Một số phương pháp hiệu chỉnh giải hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN CÔNG NGHỆ THÔNG TIN NGUYỄN ĐÌNH DŨNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ ĐẶT KHƠNG CHỈNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN CÔNG NGHỆ THÔNG TIN NGUYỄN ĐÌNH DŨNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ ĐẶT KHƠNG CHỈNH Chun ngành: Tốn học tính tốn Mã số: 62.46.30.01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Tập thể hướng dẫn khoa học: GS.TS Nguyễn Bường TS Nguyễn Công Điều Hà Nội – 2014 Mưc lưc Mð ¦u Ch÷ìng H» ph÷ìng tr¼nh to¡n tû °t khỉng ch¿nh 15 1.1 Khỉng gian Hilbert v khæng gian Banach 15 1.2 Ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh Tikhonov 21 1.2.1 Kh¡i ni»m v· b i to¡n °t ch¿nh v khỉng ch¿nh 21 1.2.2 Ph÷ìng ph¡p hiằu chnh Tikhonov cho phữỡng trẳnh vợi toĂn tỷ liản tưc v âng y¸u 22 1.2.3 Phữỡng phĂp hiằu chnh Browder-Tikhonov cho phữỡng trẳnh to¡n tû U ìn i»u 27 1.3 Hằ phữỡng trẳnh toĂn tỷ t khỉng ch¿nh v ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh 28 1.3.1 B i toĂn dăn án hằ phữỡng trẳnh toĂn tû °t khæng ch¿nh 28 1.3.2 Ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh cho hằ phữỡng trẳnh vợi toĂn tỷ liản tửc v âng y¸u 35 Ch÷ìng Hi»u ch¿nh cho h» phữỡng trẳnh vợi toĂn tỷ liản tửc v õng yáu 2.1 Phữỡng phĂp hiằu chnh vợi nhiạu vá phÊi 42 2.2 42 Phữỡng phĂp hiằu chnh trữớng hủp nhiạu vá phÊi v nhi¹u to¡n tû 48 2.3 2.4 Phữỡng phĂp hiằu chnh cho hằ phữỡng trẳnh vợi toĂn tỷ tuyán tẵnh liản tửc 54 Mởt số kát quÊ tẵnh to¡n 65 2.4.1 Quy t-c dứng lp v kát quÊ tẵnh toĂn cho hằ phữỡng trẳnh toĂn tỷ tuyán tẵnh 65 2.4.2 K¸t qu£ tẵnh toĂn cho hằ phữỡng trẳnh toĂn tỷ phi tuyán 76 Chữỡng Hiằu chnh tẳm nghiằm cho hằ phữỡng trẳnh phi tuyán vợi toĂn tỷ U ỡn i»u v li¶n tưc Lipschitz tr¶n khỉng gian Banach 81 3.1 Phữỡng phĂp hiằu chnh cho hằ phữỡng trẳnh vợi to¡n tû U ìn i»u v li¶n tưc Lipschitz tr¶n khổng gian Banach 81 3.2 3.3 Nguyản lỵ tỹa l»ch chån tham sè hi»u ch¿nh Tèc ë hëi tö cõa nghi»m hi»u ch¿nh 89 97 3.4 Mởt số kát quÊ tẵnh toĂn 99 Kát luên 106 T i li»u tham kh£o 107 LÍI CAM OAN Tổi xin cam oan Ơy l cổng trẳnh nghiản cựu cừa riảng tổi dữợi sỹ hữợng dăn cừa GS.TS Nguyạn Bữớng v TS Nguyạn Cổng iãu CĂc kát quÊ trẳnh b y luên Ăn l ho n to n trung thüc v ch÷a tøng ÷đc cỉng bè cĂc cổng trẳnh cừa ngữới khĂc Nghiản cựu sinh Nguyạn ẳnh Dụng LI CM èN Luên Ăn n y ữủc ho n th nh tÔi Viằn Cổng nghằ Thỉng tin thc Vi»n H n l¥m Khoa håc v Cổng nghằ Viằt Nam dữợi sỹ hữợng dăn cừa GS.TS Nguyạn Bữớng v TS Nguyạn Cổng iãu TĂc giÊ xin b y tọ lỏng biát ỡn tợi cĂc thƯy cổ giĂo thuởc Viằn Cổng nghằ Thổng tin  tÔo iãu ki»n v gióp ï t¡c gi£ qu¡ tr¼nh håc têp v l m luên Ăn tÔi Viằn, c biằt tĂc giÊ xin b y tọ lỏng biát ỡn sƠu s-c tợi GS Nguyạn Bữớng v TS Nguyạn Cổng iãu, nhỳng ngữới thƯy  tên tẳnh hữợng dăn v cung cĐp nhiãu t i liằu cƯn thiát tĂc giÊ câ thº ho n th nh luªn ¡n óng thíi hÔn TĂc giÊ xin chƠn th nh cÊm ỡn cĂc thƯy cổ giĂo thuởc Ôi hồc ThĂi Nguyản v Ban o tÔo - Ôi hồc ThĂi Nguyản  tÔo iãu ki»n tèt nh§t cho t¡c gi£ thíi gian l m nghiản cựu sinh Xin chƠn th nh cÊm ỡn anh ch em nghiản cựu sinh v bÔn b ỗng nghiằp  trao ời, ởng viản v khẵch lằ tĂc giÊ quĂ trẳnh hồc têp, nghiản cựu v l m luên Ăn tÔi Viằn Cổng nghằ Thổng tin Nghiản cựu sinh Nguyạn ẳnh Dụng MậT Sẩ Kị HIU V€ CHÚ VI˜T T•T R n Khỉng gian Ìcìlit n-chi·u Khỉng gian li¶n hđp cõa khỉng gian Banach X X A:Y !X ToĂn tỷ ối ngău cừa toĂn tỷ A : X ! Y H Khæng gian Hilbert I To¡n tû D(A) Mi·n x¡c R(A) Mi·n £nh cõa to¡n tû A A1 To¡n tû ng÷đc cõa to¡n tû A ìn ành cõa to¡n tû A A (x) ¤o h m Fr²chet cõa to¡n tû A t¤i hx; yi Tẵch vổ hữợng cừa x v y khổng gian Hilbert kxkX Chu©n cõa x khỉng gian X X (x; y) a b iºm x Metric cõa x v y khổng gian X a tữỡng ữỡng vợi b C[a; b] Khỉng gian c¡c h m li¶n tưc trản oÔn [a; b] ; Têp rộng xn * x DÂy xn hởi tử yáu tợi x xn ! x DÂy xn hởi mÔnh tợi x PhƯn tỷ khổng khổng gian Banach S(x ; r) Hẳnh cƯu m tƠm x b¡n k½nh r khỉng gian Banach N (A) Khæng gian khæng iºm cõa to¡n tû A Mð ¦u Trong nhúng b i to¡n n£y sinh tứ thỹc tá, tỗn tÔi mởt lợp cĂc b i to¡n m nghi»m khỉng ên ành theo ngh¾a mët thay ời nhọ cừa dỳ liằu Ưu v o s dăn án nhỳng thay ời lợn cừa dỳ liằu Ưu (nghiằm cừa b i toĂn), thêm chẵ cỏn l m cho b i toĂn tr lản vổ nghiằm Lợp cĂc b i toĂn trản ữủc gồi l lợp b i to¡n khỉng ch½nh qui hay b i to¡n °t khỉng ch¿nh Kh¡i ni»m b i to¡n °t ch¿nh ÷đc Hadamard,J [45] ữa nghiản cựu vã Ênh hững cừa cĂc iãu kiằn biản lản nghiằm cừa cĂc phữỡng trẳnh elliptic cụng nhữ parabolic Xt b i toĂn tẳm nghiằm cừa phữỡng trẳnh A(x) = f; (1) Ơy, A l to¡n tû tø khæng gian metric X v o khæng gian metric Y Theo Hadamard b i to¡n (1) ữủc gồi l t chnh (chẵnh qui) náu cĂc iãu kiằn sau ữủc thọa mÂn: Phữỡng trẳnh (1) câ nghi»m x0 vỵi måi f Y ; Nghiằm x0 ữủc xĂc nh mởt cĂch nhĐt; Nghi»m x0 phư thc li¶n tưc v o f Mët thới gian d i ngữới ta nghắ rơng mồi b i to¡n °t ·u thäa m¢n c£ ba i·u kiằn trản Những thỹc tá ch rơng ỵ niằm õ sai lƯm NhĐt l mĂy tẵnh iằn tû íi, t½nh to¡n c¡c b i to¡n thỹc tá bơng mĂy tẵnh luổn xÊy quĂ trẳnh l m trán sè Ch½nh sü l m trán â dăn án nhỳng sai lằch Ăng k Náu ẵt nhĐt mởt ba iãu kiằn trản khổng ữủc thọa mÂn thẳ b i toĂn (1) ữủc gồi l b i to¡n °t khỉng ch¿nh Do lỵp b i to¡n °t khỉng ch¿nh câ t¦m quan trång ùng dưng thüc tá, nản nõ  thu hút sỹ quan tƠm cừa nhiãu nh toĂn hồc nời tiáng trản thá giợi nhữ V K Ivanov, M M Lavrentiev, A N Tikhonov Mët số nh toĂn hồc Viằt Nam cụng i sƠu nghiản cựu v cõ nhiãu õng gõp cho lỵ thuyát cĂc b i to¡n °t khỉng ch¿nh nh÷: P K Anh, Ng B÷íng, N H o, Trång giÊi số b i toĂn t khổng chnh, bữợc Ưu tiản Tikhonov ữa vã b i toĂn t chnh bơng cĂch giÊ thiát l nghiằm cƯn tẳm nơm v o mởt têp compact lỗi M v Ênh A(M) = N, cho f x§p x¿ bði f N ta văn cõ nghiằm x thọa mÂn Ax N Do sè li»u x§p x¿ l sè li»u khổng chẵnh xĂc, nản cõ th xĐp x f lÔi khổng nơm v o têp A(M) Khi õ, phữỡng trẳnh A(x) = f khổng cõ nghiằm theo nghắa thổng thữớng kh-c phửc tẳnh trÔng n y, Ivanov,V.K (xem [51], [52])  ữa khĂi niằm tỹa nghiằm cho phữỡng trẳnh (1) Theo Ivanov phƯn tỷ x~ M l m cüc tiºu phi¸m h m inf x2M Y (A(x); f) ữủc gồi l tỹa nghiằm cừa (1) trản têp M, trữớng hủp M l têp compact cừa X, thẳ vợi mồi f Y bao giớ cụng tỗn tÔi tỹa nghiằm Náu f A(M) thẳ tỹa nghiằm chẵnh l nghiằm thổng thữớng Tỹa nghiằm cụng nhữ nghiằm thổng thữớng cõ th khổng nhĐt Trữớng hủp vá phÊi phữỡng trẳnh (1) thay ời khổng nơm A(M) cụng ữủc Lavrentiev, M.M [60] nghiản cựu Tữ tững phữỡng phĂp m Lavrentiev ã xuĐt l thay phữỡng trẳnh (1) bơng phữỡng trẳnh xĐp x giÊi ữủc vợi mồi vá phÊi v nghiằm cừa phữỡng trẳnh xĐp x phử thuởc liản tửc v o vá phÊi Nôm 1963, Tikhonov, A N (xem [75], [76], [77]) ữa mởt hữợng mợi giÊi quyát b i toĂn (1), õ l viằc cüc tiºu hâa phi¸m h m phư thc tham sè (2) M [x; f ] = (A(x); f ) + (x); Ơy l phiám h m ờn nh tr¶n khỉng gian metric X, l tham sè hi»u ch¿nh phư thc , = ( ) ÷đc chån cho ! 0, ta câ iºm cüc tiºu x cõa phi¸m h m (2) hëi tư ¸n nghi»m cõa ()!0v b i to¡n (1) èi vỵi b i to¡n (1), A : H ! H l mët to¡n tû liản tửc v õng yáu, Engl, H.W [42]  xt dÔng cử th cừa (2) l 2 M [x; f ] = kAx f k + kxk (3) v chùng minh ÷đc b i to¡n (3) câ nghi»m phư thc li¶n tưc v o f v hëi tư v· nghi»m cõa (1) f ! f Trong tr÷íng hđp A l to¡n tû ìn i»u v hemi li¶n tưc tø khæng gian Bannach X v o X , Alber,Ya.I.[5]  xƠy dỹng phữỡng phĂp hiằu chnh Tikhonov dỹa v o viằc giÊi phữỡng trẳnh s (4) A(x) + U (x) = f ; s s ð ¥y, U l toĂn tỷ ối ngău tờng quĂt cừa X, tực l U : X ! X , thäa m¢n i·u ki»n s s s hU (x); xi = kxkkU (x)k; kU (x)k = kxk s ;s 2: º qu¡ trẳnh lp hởi tử, ta cƯn chồn cĂc tham số thäa m¢n c¡c i·u ki»n k k+1 + k; x~ kk k > x(0) k+1; (1 c ) c c2 M+1 R (1 + vªy chån 1; = c 0) ~ ( p + )+2 (1 2 1) +L 2 ; ; +L ;c= ; L = kBkRM+1 ; = 0:1; = ] s k x x(0) k M+1 [(1 + ) (1 0+ ) + 0 ! = c + : c Trong cĂc kát quÊ tẵnh toĂn, im xĐp x ban Ưu ữủc chồn l R x(0) : : ::: : M+1; a = (0 9; 9; ; 9) R 10 ; " ;M = 10 = ; 1: = 50 ~ = Vỵi c¡ch chån tham sè v xĐp x Ưu nhữ trản, ta cõ kát quÊ nghiằm tẳm ữủc nhữ sau: ~ (K) ~ kx (K) x0k kBx fk 1.281316 2.702034 0.714143 n K 0.235367 0.270203 0.714143 0.133629 0.027020 0.714143 0.048042 0.002702 0.356609 12461 0.016399 0.000269 0.242662 595071 0.005181 0.000027 0.185342 0.001638 0.000003 0.149496 22343008 B£ng 3.1 Kát quÊ tẵnh toĂn vã mối liản hằ giỳa sè l¦n l°p v tèc ë hëi tư cõa nghi»m hi»u ch¿nh v· nghi»m óng 0 n x = (x ; x ; :::; x ) = (1; 1; :::; 1), = 10 0 1M 102 B¥y giớ ta xt trữớng hủp cĂc toĂn tỷ tẵch phƠn câ nhi¹u Z h h Bj x(t) = kj (t; s)x(s)ds; j = 1; 2; 3; h ð ¥y, kj (t; s) = kj(t; s) + h(t; s); j = 1; 2; 3; < h(t; s) h; 8t; s v h ! +0 Náu chồn nhiạu h(t; s) = h thẳ ta cõ kát quÊ tẵnh toĂn sau: n K kB ~h x ~ kx f k (K) (K) 0.288198 2.771210 0.714143 0.153002 0.270602 0.714143 0.125654 0.027024 0.714143 0.047713 0.002702 0.359784 12420 0.016399 0.000269 0.243664 594816 0.005181 0.000027 0.185589 0.001638 0.000003 0.149560 22341513 x0k B£ng 3.2 Kát quÊ tẵnh toĂn vã mối liản hằ giỳa số l¦n l°p v tèc ë hëi tư cõa nghi»m hi»u ch¿nh v· nghi»m óng 0 x0 = (x 0; x 1; :::; x M ) = (1; 1; :::; 1) cõ nhiạu lản toĂn tỷ h = = 10 Nhên xt: Kát quÊ tẵnh toĂn trản l k¸t qu£ kiºm tra sü hëi tư cõa nghi»m hi»u chnh vã nghiằm cừa hằ phữỡng trẳnh t khổng chnh cho trữợc nghiằm cừa hằ l x(t) = Phữỡng trẳnh hiằu chnh (3.27) cõ ~ B l ma vợi iãu kiằn xĐu, vẳ vêy tẳm nghiằm ta cƯn phÊi sỷ dửng phữỡng phĂp hiằu chnh lp v quy t-c døng l°p Tø B£ng 3.1 v B£ng 3.2 cõ th thĐy số lƯn lp hiằu chnh phử thuởc rĐt lợn v o nhiạu (0) v viằc chồn xĐp x Ưu x Vẳ vêy, trữớng hủp häi ë ch½nh x¡c cao cho nghi»m cõa b i toĂn thẳ yảu cƯu thới gian tẵnh toĂn tữỡng ối lợn 103 n KT LUN CHìèNG Trong chữỡng n y, chúng tổi giợi thiằu hằ phữỡng trẳnh t khỉng ch¿nh vỵi c¡c to¡n tû l U ìn i»u v liản tửc Lipschitz trản khổng gian Banach phÊn xÔ v lỗi cht cõ chuân khÊ vi GƠteaux ãu CĂc kát quÊ Ôt ữủc cừa chữỡng n y l xƠy dỹng phữỡng phĂp hiằu chnh cho hằ phữỡng trẳnh t khổng chnh phi tuyán cõ nhiạu vá phÊi v nhiạu toĂn tỷ bơng cĂch xĐp x hằ phữỡng trẳnh bơng mởt phữỡng trẳnh hiằu chnh Chúng tổi chựng minh ữủc phữỡng trẳnh hiằu chnh tỗn tÔi nghiằm nhĐt ã xuĐt nguyản lỵ chồn tham số hiằu chnh phử thuởc v o nhiạu vá phÊi, nhiạu lản toĂn tỷ cho nghi»m hi»u ch¿nh hëi tö v· nghi»m cõa hằ m khổng cƯn tẵnh liản tửc yáu theo dÂy cừa cĂc toĂn tỷ, nguyản lỵ n y ữủc gồi l nguyản lỵ tỹa lằch Tốc hởi tử cừa nghiằm hiằu chnh vã nghiằm cừa hằ phữỡng trẳnh ÷đc ¡nh gi¡ bê sung th¶m c¡c i·u ki»n t lản mởt toĂn tỷ bĐt ký hằ phữỡng trẳnh m khổng ỏi họi iãu kiằn lản tĐt cÊ c¡c to¡n tû Ci còng, chóng tỉi ÷a c¡c vẵ dử tẵnh toĂn số minh hồa cho lỵ thuyát ữủc trẳnh b y chữỡng n y 104 Kát luên Luên Ăn n y ã cêp án hai vĐn ã sau: ã xuĐt phữỡng phĂp hiằu chnh Tikhonov cho hằ phữỡng trẳnh phi tuyán vợi cĂc toĂn tỷ liản tửc v õng yáu CĂc kát quÊ Ôt ữủc  ch phữỡng phĂp ữa hằ phữỡng trẳnh °t khæng ch¿nh v· mët b i to¡n °t ch¿nh, viằc giÊi b i toĂn xĐp x ữủc thỹc hiằn bơng phữỡng phĂp Newton Ngo i ra, sỹ ờn nh v sü hëi tö cõa nghi»m b i to¡n °t chnh vã nghiằm cừa hằ phữỡng trẳnh cụng ữủc chựng minh nhớ tẵnh chĐt liản tửc v õng yáu cừa to¡n tû Tèc ë hëi tö cõa nghi»m hi»u ch¿nh vã nghiằm cừa hằ phữỡng trẳnh ữủc ữa bê sung th¶m c¡c i·u ki»n l¶n mët to¡n tû bĐt ký hằ phữỡng trẳnh, bao gỗm tẵnh khÊ vi Frchet, iãu kiằn Lipchitz lản Ôo h m Frchet cừa toĂn tỷ, iãu kiằn nguỗn v iãu kiằn ối vợi hơng số Lipchitz Trong trữớng hủp c biằt, cĂc toĂn tỷ l tuyán tẵnh liản tửc cụng ữủc xt án v  ch ữủc phữỡng phĂp ữa hằ phữỡng trẳnh t khổng chnh vã mởt b i to¡n °t ch¿nh Ngo i ra, sü ên ành v sü hëi tö cõa nghi»m b i to¡n °t ch¿nh vã nghiằm cừa hằ phữỡng trẳnh cụng ữủc chựng minh nhớ tẵnh chĐt liản tửc cừa toĂn tỷ Tốc hëi tö cõa nghi»m hi»u ch¿nh v· nghi»m cõa h» phữỡng trẳnh ữủc ữa bờ sung thảm iãu kiằn nguỗn trản mởt toĂn tỷ Trong trữớng hủp cĂc toĂn tỷ cõ tẵnh chĐt U 105 ỡn iằu v liản tửc Lipschitz trản khổng gian Banach phÊn xÔ v lỗi cht cõ chuân khÊ vi GƠteaux ãu, chúng tỉi ÷a ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh v ch¿ ữủc tẵnh nhĐt cừa nghiằm hiằu chnh Tốc hëi tö cõa nghi»m hi»u ch¿nh v· nghi»m cõa h» phữỡng trẳnh ữủc ữa tham số hiằu chnh ữủc chồn theo nguyản lỵ tỹa lằch v bờ sung thảm cĂc iãu kiằn lản mởt toĂn tỷ bĐt ký hằ phữỡng trẳnh, bao gỗm iãu kiằn nguỗn v tẵnh khÊ vi Frchet Cuối cũng, chúng tổi ữa c¡c v½ dư t½nh to¡n sè º minh håa cho lỵ thuyát CĂc vĐn ã cƯn nghiản cựu tiáp l : ¡nh gi¡ tèc ë hëi tư tỵi nghi»m cõa ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh ÷a ð ch÷ìng v chữỡng cho hằ phữỡng trẳnh toĂn tỷ °t khỉng ch¿nh Nghi¶n cùu vi»c ¡p dưng c¡c phữỡng phĂp lp cho hằ phữỡng trẳnh t khổng chnh Nghiản cựu phữỡng phĂp hiằu chnh nhiãu tham số cho hằ phữỡng trẳnh toĂn tỷ t khổng chnh 106 T i li»u tham kh£o [1] Anh,Ph.K., Buong,Ng (2005), B i toĂn t khổng chnh, Nh xuĐt bÊn Ôi hồc Quèc gia H Nëi [2] Nghia,H.L (2009), V· b i toĂn chửp c-t lợp cừa mĂy CT-Scanner, [http://tailieu.vn/xem-tai-lieu/ve-bai-toan-chup-cat-lop-cua-mayct-scanner.41697.html, truy cêp ng y 11/10/2010] [3] Agarwal, R.P., O'Regan.D and Sahu.D.R (2009), Fixed point the-ory for Lipschitz type mappings with applications, Springer [4] Alber,Ya.I., Ryazantseva,I.P (1979), On solutions of nonlinear problems involving monotone discontinuous operators, Uravnenia [5] Alber,Ya.I., Ryazantseva,I.P (2006), Nonlinear Ill-Posed Problems of Monotone Types, Springer verlag Publishers [6] Andrew,J.K., Michael,Z (2004), Convex functional analysis, Ger-many [7] Anh,Ph.K., Chung,C.V (2009), Parallel iterative regularization methods for solving systems of ill-posed equations, Appl Math Com-put, 212(2), 542-550 [8] Bakushinky,A.B., Goncharsky,A (1994), Ill-posed problems: Theory and Aplications, Kluwer Academic 107 [9] Bakushinky,A.B., Smirnova,A (2006), A posteriori stopping rule for regularized fixed point iterations, Nonl Anal, 64(6), 1255-1261 [10] Bakushinky,A.B., Smirnova,A (2005), On application of generalized discrepancy principle to iterative methods for nonlinear illposed problems, Numer Funct Anal Optim, 26(1), 35-48 [11] Bakushinsky,A.B (1992), The Problem of the convergence of the iteratively regularized Gauss-Newton method, Com- put.Math.Math.Phys, 32(9), 1353-1359 [12] Bakushinsky,A.B., Poljak,B.T (1974), The solution of variational inequalities, Dokl Akad Nauk SSSR, 1038-1041 (in Russian) [13] Barbu,V (1976), Nonlinear semigroups and differential equations in Banach spaces, Noordhoff Internal Publ Leyden Netherlands Ed Acad Bucurest, Romania [14] Barbu,V (1975), Convexity and optimization in Banach spaces, Ed-itura Academiei R.S.R Bucurest [15] Baumeister,J., Kaltenbacher,B., Leit¢o,A (2010), On LevenbergMarquardt - Kaczmarz methods for regularizing systems of nonlinear ill-posed equations, Inverse Problems and Imaging, 335-350 [16] Boonchari,D., Saejung,S (2009), Weak and strong convergence the-orems of an implicit iteration for a countable family of continuous pseudocontractive mappings, Journal of Computational and Applied Mathematics, 233(4), 1108-1116 108 [17] Browder,F.E (1966), Existence and approximation of solutions of nonlinear variational inequalities, Proc Nat Acad Sei U.S.A, 56(4), 1080-1086 [18] Browder,F.E., Petryshyn,W.V (1967), Construction of fixed points of nonlinear mappings in Hilbert spaces, J Math Anal Appl, 20(2), 197-228 [19] Browder,F.E (1967), Nonlinear mapping of nonexpansive and accretive type in Banach spaces, Bull Amer Math Soc, 73(6), 875-882 [20] Browder,F.E (1964), Continuity properties of monotone nonlinear operators in Banach spaces, Bull AMS, 70(4), 551-553 [21] Bryan,P.R., Martin,A.Y (2006), Linear functional analysis, Springer, London [22] Buong,Ng (2006), Regularization for unconstrained vector optimiza-tion of convex functionals in Banach spaces, Zh Vychisl Mat i Mat Fiziki, 46(3), 372-378 [23] Buong,Ng (1992), Projection - regularization method and illposedness for equations involving accretive operators, Vietnamese Math J, 20(1), 33-39 [24] Buong,Ng (2004), Generalized discrepancy principle and illposed equations involving accretive operators, J Nonlinear Functional Analys and Appl, Korea, 9, 73-78 109 [25] Buong,Ng (2004), Convergence rates in regularization for nonlin-ear ill-posed equations under m-accretive perturbations, Zh Vychisl Mat i Mat Fiziki, 44(3), 397-402 [26] Buong,Ng (2004), On nonlinear ill-posed accretive equations, Southest Asian Bull of Math, 28(1), 1-6 [27] Buong,Ng., Dung,N.D (2012), Convergence Rates in Regularization for Nonlinear Ill-Posed Equations with Perturbative Data, Applied Mathematical Sciences, 6(127), 6301 - 6310 [28] Buong,Ng., Dung,N.D (2011), Regularization for a common solu-tion of a system of ill-posed equations involving linear bounded map-pings with perturbative data, Thainguyen University Journal of Sci-ence and Technology, 83(7), 73 - 79 [29] Buong,Ng., Dung,N.D (2011), Regularization for a common solution of a system of ill-posed equations involving linear bounded map-pings, Applied Mathematical Sciences, 5(76), 3781 - 3788 [30] Buong,Ng., Dung,N.D (2009), Regularization for a Common Solu-tion of a System of Nonlinear Ill-Posed Equations, Int Journal of Math Analysis, 3(34), 1693 - 1699 [31] Buong,Ng., Dung,N.D (2013), Regularization for a common solution of a finite system of nonlinear ill-posed equations involving lipschitz continuous and accretive mappings on Banach spaces, K yáu Hởi thÊo Quốc gia lƯn thự XV vã mët sè v§n · chån låc cõa Cỉng ngh» Thỉng tin v Truy·n thæng, H Nëi, 3-4/12/2012 110 [32] Buong,Ng., Dung,N.D (2014), A regularized parameter choice in regularization for a common solution of a finite system of illposed equations involving Lipschitz continuous and accretive mappings, Zh Vychisl Mat i Mat Fiziki, 54(3), 397 - 406 [33] Buong,Ng., Phuong,Ng.T.H (2013), Regularization methods for nonlinear ill-posed equations involving m- accretive mappings in Ba-nach spaces, Iz.VUZ Mathematica, (2), 67-74 [34] Buong,Ng., Thuy,Ng.T.T (2007), Iterative regularization method of zero order for unconstrained vector optimization of convex function-als, K y¸u hëi nghà khoa håc k¿ niằm 30 nôm th nh lêp Viằn Cổng nghằ Thổng tin 27-28/12/2006, Nh xuĐt bÊn Khoa hồc Tỹ nhiản v Cæng ngh», H Nëi, 168-173 [35] Buong,Ng., Hung,V.Q (2005), Newton-Kantorovich iterative regu-larization for nonlinear ill-posed equations involving accretive oper-ators, Ukrainian Math Zh, 57(2), 323-330 [36] Burger,M., Kaltenbacher.B (2006), Regularization NewtonKacmarz methods for nonlinear ill-posed problems, SIAM J Number Analysis, 44(1), 153-182 [37] Ceng,L.C., Petrusel,A., Yao,J.C (2007), Implicit iteration scheme with perturbed mapping for common fixed points of a finite family of lipschitz pseudocontractive mappings, J Mathematical Inequalities, 1(2), 249-258 111 [38] Cezaro,A.D., Baumeister,J, Leit¢o,A (2011), Modified iterated Tikhonov methods for solving system of nonlinear ill-posed equa-tions, Inverse problems and imaging, 5(1), 1-17 [39] Cezaro,A.D., Haltmeier,M., Leit¢o,A., Scherzer,O (2008), On steepest-descent-Kaczmarz method for regularizing systems of non-linear ill-posed equations, Applied Mathematics and Computations, 202(2), 596-607 [40] Cioranescu,I (1990), Geometry of Banach spaces, Duality mappings and nonlinear problems, Kluwer Acad Publ, Dordrecht [41] Ekeland,I., Temam,R (1976), Convex Analysis and Variational Problems, North-Holland, Amsterdam, Holland [42] Engl,H.W., Kunish,K., Neubauer,A (1989), Convergence rates for Tikhonov regularization of nonlinear ill-posed problems, Inverse Problems, 5(4), 523-540 [43] Fiacco,A.V., McCormick,G.P (1968), Nonlinear programming: se-quential unconstrained minimization techniques, New-York [44] Gerald,T (2001), Nonlinear functional analysis, Wien, Austria [45] Hadamard,J (1932), Le probl²me de Caushy et les ²quations aux d²riv²es partielles lin²aires hyperpoliques, Hermann, Paris [46] Haltmeier,M., Kowar,R., Leitao,A., Scherzer,O (2007), Kacmarz methods for nonlinear ill-posed equations I: Convergence analysis, Inverse problem and Imaging, 1(2), 289-298, II: Application 1(3), 507-523 112 [47] Hanke,M (1997), A regularizing Levenberg - Marquardt scheme , with applications to inverse ground water filtration problems, Inverse Problems, 13(1), 79-95 [48] Hein,T (2008), Convergence rates for multi - parameter regulariza-tion in Banach spaces, International Journal of Pure and Applied Mathematics, 43(4), 773-794 [49] Heinz,H.B., Patrick,L.C (2010), Convex analysis and monotone op-erator theory in Hilbert spaces, Springer, New York [50] Hohage,T (1999), Iterative Methods in Inverse Obstacle Scattering: Regularization Theory of Linear and Nonlinear Exponentially Ill-Posed Problems, PhD thesis, University of Linz [51] Ivanov,V.K (1962), On linear ill-posed problems, Dokl Acad Nauk SSSR Math (in Russian) [52] Ivanov,V.K (1963), On linear ill-posed problems, Math Sbornik (in Russian) [53] John,K.H., Bruno,N (2005), Applied analysis, Wordl Scientific Pub-lishing, Singapore [54] Kaltenbacher,B (1997), Some Newton type methods for the regu-larization of nonlinear ill-posed problems, Inverse Problems, 13(3), 729-753 [55] Kapmanov,V.G (1986), Linear programming, Moscow, Nauka (in Russian) 113 [56] Kinderlehrer,D., Stampacchia,G (1980), An introduction to Variational Inequalities and Their Applications, Academic Press, NewYork [57] Konyagin,C.V (1980), On approximative properties of closed sets in Banach spaces and the characteristics of strongly convex spaces, Dokl Acad Nauk SSSR, 251(2), 276-280 [58] Kowar.R., Scherzer.O (2002), Convergence analysis of a Landweber-Kaczmarz method for solving nonlinear ill-posed problems, in: S Ro-manov, S.I Kabanikhin, Y.E Anikonov, A.L Bukhgein, Ill-Posed and Inverse Problems, VSP Publishers, Zeist [59] Krein,S.G.E, Petunin.Y.I (1966), Scales of Banach spaces, Russian Math Surveys, 21(2), 85-159 [60] Lavrentiev,M.M (1967), Some improperly posed problems in math-ematical physics, Springer, New-York [61] Lerray,J., Shauder,I (1946), Topology and functional equations, Us-pekhiMath Nauk, (in Russian) [62] Morozov,V.A (1966), Regularization of incorrectly posed problems and the choice of regularization parameter, USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, 6(1), 242-251 [63] Neumann,J.V (1949), On rings of operators Reduction theory, An-nals of Mathematics, 401- 485 114 [64] Ortega,J.M., Rheinboldt,W.C (1970), Interative solution of nonlin-ear equations in serveral variable, Academic press, New York San-Fransisco - London [65] Petrovsky.I.G (1954), Lectures on partial differential equations, In-terscience, New York [66] Phelps,R.R (1989), Convex functions, monotone operators and dif-ferentiability, Springer - Verlag, Berlin, Germany [67] Polak,E (1974), Numerical methods of optimizations, Moscow, Mir, (in Russian) [68] Ryazantseva,I.P (1989), On one algorithm for solving nonlinear monotone equations with an unknown estimate input errors, Zh Vy-chisl Math.i Math Fiz SSSR, 29(10), 1572- 1576 (in Russian) [69] Ryazantseva,I.P (2002), Regularization proximal point algorithm for nonlinear equations of monotone type in Banach space, Zh Vychisl Math.i Math Fiz, 42(9), 1295-1303 [70] Seidman,T.I., Vogel,C.R (1989), Well-posednes and convergence of some regularization methods for nonlinear illposed problems, In-verse problems, 5(2), 227-238 [71] Song,Y.S (2009), An iterative process for a finite family of pseudocontractive mappings, Acta Mathematica Sinica, 25(2), 293-298 [72] Takahashi,W., Ueda,Y (1984), On Reich's strong convergence the-orem for resolvents of accretive operators, J.Math Anal Appl, 104(2), 546-553 115 [73] Tikhonov,A.N., Arsenin,V.Y (1977), Solution of ill-posed problems, Wiley, N.Y [74] Tikhonov,A.N., Glasko,V.B (1965), Application of regularization methods in nonlinear problems, Zh Vychisl Math i Math Fiz SSSR, 5(3), 463-473 (in Russian) [75] Tikhonov,A.N (1963), On regularization for incorrectly posed problems, Dokl Acad Nauk SSSR Math, 153(1), 49 -52 (in Russian) [76] Tikhonov,A.N (1963), Regularization of incorrectly posed problems, In Soviet Math Dokl, 4(6), 1624 -1627 [77] Tikhonov,A.N (1963), Solution of incorrectly formulated problems and the regularization method, Dokl Acad Nauk SSSR Math, 4, 1035 -1038 (in Russian) [78] Vainberg,M.M (1972), Variational method and method of monotone mappings, Moscow, Nauka (in Russian) [79] Vainberg,M.M (1973), Variational method and methods of mono-tone operators in the theory of nonlinear equations, Wiley, New-York [80] Vasil'ev,P.P (1980), Numerical methods for solving optimal prob-lems, Moscow, Nauka (in Russian) 116 ... KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN CÔNG NGHỆ THÔNG TIN NGUYỄN ĐÌNH DŨNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ ĐẶT KHƠNG CHỈNH Chun ngành: Tốn học tính tốn Mã số: 62.46.30.01... ng X ữủc gồi l hởi tử yáu tợi x X, náu vợi måi x X ta câ lim hxn; x i = hx; x i : n!1 DÂy hởi tử yáu ữủc kỵ hiằu: xn * x n ! fxng X ữủc gồi l hởi tử mÔnh tợi x X náu nõ hởi tử theo chuân, tực... > Liản tửc Lipschitz trản X, náu kA(x) A(y)k Lkx yk; 8x; y X; Ơy, L l hơng số dữỡng Khi L = thẳ A ữủc gồi l toĂn tỷ khổng gi Ân Dạ thĐy, náu A l toĂn tỷ ngữủc U ỡn iằu mÔnh vợi hơng số thẳ A