Đề tài Sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh một số bất đẳng thức phức tạp khác

ViÖc d¹y HS gi¶i to¸n BÊt đẳng thức cũng gặp nhiều khó khăn do đa phần các bài toán đòi hỏi tư duy rất cao, suy luận rộng và phải linh hoạt khi đi tìm cách giải do đó dẫn đến việc tiếp t[r]

Lêi c¶m ¬n T«i xin tr©n thµnh c¶m ¬n: Së Gi¸o dôc vµ §µo t¹o tØnh H­ng Yªn Ban Giám hiệu trường THPT Nam Khoái Châu Các thầy, cô giáo tổ Toán trường THPT Nam Khoái Châu Đã động viên, khích lệ và tạo điều kiện giúp đỡ tôi hoàn thành s¸ng kiÕn kinh nghiÖm nµy! H­ng Yªn:11 2008 Lop10.com PhÇn i Më §Çu Lý chọn đề tài Chúng ta bước vào thập niên đầu tiên kỉ XXI, kỉ khoa häc, c«ng nghÖ vµ th«ng tin Trong thÕ kØ nµy víi sù tiÕn bé nhanh chãng cña khoa häc c«ng nghÖ, mét sù chuyÓn biÕn mang tÝnh c¸ch m¹ng vÒ kinh tÕ diễn trên phạm vi toàn cầu Người ta gọi là chuyển dịch lên kinh tế tri thức, đó tri thức đóng vai trò then chốt phát triển kinh tế xã hội loài người Một xã hội muốn có phồn vinh phải dựa vào “tri thức”, dựa vào tư sáng tạo và tài sáng chế người Xã hội càng phát triển thì người ta càng quan tâm và đòi hỏi nhiều đến giáo dục Bởi ngành giáo dục phải không ngừng đổi và nâng cao chất lượng giáo dục góp phần vào việc đào tạo người phù hợp với xu hướng phát triển thời đại Để đáp ứng điều đó giáo dục trên giới nói chung và Việt Nam nói riêng đã và có số phương hướng nhằm đổi PPDH đảm bảo cho việc đào tạo người có đầy đủ phẩm chất, lực, tri thức đáp ứng nhu cầu đòi hỏi cấp bách nguồn nhân lực xu Những phương pháp chủ yếu triển khai là: tích cực hoá quá trình dạy học; cá thể hoá việc học tập; thực công nghệ đào tạo; dạy học lấy học sinh làm trung t©m… Trong chương trình Đại số trường phổ thông, Bất đẳng thức là phần toán chứa đựng lượng kiến thức rộng, hay coi là khó đối víi HS, kÓ c¶ mét sè GV cßn ch­a nhiÒu kinh nghiÖm ViÖc d¹y HS gi¶i to¸n BÊt đẳng thức gặp nhiều khó khăn đa phần các bài toán đòi hỏi tư cao, suy luận rộng và phải linh hoạt tìm cách giải đó dẫn đến việc tiếp thu kiến thức và cách giải phần toán này có nhiều hạn chế: HS ngại phải đào sâu suy nghĩ, thường thụ động giải toán, thường HS quen dùng phương pháp biến đổi tương đương gặp bài toán Bất đẳng thức, điều này không khả quan thì trở lên lúng túng không biết nên đâu, đặc biệt là bài toán có sử dụng bất đẳng thức phụ Với lý trên đây tôi xin trình bày số bài toán có sử dụng Bất đẳng thức phụ để chứng minh các BĐT phøc t¹p kh¸c ®em l¹i lêi gi¶i ng¾n gän, tù nhiªn, dÔ hiÓu vµ dÔ tr×nh bµy phÇn Lop10.com nào đó giúp cho việc khai thác, dạy học chủ đề BĐT thuận lợi và có hiệu cao hơn; với tên đề tài: “Sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh số bất đẳng thức phức tạp khác” hay “Sử dụng bất đẳng đơn giản để chứng minh bất đẳng thức phức tạp ” * Mục đích ta không phải là giải bài toán phụ mà vì ta hy vọng xét nó ta gần tới cách giải bài toán ban đầu Cái đích ta muốn đạt tới là cách giải bài toán ban đầu, cách giải bài toán phụ là phương tiện ta nhờ đó mà đạt tới mục đích Việc tìm bài toán phụ là quá trình suy luận quan trọng, khả đặt bài toán phụ cách rõ ràng, hiểu thấu mục đích nó là phương tiện để đạt tới mục đích chính, là thành công tinh tế trí tuệ V× vËy viÖc d¹y hay häc c¸ch vËn dông nh÷ng bµi to¸n phô mét c¸ch th«ng minh lµ rÊt quan träng C¸i lîi mµ ta cã ®­îc xÐt bµi to¸n phô, cã thÓ mang nh÷ng tÝnh chÊt kh¸c Ta có thể dùng kết bài toán phụ để làm cách giải cho bài toán khác Ta khảo sát cách thông minh bài toán phụ loại tương tự với hy vọng là nó bổ ích, nó cho ta điều kiện làm quen với phương pháp định, phép tính định, với các công cụ mà cuối cùng chúng ta có thể dùng nó để giải bài toán ban đầu Tuy nhiên thời gian và sức lực chúng ta để giải bài toán phụ, không phải dùng trực tiếp cho mục đích chúng ta Nếu việc khảo s¸t bµi to¸n phô kh«ng cã kÕt qu¶ th× thêi gian vµ søc lùc bá lµ v« Ých V× vËy cÇn ph¶i cã kinh nghiÖm chän bµi to¸n phô theo nhiÒu c¸ch kh¸c Ch¼ng h¹n bµi to¸n phô cã thÓ dÔ lµm h¬n bµi to¸n xuÊt ph¸t, nã cã thÓ tá bæ Ých vµ quyÕn rò ghª gím §«i bµi to¸n phô chØ cã lîi ë chç lµ nã míi vµ nã ®em l¹i nh÷ng kh¶ n¨ng ch­a khai th¸c Chóng ta chän bµi to¸n phô v× viÖc t×m c¸ch gi¶i trùc tiÕp bµi to¸n ban ®Çu kh«ng cã kÕt qu¶ vµ chØ dÉn tíi sù mÖt mái VËy làm nào để tìm bài toán phụ? Việc giải bài toán ban đầu thường phụ thuộc vào chỗ có tìm bài toán phụ thích hợp hay không? Khổ nỗi lại không có phương pháp nào toàn cho phép tìm bài toán phụ, không có phương ph¸p toµn mü lu«n dÉn tíi c¸ch gi¶i Lop10.com PhÇn II Néi Dung Trông phần này tôi xin trình bày bài toán Bất đẳng thức đơn giản có chương trình phổ thông, qua đó khai thác – vận dụng các Bất đẳng thức đó vào chứng minh số Bất đẳng thức phức tạp khác Bµi to¸n (Bµi 6, §¹i sè 10 n©ng cao, trang 110; Bµi sè 4, §¹i sè 10 ban c¬ b¶n, trang 79) Chøng minh r»ng: NÕu a  vµ b  th× a3+b3  a2b + ab2 (1) Chøng minh Cách 1: (Dùng PP biến đổi tương đương) Ta cã: a3+b3  a2b + ab2  a3+b3 - a2b + ab2   a2(a-b) – b2(a - b)   (a-b)(a2 – b2)   (a-b)(a-b)(a-b)   (a-b)2(a+b)  B§T sau cïng này luôn đúng với a, b nên BĐT đã cho đúng với a  và b  0, và dấu b»ng x¶y a = b hoÆc a = b = Cách 2: (Dùng PP biến đổi tương đương) Ta cã: : a3+b3  a2b + ab2  (a+b)(a2 – ab + b2)  ab(a+b)  (a+b)(a2– ab +b2 - ab)   (a-b)2(a+b)  0.Đây là BĐT đúng Cách 3: (Dùng PP biến đổi tương đương) Ta cã: a3+b3  a2b + ab2  a(a2-b2)–b(a2 – b2)   (a2-b2)(a-b)   (a-b)2(a+b)  Đây là BĐT đúng Cách 4: (Dùng PP đặt ẩn phụ ) Ta xét các trường hợp sau: +) Nếu a = thì BĐT đã cho trở thành b3  (Luôn đúng vì b  ) +) Nếu a > thì đặt b = t.a, t  Thay vào BĐT đã cho ta được: a3+t3a3  ta3+t2a3  1+t3  t +t2  (t+1)(t2-t +1)  t(t +1)  (t +1)(t2 –t +1 -t) )   (t +1)(t - 1)2  Đây là BĐT đúng C¸ch 5: (Dïng B§T C«si cho sè kh«ng ©m) ¸p dông B§T C«si cho sè kh«ng ©m lµ a3 vµ ab2, b3 vµ a2b ;Ta cã: a3 + ab2  a 3ab = 2a2b; b3 + a2b  b3a 2b = 2ab2 Céng theo tõng vÕ B§T trªn l¹i víi nhau,ta cã B§T cÇn chøng minh Lop10.com DÊu “=” x¶y vµ chØ a = b = hoÆc a=b C¸ch 6: (Dïng B§T C«si cho sè ) Ta xét các trường hợp: +) Nếu a = b = thì BĐT luôn đúng +) NÕu a > vµ b > th× ta chia c¶ vÕ cña B§T cho ab > ta ®­îc: a b2 + = a+b b a Khi đó áp dụng BĐT Côsi cho số dương là a2 a2 +b  b = 2a, b b a2 b2 vµ b, vµ a, Ta ®­îc: b a b2 b2 +a  a = 2b; a a Céng theo tõng vÕ hai B§T l¹i víi ta ®­îc B§T cÇn chøng minh C¸ch 7: (Dïng B§T C«si cho sè kh«ng ©m) Ta ¸p dông B§T thøc C«si cho sè kh«ng ©m a3, a3 vµ b3; b3, b3 vµ a3; Ta cã: a3 + a3 +b3  3a2b; b3 +b3 +a3  3ab2 Céng theo tõng vÕ B§T l¹i víi ta ®­îc B§T cÇn chøng minh C¸ch 8: (Dïng B§T C«si cho sè kh«ng ©m) Ta biến đổi vế trái BĐT đã cho, sau VT(1) = a3+b3 = (a +b)(a2 +b2-ab), mµ ¸p dông B§T C«si cho sè kh«ng ©m a2 vµ b2 Ta cã: a2 +b2  2ab Do đó VT(1) = (a +b)(a2 +b2-ab)  (a +b)(2ab - ab) = (a +b)ab = a2b + ab2 = VP(1) VËy B§T ®­îc chøng minh Bây ta áp dụng BĐT(1) để chứng minh số BĐT phức tạp khác: Bài toán 1.1: Cho a,b,c là các số dương Chứng minh rằng: a  b3 b3  c c  a    a  b  c 2ab 2bc 2ca Chøng minh Ta sÏ sö dông B§T (1) nh­ sau: Lop10.com (1.1) Ta cã a3+b3  a2b + ab2  a3+b3  ab(a+b)  còng cã: b3  c b  c c  a c  a  ,  2bc 2ca a  b3 ab ; Tương tự, ta  2ab .Céng theo tõng vÕ c¸c B§T trªn l¹i víi ta ®­îc B§T cÇn chøng minh Bµi to¸n 1.2: Cho a, b, c Chøng minh r»ng: a b3 c    ab  bc  ca b c a (1.2) Chøng minh Ta cã: a3+b3  a2b + ab2  a3  - b3 + a2b + ab2  a3  b(-b2+ a2b + ab2)  a3 b3 c3  -b2+ ab + a2 Tương tự ta có:  c  bc  b ,   a  ca  a Khi đó b c a céng theo tõng vÕ c¸c B§T trªn l¹i ta ®­îc B§T cÇn chøng minh Bài toán 1.3: Cho a, b, c là các số dương Chứng minh rằng: 1 1  3   3 a  b  abc b  c  abc c  a  abc abc (1.3) Chøng minh Ta cã: a3+b3  a2b + ab2  a3+b3 + abc  a2b + ab2 +abc  a3+b3 + abc  ab(a+b+c) 1 c   , Tương tự , ta có: a  b  abc ab(a  b  c) abc(a  b  c) b  c  abc 3  a b ,  ; abc(a  b  c) c  a  abc abc(a  b  c) Céng c¸c B§T nµy l¹i víi theo tõng vÕ ta ®­îc B§T cÇn chøng minh Bài toán 1.4: Cho a, b, c là các số dương Chứng minh rằng: a3 b3 c3 abc    (1.4) 2 a  ab  b b  bc  c c  ca  a Chøng minh Lop10.com Ta cã: a3+b3  a2b + ab2  a3  - b3 + a2b + ab2  2a3 +a3  2a3 - b3 + a2b + ab2  3a3  a3 - b3 +a3+ a2b + ab2  3a3  ( a3 - b3 ) + (a3+ a2b + ab2)  3a3  (a - b)(a2 + ab +b2) +a(a2 +ab +b2)  3a3  (a2 + ab +b2)(2a - b)  a3  2a  b a  ab  b Hoàn toàn tương tự cho các biểu thức còn lại, ta có: b3 c3  2b  c,  2c  a b  bc  c c  ca  a Khi đó cộng các vế BĐT trên lại với ta BĐT cần chứng minh Bài toán 1.5: Cho a, b, c là các số dương Chứng minh rằng: 5b3  a 5c  b3 5a  c    a  b  c ab  3b bc  3c ca  3a (1.5) Chøng minh Ta cã: a3+b3  a2b + ab2  -a3  b3 - a2b - ab2  5b3- a3  5b3+b3 - a2b - ab2  5b3- a3  6b3 - a2b - ab2  5b3- a3  2b(ab + 3b2) – a(ab + 3b2)  5b3- a3  (ab + 3b2)(2b –a)  5b3  a  2b  a Tương tự, ta có: ab  3b 5c  b3 5a  c  2c  b;  2a  c bc  3c ca  3a Céng theo tõng vÕ c¸c B§T trªn l¹i ta cã B§T cÇn chøng minh Bài toán 1.6: Cho a, b, c là các số dương Chứng minh rằng: 19b3  a 19c  b3 19a  c    3(a  b  c) ab  5b bc  5c ca  5a (1.6) Chøng minh Ta cã: a3+b3  a2b + ab2  -b3  a3 - a2b - ab2  19a3 – b3  20b3 - a2b - ab2  19a3 – b3  4b(ab+5b2) - a(ab+5b2)  19a3 – b3  (ab+5b2)(4b – a)  19b3  a  4b  a Tương tự ta có: ab  5b 19c  b3 19a  c  c  b ,  4a  c bc  5c ca  5a Céng theo tõng vÕ ta cã B§T cÇn chøng minh Lop10.com Bài toán 1.7: Cho a, b, c là các số dương Chứng minh rằng: 29a  b3 29b3  c 29c  a    4(a  b  c) ab  6a bc  6b ca  6c (1.7) Chøng minh Ta cã: a3+b3  a2b + ab2  -b3  a3 - a2b - ab2  29a3-b3  30a3 - a2b - ab2  29a3-b3  5a(ab+6a2)–b(ab+6a2)  29a3-b3  (ab+6a2)(5a-b)  29a  b3  5a  b ab  6a Tương tự ta có: 29b3  c 29c  a  b  c ,  5c  a Céng theo tõng vÕ c¸c B§T trªn bc  6b ca  6c l¹i víi ta ®­îc B§T cÇn chøng minh Bài toán 1.8: Cho a, b, c là các số dương Chứng minh rằng: 41a  b3 41b3  c 41c  a    5(a  b  c) ab  a bc  7b ca  7c (1.8) Chøng minh Ta cã: a3+b3  a2b + ab2  -b3  a3 - a2b - ab2  41a3 –b3  42a3 - a2b - ab2  41a3 –b3  6a(ab + 7a2) - b(ab + 7a2)  41a3 –b3  (ab + 7a2)(6a – b) 41a  b3 41b3  c 41c  a  6a  b Tương tự ta có :  6b  c,  6c  a  ab  a bc  7b ca  7c Céng theo tõng vÕ c¸c B§T trªn l¹i ta ®­îc B§T cÇn chøng minh Bài toán 1.9: Cho a, b, c là các số dương Chứng minh rằng: 3a  7b3 3b3  7c 3c  a    3(a  b  c )  (ab  bc  ca) 2a  3b 2b  3c 2c  3a (1.9) Chøng minh Ta cã: a3+b3  a2b + ab2  3a3+7b3  2a3 +6b3 + a2b + ab2  3a3+7b3  (2a +3b )(a2 +2b2) - ab(2a + 3b )  3a3+7b3  (2a +3b )(a2 + 2b2 – ab) 3a  7b3  a  2b  ab 2a  3b Lop10.com Tương tự ta có: 3b3  7c 3c  a  b  2c  bc,  c  2a  ca 2b  3c 2c  3a Céng theo tõng vÕ c¸c B§T trªn l¹i vè ta ®­îc B§T cÇn chøng minh Bài toán 1.10: Cho a, b, c là các số dương Chứng minh rằng: 4a  5b3  3a 2b  10ab 4b3  5c  3b 2c  10bc 4c  5a  3c a  10a 2c    3a  b 3b  c 3c  a  5(a  b  c )  (ab  bc  ca) Chøng minh Ta cã: a3+b3  a2b + ab2  4a3 +5b3 -3a2b +10ab2 b3  3a3 +4b3-2 a2b +11ab2  4a3 +5b3 -3a2b +10ab2 b3  (3a +b)(a2 +4b2) - ab(3a +b)  4a3 +5b3 -3a2b +10ab2 b3  (3a +b)(a2 +4b2- ab) 4a  5b3  3a 2b  10ab  a  4b  ab Tương tự ta có: 3a  b 4b3  5c  3b 2c  10bc 4c  5a 3c a  10ca 2  b  4c bc,  c  4a  ca 3b  c 3c  a Céng c¸c B§T trªn l¹i víi ta ®­îc B§T cÇn chøng minh Bài toán 2: Cho a, b là các số dương Chứng minh rằng: 1   a b ab (2) Chøng minh Cách 1: (Dùng PP biến đổi tương đương) Ta cã B§T 1 ab     a b ab ab ab  (a+b)2  4ab  (a-b)2  BĐT này luôn đúng với a, b nên BĐT (2) đúng với a,b dương Cách 2: (Dùng BĐT Côsi cho số dương ) áp dụng BĐT Côsi cho số dương là 1  2  a b ab a+b  ab  1 , ta cã: a b , lại áp dụng BĐT Côsi cho số dương là a và b, ta có: ab  Tõ B§T trªn ta ®­îc B§T (2) ab a  b Lop10.com Bài toán 2.1: Cho a, b là các số dương.Chứng minh rằng: 1   4a  4b 8ab (a  b) (2.1) Chøng minh Ta vận dụng BĐT ( 2) để chứng minh BĐT (2.1) sau: Ta áp dụng BĐT (2) cho số dương là 4a2 +4b2 và 8ab Ta có: 1 1      2 4a  4b 8ab 4a  4b  8ab 4a  4b 8ab (a  b) 2 §©y lµ B§T (2.1) cÇn chøng minh Bài toán 2.2: Cho a, b, c là các số dương.Chứng minh rằng: 1 4      a b c 2a  b  c a  2b  c a  b  2c (2.2) Chøng minh Ta chøng minh B§T (2.2) b»ng B§T (2) nh­ sau: 1 1 4 1 1 1           4(  ) a b a c ab ac a b a c ab ac 1   Do a  b a  c 2a  b  c Tương tự ta có: a b a c đó:     L¹i cã 16 1 16     2a  b  c a b c 2a  b  c 16 1 16    ;    Céng theo tõng vÕ a b c a  2b  c a b c a  b  2c c¸c B§T trªn l¹i víi ta ®­îc B§T cÇn chøng minh Bµi to¸n 2.3: Cho a, b, c lµ sè ®o c¹nh cña mét tam gi¸c Chøng minh r»ng: 1 1 1      abc abc abc a b c (2.3) Chøng minh Vì a, b, c là độ dài cạnh tam giác nên ta có: a+b-c và a-b+c là ác số dương Ta ¸p dông B§T (2) nh­ sau: 10 Lop10.com 1 1      abc abc abcabc a  b  c a  b  c 2a 1    abc abc a Tương tự ta có: 1   ; abc abc b 1   abc abc c Céng c¸c kÕt qu¶ trªn l¹i víi ta ®­îc B§T cÇn chøng minh Bài toán 2.4: Cho a, b, c dương Chứng minh rằng: ac bd ca bd     ab bc cd d a (2.4) Chøng nminh Để vận dụng BĐT (2) để chứng minh BĐT(2.4), ta viết lại BĐT(2.4) sau: B§T (2.4)  (a  c)( 1 1  )  (b  d )(  )  ab cd bc d a Khi đó, ta có: 1 1 4(a  c)    (a  c)(  ) Tương tự ab cd abcd ab cd abcd (b  d )( ta cã: 1 4(b  d )  ) Céng theo tõng vÕ B§T trªn l¹i víi ta bc d a abcd ®­îc B§T cÇn chøng minh Bài toán 2.5: Cho số dương a, b, c, d Chứng minh rằng: 1 1 1 1     4(    ) a b c d 2a  b  c 2b  c  d 2c  d  a 2d  a  b Chøng minh Ta ¸p dông B§T (2) nh­ sau: 1 1 4 1 1 1           4(  ) a b a c ab ac a b a c ab ac 1 1 16     4(  ) a b c ab ac 2a  b  c 11 Lop10.com (2.5) 1 16    ; b c d 2b  c  d 1 16 Tương tự ta có:    ; c a d 2c  a  d 1 16    d a b 2d  a  b Céng c¸c B§T trªn l¹i víi ta ®­îc B§T cÇn chøng minh Bài toán 2.6: Cho a, b, c, d là các số dương Chứng minh rằng: 1 1     ab bc cd d a abcd (2.6) Chøng minh Ta vận dụng BĐT (2) để chứng minh BĐT (2.6) sau; Ta có: 1   ; ab cd abcd 1   ; bc d a abcd Céng theo tõng vÕ B§T trªn l¹i ta ®­îc B§T cÇn chøng minh Bài toán 2.7: Cho a, b, c, d là các số dương Chứng minh rằng: 1 1 1 1     4(    ) a b c d 3a  b 3b  c 3c  d 3d  a (2.7) Chøng minh Ta vận dụng BĐT (2) để chứng minh BĐT (2.7) sau; Ta có: 1 1 4 4 16           a a a b aa ab a b 2a a  b 3a  b Tương tự ta có: 16   ; b c 3b  c 16   ; c d 3c  d 16   ; d a 3d  a Céng c¸c B§T trªn l¹i ta ®­îc B§T cÇn chøng minh Bài toán 2.8: Cho a, b, c là các số dương Chứng minh rằng: 1 1 1      (2.8) a  3b b  3c c  3a a  2b  c a  b  2c 2a  b  c 12 Lop10.com Chøng minh Ta vận dụng BĐT (2) để chứng minh BĐT (2.8) sau; Ta cã: 1 1 Tương tự, ta      a  3b a  b  2c a  3b  a  b  2c a  3b a  b  2c a  2b  c cã: 1   ; b  3c 2a  b  c a  b  2c 1   c  3a 2b  a  c b  2a  c Céng theo tõng vÕ c¸c B§T trªn l¹i ta cã B§T cÇn chøng minh Bài toán 2.9: Cho a, b, c là độ dài cạnh tam giác Chứng minh rằng: 1 1 1    2(   ) pa pb pc a b c (2.9) Víi p lµ nöa chu vi cña tam gi¸c Chøng minh Ta áp dụng BĐT (2) cho số dương là p - a và p – b ; Ta được: 1 1 1         pa pb pa pb p  a p b 2p  a b pa pb c Tương tự ta có: 1   ; pb pc a 1   pc pa p Céng theo tõng vÕ c¸c B§T trªn l¹i víi nhau, ta ®­îc B§T cÇn chøng minh Bµi to¸n 2.10: Bài toán 3: Cho a, b, c là các số dương Chứng minh rằng: 1    a b c abc (3) Chøng minh Để chứng minh BĐT (3) ta sử dụng BĐT Cối cho số dương là nh­ sau: 13 Lop10.com 1 , , vµ a, b, c a b c Ta cã: 1 1    3.3 , a b c abc a  b  c  3.3 abc  Khi đó ta có: 3  abc a  b  c 1    §©y lµ B§T cÇn chøng minh a b c abc Bây ta sử dụng bài toán (3) để chứng minh số BĐT khác Bài toán 3.1: Cho a, b, c là các số dương Chứng minh 1    2a  b 2b  c 2c  a a  b  c (3.1) Chøng minh Ta vận dụng BĐT (3) cho số dương là 2a+b, 2b+c, 2c+a ta có: 1 1        2a  b 2b  c 2c  a 2a  b  2b  c  2c  a 2a  b 2b  c 2c  a 3(a  b  c) 1     2a  b 2b  c 2c  a a  b  c §©y lµ B§T cÇn chøng minh Bài toán 3.2: Cho a, b, c là các số dương Chứng minh rằng: 1    2a  b  c 2b  c  a 2c  a  b 4(a  b  c) (3.2) Chøng minh Ta vận dụng BĐT (3) để chứng minh BĐT (3.2) sau; Ta áp dụng cho số dương là: 2a+b, 2b+c và 2c+a, ta có: 1    2a  b  c 2b  c  a 2c  a  b 2a  b  c  2b  c  a  2c  a  b 1     2a  b  c 2b  c  a 2c  a  b 4(a  b  c) Bài toán 3.3: Cho a, b, c là các số dương Chứng minh rằng: 1 1 1    3(   ) a b c 2a  b 2b  c 2c  a Chøng minh 14 Lop10.com (3.3) Ta vận dụng BĐT (3) cho số dương là a, a và b ta có: 1 9       a a b aab a b 2a  b Tương tự ta có: 9   ;   Céng theo tõng vÕ c¸c B§T trªn l¹i b c 2b  c c a 2c  a víi ta ®­îc B§T cÇn chøng minh Bài toán 3.4: Cho a, b, c là các số dương Chứng minh rằng: a b c    bc ca ab (3.4) Chøng minh áp dụng BĐT (3) cho số dương là b+c, c+a, a+b ta có: 1 1     (a  b  c)(   ) b  c c  a a  b 2(a  b  c) bc ca ab abc abc abc     bc ca ab a b c a b c  1 1 1      bc ca ab bc ca ab §©y lµ B§T cÇn chøng minh Bài toán 3.5: Cho a, b, c là các số dương Chứng minh rằng:  2 ( )2 4 2 2 2 a b c a b b c c a a b c (3.5) Chøng minh Ta viÕt l¹i B§T cÇn chøng minh nh­ sau: 1  2  2 ( )2 4 2 2 2 2 2 a b c a b b c c a a b b c c a a b c Ta áp dụng BĐT (3) cho số dương là a4 + b4 + c4, a2b2 + b2c2 + c2a2 và a2b2 + b2c2 + c2a2; Ta ®­îc: 1  2  2  4 2 2 2 2 4 2 a b c a b b c c a a b b c c a a  b  c  2a b  2b 2c  2c a 1    ( ) a  b  c a 2b  b c  c a a 2b  b c  c a a  b2  c2 §©y lµ B§T cÇn chøng minh 15 Lop10.com Bµi to¸n 3.6: Cho a, b, c lµ c¸c sè kh«ng ©m tho¶ m·n a+b+c  Chøng minh r»ng: 1    1 a 1 b 1 c (3.6) Chøng minh Ta áp dụng BĐT (3) cho số dương là 1+a, 1+b và 1+c; Ta được: 1 1        1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c  a  b  c 1 1         1 a 1 b 1 c  1 a 1 b 1 c §©y lµ B§T cÇn chøng minh Bài toán 3.7: Cho a, b, c là các số dương và thoả mãn a + b + c = Chứng minh r»ng: 1   9 a  2bc b  2ca c  2ab (2.7) Chøng minh Vì a, b, c là các số dương nên a2+2bc, b2+2ca và c2+2ab là các số dương Ta áp dụng BĐT(3) cho số dương là a2+2bc, b2+2ca và c2+2ab Ta được: 1    2 a  2bc b  2ca c  2ab a  2bc  b  2ca  c  2ab 1 1         2 a  2bc b  2ca c  2ab (a  b  c) a  2bc b  2ca c  2ab 1 1    9 a  2bc b  2ca c  2ab §©y lµ B§T cÇn chøng minh Bµi to¸n 3.8: Cho x tho¶ m·n 13  x  Chøng minh r»ng: 1    x  x  10 13  x (2.8) Chøng minh Ta viÕt l¹i B§T cÇn chøng minh nh­ sau: 1    V× x  10  x 13  x 13 x nên 3x-2 > 0, 10- x >0, 13-2x >0 Do đó áp dụng BĐT (3) cho số dương là 3x-2, 10- x, 13-2x; 16 Lop10.com Ta cã: 1 1        x  10  x 13  x x   10  x  13  x x  10  x 13  x 21 1     x  10  x 13 x  §©y lµ B§T cÇn chøng minh Bài toán 4: Cho a, b là các số dương Chứng minh rằng:  ab (a  b) (4) Chøng minh Cách 1:(Dùng PP biến đổi tương đương) Ta có BĐT (4)  (a  b)  4ab  (a  b)  Đây là BĐT đúng Bây ta vận dụng BĐT (4) để chứng minh các BĐT khác Cách 2: (Dùng BĐT Côsi cho số dương ) Ta áp dụng BĐT Côsi cho số dương là a và b, ta có: ( ab ab )   ab (a  b) Bài toán 4.1: Cho a, b, c là các số dương Chứng minh rằng: 1    (2a  b)(2c  b) (2b  c)(2a  c) (2b  a )(2c  a ) (a  b  c) Chøng minh Ta vận dụng BĐT (4) cho số dương là 2a+b và 2c+b ta có: 4    (2a  b)(2c  b) (2a  b  2c  b) (2a  b)(2c  b) (2a  2b  2c) 1   (2a  b)(2c  b) (a  b  c) Tương tự ta có: 1  , (2b  c)(2a  c) (a  b  c) 1  (2b  a )(2c  a ) (a  b  c) Céng theo tõng vÕ c¸c B§T trªn l¹i víi ta®­îc B§T cÇn chøng minh 17 Lop10.com (4.1) Bài toán 4.2: Cho a, b, c ,d là các số dương Chứng minh rằng: ac bd   (a  b)(c  d ) (a  d )(b  c) a  b  c  d (4.2) Chøng minh Ta áp dụng BĐT(4) cho số dương là a+b và c+d, ta có: ac 4(a  c)    (a  b)(c  d ) (a  b  c  d ) (a  b)(c  d ) (a  b  c  d ) Tương tự cho 2số dương a+d và b+c ta có: bd 4(b  d )  (a  d )(b  c) (a  b  c  d ) Céng vÕ víi vÕ 2B§T trªn l¹i ta ®­îc B§T cÇn chøng minh Bài toán 4.3: Cho a, b, c, d là các số dương Chứng minh rằng: ab 12    a  b c  d (a  c)()b  d a  b  c  d (4.3) Chøng minh Ta cã: 1   2a  b  3(c  d )  (2a  2b  3c  3d ) ab cd (a  b)(c  d ) (a  b)(c  d ) áp dụng BĐT (4) cho số dương là a+b và c+d Ta cã: 4(2a  2b  3c  3d )   (2a  2b  3c  3d )  (a  b)(c  d ) (a  b  c  d ) (a  b)(c  d ) (a  b  c  d ) Do đó, ta có: 8a  8b  12c  12d   ab cd (a  b  c  d ) Tương tự ta có: ab 4(a  b)  (a  c)(b  d ) (a  b  c  d ) Céng theo tõng vÕ c¸c B§T trªn l¹i víi ta ®­îc B§T cÇn chøng minh Bài toán 4.4: Cho a, b, c là độ dài cạnh tam giác Chứng minh rằng: ( a  b) (b  c) (c  a )    4(a  b  c) abc bca cab Chøng minh Ta cã: ( a  b) ( a  b) c   ( a  b) c a  b  c ( a  b  c )c ( a  b  c )c 18 Lop10.com (4.4) áp dụng BĐT (4) cho số dương là a+b-c và c ta có: 4   ( a  b  c )c ( a  b  c  c ) ( a  b) Do đó ( a  b) 2 ( a  b) c  ( a  b) c  4c   4c ( a  b  c )c ( a  b) abc Tương tự, ta có: (b  c)  4a; bca (c  a )  4b cab Céng theo tõng vÕ c¸c B§T trªn l¹i víi ta ®­îc B§T cÇn chøng minh Bài toán 4.5: Cho a, b dương và thoả mãn a+b =1 Chứng minh rằng; 1  6 ab a  b (4.5) Chøng minh Ta viÕt l¹i B§T cÇn chøng minh nh­ sau: 1    B©y giê ta ¸p 2ab 2ab a  b dụng BĐT (2) cho số dương là 2ab và 2ab và a2 + b2 ; áp dụng BĐT (4) cho số dương là a và b; Ta có: 1 1 1        4 2 2 2ab a  b 2ab  a  b 2ab a  b ( a  b) 2ab a  b 1 1   2 2ab ab (a  b) Céng theo tõng vÕ B§T trªn l¹i ta ®­îc B§T cÇn chøng minh Bài toán 4.6: Cho a, b dương và thoả mãn a+b  Chứng minh rằng:   14 ab a  b (4.6) Chøng minh Ta viÕt l¹i B§T cÇn chøng minh nh­ sau: 3    14 B©y giê ta ¸p 2ab 2ab a  b dụng BĐT (2)cho số dương là 2ab và a2 + b2; áp dụng BĐT (4) cho số dương lµ 19 Lop10.com a vµ b; ta cã: 3 1 4   3(  )3 3  12; 2 2 2ab a  b 2ab a  b 2ab  a  b ( a  b) 1 1 14    2 2ab ab (a  b) 21 Céng theo tõng vÕ B§T trªn l¹i víi ta ®­îc B§T cÇn chøng minh Bài toán 4.7: Cho a, b, c là các số dương Chứng minh rằng: 1 1    (   ) ab bc ca a  b b  c c  a (4.7) Chøng minh Ta áp dụng BĐT (4) cho số dương là a và b, b và c, c và a; Ta được: 4  ;  ;  Céng theo tõng vÕ ta ®­îc: 2 ab (a  b) bc (b  c) ca (c  a ) 1 1 1    4(   ) 2 ab bc ca (a  b) (b  c) (c  a ) 1 1 1  (   ) (   ) (4.7.1) 2 ab bc ca (a  b) (b  c) (c  a ) MÆt kh¸c, ta cã: 1 abc 8(a  b  c) 4(a  b)  (b  c)  (c  a )       ab bc ca abc (a  b)(b  c)(c  a ) (a  b)(b  c)(c  a ) 1  4[   ] (b  c)(c  a ) (c  a )(a  b) (a  b)(b  c) 1 2  (   ) [   ].(4.7.2) ab bc ca (b  c)(c  a ) (c  a )(a  b) (a  b)(b  c) Céng theo tõng vÕ B§T (4.7.1) vµ (4.7.2) ta ®­îc B§T cÇn chøng minh PhÇn III KÕt luËn Như chúng ta thấy bất đẳng thức toán học trường phổ thông đóng vai trò quan trọng việc rèn luyện tư cho học sinh Các bài toán 20 Lop10.com