Thông tin tài liệu
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA PHÒNG GD&ĐT CẨM THUỶ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “HƯỚNG DẪN HỌC SINH LÀM TỐT CÁC BÀI TỐN VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG TRONG CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH VÀ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN ” Người thực hiện: Nguyễn Thị Ngọc Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Thị Trấn Cẩm Thủy SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HOÁ NĂM 2022 MỤC LỤC TT NỘI DUNG CÁC MỤC TRANG Mục lục MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.5 Những điểm Sáng kiến kinh nghiệm NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 10 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 11 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 12 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 17 13 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 17 14 3.1 Kết luận 17 15 3.2 Kiến nghị 17 16 Tài liệu tham khảo 20 17 Danh mục đề tài công nhận 1.MỞ ĐẦU 1.1.Lí chọn đề tài Như biết, số học nói chung số phương nói riêng nội dung kiến thức quan trọng chương trình Tốn THCS Đặc biệt đề thi học sinh giỏi cấp thi vào PTTH chun đa số có tốn số phương, gặp dạng tốn đa số học sinh thường bị ngợp sợ suy luận số học yêu cầu tư cao, học sinh mà giáo viên ngại dạy chuyên đề Vì vậy, với mong muốn giúp em rèn kỹ biết cách giải dạng toán theo nhiều hướng khác nhau, giúp em tự tin hứng thú học dạng tốn tơi chọn đề tài nghiên cứu “Hướng dẫn học sinh làm tốt tốn số phương đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh thi vào lớp 10 THPT chun” 1.2.Mục đích nghiên cứu Nhằm nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ cho thân thông qua nghiên cứu đề tài khoa học nhỏ, từ có thêm hội trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp Mặt khác, rèn kỹ hệ thống số dạng tốn số phương cho học sinh, đồng thời cho em thấy lời giải đẹp, thú vị số toán số học Từ gây hứng thú học tập cho em, tạo cho em thói quen nghiên cứu lời giải độc lập 1.3.Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Số phương học sinh giỏi lớp Trường THCS Thị Trấn Cẩm Thủy, huyện Cẩm Thủy 1.4.Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết - Phương pháp thực nghiệm khoa học - Phương pháp thống kê xử lí liệu - Phương pháp vấn đáp - Phương pháp phân loại hệ thống hoá lý thuyết - Phương pháp suy luận, tìm tịi - Phương pháp nhận xét, đánh giá nghiên cứu 1.5.Những điểm SKKN Những điểm SKKN là: Một số tập nhìn nhiều góc cạnh đẹp, có tập tương tự, phân loại, hệ thống tập theo trật tự logic từ dễ đến khó số phương Trong lần nghiên cứu này, phát triển nội dung cao hơn, có phân tích, nhận xét mở rộng tốn (nếu có thể) Đây điểm đáng ý phát triển cao đề tài nghiên cứu năm trước, mục đích hướng đến kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh thi vào PTTH chuyên Giới thiệu số toán gặp đề thi học sinh giỏi THCS cấp thi vào PTTH chuyên, toán kỳ thi nước giúp em hứng thú học tập 2.NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1.Cơ sở lí luận 2.1.1.Về phương pháp chung Trong dạy học mơn tốn trường THCS phương pháp khai thác tổng quát hoá toán phương pháp hay dùng việc hướng dẫn học sinh tiếp cận giải vấn đề mới, giúp học sinh có nhìn đa chiều hiểu sâu sắc vấn đề học, nghiên cứu 2.1.2.Về kiến thức Học sinh nắm định nghĩa số phương, dạng tốn số phương, phương pháp làm dạng tốn hướng tới nhìn tốn nhiều góc độ khác từ khai thác cách giải, tìm lời giải đẹp cho tốn số phương thường gặp Trong phạm vi đề tài nghiên cứu xin trình bày số dạng tốn số phương số phương pháp giải dạng tốn Đó là: “Hướng dẫn học sinh làm tốt tốn số phương đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh thi vào lớp 10 THPT chuyên” 2.2.Thực trạng Qua năm trực tiếp giảng dạy trường THCS Thị Trấn Cẩm Thủy , tơi thấy tốn số phương ln xuất đề thi học sinh giỏi toán THCS cấp, đặc biệt đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh mơn Tốn thi vào PTTH chuyên tỉnh thành nước Để giải tốn số phương, u cầu học sinh phải biết vận dụng linh hoạt kiến thức liên quan: phân tích đa thức thành nhân tử, đẳng thức, kiến thức đồng dư thức, ước chung, bội chung, chia hết, bất đẳng thức… cần hệ thống hoá cách logic Khi dạy dạng tốn giáo viên thường gặp khó khăn mặt tài liệu: có tài liệu trình bày theo chuyên đề hệ thống đầy đủ Trong chương trình sách giáo khoa tốn trình bày ví dụ cách giải đơn giản Vì nên địi hỏi người dạy phải tự hệ thống hố, hướng dẫn em cách khai thác, đòi hỏi người dạy phải định hướng linh hoạt phương pháp lạ Tìm tịi tốn hay mới, giúp em tự tin tham dự kỳ thi Mặt khác, thói quen xem lại, làm lại, nghiên cứu lời giải toán sau giải tập chưa em trọng Do dạy, thân thường hướng tới hình thành thói quen khơi dậy lòng say mê nghiên cứu em Từ em giải nhanh toán tương tự Biết cách khai thác toán theo hướng mở rộng hay lật ngược lại vấn đề Trước áp dụng đề tài này, khảo sát nhóm học sinh có học lực giỏi lớp 9A1 trường THCS Thị Trấn Cẩm Thủy, huyện Cẩm Thuỷ năm học 2021 - 2022 Thời gian khảo sát: Tháng năm 2021 Nội dung kháo sát: Học sinh làm tập sau Bài tập: Chứng minh tổng tích bốn số tự nhiên liên tiếp ln số phương Tác giả Vũ Hữu Bình Lời giải Ta có: n(n 1)(n 2)(n 3) n 3n n2 3n n 3n 1 n 3n 1 2 Kết khảo sát học sinh có học lực khá, giỏi lớp 9A1 Trường THCS Thị Trấn huyện Cẩm Thủy năm học: 2021-2022 Điểm 9-10 Điểm 7-8 Điểm 5-6 Điểm Số học sinh SL % SL % SL % SL % 12,5% 12,5% 50% 25% 2.3 Các biện pháp thực Các phương pháp giải tốn số phương nhìn nhiều góc độ khác thấy vẻ đẹp nó, xin giới thiệu tiêu chí đẹp thông qua đề tài “Hướng dẫn học sinh làm tốt tốn số phương đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh thi vào lớp 10 THPT chuyên” 2.3.1.Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề a Cơ sở lý thuyết: a.1.Định nghĩa Số phương số viết thành bình phương số tự nhiên Một vài số phương đầu dãy kể đến 02 32 36 81 16 49 100 102 12 25 52 64 82 22 121 112 a.2 Tính chất: 1) Nếu a chẵn a M4 2) Nếu a lẻ ( a - 1) M8 3) Nếu a M3 a M9 4) Nếu a M3 ( a - 1) M3 3 5) Nếu ( a - 1) M3 ( a - 1) M9 ; Nếu ( a +1) M3 ( a +1) M9 6) Nếu a số phương, a chia hết cho số nguyên tố p a chia hết cho p 7) Nếu a chia hết cho số nguyên tố p a chia hết cho p 8) Nếu tích hai số a b số phương số a b có dạng a = mp ; b = mq 9) Giữa hai số phương liên tiếp khơng có số phương a.3 Một số kết “đẹp” 1) Số phương có chữ số tận thuộc tập hợp: {1; 4;5;6;9} 2) Khi phân tích thừa số nguyên tố, số phương chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn 3) Số phương có dạng 4k 4k +1 Khơng có số phương có dạng 4k + 4k + với k Ỵ ¥ 4) Số phương dạng 3k 3k +1 Khơng có số phương có dạng 3k + với k Ỵ ¥ Cũng số nguyên tố, số phương "loại số" giới thiệu lần đầu bậc trung học sở Số phương (tiếng Anh square number) cịn gọi số hình vng diện tích hình vng có cạnh số tự nhiên Có nhiều tính chất thú vị xoay quanh số phương chúng số tự nhiên có lượng lẻ ước nguyên dương, hay tổng dãy số lẻ số phương, tổng lập phương số tự nhiên số phương, Trong đó, thức vài trường hợp, phép toán ngược phép lũy thừa Mối liên hệ mật thiết bậc lũy thừa, chẳng hạn bậc hai số phương, kiến tạo nên tính chất số học hay đẹp b.Các dạng toán số phương thường gặp: Dạng 1: Chứng minh số số phương tổng nhiều số phương Ví dụ 1: Cho n số tự nhiên có chữ số Tìm n biết n 2n số phương (Đề thi HSG lớp tỉnh bắc Giang năm học 2012 – 2013) Lời giải n n 100 18 2n 200 1) Vì số có hai chữ số nên Mặt khác 2n số phương chẵn nên 2n nhận giá trị: 36;64;100 ;144;196 Với 2n 36 n 18 n 22 không số phương Với 2n 64 n 32 n 36 số phương Với 2n 100 n 50 n 54 khơng số phương Với 2n 144 n 72 n 76 khơng số phương Với 2n 196 n 98 n 102 khơng số phương Vậy số cần tìm n 32 Nhận xét: Với ý tưởng xây dựng hệ thống ví dụ tập từ dễ đến khó nên ví dụ mức độ nhẹ, học sinh dễ dàng tìm đáp số toán với gợi ý: n số tự nhiên có hai chữ số nên học sinh chặn khoảng n, từ suy khoảng 2n Ví dụ Cho số nguyên a, b thỏa mãn a b 2(ab a b) Chứng minh a b hai số phương liên tiếp (Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội 2016) Lời giải Từ giả thiết, ta có a b 2(ab a b) a b 2ab 2a 2b 4a (a b 1) 4a Ta a số phương Đặt a x , x số tự nhiên Phép đặt cho ta x b 1 x x b x b ( x 1)2 Vậy a b hai số phương liên tiếp Biến đổi sơ cấp cơng cụ mạnh cho tốn mức độ vừa, giáo viên cần khai thác mạnh phương pháp này.Từ học sinh làm tốt ví dụ sau Ví dụ Cho a, b c số nguyên thỏa mãn ab bc ca 2 Chứng minh a b c số phương ( Thi khảo sát đội tuyển huyện Cẩm Thuỷ 2020) Lời giải Từ giả thiết ab bc ca , ta có a ab bc ac a (a b)(a c );1 b ab bc ac b (a b )(b c ); c ab bc ac c (c b)(a c ) 2 2 Lấy tích theo vế, ta có a b c [(a b)(a c)(b c)] số phương Biến đổi sơ cấp đồng thời sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ đem lại kết chứng minh số tốn số phương nhanh Ví dụ Cho x, y Î ¢ Chứng minh rằng: A = ( x + y ) ( x + y ) ( x + y ) ( x + y ) + y số phương Lời giải: Ta có: A = ( x + y) ( x + y) ( x + y) ( x + y) + y = ( x + xy + y ) ( x + xy + y ) + y Đặt u = x + xy + y ẻ Â 2 Khi ú A = ( u - y ) ( u + y ) + y = u - y + y = u Vậy A số phương Khi học sinh nắm vững kiến thức số phương thơng qua ví dụ vừa, giáo viên mạnh dạn đưa ví dụ cao có mặt đề thi sau: Ví dụ 5: (Thi Học sinh giỏi tỉnh Thanh Hoá năm 2021) Cho ba số tự nhiên a, b, c , thỏa mãn a b số nguyên tố 3c2 c(a b) ab Chứng minh 8c số phương Lời giải 2 Ta có 3c c(a b) ab 4c c ab bc ca (c a)(b c) d ( a-b nguyên tố) d a b Đặt (a c, b c) d (a c) (b c)Md a b Md TH1: Xét d a b a c (a b) m ( với m, n N ) a b (a b)(m n) b c (a b) n Vì (a c, b c) d nên đặt: Mà a - b nguyên tố nên: a b m n m n 4c (a b) (n 1)n Suy n n n n 4c c 8c số phương (1) TH2: Xét d Vì (a c, b c) mà (a c)(b c) 4c2 số phương nên: a c x ( x, y N ) b c y a b x y a b ( x y )( x y ) x y x y x y 1 x y a b Mà x y x y a-b nguyên tố nên suy 4c ( y 1) y 4c [ y( y 1)]2 mà c, y 2c y( y 1) 8c y y 8c (2 y 1) số phương.Từ (1) (2), ta thấy 8c+1 số phương Bài tốn cịn viết tạp chí Pi tháng 12 năm 2021 độc giả đánh giả tốn hay Giáo viên giới thiệu hướng dẫn em làm thêm cách khác sau: Ta có: 3c c(a b) 4c c ca cb ab (a c)(b c) (1) Vì a – b số nguyên tố a > b a + c > b + c (b + c)2 < (a +c)(b+c) (2) Từ (1) (2) b + c < 2c b < c (3) Ta lại có: (a + c) – (b + c) = a – b số nguyên tố Hoặc a – b ƯC(a + c, b + c) (a + c,b + c) = *Nếu a – b = p ƯC(a + c, b + c) a + c = p.k b + c = p.h (k,h N) pk – ph = a – b = p k – h = ( p 0) k = h + Khi (1) trở thành (2c)2 = p2k(k+1) k(k+1) số phương Mà k k + hai số tự nhiên liên tiếp k = b = c = pk ( mâu thuẫn với (3)) *Nếu (a + c, b + c) = Từ (1) (2c)2 = (a +c)(b + c) Đặt a + c = m2 b + c = n (m,n N) m2 – n2 = (m-n)(m+n) = a – b số nguyên tố Mà m – n < m + n m – n = m + n = a – b Suy (2c)2 = (b + c)(c + a) = (mn)2 = (m – 1)2m2 2c = m(m-1) Khi 8c + = 4a(m-1) = (2m-1)2 số phương Vậy 8c + số phương a2 b2 ¢ Cho Ví dụ Cho số nguyên a, b số nguyên tố p thỏa mãn p a b biết p tổng hai số phương Chứng minh tổng 2 p hai số phương (Thi khảo sát đội tuyển học sinh giỏi huyện Cẩm Thuỷ 2021) Lời giải Từ giả thiết, ta đặt p c d với c, d số nguyên Phép đặt cho ta có: 2 a2 b2 c2 d ad bc ac bd a b2 p p2 p p Một cách tương tự, ta có 2 a2 b2 c2 d ad bc ac bd a b2 p p2 p p Hơn nữa, ta xét tích (ac bd )(ac bd ) a c b d a c d d a b Do p c d p∣ a b nên p∣ (ac bd )(ac bd ) Như vậy, p ước ac bd , p ước ac bd Đối chiếu trường hợp với hai biến đổi trên, ta thu điều phải chứng minh Nhận xét: Đây tốn tương đối khó Biến đổi câu có liên quan đến đồng thức Brahmagupta - Fibonacci a b2 x 2 y (ax by )2 (ay bx)2 Rất học sinh nghĩ đến việc dùng bất đẳng thức để giải toán số Qua ví dụ trên, giáo viên phân tích cho học sinh thấy phương pháp phản chứng công cụ mạnh giải toán số học, khơng mà cịn cho ta lời giải hay đẹp mắt Dạng Tìm giá trị biến để biểu thức số phương Ví dụ Tìm số nguyên n cho n 1955 n 2014 số phương Lời giải: 2 Giả sử n 1955 a ; n 2014 b với a, b ¥ a b b a a 29 b a 59 b 30 2 Khi b a 59 b a b a 59 Dễ dàng suy n 1114 Ví dụ 2.Tìm tất số nguyên n cho n + 2n3 + 2n + n + số phương (Đề thi vào lớp 10 chuyên, trường ĐHKHTN – ĐHQG Hà Nội năm 1992) Lời giải Vì n + 2n + 2n + n + số phương nên: n 2n3 2n n m , m ¥ Ta có: m2 n n n2 n n n m n n m n n 2 m n n m n n 1 Khi n 2n3 2n n n n 1 n n 3 n 2 Vì n ¢ nên n 3; 2; 1;0;1; 2 Thử giá trị ta thu n thỏa mãn u cầu tốn Nói đến đề thi nước ngồi học sinh giáo viên sợ khó có vừa sức lại lần giới thiệu cho học sinh thấy mạnh bất đẳng thức để giải nhanh tốn số học qua ví dụ sau: Ví dụ (Romanian MO 2004) Tìm tất số ngun khơng âm n cho có số nguyên a, b thỏa mãn n a b n3 a b2 12 Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc a b a b ta có 2n3 n hay n Với n 0, ta chọn a b Với n 1, ta chọn a 1, b Với n 2, ta chọn a b Vậy giá trị n cần tìm 0; 1; 2 Hơn giới thiệu tốn dịch từ nước ngồi mà em giải đơn giản vài kỹ thuật nhỏ gây hứng thú học tập, tìm tịi sáng tạo lớn cho học sinh Ví dụ Tìm số tự nhiên n cho 2n số phương Lời giải: n n Giả sử m , m ¥ m 3 m 3 a m , với a, b ¥ a b m m Vì nên b m b a a b a Ta có 1 a ba a ba Vì 1 M2 mà 1 M4 nên a Điều dẫn đến m n Giáo viên cho học sinh làm tập tương tự: Tìm số tự nhiên n cho 3n 19 số phương Ví dụ Tìm tất ba ngun dương x; y; z cho A x y z xy x z 1 y z 1 số phương Lời giải: 13 Ta có x y z 1 x y z xy x z 1 y z 1 z 2 2 Mà A x y z xy x z 1 y z 1 nên ta có đánh giá sau x y z 1 A x y z 1 Suy A x y z Khi x y z xy x z 1 y z 1 x y z 2 y x x y Vậy x; y; z a; a; b với a, b số nguyên dương tùy ý Dựa vào kết toán, giáo viên gợi ý học sinh khai thác toán sau : Cho số nguyên dương x, y, z thoã mãn A x y z xy x z 1 y z 1 số phương Chứng minh x = y Với cách hỏi học sinh dựa vào toán trước dễ dàng giải tốn sau nhanh chóng Đồng dư thức công cụ mạnh cho lời giải ngắn gọn, khoa học đẹp mắt cho tốn số học, đăc biệt số phương Xin giới thiệu tiêu chí đẹp qua ví dụ sau : Dạng Ứng dụng đồng dư thức 1.Lí thuyết Chúng ta tìm hiểu ứng dụng đồng dư thức tốn chứa yếu tố số phương Trước hết phát biểu lại kiến thức sau: (1) Một số phương - Đồng dư với theo modulo - Đồng dư với 0,1,2 theo modulo - Đồng dư với theo modulo - Đồng dư với 0,1 theo modulo - Đồng dư với 0,1 theo modulo - Đồng dư với 0,1,3,4,5,9theo modulo 11 (2) Một số phương có thể: - Ðồng du với 1, theo modulo - Đồng dư với 1,0 theo modulo (3) Một lũy thừa bậc bốn - Đồng dư với theo modulo - Đồng dư với theo modulo 16 2.Các ví dụ: Ví dụ Chứng minh khơng tồn số tự nhiên a cho a a 20102009 Thi Phổ thông Năng khiếu 2009 Lời giải a Giả sử tồn số tự nhiên thỏa mãn Giả sử cho ta 4a 4a 20102009 (2a 1) 4 2010 2009 Xét hệ đồng dư modulo , ta có 20102009 1 4 12009 4 5 ( mod 7) (2a 1) 5 ( mod 7) 14 Khơng có số phương đồng dư theo modulo Giả sử sai Bài tốn chứng minh Ví dụ Cho số tự nhiên n thỏa mãn n(n 1) không chia hết cho Chứng minh 2n n khơng phải số phương Chuyên Toán Hà Nội 2013 Lời giải Từ giả thiết n(n 1) không chia hết cho , ta có n 1( mod 3) Như 2n n ( mod 3) Không có số phương chia dư toán chứng minh Phương pháp “ kẹp luỹ thừa” phương pháp khó nên thân xin giới thiệu cuối Tuy khó lại cơng cụ mạnh để giải tốn số phương thường có mặt đề thi học sinh giỏi cấp Dạng 5: Sử dụng phương pháp kẹp lũy thừa 1.Lí thuyết Giữa hai lũy thừa số mũ n liên tiếp, không tồn lũy thừa số n Khi ta có hệ sau: Với số nguyên a thì: (1) khơng có số phương nằm a (a 1) (2) số phương nằm a (a 2) (a 1) (3) có k số phương nằm a (a k )2 , bao gồm ( a 1) , (a 2) , , (a k 1) 2.Các ví dụ: Ví dụ Tìm tất số ngun dương n cho n 9n3 33n 63n 54 số phương 15 Lời giải Đặt A n 9n 33n 63n 54 Xét phân tích A (n 3) n 3n Với n , ta có A số phương Cịn với n , ta có n 3n số phương Trong trường hợp này, ta nhận xét n 3n (n 2)2 n 0, (n 1) n 3n 5n 5…5 5…0 Các nhận xét cho ta (n 2)2 n 3n 6„ (n 1) Do n 3n số phương, ta xét trường hợp sau (1) Với n 3n (n 1)2 , ta có n (2) Với n2 3n n2 , ta có n (3) Với n 3n (n 1) , ta có n Như vậy, có giá trị n thỏa mãn đề n 1, n 2, n n Ví dụ Cho x, y số nguyên lớn cho x y x y số phương Chứng minh x y (Chuyên Khoa học Tự nhiên 2014) Lời giải 2 Đặt A x y x y Ta xét hiệu sau A (2 xy 1) xy x y 1;(2 xy 1) A xy x y Ta sế chứng minh hiệu dương Từ giả thiết, ta có x…2 y…2 Hai đánh giá cho ta xy x y (4 y 7) x y ( y 1) 0, xy x y (4 x 7) y x Nh vậy, (2 xy 1)2 A (2 xy 1) Ta có A x y , tức x y Bài toán chứng minh Khai thác toán: 16 Bài tập : Cho hai số x; y nguyên dương lớn 1, thỏa mãn: 4x y y x số phương Chứng minh : x2022 - y2022 chia hết cho 2022 Đặt : A 4x y y x(*) Xét: A (2xy 1) 4x y y x 4x y 4xy x(4 y 7) y 1 0(1) (2xy+1) A 4x y 4xy 4x y y x y (4 x 7) y 0(2) Từ (1 ) (2) suy : (2xy 1) A (2xy+1) Do x; y số nguyên dương lớn nên ta có : A (2 xy )2 (3) Từ (*) Và (3) ta có : x=y, nên x2022 - y2022 = suy : x2022 - y2022 chia hết cho 2022 Việc dạy học khai thác tốn khó với giáo viên học sinh, đặc biệt số học lại khó Thế phát huy khả cho học sinh coi giáo viên thành công ôn tập học sinh đội tuyển dạy đội tuyển thân hướng tới phát huy khả giáo viên học sinh MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài Cho n số tự nhiên Chứng minh rằng: A = n ( n +1) ( n + 2) ( n + 3) +1 số phương Bài Chứng minh số sau số phương: { { { { a) A = 22499 9100 09 b) B = 11 155 n- n n n- 14424431442443 số phương Bài Chứng minh rằng: A = 11 1122 225 1997 1998 Bài Cho x, y ẻ Â Chng minh rng: A = ( x + y ) ( x + y ) ( x + y ) ( x + y ) + y số phương Bài Có tồn hay khơng 2013 số nguyên dương a1 , a2 , , a2013 cho số a12 a22 , a12 a22 a32 , a12 a22 a2013 số phương? Bài (Komal – Hungary C.676, 2002) Tìm số nguyên a, b cho a a b b số phương Bài (APMO 1999) Xác đinh tất cặp số nguyên a; b cho hai số a 4b b 4a số phương Bài Tìm a ¥ cho a a 1 a a 1 a aa a 1 Bài Tìm tất số nguyên m cho m m3 số phương Bài 10 Cho n ¥ * Chứng minh 2n 3n số phương n chia hết cho 40 ( Thi học sinh giỏi tỉnh Thanh Hoá năm 2019) 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Sáng kiến kinh nghiệm chủ yếu áp dụng cho học sinh giỏi việc bồi dưỡng học sinh giỏi lớp thi vào lớp 10 THPT chuyên Sau 17 áp dụng đề tài nhận thấy học sinh tự tin hứng thú làm tập số phương Trong năm học 2009 - 2022, giao nhiệm vụ tham gia bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi toán trường THCS Thị Trấn Cẩm Thủy, kết quả: Các em hoàn thành tốt tốn số phương kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh, TiMo cấp quốc gia Trong năm học từ 2009 -2022 tơi có khoảng 120 lượt em đạt giải học sinh giỏi mơn tốn cấp huyện, cấp tỉnh, TiMo quốc gia Đặc biệt kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Tốn lớp tháng 12 năm 2021 có em đạt giải tỉnh mơn Tốn từ giải khuyến khích đến giải nhì (1 giải nhì, giải ba giải khuyến khích, có em học sinh thi vượt lớp thi lớp cấp tỉnh đạt giải khuyến khích) Trong kỳ thi chung kết quốc gia TiMo mơn Tốn lớp năm 2021 có 11 em đạt huy chương( huy chương vàng, huy chương bạc huy chương đồng) Kết kiểm tra nhóm học sinh khảo sát cuối năm lớp 9A1 Trường THCS Thị Trấn, huyện Cẩm Thủy năm học 2021 – 2022 sau Số học sinh Điểm - 10 Điểm - Điểm - Điểm 5 62,5% 25% 12,5% 0% KẾT LUẬN 3.1.Kết luận: Trong trình giảng dạy, ôn luyện đội tuyển học sinh giỏi cấp, thân áp dụng đề tài Hiệu quả, giúp cho học sinh khá, giỏi nắm vững cách giải tốn số phương, giúp em học sinh hoàn thành tốt tập nâng cao sách tập số sách tham khảo, chuẩn bị tốt cho kì thi học sinh giỏi huyện, cấp tỉnh thi vào trường THPT chun, góp phần nhỏ bé vào cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi nhà trường Mặt khác qua đề tài giúp học sinh rèn luyện thói quen phát triển khai thác toán, thấy mối quan hệ toán, từ giúp em học tốt mơn tốn, đồng thời giúp cho học sinh làm quen với phương pháp học theo hướng nghiên cứu, khai thác toán, mở rộng tốn (nếu có thể) Do trình độ thân hạn chế nên đề tài khơng tránh sai sót, mong đóng góp ý kiến hội đồng khoa học đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện 3.2.Kiến nghị: Về giáo viên: - Nghiên cứu thật kĩ nội dung tập, sau lựa chọn nội dung phù hợp với đề tài nghiên cứu, phù hợp với câu cấu trúc đề thi học sinh giỏi thi vào PTTH chuyên - Cần thay đổi cách kiểm tra đánh giá, tăng cường tập mức hiểu, vận dụng sau đưa tập cao để khuyến khích đánh giá mức độ sử dụng kiến thức, phát triển tư suy, sáng tạo học sinh 18 Về học sinh: - Học tập thông qua nhiều kênh Truy cập trang web bổ ích mạng Tích cực sử dụng thiết bị công nghệ thông tin máy tính, Internet…trong q trình học tập - Loại bỏ quan điểm học sinh nghĩ “Thầy ln đúng” từ tự tìm nhiều kênh thơng tin cập nhật kiến thức, nhằm chủ động việc học tập - Ln tích cực, chủ động, tích cực, sáng tạo việc học tập Về phía nhà trường: - Thường xuyên tổ chức hoạt động sinh hoạt tổ chuyên môn, phát huy tích cực sinh hoạt nhóm mơn để giáo viên có điều kiện trao đổi, học hỏi lẫn kiến thức phương pháp nhằm hỗ trợ lẫn giảng dạy chuyên đề khó - Ban giám hiệu nhà trường cần quan tâm đầu tư mua sắm trang thiết bị: Tivi, máy chiếu, máy tính kết nối Internet phòng học, tài liệu tham khảo,… Nhằm tạo điều kiện tốt cho giáo viên học sinh dạy - học chuyên đề nâng cao Về phía Phịng Giáo Dục, Sở Giáo Dục - Phòng GD&ĐT nên lớp tập huấn cho giáo viên tổ chức hội thảo chuyên đề – lần năm để GV trường huyện trao đổi kinh nghiệm giảng dạy, học tập lẫn - Thường xuyên giới thiệu tài liệu liên quan tập huấn cho giáo viên bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi - Sở GD&ĐT cần xây dựng sở liệu bản, trang web hổ trợ cho việc dạy học chuyên đề cho giáo viên Trên kinh nghiệm thân rút trình giảng dạy trường THCS Thị Trấn Cẩm Thủy Tôi hy vọng với kinh nghiệm đồng nghiệp vận dụng đem lại hiệu cao dạy tạo nên hứng thú yêu thích học sinh môn, đặc biệt học sinh không sợ số học tự tin kỳ thi học sinh giỏi cấp thi vào PTTH chuyên Tôi mong nhận ý kiến đóng góp hội đồng khoa học bạn đồng nghiệp, để có thêm kinh nghiệm bổ ích, góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn cấp THCS Tơi xin chân thành cảm ơn! Cẩm Thủy, ngày 20 tháng 02 năm 2022 Tôi xin cam đoan, sáng kiến kinh nghiệm viết, không chép, copy người khác, sai tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm Người viết 19 Nguyễn Thị Ngọc DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO Đột phá đỉnh cao Bồi dưỡng học sinh giỏi Số học- Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội 23 chuyên đề giải 1001 toán sơ cấp – Nhà xuất giáo dục; Chuyên đề Bồi Dưỡng Toán THCS phần số học - Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội Tạp chí tốn học tuổi trẻ; Tạp chí tốn tuổi thơ Tạp chí Pi 7.Tài liệu chun tốn Số học THCS – Nhà xuất giáo dục Đại học quốc gia Hà Nội 8.95 đề ôn luyện chuyên Toán – Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội 20 Tuyển chọn giới thiệu đề thi học sinh giỏi – Nhà xuất Đại học quốc gia 10 Tổng hợp chuyên đề trọng tâm thi vào 10 chuyên học sinh giỏi Nhà xuất Đại học quốc gia 21 DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Nguyễn Thị Ngọc Chức vụ đơn vị công tác: Trường THCS Thị Trấn Cẩm Thủy TT Tên đề tài SKKN Cấp đánh giá xếp loại (Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh ) Một số biện pháp nâng cao thành tích cho đội tuyển giải Phịng GD& ĐT tốn máy tính casio bậc Huyện Cẩm Thủy THCS Phòng GD& ĐT Một số biện pháp nâng cao thành tích cho đội tuyển giải Huyện Cẩm Thủy Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) Năm học đánh giá xếp loại A 2014 - 2015 A 2015 - 2016 tốn máy tính casio bậc Sở GD&ĐT Tỉnh THCS” Thanh Hóa C “Rèn luyện kỹ giải phương trình vơ tỉ cho học sinh lớp 9” Phòng GD& ĐT Huyện Cẩm Thủy B 2017-2018 Phòng GD& ĐT Huyện Cẩm Thủy A 2019-2020 “Hướng dẫn học sinh giải phương trình vơ tỉ phương pháp đặt ẩn phụ cho số toán thi học sinh giỏi thi vào PTTH chuyên” 2019-2020 Sở GD&ĐT Tỉnh Thanh Hóa “Hướng dẫn học sinh làm tốt tốn số phương đề thi học Phòng GD& ĐT sinh giỏi cấp tỉnh thi vào Huyện Cẩm Thủy lớp 10 THPT chuyên” C A 2021-2022 ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC PHÒNG GD&ĐT …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC SỞ GD&ĐT TỈNH THANH HÓA …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… ... 2019-2020 ? ?Hướng dẫn học sinh giải phương trình vơ tỉ phương pháp đặt ẩn phụ cho số toán thi học sinh giỏi thi vào PTTH chuyên? ?? 2019-2020 Sở GD&ĐT Tỉnh Thanh Hóa ? ?Hướng dẫn học sinh làm tốt tốn số phương. .. tốn số phương thường gặp Trong phạm vi đề tài nghiên cứu xin trình bày số dạng tốn số phương số phương pháp giải dạng tốn Đó là: ? ?Hướng dẫn học sinh làm tốt toán số phương đề thi học sinh giỏi cấp. .. hướng đến kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh thi vào PTTH chuyên Giới thi? ??u số toán gặp đề thi học sinh giỏi THCS cấp thi vào PTTH chun, tốn kỳ thi nước ngồi giúp em hứng thú học tập 2.NỘI
Ngày đăng: 09/06/2022, 22:15
Xem thêm:
