độ nhạy nghiệm của bất đẳng thức biến phân

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM ––––––––––––––––––– LÊ THANH SƠN ĐỘ NHẠY NGHIỆM CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn Thái Nguyên - Năm 2013 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan: Bài luận văn tốt nghiệp này là công trình nghiên cứu thực sự của cá nhân tôi, đƣợc thực hiện trên cơ sở nghiên cứu lý thuyết, nghiên cứu khảo sát và phân tích từ thực tiễn dƣới sự hƣớng dẫn khoa học của GS.TSKH. Nguyễn Xuân Tấn. Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu đƣợc trình bày trong luận văn là hoàn toàn trung thực và chƣa đƣợc sử dụng để bảo vệ cho một học vị nào, phần trích dẫn và tài liệu tham khảo đều đƣợc ghi rõ nguồn gốc. Thái Nguyên, ngày tháng năm 2013 Tác giả Lê Thanh Sơn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii LỜI CẢM ƠN Luận văn này đƣợc hoàn thành dƣới sự hƣớng dẫn tận tình và nghiêm khắc của thầy giáo GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn, nhân dịp này em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy về sự hƣớng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập và nghiên cứu. Em xin bày tỏ lòng biết ơn đối với các thầy giáo, cô giáo ở Viện Toán học và Phòng quản lý đào tạo sau đại học cùng toàn thể các thầy giáo, cô giáo của trƣờng ĐHSP Thái Nguyên. Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng GD&ĐT Sông Lô, Trƣờng THCS Lãng Công đã tạo điều kiện về thời gian để có thể hoàn thành luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn các bạn học viên đã chia sẻ cùng tôi những khó khăn trong những năm tháng học tập xa nhà. Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong đƣợc sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này đƣợc hoàn chỉnh hơn. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU 1 1. Lý do chọn đề tài 1 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2 3. Bố cục luận văn 3 Chƣơng I. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4 1.1. Các không gian thƣờng dùng 4 1.1.1. Không gian Metric. 4 1.1.2. Không gian tuyến tính định chuẩn 6 1.1.3. Không gian Hilbert 8 1.1.4. Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phƣơng Hausdoff 10 1.1.5. Không gian đối ngẫu. 11 1.2. Ánh xạ đa trị 11 1.3. Bài toán tối ƣu. 12 1.4. Kết luận 14 Chƣơng II. ĐỘ NHẠY NGHIỆM CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN SUY RỘNG 15 2.1 Khái niệm cơ bản 15 2.2. Các kết quả bổ trợ 17 2.3. Các tính chất liên tục của nghiệm bất đẳng thức biến phân suy rộng phụ thuộc tham số 19 2.4. Các trƣờng hợp đặc biệt 32 2.5. Một vài ứng dụng 34 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn iv 2.6. Kết luận 37 Chƣơng III. TÍNH LIÊN TỤC HOLDER CỦA NGHIỆM BÀI TOÁN BIẾN PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ 38 3.1. Tính chất liên tục Holder của nghiệm của   ,P  . 39 3.2. Các kết quả bổ trợ 41 3.3. Chứng minh định lý 3.1.1 48 3.4. Kết luận 54 KẾT LUẬN CHUNG 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO 56 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết bất đẳng thức biến phân ra đời cách đây hơn 50 năm với các công trình quan trọng của G. Stampacchia, P. hartman, G. Fichera, J. L. Lions và F. E. Browder. Trong suốt hơn 50 năm qua, lý thuyết này đã thu hút đƣợc sự quan tâm của nhiều tác giả trong và ngoài nƣớc. Có rất nhiều bài báo, rất nhiều cuốn sách đề cập đến các bất đẳng thức biến phân và ứng dụng của chúng. Hiện nay những bài toán phụ thuộc tham số đang đƣợc các nhà toán học và các nhà khoa học khác quan tâm nghiên cứu rất nhiều và có những ứng dụng quan trọng trong nhiều lĩnh vực. Giả sử K là một tập lồi đóng trong không gian định chuẩn X , * :f K X là ánh xạ đơn trị từ K vào không gian đối ngẫu * X của X . Bài toán “ Tìm xK sao cho   ,0f x x x với mọi xK ” đƣợc gọi là bất đẳng thức biến phân xác định bởi toán tử f trên tập K . Nếu * :2 X FK là một ánh xạ đa trị từ K vào * X thì bài toán “ Tìm xK sao cho tồn tại   * x F x thỏa mãn * ,0x x x với mọi xK ” đƣợc gọi là bất đẳng thức biến phân suy rộng xác định bởi tập K và toán tử F . Khi toán tử   fF phụ thuộc tham số  và tập hạn chế K phụ thuộc tham số  nào đó thì bài toán trên đƣợc gọi là bất đẳng thức biến phân phụ thuộc tham số ( bất đẳng thức biến phân suy rộng phụ thuộc tham số, tƣơng ứng). Ở đây   ,  là cặp tham số của bài toán. Bất đẳng thức biến phân phụ thuộc tham số và bất đẳng thức biến phân suy rộng phụ thuộc tham số, cùng với các ứng dụng khác nhau của chúng là nội dung chính của luận văn này. Tƣơng tự nhƣ trong nhiều lĩnh vực toán học khác, các vấn đề chủ yếu đƣợc nghiên cứu trong lý thuyết bất đẳng thức biến Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 phân là sự tồn tại nghiệm, tính liên tục của tập nghiệm theo tham số, và các thuật toán tìm nghiệm. Để tiện theo dõi luận văn này, ta nhắc lại kết quả trong   14 : Giả sử H là không gian Hilbert thực, M và  là hai tập tham số khác rỗng lấy trong hai không gian định chuẩn nào đó, :f H M H là ánh xạ đơn trị, :2 H K  là ánh xạ đa trị nhận giá trị là các tập lồi, đóng, khác rỗng. Xét bất đẳng thức biến phân phụ thuộc tham số:       T m sao cho , , 0, , ì x K f x y x y K              0.1 ở đó   , M    là cặp tham số của bài toán và , là ký hiệu tích vô hƣớng trong H . Với cặp tham số   , M    cho trƣớc, ta có thể xem   0.1 nhƣ một bài toán nhiễu của bất đẳng thức biến phân sau đây:       T m sao cho , , 0, . ì x K f x y x y K               0.2 Giả sử x là một nghiệm của   0.2 . Chúng ta cần biết xem liệu   0.1 có thể cónghiệm   ,xx   ở gần x khi   ,  ở gần   ,  hay không, và hàm   ,x  có dáng điệu nhƣ thế nào. Nói cách khác là ta cần nghiên cứu độ nhạy của nghiệm x đối với sự thay đổi của   ,  . 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2.1. Mục đích nghiên cứu Mục đích chính của luận văn này là trình bày một số kết quả về độ nhạy nghiệm của bất đẳng thức biến phân suy rộng có phụ thuộc tham số trong không gian Banch phản xạ và một số áp dụng để khảo sát độ nhạy nghiệm của bài toán quy hoạch lồi phụ thuộc tham số. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ sau đây: Trình bày kiến thức cơ bản. Trình bày độ nhạy nghiệm của bất đẳng thức biến phân suy rộng. Trình bày tính liên tục Holder của nghiệm bài toán biến phân phụ thuộc tham số. 3. Bố cục luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm 3 chƣơng. Chƣơng 1 kiến thức chuẩn bị. Trong đó mục 1.1 trình bày các không gian thƣờng dùng. Mục 1.2 trình bày ánh xạ đa trị. Mục 1.3 nhắc lại bài toán tối ƣu. Chƣơng 2 nghiên cứu độ nhạy nghiệm của bất đẳng thức biến phân suy rộng. Trong đó, Mục 2.1 trình bày các ký hiệu và khái niệm liên quan đến bất đẳng thức biến phân. Mục 2.2 trình bày một số sự kiện về toán tử đơn điệu cực đại. Mục 2.3 thiết lập các điều kiện đủ cho tính liên tục tựa Holder của ánh xạ nghiệm của bất đẳng thức biến phân suy rộng, Mục 2.4 đề cập tới một số trƣờng hợp riêng. Mục 2.5 đƣợc dành cho việc áp dụng các kết quả thu đƣợc trong các mục trƣớc để nghiên cứu độ nhạy nghiệm của bài toán quy hoạch lồi có tham số. Chƣơng 3 nghiên cứu các tính chất liên tục kiểu Lipschitz-Holder của nghiệm các bài toán biến phân phụ thuộc tham số. Mục 3.1 trình bày bài toán và các bổ đề bổ trợ. Mục 3.2 thiết lập một số kết quả về tính liên tục Lipschitz và tính đơn điệu mạnh của toán tử đạo hàm. Mục 3.3 trình bày chứng minh định lý chính của chƣơng này. Bằng cách sử dụng các kết quả của chƣơng 2 và các mục 3.1 và 3.2, chúng ta có đƣợc kết quả về tính chất liên tục kiểu Lipschitz-Holder của ánh xạ nghiệm theo tham số. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 Chƣơng I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chƣơng này chúng ta sẽ nhắc lại một số kiến thức cơ bản để sử dụng trong suốt luận văn này. 1.1. Các không gian thƣờng dùng 1.1.1. Không gian Metric. Định nghĩa 1.1.     4, .33p Một tập hợp X đƣợc gọi là một không gian metric nếu: a) Với mỗi cặp phần tử ,xy của X đều có xác định, theo một quy tắc nào đó, một số thực   ,xy  ; b) Qui tắc nói trên thỏa mãn các điều kiện sau đây: 1.   ,y 0x   nếu xy ;   ,y 0x   nếu xy ( tính tự phản xạ), 2.     ,y ,x y x   với mọi ,xy (tính đối xứng), 3.       ,y , z,yx x z     với mọi ,,x y z (bất đẳng thức tam giác). Hàm số   ,yx  gọi là metric của không gian và cặp   ,X  đƣợc gọi là không gian metric. Ví dụ. 1) Một tập M bất kỳ của đƣờng thẳng R , có khoảng cách thông thƣờng   ,yx x y   (độ dài đoạn nối x và y ), là một không gian metric. 2) Tổng quát hơn, trong không gian k chiều k R , có thể xác định khoảng cách giữa hai điểm   12 , , , k x     và   12 , , , k y     là :     2 1 , k ii i xy       là không gian metric. Trong không gian metric, nhờ có khoảng cách, nên có thể định nghĩa: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 1) Sự hội tụ. Ta nói một dãy điểm 12 , , xx của một không gian metric X hội tụ tới điểm x của không gian đó nếu   lim , 0 n n xx    . Ta viết n xx hoặc lim n xx , và điểm x gọi là giới hạn của dãy   n x . 2) Lân cận. Một hình cầu tâm a , bán kính   0rr   , trong một không gian metric X , là tập:       , : ,B a r x x a r   . Hình cầu tâm a , bán kinh r , cũng gọi là một r - lân cận của điểm a và mọi tập con của X bao hàm một r - lân cận nào đó của điểm a gọi là một lân cận của điểm a . Điểm trong: điểm x gọi là một điểm trong của tập A nếu có một lân cận của x nằm trong tập A . 3) Tập mở. Một tập là mở nếu mọi điểm thuộc nó đều là điểm trong. 4) Tập đóng. Một tập là đóng nếu mọi điểm không thuộc nó đều là điểm trong của phần bù của nó. Bốn khái niệm trên có mối quan hệ mật thiết với nhau: ba khái niệm còn lại đều suy ra từ một khái niệm cho trƣớc và chúng cùng sinh ra trên tập X một cấu trúc, cấu trúc này đƣợc gọi là cấu trúc tôpô. Dãy   n xX đƣợc gọi là dãy Cauchy nếu   ,0 nm xx   khi ,nm . Không gian metric mà mọi dãy Cauchy đều hội tụ thì đƣợc gọi là không gian metric đủ. Bao đóng: Giả sử A là tập con của X . Giao của tất cả các tập hợp đóng chứa A gọi là bao đóng của tập hợp A và ký hiệu A . Từ định nghĩa lân cận ta có các định nghĩa sau: Với aX , 0, X   . Tập:   ( , ) : ( , )B a x X a x       , gọi là hình cầu mở tâm a , bán kính  . Tập:   ( , ) : ( , )B a x X a x       , gọi là hình cầu đóng tâm a , bán kính  . Hình cầu đợn vị đóng trong X đƣợc ký hiệu X B . [...]... bậc nhất của một bài toán tối ƣu bất kỳ có thể viết dƣới dạng một bất đẳng thức biến phân hoặc bất đẳng thức biến phân suy rộng nên hầu hết các kết quả về bất đẳng thức biến phân và bất đẳng thức biến phân suy rộng đều có ứng dụng trong tối ƣu hoá Nói riêng ra, các kết quả về tính ổn định và độ nhạy nghiệm của các bất đẳng thức biến phân suy rộng có những hệ quả trực tiếp đối với ánh xạ nghiệm của các... các kiến thức cơ bản về các không gian thƣờng dùng, ánh xạ đa trị và bài toán tối ƣu, những kiến thức này sẽ đƣợc sử dụng nhiều trong chƣơng 2 và chƣơng 3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 15 Chƣơng II ĐỘ NHẠY NGHIỆM CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN SUY RỘNG Trong chƣơng này chúng ta sẽ thiết lập một số kết quả về độ nhạy nghiệm của bất đẳng thức biến phân suy...  t  ,   0 , thì  2.6  trở thành * * x2  x1 , x2  x1   x2  x1 2  2.7  Trong trƣờng hợp này G đƣợc gọi là đơn điệu mạnh 2.3 Các tính chất liên tục của nghiệm bất đẳng thức biến phân suy rộng phụ thuộc tham số Xét bất đẳng thức biến phân phụ thuộc tham số dạng  2.5 , trong đó F  x,   , K    , M ,  đƣợc định nghĩa nhƣ trong mục 2.1 Giả sử  x0 , 0 , 0   X  M   là bộ ba thoả... sao cho   x    Dƣới vi phân của  tại x đƣợc ký hiệu bởi   x  và đƣợc xác định bởi công thức :   x    x*  X * :   y     x   x* , y  x y  X   2.2 Giả sử F : X  2 X là một ánh xạ đa trị, bất đẳng thức biến phân suy rộng, * xác định bởi ánh xạ F và tập lồi K là bài toán tìm x  K thoả mãn bao hàm 0  F  x   N K  x  thức:  2.3 Từ công thức  2.1 suy ra rằng x  X... và x0 đƣợc gọi là nghiệm tối ƣu địa phƣơng của bài toán Trong lý thuyết tối ƣu tổng quát, ta cũng cần lƣu ý rằng, bài toán trên có liên quan mật thiết với một số bài toán khác dƣới đây: 1 Bài toán điểm cân bằng Cho D là tập con khác rỗng của không gian X , f : D  D  R Tìm x  D sao cho: f  x , y   0, x  D 2 Bài toán bất đẳng thức biến phân Gọi X * là không gian đối ngẫu của X Nếu x  X ,... và lân cận V của 0 sao cho K      U   K       d   ,    B X với mọi  ,   V  2.10   Khi đó tồn tại lân cận W của  0 , lân cận V của 0 sao cho với      ,    W  V tồn tại duy nhất nghiệm x  x   ,   U của bất đẳng thức biến phân suy rộng sau 0  F  x,    N K     x   2.11   Hơn nữa, x  0 ,    x0 , và hàm   ,    x   ,   là liên tục trên... ,   , bất đẳng thức  2.7  nghiệm đúng, thì  a2  đƣợc thoả mãn Chứng minh là hiển nhiên Cũng dễ thấy rằng nếu tồn tại một hàm không giảm  : R  R ,  t   0 khi t  0 , sao cho với mọi   M và với mọi  * * x1 , x1  ,  x2 , x2   gr F ,   bất đẳng thức  2.6 nghiệm đúng, thì  a2  đƣợc thoả mãn Nhận xét 2.3.2 Nếu  a1  và  a2  đƣợc thoả mãn, với mọi   M , hạn chế của ánh xạ... Thái Nguyên  2.8 http://www.lrc-tnu.edu.vn 20 Kết quả đầu tiên của chúng ta về độ nhạy nghiệm của bài toán  2.5 đối với sự thay đổi của cặp tham số   ,   đƣợc phát biểu nhƣ sau: Định lý 2.3.1 Giả sử rằng các điều kiện sau đây đƣợc thoả mãn:  a1  Với mọi   M , F ,   là toán tử đơn điệu cực đại;  a2  Tồn tại lân cận U Nếu  của x0 sao cho với mọi   0 tồn tại   0 để: * * x1 , x1  ,...  a4  Tồn tại lân cận U  của 0 , lân cận V của 0 , và hằng số k  0 sao cho K      U   K     kd   ,   B X , với mọi  ,    V  2.25   Khi đó tồn tại lân cận W của  0 , lân cận V của 0 , các hằng số k1, k2  0 sao   cho với mọi   ,    W  V tồn tại duy nhất nghiệm x  x   ,   U của bài toán  2.11 thoả mãn đẳng thức x  0 , 0   x0 và 1 x   ,    ...  trở thành:  2.4 và bài toán tƣơng ứng gọi là bất đẳng thức biến phân xác định bởi ánh xạ f và K Giả sử  ,d  và M ,d  là các không gian metric Giả sử x0  X ,  0 và 0  M Giả sử F : X  M  2 X , K :   2 X là hai ánh xạ * đa trị Ta luôn giả sử rằng K  nhận giá trị lồi, đóng, khác rỗng Bài toán tìm x  x   ,   thoả mãn bao hàm thức Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái . của một bài toán tối ƣu bất kỳ có thể viết dƣới dạng một bất đẳng thức biến phân hoặc bất đẳng thức biến phân suy rộng nên hầu hết các kết quả về bất đẳng thức biến phân và bất đẳng thức biến. 15 Chƣơng II ĐỘ NHẠY NGHIỆM CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN SUY RỘNG. Trong chƣơng này chúng ta sẽ thiết lập một số kết quả về độ nhạy nghiệm của bất đẳng thức biến phân suy rộng có tham. Chƣơng II. ĐỘ NHẠY NGHIỆM CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN SUY RỘNG 15 2.1 Khái niệm cơ bản 15 2.2. Các kết quả bổ trợ 17 2.3. Các tính chất liên tục của nghiệm bất đẳng thức biến phân suy rộng