ đối xứng với yêu cầu: Tìm giá trị tham số để hệ có nghiệm duy nhất. Đ/k cần: Nhận xét rằng: do tính đối xứng của hệ nên nếu hệ có nghiệm (x 0 ;y 0 ) thì (y 0 ;x 0 ) cũng là nghiệm của hệ, do đó hệ có nghiệm duy nhất khi x 0 = y 0 (1) Thay (1) vào một phơng trình của hệ, tìm đ/k của tham số để pt` có nghiệm x 0 duy nhất ,ta đợc giá trị của tham số. Đó là đ/k cần. Đ/k đủ: thay giá trị của tham số vào hệ kiểm tra, rồi kết luận. III) Hệ nửa đối xứng của x và y 1)Dạng hệ: = = )2(;0);( )1();;();( yxg xyfyxf (Tức là có 1 ph- ơng trình là đối xứng ) 2)Cách giải: Chuyển vế biến đổi từ (1) ta có dạng phơng trình tích: (x - y).h(x; y) = 0. Từ đó có: hệ đã cho t- ơng đơng với: = = )2(;0);( 0);().( yxg yxhyx = = = = 0);( 0);( 0);( 0 yxg yxh yxg yx Chú ý:Nhiều khi đặt ẩn phụ mới có hệ đối xứng Ví dụ : =+ =+ = = =+ 5 5 5 5 2 2 2 2 ty yt tx xy yx IV) Hệ đẳng cấp đối với x và y 1) Hệ phơng trình = = 0);( 0);( yxg yxf đợc gọi là hệ đẳng cấp bậc 2 của x; y nếu mỗi hạng tử (trừ số hạng tự do) đều có bậc là 2. 2) Cách giải : * Cách 1) Khử số hạng tự do. (Cách này thờng dùng khi hệ không chứa tham số, hoặc tham số ở số hạng tự do cho đơn giản) * Cách 2) Khử x 2 ( với y 0 ) hoặc y 2 (với x 0): (Cách này thờng dùng khi hệ có chứa tham số). VI. Một số hệ ph ơng trình khác. *) Cách giải: Để giải hệ phơng trình không mẫu mực ta thờng áp dụng một số pp : + Phân tích thành tích có vế phải bằng 0. + Đổi biến (đặt ẩn phụ) + Đánh giá : BĐT hoặc dùng hàm số. Một số ví dụ: 1. Hệ đối xứng I: Giaỷi caực heọ pt sau ủaõy : 2 2 11 1) 30 xy x y x y xy + + = + = 1 ¤n thi ®¹i häc cÊp tèc L¬ng Tn Gv THPT TrÇn Phó - Mãng C¸i 11 5; 6 5. 6 . 30 p s hpt s p p s p s + = ⇔ ⇔ = = ∪ = = = ĐS : x = 2; 3; 1; 5 2 - 2 2 3 3 30 35 5; 6 (2;3) ; (3;2) x y xy x y hpt s p + = + = ⇔ = = => 4 4 2 2 1 3) 1 11 1 0; 2 (0;1);(1;0) ( 2 ) 2 1 x y x y p s s hpt p p s p p + = + = + = = ⇔ ⇔ = = => − − = 3 3 30 4) : ; 0; ; . 35 . 30 125, 5 6 3 35 x y y x HD x y s x y p x y x x y y p s hpt s s p s sp + = > = + = + = = ⇔ ⇔ = <=> = => = − = Vậy Hpt có ngh ( 4;9) ; ( 9;4). 5- cho: 5( ) 4 4 1 x y xy x y xy m + − = + − = − a) Tìm m để hpt có nghiệm. HD: Giải hệ S ;P ta được S= 4m ;p = 5m-1 ĐK : S 2 -4p ≥ 0 ⇔ 1 ; 1 4 m m≤ ≥ . b) T×m m ®Ĩ hƯ cã nghiƯm duy nhÊt. §S: m = 1/4, m = 1. 6) a-Cmr: Hpt có ngh với mọi m : 2 2 2 2 1x y xy m x y xy m m + + = + + = + b) Tìm m hpt có nghiện duy nhất . HDĐS : a- 2 1 1 2 2 2 1 . ; 1 1. p s m hpt p s m m s m p m s m p m + = + ⇔ = + ⇔ = = + ∪ = + = ĐS:hệS 1 ,P 1 Vn ; 2 2 2 2 4 ( 1) 0S P m− = − ≥ . Vậy: HPt có nghiệm với mọi m. b-HPT cã ngh duy nhÊt ⇔ 2 2 2 4 0S P− = ⇔ 2 ( 1) 0m − = 1m⇔ = . => x = y = 1 Vậy : (1;1). 2. HƯ ®èi xøng lo¹i II: Giải hệ pt : 3 3 3 8 1 : 3 8 x x y hpt y y x = + − = + 3 4 2 : 3 4 y x y x hpt x y x y − = − − = 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 x x y y y x − = − − − = − HDĐS : 1-Hpt 2 2 3 3 ( )( 5) 0 3 8 3 8 (0;0) ( 11; 11) ( 11; 11) x y x y x y xy x x y x x y = − + + + = ⇔ = + = + − 2- ĐK : x ≠ 0 ; y ≠ 0. Hpt : 2 2 ( )( 4) 0 6 4( ) 0 x y x y x y xy x y − + + = + − − + = (-2; -2) 3- 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 x x y y x x − = − − = − Lấy (1)-(2) : 3(x-y)(x+y-1 ) = 0 y=x hoặc y = 1-x. Kết hợp (1) Khi y = x : (1;1) ; (2;2) Khi y = 1 -x VN . 4- 1 3 2 1 1 2 x y x y x y + = + = Lấy (1) - (2) : (x - y)(2 + 4/xy ) = 0 y = x ; y = -2/x + y = x : (1;1) ; (-1;-1) . + y = -2/x : ( 2; 2);( 2, 2)− − 3) . HƯ nưa ®èi xøng VD. Gi¶i hƯ : += −=− 12 11 3 xy y y x x Gi¶i: += =+− ≠ ⇔ += =−+− ≠ ⇔ += −=− 12 0)1)(( 0. 12 0 0. 12 11 33 22 3 xy xyyx yx xy yxxyyx yx xy y y x x 3 4 . 0 . 0 1 ( ) ( ) 2 1 0 2 0 x y x y x y I y II x x x x x ≠ ≠ − ⇔ = ∨ = − + = + + = + Ta cã I): −− == +− == == ⇔ =+− = ≠ 2 51 2 51 1 )( 012 ( 0. 3 yx yx yx I xx yx yx 2 Ôn thi đại học cấp tốc Lơng Tuấn Gv THPT Trần Phú - Móng Cái + Ta có II) : 2 2 2 . 0 1 ( ) 1 1 3 ( ) ( ) 0;( ) 2 2 2 x y II y x x x VN = + + + = 4. Hệ đẳng cấp : VD. Cho hệ phơng trình : 2 2 2 4 (1) 3 4 (2) x xy y m y xy + = = a) Giải hệ pt` với m = 1 b) Tìm a để hệ có nghiệm Giải: Cách 1: Dễ thấy y = 0 không phải là nghiệm của hpt. Đặt x = ty, ta có : Hệ 2 2 2 2 2 2 4 3 4 t y ty y m y ty + = = 2 2 2 ( 4 1) (1 3 ) 4 y t t m y t + = = 2 2 4 1 1 3 4 (1 3 ) 4 t t m t y t + = = (I) Do y 0 nên từ y 2 (1 - 3t) = 4 1 - 3t > 0 t < 1 3 a) Với m = 1 ta có hệ : 2 2 4 1 1 1 3 4 (1 3 ) 4 t t t y t + = = Giải hệ ta đợc kq : (1 ; 4), (-1 ; -4). b) Ta có : (I) 2 2 4( 4 1) (1 3 ) (1 3 ) 4 t t m t y t + = = 2 2 4 (16 3 ) 4 0 (*) (1 3 ) 4 t m t m y t + = = Đặt f(t) = 4t 2 - (16 - 3m)t + 4 - m = thì Hệ có nghiệm (*) có nghiệm thoả mãn t < 1 3 . Ta lại có 1 8 ( ) 0 3 9 af = < m nên hệ luôn có nghiệm thoả mãn t 1 < 1 3 < t 2 . Vậy hệ luôn có nghiệm với m. Cách 2 : Khử một ẩn. Hệ 2 2 4 3 4 x xy m y xy = = 2 4 2 2 4 2 (8 ) (4 ) 0 (*) x m y x x m x m + = + = (x = 0 thoả mãn hệ khi m = 4). Với m 4 đặt : f(t) = 2t 2 + (8 - m)t - (4 - m) 2 ta có f(0) = -(4 - m) 2 < 0 nên phơng trình f(t) = 0 luôn có nghiệm t > 0 hay phơng trình (*) luôn có nghiệm với m. Các bài tập luyện tập : Bài 1: Một số hệ dạng cơ bản 1) Cho hệ phơng trình =+++ =++ 8 )1)(1( 22 yxyx myxxy a) Giải hệ khi m=12 b) Tìm m để hệ có nghiệm 2) Cho hệ phơng trình 2 2 2 1 1 2 a x y x y a + = + = + Tìm a để hệ phơng trình có đúng 2 nghiệm phân biệt 3) Cho hệ phơng trình 2 2 2 2 1 3 2 x xy y x xy y m + = + = Tìm m để hệ có nghiệm 4) =+ =+ 22 22 xy yx 5) =+++++++ =+++ myxxyyx yx 1111 311 a) Giải hệ khi m=6 b) Tìm m để hệ có nghiệm Bài 2: + = + = 2 2 2 2 2 3 2 3 y x x x y y (KB 2003) HD: Th1 x=y suy ra x=y=1 TH2 chú y: x>0 , y> 0 suy ra vô nghiệm Bài 3: =+ =+ 358 152 33 22 yx xyyx HD: Nhóm nhân tử chung sau đó đặt S=2x+y và P= 2x.y Đs : (1,3) và (3/2 , 2) Bài 4: 3 Ôn thi đại học cấp tốc Lơng Tuấn Gv THPT Trần Phú - Móng Cái =+ = )2(1 )1(33 66 33 yx yyxx HD: từ (2) : -1 x , y 1 hàm số : ( ) tttf 3 3 = trên [-1,1] áp dụng vào phơng trình (1) Bài 5: CMR hệ phơng trình sau có nghiệm duy nhất += += x a xy y a yx 2 2 2 2 2 2 HD: = = 223 2 axx yx xét 23 2)( xxxf = lập BBT suy ra KQ Bài 6: =+ =+ 22 22 xy yx HD Bình phơng 2 vế, đói xứng loại 2 Bài 7: =+ =+ )1( )1( 2 2 xayxy yaxxy xác định a để hệ có nghiệm duy nhất HD sử dụng ĐK cần và đủ a=8 Bài 8: += = )2(5 )1(2010 2 2 yxy xxy HD : Rút ra y yy y x += + = 55 2 Cô si 52 5 += y y x . 20 2 x theo (1) 20 2 x suy ra x,y Bài 9: ++=+ = 2 )1( 3 yxyx yxyx (KB 2002) HD: từ (1) đặt căn nhỏ làm nhân tử chung (1;1) (3/2;1/2) Bài 10: =+ =++ ayx ayx 3 21 Tìm a để hệ có nghiệm HD: từ (1) đặt 2,1 +=+= yvxu đợc hệ dối xứng với u, - v Chỉ ra hệ có nghiệm thì phơng trình bậc hai t- ơng ứng có 2 nghiệm trái dấu. Bài tập áp dụng 1) = = 495 5626 22 22 yxyx yxyx 2) +=+ +=+ )(3 22 22 yxyx yyxx KD 2003 3) =++ =++ 095 18)3)(2( 2 2 yxx yxxx 4) ++=+ = 2 )(7 22 33 yxyx yxyx HD: tách thành nhân tử 4 nghiệm 5) += = mxyx yxy 26 12 2 2 Tìm m để hệ có nghiệm 6) = = 19 2.)( 33 2 yx yyx dặt t=x/y có 2 nghiệm 7) =++ =++ 64 9)2)(2( 2 yxx yxxx đặt X=x(x+2) và Y=2x+y 8) =++ =+ 4 )1(2 2222 yxyx yxyx đổi biến theo v,u từ phơng trình số (1) 9) =+ =+ 22 333 6 191 xxyy xyx Đặt x=1/z thay vào đợc hệ y,z DS (-1/2,3) (1/3,-2) 10) += = 12 11 3 xy y y x x (KA 2003) HD: x=y V xy=-1 CM 02 4 =++ xx vô nghiệm bằng cách tách hoặc hàm số kq: 3 nghiệm 11) +=+ +=+ axy ayx 2 2 )1( )1( xác định a để hệ có nghiệm duy nhất HD sử dụng ĐK cần và đủ 12) =+ =+ 3 3 22 xyyx x y y x HD bình phơng 2 vế . 4 ¤n thi ®¹i häc cÊp tèc L¬ng Tn Gv THPT TrÇn Phó - Mãng C¸i Bµi 2: Ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh §¹i sè Mét sè d¹ng ph ¬ng tr×nh vµ bÊt ph ¬ng tr×nh th - êng gỈp 1) BÊt ph¬ng tr×nh bËc hai ; §Þnh lý vỊ dÊu cđa tam thøc bËc hai; Ph¬ng ph¸p hµm sè. 2) Ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh chøa gi¸ trÞ tut ®èi 2 2 2 2 0B A B A B A B A B A B A B A B A B B A B ≥ = ⇔ = < ⇔ < > > ⇔ < − < ⇔ − < < 3) Ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh chøa c¨n thøc *PT chøa c¨n thøc: 2 0 0( 0) 0 0 2 B A B A B A hayB A B A B A A B C B A B AB C ≥ = <=> = ≥ ≥ = <=> = ≥ + = <=> ≥ + + = * BÊt ph¬ng tr×nh chøa c¨n thøc: 2 2 2 2 0 0 * 0 * 0 0 0 0 0 * * 0 0 A A A B B A B B A B A B A A B B A B A B B B A B A B ≥ ≥ < ⇔ > ≤ ⇔ ≥ < ≤ ≥ ≥ < ≤ > ⇔ ≥ ⇔ ≥ > > ≥ Mét sè vÝ dơ BÀI TẬP : Bài 1: Bình phương hai vế : a) x 2 + 1 1x + = Hd: 4 2 0 1 1 1 2 0 1 5 2 x x x x x x x = − ≤ ≤ ⇔ =− − − = ± = b)pt: 5 1 3 2 1 0x x x− − − − − = §K x ≥ 1. Chuyển vế, bình phương hai vế : x = 2 ; x = 2/11( loại ). Vậy x=2 . c) : 9 5 2 4pt x x+ = − + §K 2x ≥ . Bình phương hai lầ ta có : ĐS x = 0 . d) : 16 9 7pt x x− + + = . §S: x = 0, x = -7. e) 2 2 : (4 1) 9 2 2 1 : 1/ 4 pt x x x x dk x − + = + + ≥ B×nh ph¬ng hai lÇn ta cã :ĐS x = 4/3. Bài 2 : §Ỉt Èn phơ: a) 2 2 3 3 3 6 3x x x x − + + − + = . §S: x = 1, x = 2. b) 2 2 1 1 0 : 0 1 3 x x x x dk x + − = + − = ≤ ≤ - Đặt : 2 2 1 1 ; 0 2 t t x x t x x − = + − ≥ => − = pt ⇔ t 2 -3t +2 =0 t =1 ; t =2 Vn. t =1 x = 0 ; x =1. c) 2 2 3 1 3 2 2 5 3 16x x x x x + + + = + + + − HDĐS: 2 2 : 1 2 3 1 0 3 4 2 2 5 3 5 3. DK x t x x t x x x pt t x ≥ − = + + + ≥ => = + + + + <=> = <=> = 2 2 2 2 ) 7 2 3 3 19 . 2 7 / 4 5 3 13 4 1; 2 d x x x x x x t x x pt t t t t x x + + + + + = + + = + + ≥ <=> + + = + <=> = => = =− Bµi 3: 1) 1 3 ( 1)(3 )x x x x m + + − − + − = a) Giải pt khi m=2 b) Tìm m pt có nghiệm. HDĐS: ĐK: . 1 3 ; 2 2 2 : 2( ) t x x t vi a b a b a b = + + − => ≤ ≤ + ≤ + ≤ + 2 0( ) 1) 2 : 2 0 1, 3 2 t l m t t x x t = = − = <=> => = − = = 2) f(t) = -t 2 /2 + t +2 = m (1) . Lập bảng biến thiên : Tacó : 2 2 2 2.m− ≤ ≤ Bµi 4. T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh sau cã nghiƯm: 2 9 9x x x x m + − = − + + Bình phương : Đặt t= (9 ) 0 9 / 2x x t− => ≤ ≤ KSHS 2 ( ) 2 9 ; 9/ 2 9 / 4 10f t t t o t Ds m = − + + ≤ ≤ − ≤ ≤ d) 5 Ôn thi đại học cấp tốc Lơng Tuấn Gv THPT Trần Phú - Móng Cái Bài 5. Tìm m để phơng trình có nghiệm: 4 44 4 4 6x x m x x m + + + + + = HDẹS: ẹaởt 4 2 4 4 0 : 6 0t x x m pt t t= + + + = 44 4 3 ( ) 2 4 2 4 16 loạit PT t x x m m x x = = => + + = <=> = + Laọp BBT : m>19VN; m=19: 1 ngh ;m<19pt2ngh. Baứi 6. Giải các phơng trình sau: 1) 2 2 3 3 3 (2 ) (7 ) (7 )(2 ) 3x x x x + + = -ẹaởt : 2 2 3 3 3 3 2 3 . 9 7 u x u v uv pt u v v x = + = <=> + = = + 3 1; 2 1; 6 2 u v u v x uv + = <=> <=> = = => = = 2) 3 2 1 1x x = .ẹK : x 1 3 3 2 2 1; 0 1 0;1; 2; 1;0;3 1 1;2;10 u x v x v u v u v u v x = = = => <=> = = + = = Một số bài tập luyện tập: Bài 1 : Tìm m để mxxxx ++++ )64)(3)(1( 2 Tìm m để bất phơng trình trên nghiệm đúng với mọi x. HD: sử dụng hàm số hoặc tam thức : m-2 Bài 2: Giải các phơng trình, bất phơng trình sau: 1) 014168 2 ++ xxx 2) xxx 2114 =+ : x = 0 3) 2 2 2( 2 ) 2 3 9 0. : 1 5x x x x DS x + = = 4) 211 22 =++ xxxx . Tích 2 nhân tử bằng 1 suy ra cách giải. 5) 023)3( 22 xxxx (KD 2002) Bài 3: Tìm m để hệ sau có nghiệm + ++ 012 0910 2 2 mxx xx ĐS m 4. Bài 4: Giải bất phơng trình: 2212 >+ xxx HD : nhân 2 vế với biểu thức liên hợp của VT Biến đổi về BPT tích chú y ĐK Bài 5: Giải bất phơng trình: 7 2 1 2 2 3 3 +<+ x x x x HD Đặt 2, 2 1 += t x xt AD BĐT cô si suy ra ĐK. Bài 6: Giải bất phơng trình 4 )11( 2 2 > ++ x x x HD Xét 2 trờng hợp chú ý DK x -1. Trong trờng hợp x 4 tiến hành nhân và chia cho biểu thức liên hợp ở mẫu ở VT. Bài 7: Cho phơng trình: mxxxx ++=+ 99 2 Tìm m để phơng trình có nghiệm. HD Bình phơng 2 vế chú y ĐK Đặt t= tích 2 căn thớc Tìm ĐK t Sử dụng BBT suy ra KQ Bài 9: Giải bất phơng trình (KA 2004) 3 7 3 3 )16(2 2 >+ x x x x x Bài tập áp dụng 1) Tìm m để bất phơng trình sau có nghiệm mxx + 41624 2) 16212244 2 +=++ xxxx 3) 12312 +++ xxx 4) 1212)1(2 22 =+ xxxxx HD: đặt 12 2 += xxt coi là phơng trình bậc hai ẩn t. 5) 2 2)2()1( xxxxx =++ 6) 2 3 1)2(12 + =++ x xxxx 7) 1 1 251 2 < x xx 8) 023243 2 =+++ xxx . 9) 2 2 4 3 18 29x x x x + = + 6 Ôn thi đại học cấp tốc Lơng Tuấn Gv THPT Trần Phú - Móng Cái B i 3: Phơng trình và hệ phơng trình lợng giác Một số kiến thức cần nhớ 1. Các công thức biến đổi lợng giác a) Công thức cộng: cos(a - b) = cosacosb + sinasinb cos(a + b) = cosacosb - sinasinb sin(a + b) = sinaccosb + cosasinb sin(a - b) = sinacosb - cosasinb ( ) 1 tga tgb tg a b tgatgb = m b) Công thức nhân đôi, nhân ba cos2a = cos 2 a - sin 2 a = 2cos 2 a - 1 = 1- 2sin 2 a; sin2a = 2sinacosa; 2 2 2 , 2 4 2 1 tga tg a a k a k tg a = + + ữ 3 3 sin 3 3sin 4sin ; cos3 4cos 3cos ;a a a a a a= = c) Công thức hạ bậc 2 2 1 cos 2 1 cos2 cos ; sin ; 2 2 a a a a + = = d) Công thức chia đôi Đặt ( ) 2 2 x t tg x k = + . Ta có: 2 2 2 2 2 2 1 2 sin ; cos ; 1 1 1 t t t x x tgx t t t = = = + + ; e) Công thức biến đổi * Đổi tích thành tổng: [ ] [ ] [ ] 1 cos cos cos( ) cos( ) 2 1 sin sin cos( ) cos( ) 2 1 sin cos sin( ) sin( ) 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b = + + = + = + + * Đổi tổng thành tích: cos cos 2cos cos ; 2 2 cos cos 2sin sin ; 2 2 sin sin 2sin cos ; 2 2 sin sin 2cos sin ; 2 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b + + = + = + + = + = f) Một số công thức hay dùng: sin cos 2 sin 2 cos 4 4 sin cos 2 sin 2 cos 4 4 x x x x x x x x + = + = ữ ữ = = + ữ ữ 1 1 ; ; 4 1 4 1 tgx tgx tg x tg x tgx tgx + + = = ữ ữ + 2. Một số phơng trình lợng giác thờng gặp a) phơng trình lợng giác cơ bản: + sinx = a 1 2 1 (sin ) 2 PTVN PT có ngh a x k a a x k > = + = = + + cosx = a 1 1 2 (cos ) PTVN PT có ngh a a x k a > = + = + tgx = a ĐK: 2 x k + , x = k + (tg = a). + cotgx = a, ĐK: x k , x = k + (cotg = a). b) Phơng trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lợng giác. * Phơng trình bậc nhất: [ ] ( ) ( ) 2 sin ( ) sin ( ) ; ( ) ( ) 2 cos ( ) cos ( ) ( ) ( ) 2 ; ( ) ( ) ( ) ( ) ; ( ) ( ) ( ) ( ) ; sin ( ) sin ( ) sin ( ) sin ( ) ; cos ( ) cos ( ) cos ( tg tg cotg cotg f x g x k f x g x f x g x k f x g x f x g x k f x g x f x g x k f x g x f x g x k f x g x f x g x f x g x f x = + + = = + + = = + + = = + + = = + + = = + = [ ] ) cos ( ) ; sin ( ) cos ( ) sin ( ) ; 2 g x f x g x g x = + = * Phơng trình bậc 2: 2 sin sin 0a x b x c+ + = đặt t = sinx ( 1t ). 2 cos cos 0a x b x c+ + = đặt t = cosx ( 1t ). 2 2 0; 0; atg x btgx c acotg x bcotgx c + + = + + = c) Phơng bậc nhất đối với sinx và cosx. asinx + bcosx = c. Cách giải: + Cách 1: chia cả hai vế cho 2 2 a b+ ; đặt: 2 2 2 2 cos , sin a b a b a b = = + + ta đợc PT: 2 2 sin( ) c x a b + = + ; *) Chú ý: Phơng trình có nghiệm 2 2 2 c a b + . + Cách 2: Đặt b tg a = ta đợc phơng trình: sin( ) cos c x a + = . 7 Ôn thi đại học cấp tốc Lơng Tuấn Gv THPT Trần Phú - Móng Cái d) Phơng trình đẳng cấp đối với sinx và cosx 2 2 sin sin cos cosa x b x x c x d+ + = Cách giải: * Cách 1: Thử với cos 2 x = 0 sinx = 1 nếu nghiệm đúng phơng trình thì đặt cosx làm thừa số chung. Với cos 2 x 0 chia cả hai vế cho cos 2 x ta đợc: atg 2 x + btgx + c = d(1 + tg 2 x). * Cách 2: Hạ bậc đa về phơng trình bậc nhất đối với sin2x và cos2x. e) Phơng trình đối xứng đối với sinx và cosx *) Đối xứng: a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c Đặt sinx + cosx = t, điều kiện 2t 2 2 1 2 2 0 2 t at b c bt at b c + = + = ữ * Giả đối xứng: a(sinx - cosx) + bsinxcosx = c Đặt sinx - cosx = t, điều kiện 2t 2 2 1 2 2 0 2 t at b c bt at b c + = + = ữ . 3. Một số phơng pháp thờng dùng khi giải các phơng trình lợng giác: + áp dụng các hằng đẳng thức; + áp dụng các công thức biến đổi; + Đổi biến số, đặt ẩn phụ; + Biến đổi về tích bằng 0; + Đánh giá: dùng BĐT, tập giá trị của hàm số y = sinx; y = cosx, dùng đạo hàm; + Biến đổi về tổng bình phơng bằng 0. 4. Các ví dụ: Giải các phơng trình sau: Bài 1: x x tgxgx 2sin 4cos.2 cot += . ĐS: 3 x k = + . Bài 2: )1(sin 2 1 3 2 cos 3 cos 22 += ++ + xxx ĐS: 5 ; 2 ; 2 6 6 x k x k x x k = = + = = + . Bài 3: 2 sin 2sin 2sin sin 2 2 2 2 =+ x x x x . ĐS: 2 2 ; 2 3 3 x k x x k = + = = + . Bài 4: 8 1 3 . 6 3cos.cos3sin.sin 33 = + + xtgxtg xxxx HD:- Đặt ĐK rút gọn MS=1 AD công thức nhân 3 ĐS: 6 x k = + . Bài 5: 0cos.6)sin.2(3 =++ xxtgxtgx HD: Biến đổi theo sin và cos. ĐS: 3 x k = + . Bài 6: 3. 6sin 2sin( ) (1) 2 2sin 6sin( ) (2) 2 y tg x y x y tg x y x + = = + HD: nhân (1) với (2) rút gọn y y tg 22 sin4 2 = . đặt 2 y t tg = ữ t = 0, t = 3 . Bài 7: xxxxxx cos13sin. 2 1 sin.4cos2sin.3cos ++= HD : BĐ tích thành tổng rút gọn. Bài 8: 2 1 5cos4cos3cos2coscos =++++ xxxxx HD: nhân 2 vế với 2.sin(x/2) chú ý xét trờng hợp bằng 0. Nhận xét: Trong bài toán chứa tổng nxxxT nxxxT sin 2sinsin cos 2coscos +++= +++= thực hiện rút gọn bằng cách trên. Bài 9: )cos.sin2(cos3sin.2sin. 22 xxxxxtgx += HD: BĐ về dạng: 2 2 (sin cos )(sin 3cos ) 0x x x x+ = Bài 10 2 9 sin cos 2 log 4.log 2 4 x x ữ = HD: ( ) sin sin 2 sin 1 2. log 2.log 2 4 2 log 2 4 x x x = = 5. Một số phơng trình có tham số: Bài 1. Tìm m để phơng trình: sin2x + m = sinx + 2mcosx có đúng 1 nghiệm 3 [0; ] 4 x . HD: PT (sinx - m)(2cosx - 1) = 0. Bài 2. Tìm m để phơng trình: (2sinx - 1)(2cos2x + 2sinx + m) = 3- 4cos 2 x 8 Ôn thi đại học cấp tốc Lơng Tuấn Gv THPT Trần Phú - Móng Cái có đúng 2 nghiệm x [0; ]. HD: PT (2sinx - 1)(2cos2x + m - 1) = 0. Bài 3. Tìm m để phơng trình: mcos 2 2x - 4sinxcosx + m - 2 = 0 có nghiệm x [0 ; /3]. HD: Đặt t = sin2x. Bài 4: Cho phơng trình 02sin24cos)cos.(sin2 44 =++++ mxxxx Tìm m để phơng trình có ít nhất một nghiện thuộc đoạn 0; 2 . HD: [-10/3;-2] Bài 5: Cho phơng trình 3cos2sin 1cossin2 + ++ = xx xx a 1) Giải phơng trình khi a=1/3. 2) Tìm a để phơng trình có nghiệm. HD: Đa về dạng (2-a)sinx+(2a+1)cosx=3a+1 ĐS [-1/2,2] Bài 6: Tìm nghiệm trong khoảng (0, ) += 4 3 cos212cos.3 2 sin4 22 xx x 6. Các bài tập luyện tập: 1) 2 1 3sin.2sin.sin3cos.2cos.cos = xxxxxx . 2) 2cos.3sincos.3sin =+++ xxxx . 3) x x x x cos 1 3cos.2 sin 1 3sin.2 += . 4) x x xg 2sin 2cos1 2cot1 2 =+ . 5) 2)1.2(cos2cos 2 =+ xtgxx . 6) 03cos2cos84cos3 26 =++ xx . 7) 1 1cos2 3sin 42 sin2cos)32( 2 = + x x x x . 8) 02cos2sincossin1 =++++ xxxx . Một số đề thi từ năm 2002 1) Tìm nghiệm thuộc khoảng ( ) 0;2 của phơng trình 32cos 2sin21 3sin3cos sin5 += + + + x x xx x . KA 2002 2) Giải phơng trình x xx xtg 4 2 4 cos 3sin)2sin2( 1 =+ (DB 2002) 3) Tìm nghiệm thuộc khoảng ( ) 0;2 của phơng trình x xtgxxg 2sin 2 2sin42cot =+ KB 2003 4) Tìm x nghiệm đúng thuộc khoảng [ ] 0;14 của phơng trình cos3 4cos 2 3cos 4 0x x x + = KB 2003 5) Giải phơng trình 4 4 sin cos 1 1 cot 2 5sin 2 2 8sin 2 x x g x x x + = DB 2002 6) Giải phơng trình 2 cos cos sin 1 . 2 x tgx x x x tgx tg + = + ữ (DB 2002) 7) Cho phơng trình 2sin cos 1 (1) sin 2cos 3 x x a x x + + = + a) Giải phơng trình (2) khi 1 3 a = b) Tìm a để phơng trình có nghiệm 8) Giải phơng trình 2 1 sin 8cos x x = (DB 2002) 9) Giải phơng trình 2 cos 2 1 cot 1 sin sin 2 1 2 x gx x x tgx = + + (KA 2003) 10) Giải phơng trình ( ) 3 2sin 6cos 0tgx tgx x x + + = (DBKA 2003) 11) Giải phơng trình ( ) 2 cos 2 cos 2 1 2x x tg x= = (DBKA 2003) 12) Giải phơng trình 6 2 3cos 4 8cos 2cos 3 0x x x + + = (DBKB 2003) 13) Giải phơng trình ( ) 2 2 3 cos 2sin 2 4 1 2cos 1 x x x ữ = (DBKB 2003) 14) Giải phơng trình 2 2 2 sin . cos 0 2 4 2 x x tg x = ữ ữ (KD 2003) 15) Giải phơng trình ( ) ( ) 2 cos cos 1 2 1 sin cos sin x x x x x = + + (DBKD 2003) 16) Giải phơng trình 2sin 4 cot sin 2 x gx tgx x = + (DBKD 2003) 17) Giải phơng trình ( ) 2 5sin 2 3 1 sin tx x g x = (KB 2004) 18) Giải phơng trình : ( ) ( ) 2cos 1 2sin cos sin 2 sinx x x x x + = KB 2004. 9 Ôn thi đại học cấp tốc Lơng Tuấn Gv THPT Trần Phú - Móng Cái Bài 4: Hệ thức lợng trong tam giác Một số kiến thức cần nhớ *Một số phép biến đổi thờng dùng + Cung liên kết + Các công thức biến đổi. *Một số hệ thức trong tam giác cần nhớ: + . 4 . 2 2 2 A B C SinA SinB SinC Cos Cos Cos+ + = + . 1 4sin sin sin 2 2 2 A B C CosA CosB CosC+ + = + + tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC + 2 cot. 2 cot. 2 cot 2 cot 2 cot 2 cot C g B g A g C g B g A g =++ + 1 222 . 22 . 2 =++ A tg C tg C tg B tg B tg A tg + cotgA.cotgB + cotgB.cotgC + cotgC.cotgA = 1 + sCCosACosBCoCSinBSinASin 22. 222 +=++ + CBACCosBCosACos sinsinsin21. 222 =++ + Sin2A + Sin2B + Sin2C = 4SinA.SinB.SinC + Cos2A + Cos2B + Cos2C = -1 - 4CosACosBCosC Các ví dụ Bài 1: Cho tam giác ABC, CMR . . 1 2 2 2 2 2 2 A B B C C A tg tg tg tg tg tg+ + = Bài 2:Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn CMR: a) tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC b) 33++ tgCtgBtgA dấu = xảy ra khi nào? HD: áp dụng BĐT côsi 3 3 tgCtgBtgAtgCtgBtgA ++ lập phơng hai vế thay trở lại phơng trình đầu ta đ- ợc đpcm. Bài 3: CMR: trong mọi tam giác ABC, ta luôn có : HD: Biến đổi liên tiếp tích thành tổng ở VP. VP= [cos(B-C) cos(B+C)].cosA + [cos(C-A) cos(A+C)].cosB + [cos(A-B) cos(A+B)].cosC =Cos(B-C).cosA + Cos 2 A + Cos(C-A).cosB +Cos 2 B + Cos(A-B).cosC + cos 2 C. thực hiện nhân phá ngoặc xuất hiện cos2A, cos2B, cos2C sử dụng công thức nhân đôi thay bởi cos 2 A, cos 2 B, cos 2 C suy ra đpcm. Bài 4: CMR với mọi tam giác ABC ta có ( ) 2 2 2 1 . 2. 1Cos A Cos B Cos C CosACosBCosC = Từ đó suy ra tam giác ABC có một góc tù khi và chỉ khi 2. 222 <++ CSinBSinASin Bài 5: Cho tam giác ABC thoả mãn đk: 2tgA = tgB + tgC CMR : tgB.tgC = 3 Và Cos(B - C) = 2CosA HD: xuất phát: + =+ tgCtgB tgCtgB CBtg .1 )( đpcm Từ tgB.tgC = 3 khi và chỉ khi sinA.sinB=3cosB.cosC (*) Mà cos(B - C) =2.cos[ )( CB ] khai triển suy ra đẳng thức (*). Bài 6: CMR với mọi tam giác ABC ta có: +++ =++ 2 cot 2 cot 2 cot 2222 1 sin 1 sin 1 sin 1 A g A g A g C tg B tg A tg CBA HD: thay 2 cot 2 cot 2 cot 2 cot. 2 cot. 2 cot C g B g A g C g B g A g ++= áp dụng công thức nhân đôi. Bài 7: CMR trong mọi tam giác ABC ta có CBABACCCosAB CSinBSinASin cossinsin2cossinsinsinsin2 . 222 ++ =++ Bài 8: Cho tam giác ABC có ba góc A, B, C thoả mãn đk 4A = 2B = C. CMR: cba 111 += và 4 5 . 222 =++ CCosBCosACos Bài 9: CMR trong mọi tam giác ABC ta đều có: CBA R r coscoscos1 ++=+ Bài 10: Cho tam giác ABC thoả mãn đk: bc aA Sin 2 2 = , CMR tam giác ABC cân 10 [...]... y + log 2 y 3 3 3 3 log 2 ( x + y ) + log 3 ( x − y ) = 1 c) 2 ; 2 x − y = 3 12 L¬ng Tn Gv THPT TrÇn Phó - Mãng C¸i ¤n thi ®¹i häc cÊp tèc log y xy = log x y Bµi 10 x 2 + 2 y = 3 HD §K x,y>= vµ kh¸c 1 B§ (1) ®ỵc TH1: y=x thay vµo (2) cã nghiƯm 1 TH2: x = 2 thay vµo (2) CM v« nghiƯm y chia thµnh 2 miỊn y >1 vµ 0 0, ∀x ∈(a; b) * Chó ý: §«i khi ta ph¶i chän hµm sè ϕ(x) ®Ĩ cã ®iỊu cÇn chøng minh VÝ dơ Chøng minh r»ng: x2 a) ln(1 + x) > x , x > 0 2 2x π , x ∈ (0;... Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai Elíp: x2 y2 x2 y2 + = 1, + = 1 3 2 2 3 c) Chứng minh rằng trong các tiếp tuyến với parabol y2 = 4x kẻ từ M1(0 ; 1), M2(2 ; - 3) có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau HD: ¤n thi ®¹i häc cÊp tèc HD: Bài 20: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường x2 y2 − = 1 hypebol (H) có phương trình: 25 24 a) Tìm tọa độ các đỉnh, các tiêu điểm, tính tâm sai, viết phương trình các... tại M(3 ; -6) d) Viết phương trình tiếp tuyến với (P) qua M(1; 4) e) Qua I(2 ; 0) vẽ một đường thẳng thay đổi cắt parabol tại hai điểm A; B Chứng minh rằng tích số các khoảng cách từ A và B tới trục Ox là một hằng số HD: Bài 24: a) Tìm quỹ tích các điểm M từ đó kẻ được hai tiếp x2 y2 + = 1 tuyến vuông góc với nhau tới (E): 6 3 30 L¬ng Tn Gv THPT TrÇn Phó - Mãng C¸i Mét sè bµi tËp lun tËp: Bµi 1: Trong... gi¶i ph¬ng tr×nh mò; + §a vỊ d¹ng tÝch b»ng 0; + §¸ng gi¸: Dïng B§T, Hµm sè, ®o¸n nghiƯm vµ chøng minh nghiƯm duy nhÊt, Mét sè vÝ dơ: Bµi 1 Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a) 2 x +3.3x − 2.5x +1 = 4000; ¤n thi ®¹i häc cÊp tèc Bµi 5 Ph¬ng tr×nh vµ hƯ ph¬ng tr×nh mò - L«garit 1 Mét sè kiÕn thøc cÇn nhí: * Mét sè phÐp to¸n vỊ l thõa: α aα a (ab)α = aα bα ; ÷ = α ; aα a β = aα + β ; b b β aα = aα − β ;... - Mãng C¸i Bµi 3: T×m GTLN, GTNN cđa hµm sè y = x 6 + 4(1 − x 2 ) 3 trªn ®o¹n [-1;1] Bµi 4: T×m m ®Ĩ bÊt ph¬ng tr×nh sau cã nghiƯm víi mäi x thc [-1/2;3] (1 + 2 x).(3 − x ) > m + (2 x 2 − 5 x + 3) ¤n thi ®¹i häc cÊp tèc x +1 − 1− x = f '(0) x→0 x 1 1 1 1 5 + Cã f '( x) = 3 ; f’(0) = + = 2 2 1− x 3 ( x + 1) 3 2 6 3 lim x +1 − 1− x 5 = x 6 3 4 5 x + 9 − x +1 b) lim ; §S: − x →7 96 x−7 4 (2 x − 1) x... = 0 cã hai nghiƯm ph©n biƯt yn = 0 * §å thÞ hµm sè y = ax4 + bx2 + c c¾t trơc hoµnh t¹i 4 ®iĨm lËp thµnh cÊp sè céng ⇔ ph¬ng tr×nh: at2 + bt + c = 0 cã 2 nghiƯm d¬ng t1 < t2 tho¶ m·n t2 = 9t1 ¤n thi ®¹i häc cÊp tèc Bµi 8: TiÕp tun, tiÕp xóc vµ t¬ng giao 1 Ph¬ng tr×nh tiÕp tun cđa hµm sè Cho hµm sè y = f(x) cã ®å thÞ lµ (C) * TiÕp tun t¹i ®iĨm M(x0; y0) ∈ (C): y - y0 = f’(x0)(x - x0) * TiÕp tun... − 2;1) u ( x) Bµi 5 Cho hµm sè y = f(x) = v( x) A = 0 * Am + B = 0 ∀m ⇔ B = 0 + Gi¶i hƯ ®iỊu kiƯn trªn ta t×m ®ỵc ®iĨm cè ®Þnh 4 TiÕp tun cè ®Þnh * PP: 17 L¬ng Tn Gv THPT TrÇn Phó - Mãng C¸i ¤n thi ®¹i häc cÊp tèc 1) CMR hƯ sè gãc cđa tiÕp tun t¹i giao ®iĨm x = u '( x0 ) x0 cđa ®å thÞ víi trơc hoµnh lµ k = v ( x0 ) x 2 + (m + 2) x − m Bµi 14: Cho hµm sè y = (1) x +1 T×m m ®Ĩ ®êng th¼ng y=-x-4... T×m m ®Ĩ ®å thÞ hµm sè y = x 3 + mx2 - m c¾t trơc hoµnh t¹i 3 ®iĨm lËp thµnh cÊp sè céng Bµi 20 T×m m ®Ị ®å thÞ hµm sè y = x4 1 c¾t trơc hoµnh t¹i 4 ®iĨm lËp + mx 2 − m − 2 2 thµnh mét cÊp sè céng ¤n thi ®¹i häc cÊp tèc C¸c bµi tËp tù lun: Bµi 1 (39.I): Cho y = x3 + 3x2 + 3x + 5 1 CMR: Trªn ®å thÞ kh«ng tån t¹i hai ®iĨm mµ hai tiÕp tun t¹i ®ã vu«ng gãc víi nhau 2 T×m k ®Ĩ trªn ®å thÞ cã Ýt nhÊt mét . = + 6 Ôn thi đại học cấp tốc Lơng Tuấn Gv THPT Trần Phú - Móng Cái B i 3: Phơng trình và hệ phơng trình lợng giác Một số kiến thức cần nhớ 1. Các công thức biến đổi lợng giác a) Công thức. không phụ thuộc vào vị trí của M. 18 Ôn thi đại học cấp tốc Lơng Tuấn Gv THPT Trần Phú - Móng Cái Các bài tập tự luyện: Bài 1 (39.I): Cho y = x 3 + 3x 2 + 3x + 5. 1. CMR: Trên đồ thị không. 2004. 9 Ôn thi đại học cấp tốc Lơng Tuấn Gv THPT Trần Phú - Móng Cái Bài 4: Hệ thức lợng trong tam giác Một số kiến thức cần nhớ *Một số phép biến đổi thờng dùng + Cung liên kết + Các công thức