Phương trình parabolic trong miền không trơn (LV01218)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 HÀ THIÊN ĐỒNG PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TRONG MIỀN KHÔNG TRƠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số : 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học TS. Phạm Triều Dương HÀ NỘI, 2014 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Phạm Triều Dương, thầy đã tận tình chỉ bảo, định hướng, chọn đề tài và truyền đạt kiến thức để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là các thầy cô trong khoa Toán, phòng Sau đại học đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và học tập. Qua đây tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các anh chị, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, giúp đỡ cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả Hà Thiên Đồng Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Phương trình parabolic trong miền không trơn” được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Phạm Triều Dương và bản thân tác giả. Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả Hà Thiên Đồng Mục lục Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Kiến thức bổ trợ . . . . . . . . . . 7 1.1. Công thức Green trên đa tạp Riemann . . . . . . 7 1.2. Hàm điều hòa và hàm Green. . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3. Toán tử Laplace trên đa tạp mẫu M σ . . . . . . . . 12 Chương 2. Phân loại các miền theo ý nghĩa xác suất . 13 2.1. Nửa nhóm nhiệt trên đa tạp Riemann . . . . . . . . . . 13 2.1.1. Toán tử Laplace trong metric Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.2. Nhân nhiệt và chuyển động Brown trên đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2. Dung lượng, tập dày, xác suất va chạm và miền ngoài của một tập compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.1. Dung lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.2. Dung lượng trong miền không trơn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.3. Dung lượng của hình cầu trên mô hình đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.4. Tập dày . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.5. Xác suất va chạm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.6. Miền ngoài của một tập compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Danh sách các kí hiệu M đa tạp Riemann liên thông trơn; dist(x, y) khoảng cách trác địa trên M giữa điểm x, y ∈ M; µ thể tích Riemann trên M; µ  độ đo Riemann có số đối chiều bằng 1 trên siêu diện trong M; V (x, r) hàm tăng thể tích; ∆ toán tử Laplace trên M; p(x, y, t) nhân nhiệt tương ứng với toán tử 1 2 ∆; p Ω (x, y, t) nhân nhiệt trong miền Ω với điều kiện biên Dirichlet trên ∂Ω; G(x, y) nhân Green của ∆ trên M; G Ω (x, y) nhân Green của ∆ trong miền Ω; X t chuyển động Brown trên M; P x , E x độ đo và kì vọng tương ứng trên không gian quỹ đạo của chuyển động Brown bắt đầu từ điểm x ∈ M; b Ω , s Ω thế vị điều hòa dưới và trên của tập mở Ω; e F , h F là các xác suất va chạm; C ∞ 0 tập các hàm giá trị thực trơn trên Ω với giá compact trong Ω; {// k } dãy vét cạn trên M; flux Γ f thông lượng của hàm f xuyên qua siêu mặt trơn định hướng Γ; ω d diện tích của mặt cầu đơn vị trong R d . Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace      ∆u(x) = 0, x ∈ Ω u(x) = ϕ(x) x ∈ ∂Ω (0.0.1) được nghiên cứu từ khá lâu trong các miền tùy ý. Như ta đã biết, trong trường hợp Ω là miền có biên trơn, bài toán có nghiệm với mọi dữ kiện liên tục trên biên theo phương pháp biến phân qua khái niệm nghiệm yếu. Tuy nhiên, phương pháp Perron khẳng định sự tồn tại nghiệm (hàm điều hòa) của bài toán này đối với một lớp các miền rộng hơn rất nhiều. Với việc khảo sát sự tồn tại các hàm điều hòa trên và điều hòa dưới trong miền Ω, điều kiện đủ đối với tính giải được là "Mọi điểm trên biên là điểm đều". Điều kiện này có thể được thay bởi "điều kiện mặt cầu ngoài" - hay là tại mọi điểm x 0 trên biên ∂Ω tồn tại hình cầu đóng B r sao cho B r ∩ ∂Ω = {x 0 }. Việc thay cách tiếp cận qua biến phân bởi phương pháp hàm chắn tại biên đã cho ta tính giải được với các miền tổng quát dạng H¨older hay biên Lyapunov. Các miền này không có biên khả vi (trơn) thông thường. Đồng thời ta cũng thấy các miền nón lồi cũng thỏa mãn điều kiện về mặt cầu ngoài. Khó khăn duy nhất gặp phải là các miền gấp khúc, hoặc chứa các điểm xoay lùi vào bên trong, vì tại các điểm đó, ta không kiểm 1 2 tra được sự tồn tại của hàm chắn. Câu hỏi đặt ra là, ta có thể nêu một đặc trưng khá tổng quát về miền Ω tùy ý sao cho trên đó các bài toán biên Dirichlet đều giải được duy nhất? Hay nói cách khác, theo phương pháp Perron, những miền nào trong R n cho phép ta tìm được các hàm điều hòa trên chấp nhận được? Các nghiên cứu gần đây cho ta thấy tính giải được của bài toán Dirichlet trong một miền chỉ phụ thuộc hoàn toàn vào Đánh giá đẳng chu (cùng chu vi) của các miền con G ⊂⊂ Ω. Ta đều biết, bất đẳng thức Poincare là một công cụ quan trọng để chứng minh bất đẳng thức liên hệ về thể tích của các miền con G trong Ω qua chu vi cho trước của G. Do đó, đây cũng là một hướng nghiên cứu không cần các điều kiện về biên trơn đối với ∂Ω cho sự tồn tại nghiệm đối với (0.0.1). Bản luận văn này sẽ cố gắng trả lời câu hỏi thú vị này thông qua mối liên hệ chặt chẽ về giải tích của khái niệm hàm điều hòa trên và dưới trong một miền và khái niệm tồn tại một quá trình ngẫu nhiên đủ tốt trên miền đó. Trong chương chính của luận văn, chúng tôi sẽ trình bày một trường hợp tổng quát khi Ω là một miền con của một đa tạp Riemann M tùy ý (ví dụ R n ). Chúng tôi sẽ trình bày các khái niệm cơ sở về nhân nhiệt, hàm Green, dung lượng và một số tính toán cho các ví dụ. Kết quả chính trong chương này là trình bày lại điều kiện về tính luân chuyển của các chuyển động ngẫu nhiên Brown thông qua tính khác 0 của các dung lượng trong mọi miền con compact của M. Chúng ta sẽ thấy rõ hàm điều hòa trên tốt nhất theo nghĩa nghiệm Perron đối với (0.0.1) chính là xác xuất va chạm của chuyển động Brown xuất phát từ 3 điểm đang xét đạt tới biên của miền Ω. Chúng tôi cũng chỉ ra đánh giá Đẳng chu liên hệ chặt chẽ với tính đầy đủ ngẫu nhiên của đa tạp M. Trong các kết quả trình bày ở chương này, công cụ của Nguyên lí cực trị đối với các hàm điều hòa trên (hoặc dưới) cho phép ta sử dụng được phương pháp xấp xỉ miền bằng một dãy vét cạn các miền có biên trơn, thông qua việc chuyển qua giới hạn trong các tích phân. Đồng thời cách tiếp cận của giải tích ngẫu nhiên cũng cho thấy sự quan trọng của các tập mức của hàm điều hòa. Chúng tôi cũng chỉ ra công thức tính các hàm Green trong các trường hợp này và nêu lên được bản chất về lan truyền trong công thức tìm ra. Qua các liên hệ trực tiếp này, chúng ta sẽ thấy về mặt giải tích ngẫu nhiên, các mặt cong hay các đa tạp nói chung được chia thành 2 loại chính: loại mặt parabolic (đa tạp parabolic) không cho phép các chuyển động Brown di chuyển tự do linh động trong toàn miền (độ cong của đa tạp đủ lớn), và loại thứ hai là không parabolic - về mặt luân chuyển là tốt hơn (độ cong nhỏ) và cho phép tồn tại các hàm điều hòa trên chấp nhận được khác hằng số. Cần ghi nhớ là các kết quả trong chương này mới chỉ phát biểu cho đa tạp (hay mặt) có tính khả vi. Tuy nhiên để ý thấy các đánh giá về dung lượng trong các miền có điểm cực (một điểm kì dị tách biệt) chỉ phụ thuộc vào các tích phân của các hàm xác định biên và độ đo về thể tích và chu vi của các miền con, trong những năm gần đây Maz’ya đã phát triển phương pháp trên đây với trường hợp biên chứa các điểm dạng cusps (đỉnh nhọn) hoặc những miền chứa gấp vô hạn (miền Nikodym). Khi 4 nghiên cứu bài toán biên, phương trình được nghiên cứu có thể chứa các hệ số không hằng (hệ số biến thiên). Bằng phương pháp symmetrization (thay các miền bởi miền đối xứng xuyên tâm) và các Sắp xếp lại (re- arrangement), Maz’ya đã chứng minh được các kết quả tương tự về tính giải được của bài toán phi tuyến elliptic điều kiện biên Dirichlet dạng      −div(a(x, ∇u)) = f(x), x ∈ Ω u(x) = ϕ(x) x ∈ ∂Ω (0.0.2) Kết quả nhận được cho một số lớp hệ số a(x) chỉ ra biên của Ω không có vai trò thực sự trong tính giải được của (0.0.2). Trong một số ví dụ, chúng tôi sẽ chỉ ra một số miền cho phép giải được bài toán biên Neumann.      −div(a(x, ∇u)) = f(x), x ∈ Ω a(x, ∇u).n = 0 x ∈ ∂Ω (0.0.3) Qua đó, chúng ta thấy phương pháp nghiên cứu dung lượng và hằng số đẳng dung đưa ra các kết quả về giải được với phần lớn các miền khối dạng tròn xoay mà không cần bất kì tính chất khác của đạo hàm đối với hàm số xác định biên. Với mong muốn có thể nghiên cứu được toán tử elliptic bất kỳ với phương pháp đã đặt ra của các tác giả trên. Chúng tôi chọn đề tài “Phương trình parabolic trong miền không trơn” để thực hiện luận văn tốt nghiệp chương trình đào tạo thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích. 5 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng trong miền không trơn trên góc độ của lý thuyết xác suất. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Vai trò của một phương trình parabolic quyết định đến sự tồn tại của hàm Green trong miền không trơn. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Phương trình đạo hàm riêng liên hệ với giải tích ngẫu nhiên. Bài toán được áp dụng với một lớp rộng các miền chứa điểm kì dị. 5. Phương pháp nghiên cứu Chúng tôi muốn áp dụng phương pháp Hàm điều hòa trên (còn được gọi là phương pháp Perron) trong trường hợp miền không Euclide: tìm ra các đánh giá tương tự bất đẳng thức Poincare liên hệ tới giá trị riêng dương bé nhất của toán tử, áp dụng Phương pháp thế vị để nghiên cứu sự tồn tại hàm Green trong M. [...]... hòa và hàm Green Định nghĩa 1.2.1 Giả sử Ω là một miền trong Rn và u là hàm thuộc lớp C 2 (Ω) Hàm u(x) thỏa mãn phương trình Laplace ∆u = 0, với mọi x thuộc Ω được gọi là hàm điều hòa trong Ω 7 8 Dạng không thuần nhất của phương trình Laplace được gọi là phương trình Poisson, tức là phương trình dạng ∆u = f (x) Nghiệm của phương trình poisson trong miền Ω là hàm u thuộc lớp C 2 (Ω) sao cho ∆u = f (x)... trong miền không trơn Cho Ω là một miền liên thông tùy ý (không nhất thiết trơn) có độ đo Lebesgue |Ω| hữu hạn Ta định nghĩa Định nghĩa 2.2.2 Cho E ⊂ Ω là một tập con tùy ý Dung lượng bậc p (p- dung lượng) của E được xác định với mọi p ≥ 1 bởi 1,p | u|p : u ∈ W0 (Ω), u ≥ 1 trong một lân cận của E Cp (E) = inf Ω 1,p trong đó W0 (Ω) là bao đóng trong W 1,p (Ω) của tất cả các hàm trơn có giá compact trong. .. như thế còn được gọi là nghiệm cổ điển của phương trình Poisson trong miền Ω Với một hàm điều hòa u và tập mở tiền compact Ω bất kì trong miền xác định của hàm u thì thông lượng của hàm u xuyên qua biên ∂Ω là bằng 0, tức là f lux u := ∂Ω ∂u dµ = o, ∂Ω ∂ν (1.2.1) trong đó, ν là véc tơ pháp tuyến ngoài đơn vị trên ∂Ω (giả sử biên ∂Ω đủ trơn) Hơn nữa, phương trình (1.2.1) tương đương với tính điều hòa... trong Ω k→∞ là hàm liên tục, điều hòa dưới trên M và điều hòa trong Ω Tương tự, hàm sΩ là liên tục, điều hòa trên trên M và điều hòa trong Ω (ii) Với tập mở thực sự bất kì Ω, ta có bΩ = sup bΩ , Ω trong đó, cận trên đúng được lấy trên toàn miền Ω với biên trơn mà bao đóng bị giới hạn trong Ω 25 (iii) Theo phép loại trừ, ta có, hoặc Ω là không dày, bΩ≡0 và =1 hoặc Ω là dày, sup bΩ = 1 và inf sΩ = 0... G(x, y) là, G(x, y) là nghiệm cơ bản dương nhỏ nhất của phương trình Laplace trên M Ta quy ước G ≡ +∞ nếu không 10 có nghiệm cơ bản dương, điều này có được khi tích phân trên phân kỳ Nếu G = ∞ thì với mỗi y cố định ta có, ∆G(·, y) = −∂y Ví dụ 1.2.1 Trong Rd , d > 2, hàm Green được cho bởi G(x, y) = Cd |x − y|d−2 , trong đó Cd = (ωd (d − 2)−1 ) Trong R2 , ta có G ≡ ∞ Một cách khác xây dựng hàm Green... suất quá trình Xt thực ra là tán xạ và được gọi là chuyển động Brown hoặc quá trình Wiener trên M Độ đo tương ứng trong không gian các hàm của các đường xuất phát từ x được kí hiệu là Px Cho trước một tập mở Ω ⊂ M, có thể coi Ω là một đa tạp Ta kí hiệu pΩ là nhân nhiệt của Ω Tính cực tiểu của nhân nhiệt dẫn đến pΩ triệt tiêu trên biên ∂Ω (nếu ∂Ω đủ trơn) Hay pΩ tăng theo các mở rộng của miền Nhân... xạ bảo giác trong không gian hai chiều bảo toàn các hàm điều hòa trên được Vì H 2 có hàm điều hòa trên dương khác hằng số trong khi R2 không có, tính hyperbolic của M tương đương với sự bảo toàn của các hàm điều hòa trên dương khác hằng (4) ⇔ (5) Vì 1 G(x, y) = 2 ∞ p(t, x, y)dt (2.2.23) 0 Điều kiện G(x, y) < ∞ kéo theo, ∞ p(t, x, y)dt < ∞ (2.2.24) 0 Nhờ bất đẳng thức Harnack parabolic địa phương, cho... x, y) trong đó x, y là các điểm trên M, theo đó, xác suất chuyển động xuất phát từ điểm x đi vào một tập đo được Ω ⊂ M tới thời gian t là p(t, x, y)dµ(y) Ω Trong Rd , nhân nhiệt được tính bằng công thức |x − y|2 p(t, x, y) = exp − 2t (2πt)d/2 1 , và nó thỏa mãn phương trình nhiệt ∂p 1 − ∆p = 0, ∂t 2 (2.1.1) ở đây cặp biến (t, x) (y được coi là cố định) và điều kiện ban đầu p(t, ·, y) → δy , t→0+ trong. .. εk là một miền tiền compact với biên trơn nhẵn; ii) εk ⊂⊂ εk+1 ; εk = M iii) k Trước tiên xây dựng trong mỗi εk một hàm Green Gεk (x, y) của bài toán Dirichlet trong εk , hàm này liên tục đến biên (như là hàm của x, với mỗi y ∈ εk ) và triệt tiêu trên ∂εk Bằng nguyên lí cực đại, dãy {Gεk } tăng theo k, và giới hạn khi k → ∞ (hữu hạn hay vô hạn) là hàm Green toàn cục G(x, y) Giới hạn này không phụ... mọi x ∈ M, ∞ p(t, x, x)dt < ∞ (2.2.22) 1 (6) Dung lượng của tập compact nào đó hoặc tiền compact mở bất kì là dương (7) Tồn tại một nghiệm bị chặn khác không trên M của phương trình ∆u − q(x)u = 0, ∞ với mỗi hoặc mọi hàm q(x) ∈ C0 (M ) là không âm và không đồng nhất (8) Nếu M là một mặt Riemann liên thông đơn thì tất cả các khẳng định trên đều tương đương với M là loại hyperbolic tức là M là tương đương . cứu phương trình đạo hàm riêng trong miền không trơn trên góc độ của lý thuyết xác suất. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Vai trò của một phương trình parabolic quyết định đến sự tồn tại của hàm Green trong. elliptic bất kỳ với phương pháp đã đặt ra của các tác giả trên. Chúng tôi chọn đề tài Phương trình parabolic trong miền không trơn để thực hiện luận văn tốt nghiệp chương trình đào tạo thạc. một miền trong R n và u là hàm thuộc lớp C 2 (Ω). Hàm u(x) thỏa mãn phương trình Laplace ∆u = 0, với mọi x thuộc Ω được gọi là hàm điều hòa trong Ω. 7 8 Dạng không thuần nhất của phương trình