Dung lượng cap(B(o, r), B(o, R)) trên mô hình đa tạp Mσ với o là điểm cực của Mσ và 0< r < R được tính theo công thức
cap(B(o, r), B(o, R)) = R Z r dξ S(ξ) −1 . (2.2.12)
Mệnh đề 2.2.1. Cho U là một tập mở tiền compact trong M và y ∈ U.
Khi đó, ta có bất đẳng thức sau
inf
x∈∂UG(x, y) ≤cap(U)−1 ≤ sup
x∈∂U
G(x, y). (2.2.13)
Hơn nữa, nếuΩ là một tập tiền compact trong M với biên trơn và Ω ⊃U ,¯
thì
inf
x∈∂UGΩ(x, y) ≤ cap(U,Ω)−1 ≤ sup
x∈∂U
GΩ(x, y). (2.2.14)
Chứng minh. Vì (2.2.13) được suy ra từ (2.2.14) bằng cách để Ω ↑ M,
ta chứng minh (2.2.14). Ta đặt a := max x∈∂U GΩ(x, y) và b := min x∈∂UGΩ(x, y). Với số c bất kì, ta định nghĩa Fc := {x ∈ Ω:GΩ(x, y) ≥ c}. Ta có Fa ⊂ U¯ ⊂ Fb. (2.2.15)
Do hàm GΩ(·, y) là điều hòa trong Ω\U¯ và bằng nguyên lí cực đại, cận trên đúng củaGΩ(·, y)trong Ω\U¯ đạt được trên biên∂(Ω\U¯) = ∂Ω∪∂U.
23
Do GΩ triệt tiêu trên ∂Ω, nên ta có
sup
x∈Ω\U¯
GΩ(x, y) = max
x∈∂UGΩ(x, y) = a,
trong đó Fa ⊂U .¯ Tương tự, hàm GΩ(·, y) là điều hòa trên trong U, bằng nguyên lí cực tiểu
inf
x∈UGΩ(x, y) = min
x∈∂UGΩ(x, y) = b.
Từ (2.2.15) suy ra
cap(Fa,Ω) ≤ cap(U,Ω) ≤ cap(Fb,Ω),
Khi đó từ (2.2.14) cho ta thấy với mọi c > 0 ( nói riêng với c = a và
c = b ),
cap(Fc,Ω) = 1
c.
Thật vậy, hàm u := 1
cGΩ(·, y) là thế vị cân bằng của dung lượng (Fc,Ω).
Do đó, ta được cap(Fc,Ω) = −f lux ∂Ω u = −1 c f lux∂Ω GΩ(·, y) = 1 c. 2.2.4. Tập dày
Định nghĩa 2.2.4. Tập mở Ω được gọi là tập dày nếu có ít nhất một hàm điều hòa dưới chấp nhận được đối với Ω. Hoặc nếu tồn tại một hàm điều hòa trên chấp nhận được u đối với Ω, tức là tồn tại hàm điều hòa trên bị chặn u ≥ 0 trên M sao cho u ≡ 1 bên ngoài Ω và inf
mở Ω là một D-dày nếu có một hàm điều hòa dưới chấp nhận được v
đối với Ω (hoặc một hàm điều hòa trên chấp nhân được u) có tích phân Dirichlet hữu hạn
Z
M
|∆v|2dµ < ∞.
Mệnh đề 2.2.2. Tính dày (D-dày) được bảo toàn khi ta mở rộng Ω hoặc loại một tập compact ra khỏi Ω (trường hợp thứ hai, ta giả thiết Ω là tập mở khác rỗng).
Chứng minh. Nếu Ω0 ⊃ Ω khi đó mỗi hàm điều hòa dưới chấp nhận được v trong Ω thì cũng là hàm điều hòa dưới chấp nhận được trong
Ω0. Nếu Ω0 = Ω\K, với K là một compact khi đó v0 := (v −c)+, với
c := supKv, là điều hòa dưới chấp nhận được trong Ω0. Ta chỉ cần chứng
tỏ rằng supv0 > 0. Do Ω 6= ∅, nên v 6= const. Do đó, từ nguyên lí cực trị mạnh, c < supΩv do đó supv0 > 0.
Mệnh đề 2.2.3. Cho Ω là tập mở khác rỗng: (i) Giả sử Ω có biên khác rỗng. Khi đó, hàm
bΩ = lim
k→∞bktrongΩ
là hàm liên tục, điều hòa dưới trên M và điều hòa trong Ω. Tương tự, hàm sΩ là liên tục, điều hòa trên trên M và điều hòa trong Ω.
(ii) Với tập mở thực sự bất kì Ω, ta có
bΩ = sup
Ω0
bΩ0,
trong đó, cận trên đúng được lấy trên toàn miền Ω0 với biên trơn mà bao đóng bị giới hạn trong Ω.
25
(iii) Theo phép loại trừ, ta có, hoặc Ω là không dày, bΩ≡0 và =1 hoặc
Ω là dày, supbΩ = 1 và infsΩ = 0.
2.2.5. Xác suất va chạm
1. Ta gọi Px là xác suất mà chuyển động Brown Xt đạt đến một tập
F ⊂ M xác định bởi
eF(x) := Px{∃t≥ 0sao cho Xt ∈ F}.
Trong lí thuyết thế vị, hàm eF được gọi là hàm rút gọn của F và kí hiệu bởi R1F.
2. Px là xác suất mà chuyển động Brown XT va chạm F tại chuỗi thời gian lớn tùy ý. Định nghĩa bởi hF := Px,∃tk sao chotk → ∞ và
Xtk ∈ F,∀k ∈ N.
Mệnh đề 2.2.4. Cho Ω ∈ M là tập mở khác rỗng với biên trơn. Kí hiệu
F := M\Ω và (i) Với bất kì x ∈ M, ta có ef(x) = sΩ(x); (ii) Kí hiệu P∞sΩ := lim t→∞PtsΩ(x) (2.2.16) khi đó, với bất kì x ∈ M, hF(x) = P∞sΩ(x).
Chứng minh. (i) Nếu x ∈ F thì eF(x) = 1 = sΩ(x) thì (i) hiển nhiên đúng.
Cho x ∈ Ω, chọn một dãy vét cạn {εk} và xét biến cố Ak là quỹ đạo
Xt va chạm biên ∂Ω trước biên ∂εk. Rõ ràng, dãy biến cố {Ak} là mở rộng và hợp của chúng là biến cố chạm biên ∂Ω. Do đó,
eF(x) = lim
k→∞Px(Ak). (2.2.17) Mặt khác, cho fk là một hàm trên các biên ∂(εk ∩Ω) sao cho
fk = 1 trên ∂Ω 0 trên ∂εk.
Ta gọi τ là thời gian chạm biên ∂Ω đầu tiên. Ta có
Px(Ak) =E(fk(Xτ)) = sk(x). (2.2.18)
Trong đó, sk là nghiệm bài toán Dirichlet trong εk ∩Ω
∆sk = 0 sk|∂Ω = 1 sk|∂εk = 0. Theo mệnh đề (2.2.4), ta có sΩ = lim k→∞sk, kết hợp (2.2.18) và nghiệm bài toán trên suy ra sΩ = eF.
(ii) Kí hiệu Bt là biến cố mà XT va chạm F tại khoảng thời gian
T ≥ t. Khi đó, ta có
Px(Bt) =PtsΩ(x) =
Z
M
27
Thật vậy, tại thời điểm t, xác suất Px mà hạt Browny = Xt chuyển động từ x đến y là R
M
p(t, x, y)(y)dµ(y). Khi đó xác suất chuyển động Brown
Py từ y va chạm F là bằng sΩ(y), theo tính chất Markov ta có (2.2.19). Hiển nhiên, dãy biến cố {Bt} là dãy giảm theot, suy ra giới hạn trong (2.2.19) tồn tại và giao của chúng là biến cố B∞ mà chuyển động Brown tới F với dãy thời gian lớn bất kì. Do đó
hF(x) = Px(B∞) = lim
t→∞Px(Bt) = P∞sΩ.
Mệnh đề được chứng minh.
2.2.6. Miền ngoài của một tập compact
Nếu Ω là miền ngoài của một tập compact F trên M thì một số tiêu chuẩn bổ sung với tính dày của Ω sau được thỏa mãn.
Mệnh đề 2.2.5. Cho Ω ⊂M là một tập mở với biên trơn khác rỗng và cho F := M\Ω là compact.
(a) Theo phép loại trừ ta có, hoặc Ω không dày sΩ ≡ 1 và PΩ ≡ 1,
hoặc Ω dày, sΩ 6= 1 và PΩ = 0. (b) Ta có Z ∂Ω ∂sΩ ∂ν dµ 0 = cap(F) (2.2.20)
trong đó, ν là vectơ pháp tuyến ngoài tại ∂Ω và Z
M
Hệ quả 2.2.1. Cho Ω ⊂ M là một tập mở với biên trơn khác rỗng và cho F := M\Ω là compact. Khi đó
(a) Ω là tập dày nếu và chỉ nếu Ω là D-dày. (b) Ω là tập dày nếu và chỉ nếu cap(F) > 0.
(c) Tính dày của Ω là tương đương với eF 6= 1 và với hF = 0.
Chứng minh.
(a) Nếu Ω dày khi đó, từ (2.2.21), sΩ có tích phân Dirichlet hữu hạn. Do đó, Ω là D-dày. Điều ngược lại được suy ra từ định nghĩa của tính dày và D-tính dày.
(b) Tính dày của Ω tương đương với sΩ 6= 1, hay tương đương với
cap(F) > 0 bởi (2.2.20) hoặc (2.2.21).
(c) Được suy ra từ mệnh đề (2.2.4) và mệnh đề (2.2.5)(a).
Định lí 2.2.2. Các khẳng định sau là tương đương:
(1) Chuyển động Brown trên M là tạm thời, nghĩa là với một tập mở
U và với một điểm x ∈ M, quá trình Xt qua U với một xác suất dương,
Px{∃T : ∀t > T Xt ∈/ U}> 0.
(1a) Với mọi tập U ⊂ M tiền compact và mỗi điểm x ∈ M, quá trình
Xt qua U với xác suất 1, nghĩa là
Px{∃T : ∀t > T Xt ∈/ U}= 1.
(2) Tồn tại một tập dày thực sự Ω trên M.
29
(3) Tồn tại một hàm điều hòa trên dương khác hằng số trên M (tồn tại một hàm điều hòa dưới bị chặn khác hằng số trên M)
(4) Hàm Green G(x, y) trên M là hữu hạn với một vài hoặc tất cả
x 6= y.
(5) Với mọi x ∈ M,
Z ∞
1
p(t, x, x)dt < ∞. (2.2.22)
(6) Dung lượng của tập compact nào đó hoặc tiền compact mở bất kì là dương.
(7) Tồn tại một nghiệm bị chặn khác không trên M của phương trình
∆u−q(x)u = 0,
với mỗi hoặc mọi hàm q(x) ∈ C0∞(M) là không âm và không đồng nhất. (8) Nếu M là một mặt Riemann liên thông đơn thì tất cả các khẳng định trên đều tương đương với M là loại hyperbolic tức là M là tương đương bảo giác tới H2.
Chứng minh.
(1a) ⇒ (1) Hiển nhiên;
(1) ⇒ (2) Ta kí hiệu Ω = M\U¯ và xét hàm v := 1 −P∞sΩ, sử dụng kết quả của mệnh đề 2.2.4, v := 1−hU¯ là xác suất Px của Xt rời xa U
sau một thời gian nào đó. Từ giả thiết, ta có v(x) > 0, với x nào đó, do đó P∞sΩ 6= 1, sΩ 6= 1 và Ω là dày
(2) ⇒ (2a) Cho Ω là tập dày thực sự, điều này có được từ giả thiết, và cho Ω0 là mặt ngoài của một tập compact nào đó. Ta cần chứng tỏ rằng Ω0 là D-dày. Cho U là tập mở tiền compact trong M mà không giao với Ω¯. Đặt Ω00 = M\U .¯ Do Ω00 ⊃ Ω, tập Ω00 là tập dày, từ mệnh đề 2.2.2,
Ω0 cũng dày vì Ω00 và Ω0 khác nhau bởi một tập compact. Cuối cùng, từ
Ω0 là mặt ngoài của một tập compact nào đó, nhờ hệ quả 2.2.1 tính dày của nó suy ra tính D-tính dày của Ω0.
(2a) ⇒ (1a) Ta phải chứng minh rằng, với xác suất Px là 1, quỹ đạo Brown Xt rời xa bất kì một tập tiền compact U sau một thời gian nào đó, tức là hU¯(x) ≡ 0. Nhờ mệnh đề 2.2.4, hU¯(x) ≡ 0 tương đương với
P∞sΩ ≡ 0 trong đó Ω := M\U .¯ Theo mệnh đề 2.2.5, P∞sΩ ≡ 0 tương đương với tính dày của Ω, điều này có được nhờ giả thiết.
(2a) ⇒ (6) Đây là phần (b) của Hệ quả 2.2.1.
(6) ⇒ (2) Cho cap(U) > 0, với tập mở tiền compact U. Ta có thể giả sử U có biên trơn. Bằng hệ quả 2.2.1, tập Ω := M\U¯ là tập dày.
(2) ⇒ (3) Từ Ω mở rộng, ta có thể giả sử Ω có biên trơn. Vì Ω là tập dày và M\Ω¯ 6= ∅, sΩ là hàm điều hòa trên bị chặn không tầm thường trên M.
(3) ⇒ (2) Cho v > 0 là hàm điều hòa trên khác hằng số trên M. Với bất kì c ∈ (infv,supv), tập Ω = {v < c} là tập dày khác rỗng vì (c−v)+
là hàm điều hòa dưới chấp nhận được đối với Ω.
31
y ∈ U, từ 2.2.13 ta có
inf
x∈∂U G(x, y) ≤ cap(U)−1 ≤ sup
x∈∂U
G(x, y).
Do đó, tính hữu hạn của G tương đương với cap(U) > 0.
(4) ⇒ (3) Nếu hàm Green G(x, y) là hữu hạn thì luôn có một hàm điều hòa trên dương theo x ngay cả khiG lấy giá trị +∞tại x = y. Hàm chặt cụt min(G(·, y), C) là hữu hạn, dương và điều hòa trên.
(7) ⇒ (3) Nếu u là một nghiệm bị chặn khác không của ∆u−qu = 0
với hàm q ∈ C0∞, q 6= 0 thì u+ hoặc u− không đồng nhất không. Giả sử rằng u+ 6= 0. Ta khẳng định u+ là hàm điều hòa dưới bị chặn khác hằng số. Hàm u+ là điều hòa dưới trong Ω := {u > 0} vì ∆u+ = qu+ ≥ 0. Vì
u+ được mở rộng bằng 0 bên ngoài Ω, hàm u+ là điều hòa dưới trong
M. Cuối cùng u+ là bị chặn và khác hằng số nếu u+ ≡ c thì u ≡ c điều này chỉ có thể xảy ra nếu q ≡ 0 hoặc c = 0.
(3) ⇔ (8) Ánh xạ bảo giác trong không gian hai chiều bảo toàn các hàm điều hòa trên được. Vì H2 có hàm điều hòa trên dương khác hằng số trong khi R2 không có, tính hyperbolic của M tương đương với sự bảo toàn của các hàm điều hòa trên dương khác hằng.
(4) ⇔ (5) Vì G(x, y) = 1 2 Z ∞ 0 p(t, x, y)dt. (2.2.23)
Điều kiện G(x, y) < ∞ kéo theo, Z ∞
0
p(t, x, y)dt < ∞. (2.2.24)
với mọi t đủ lớn,
p(t, x0, y0)
p(t, x, y) < const. (2.2.25)
Đặc biệt, (2.2.24) đúng với mọi cặp x, y từ đó ta cũng có (2.2.22) đúng với mọi cặp x, y. Ngược lại, nếu (2.2.22) đúng với x ∈ M nào đó thì (2.2.24) cũng đúng nhờ (2.2.25) với mọi x, y ∈ M. Vì với x 6= y, ta có
p(t, x, y) → 0 khi t → 0, tích phân trong (2.2.23) cũng hội tụ tới 0, và
G(x, y) < ∞.
(4) ⇒ (7) Cho {εk} là một dãy vét cạn và Gk là nhân Green trong
εk. Kí hiệu uk và vk là nghiệm của bài toán Dirichlet sau trong εk ∆uk −quk = 0 trong εk uk|∂εk = 1 và ∆vk = −q trong εk vk|∂εk = 0
Dãy {uk} giảm và hội tụ đến hàm u, hàm này là nghiệm bị chặn của
∆u−qu = 0. Vì 0 ≤ uk ≤ 1, ta cũng có 0 ≤ u ≤ 1, từ điều này suy ra
supu > 0. Hàm vk cho bởi
vk =
Z
εk
Gk(·, y)q(y)dµ(y),.
Từ đó ta thấy vk tăng và hội tụ tới
v :=
Z
M
G(·, y)q(y)dµ(y).
Hàmuk+vk là điều hòa trên vì ∆(uk+vk) =quk−q ≤0.Vì uk+vk|∂εk = 1, áp dụng nguyên lý cực tiểu ta có uk +vk ≥ 1 và do đó uk ≥ 1−vk
trong εk.
Như vậy, u ≥ 1−v. Ta khẳng định infv = 0,supu > 0, v là nghiệm không âm nhỏ nhất của phương trình ∆v = −q. Nếu ta giả sử rằng
33
infv > 0 thì hàm v − infv cũng là một nghiệm không âm của phương trình này, điều này mâu thuẫn với tính cực tiểu của v do đó ta thu được
infv = 0 và supu > 0.
Kết luận chương 2
Trong chương này ta đã trình bày giới thiệu cơ sở phân loại các đa tạp Riemann dựa trên sự tồn tại nhân nhiệt p(t, x, y) (quá trình khuếch tán). Ta thấy rằng phần lớn các đa tạp được chia thành 2 loại, theo tính chất luân chuyển của quá trình Brown trên đa tạp này. Đa tạp dạng parabolic tương ứng với tính không luân chuyển (chuyển động Brown có xu hướng tập trung tại một khu vực trong miền) hay là mọi hàm điều hòa trên, dương, xác định trênM phải là hằng. Tính chất parabolic cũng tương ứng với tính không khả tổng của nhân nhiệt p(t, x, y), hay là tính suy biến của hàm Green tại một số giá trị (x, y).
Ngược lại với tính chất parabolic ta gọi đa tạp là không parabolic. Trường hợp đa tạp là mặt Riemann, tính không parabolic của mặt tương ứng với các mặt hyperbolic (đẳng giác với mô hình hyperbolic thông thường). Ngoài tính chất parabolic, người ta còn phân loại đa tạp theo tính chất đầy đủ ngẫu nhiên (tổng cộng xác suất bằng 1, hay tính không bùng phát của chuyển động Brown. ) Người ta đã chứng minh được ([Yau] ), rằng mọi đa tạp có độ cong Ricci bị chặn dưới đều là đầy đủ ngẫu nhiên. Như vậy ta có hình dung trực quan về sự liên hệ giữa tính chất của nhân nhiệt và độ cong của đa tạp. Công thức (2.2.12) cho ta liên hệ dung lượng của một hình miền vành khuyên và tích phân của
diện tích xung quanh mặt cầu. Từ công thức đó ta thấy nếu Z ∞
a
dr
S(r) = ∞
đa tạp M sẽ parabolic, trong đó S(r) là diện tích của mặt cầu bán kính
r trên M.
Tuy các kết quả phát biểu trong chương 1 dành cho các đa tạp ( đa tạp trơn), ta thấy các nghiên cứu đều áp dụng cho các đa tạp có chứa điểm cực ( điểm kì dị) có nghĩa là các tính toán đối với M\{O}. Ta có thể đưa vào tọa độ cực trên M\{O} và sử dụng metric
ds2 = dr2 +σ2(r)dθidθj
trong lân cận gần O. Với các hàm σ2(r) thích hợp, ta có thể đặt bài toán nghiên cứu tính giải được duy nhất của các bài toán Dirichlet cho các phương trình elliptic với những tính chất suy biến khác nhau tại điểm kì dị. Thông thường, các bài toán biên elliptic trong trường hợp hệ số dao động có thể quy về bài toán với toán tử Laplace dạng tổng quát trên một đa tạp M với metric tương ứng, điểm suy biến của hệ số sẽ được đặt tương ứng với điểm cực của đa tạp mới. Đồng thời cơ sở lý thuyết về quá trình “xấp xỉ biên” một miền bởi một dãy các miền vét cạn cũng được trình bày trên quan điểm xác xuất và phương pháp nghiệm “trên” của Perron. Trong chương tiếp theo, ta sẽ thấy một số phương trình đạo hàm riêng với hệ số biến thiên trong không gian Euclide thông thường có thể đưa về một bài toán khảo sát độ cong của một mặt.
Kết luận
Luận văn đã trình bày được:
Vai trò của một phương trình parabolic quyết định đến sự tồn tại của hàm Green đối với phương trình elliptic đã cho và phân loại hình dáng của miền theo các yếu tố về diện tích và chu vi của các miền con.