(SKKN 2022) hướng dẫn học sinh làm tốt các bài toán về số chính phương trong các đề thi HSG cấp tỉnh và thi vào lớp 10 THPT chuyên

M C L CỤC LỤCỤC LỤC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

PHÒNG GD&ĐT CẨM THUỶ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

“HƯỚNG DẪN HỌC SINH LÀM TỐT CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG TRONG CÁC

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH VÀ THI VÀOLỚP 10 THPT CHUYÊN ”

Người thực hiện: Nguyễn Thị Ngọc Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác: Trường THCS Thị Trấn Cẩm Thủy SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2022

1 Mục lục

7 1.5 Những điểm mới của Sáng kiến kinh nghiệm 1

9 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 210 2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh

17 Danh mục các đề tài đã được công nhận

1.MỞ ĐẦU.

1.1.Lí do chọn đề tài.

Như chúng ta đã biết, số học nói chung và số chính phương nói riêng là mộttrong những nội dung kiến thức quan trọng trong chương trình Toán THCS Đặcbiệt trong các đề thi học sinh giỏi các cấp và thi vào PTTH chuyên đa số đều cóbài toán về số chính phương, gặp dạng toán này đa số học sinh thường bị ngợpvà sợ vì suy luận số học yêu cầu tư duy cao, không những học sinh mà giáo viêncũng ngại dạy chuyên đề này

Vì vậy, với mong muốn giúp các em rèn kỹ năng và biết cách giải quyết dạngtoán này theo nhiều hướng khác nhau, giúp các em tự tin và hứng thú khi họcdạng toán này tôi đã chọn đề tài nghiên cứu “Hướng dẫn học sinh làm tốt cácbài toán về số chính phương trong các đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh và thivào lớp 10 THPT chuyên”

1.2.Mục đích nghiên cứu.

Nhằm nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ cho bản thân thông quanghiên cứu đề tài khoa học nhỏ, từ đó có thêm cơ hội trao đổi kinh nghiệm vớiđồng nghiệp Mặt khác, cũng rèn được kỹ năng và hệ thống được một số dạngtoán về số chính phương cho học sinh, đồng thời cho các em thấy được nhữnglời giải đẹp, thú vị của một số bài toán số học Từ đó gây hứng thú học tập chocác em, tạo cho các em thói quen nghiên cứu lời giải độc lập

1.3.Đối tượng nghiên cứu.

Đối tượng nghiên cứu: Số chính phương và học sinh khá giỏi lớp 9 TrườngTHCS Thị Trấn Cẩm Thủy, huyện Cẩm Thủy.

1.4.Phương pháp nghiên cứu.

- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết

- Phương pháp thực nghiệm khoa học

- Phương pháp thống kê và xử lí dữ liệu- Phương pháp vấn đáp

- Phương pháp phân loại và hệ thống hoá lý thuyết- Phương pháp suy luận, tìm tòi.

- Phương pháp nhận xét, đánh giá nghiên cứu.

1.5.Những điểm mới của SKKN.

Những điểm mới của SKKN này là: Một số bài tập được nhìn dưới nhiều góccạnh đẹp, có bài tập tương tự, phân loại, hệ thống bài tập theo trật tự logic từ dễđến khó về số chính phương Trong lần nghiên cứu này, tôi đã phát triển nộidung cao hơn, có phân tích, nhận xét và mở rộng bài toán (nếu có thể) Đây làđiểm mới đáng chú ý và được phát triển cao hơn những đề tài nghiên cứu cácnăm trước, mục đích hướng đến kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh và thivào PTTH chuyên.

Giới thiệu một số bài toán đã gặp trong các đề thi học sinh giỏi THCS cáccấp và thi vào PTTH chuyên, bài toán trong kỳ thi nước ngoài giúp các em hứngthú học tập hơn.

2.NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.

2.1.Cơ sở lí luận.

2.1.1.Về phương pháp chung.

Trong dạy học môn toán ở trường THCS thì phương pháp khai thác và

tổng quát hoá bài toán là những phương pháp hay dùng trong việc hướng dẫnhọc sinh tiếp cận và giải quyết những vấn đề mới, giúp học sinh có cái nhìn đachiều và hiểu sâu sắc vấn đề đang học, đang nghiên cứu.

2.1.2.Về kiến thức.

Học sinh nắm được định nghĩa số chính phương, các dạng toán về số chínhphương, phương pháp làm các dạng toán này và hướng tới nhìn bài toán dướinhiều góc độ khác nhau từ đó khai thác các cách giải, tìm lời giải đẹp cho cácbài toán về số chính phương thường gặp.

Trong phạm vi đề tài nghiên cứu xin được trình bày một số dạng toán về sốchính phương và một số phương pháp giải dạng toán này Đó là: “Hướng dẫnhọc sinh làm tốt các bài toán về số chính phương trong các đề thi học sinhgiỏi cấp tỉnh và thi vào lớp 10 THPT chuyên”

2.2.Thực trạng

Qua những năm trực tiếp giảng dạy ở trường THCS Thị Trấn Cẩm Thủy ,tôi thấy rằng các bài toán về số chính phương luôn xuất hiện trong các đề thi họcsinh giỏi toán THCS các cấp, đặc biệt trong đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh mônToán 9 và thi vào PTTH chuyên các tỉnh thành trong cả nước Để giải các bàitoán về số chính phương, yêu cầu học sinh phải biết vận dụng linh hoạt các kiếnthức liên quan: phân tích đa thức thành nhân tử, hằng đẳng thức, kiến thức vềđồng dư thức, ước chung, bội chung, chia hết, bất đẳng thức… và cần được hệthống hoá một cách logic Khi dạy dạng toán này giáo viên thường gặp khó khănlà về mặt tài liệu: có rất ít tài liệu trình bày theo chuyên đề hệ thống và đầy đủ.Trong chương trình sách giáo khoa toán chỉ trình bày những ví dụ và cách giảiđơn giản Vì thế nên đòi hỏi người dạy phải tự hệ thống hoá, hướng dẫn các emcách khai thác, đòi hỏi người dạy phải định hướng linh hoạt những phương phápmới lạ Tìm tòi những bài toán hay và mới, giúp các em tự tin hơn khi tham dựcác kỳ thi.

Mặt khác, thói quen xem lại, làm lại, nghiên cứu lời giải bài toán sau khigiải một bài tập mới chưa được các em chú trọng Do đó khi dạy, bản thânthường hướng tới hình thành thói quen này và khơi dậy lòng say mê nghiên cứucủa các em Từ đó các em sẽ giải nhanh những bài toán tương tự Biết cách khaithác bài toán theo hướng mở rộng hay lật ngược lại vấn đề.

Trước khi áp dụng đề tài này, tôi đã khảo sát một nhóm học sinh có học lựckhá giỏi của lớp 9A1 của trường THCS Thị Trấn Cẩm Thủy, huyện Cẩm Thuỷnăm học 2021 - 2022.

Thời gian khảo sát: Tháng 8 năm 2021.Nội dung kháo sát: Học sinh làm bài tập sau

Bài tập: Chứng minh rằng tổng của tích của bốn số tự nhiên liên tiếp và 1

Điểm 9-10 Điểm 7-8 Điểm 5-6 Điểm dưới 5

2.3.1.Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

a Cơ sở lý thuyết:a.1.Định nghĩa

Số chính phương là số viết được thành bình phương một số tự nhiên Một vài số chính phương đầu dãy có thể kể đến như

7) Nếu a2 chia hết cho số nguyên tố p thì a chia hết cho p

8) Nếu tích hai số a và b là một số chính phương thì các số a và b có dạng

2) Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa sốnguyên tố với số mũ chẵn.

3) Số chính phương chỉ có một trong các dạng 4k hoặc 4k+1 Không có số chính phương nào có dạng4k+2 hoặc 4k+3 với kÎ ¥.

4) Số chính phương chỉ một trong các dạng3k hoặc 3k+1 Không có số chính phương nào có dạng 3k+2 với kÎ ¥

Cũng như số nguyên tố, số chính phương là một "loại số" mới được giới thiệulần đầu ở bậc trung học cơ sở Số chính phương (tiếng Anh là square number)còn được gọi là số hình vuông bởi nó là diện tích của một hình vuông có cạnh làsố tự nhiên Có rất nhiều tính chất thú vị xoay quanh số chính phương nhưchúng là những số tự nhiên duy nhất có một lượng lẻ ước nguyên dương, haytổng của dãy những số lẻ đầu tiên là một số chính phương, tổng của lập phươngcác số tự nhiên đầu tiên cũng là số chính phương,

Trong khi đó, căn thức trong một vài trường hợp, là phép toán ngược củaphép lũy thừa Mối liên hệ mật thiết giữa các căn bậc và lũy thừa, chẳng hạn nhưcăn bậc hai và số chính phương, đã kiến tạo nên những tính chất số học hay và đẹp

b.Các dạng toán về số chính phương thường gặp:

Dạng 1: Chứng minh một số là số chính phương hoặc là một tổng của nhiềusố chính phương.

Ví dụ 1: Cho nlà số tự nhiên có 2 chữ số Tìm n biết n 4và 2n đều là các sốchính phương (Đề thi HSG lớp 9 tỉnh bắc Giang năm học 2012 – 2013)

Ví dụ 2 Cho 2 số nguyên a, b thỏa mãn a2b2 1 2(ab a b ) Chứng minh a

và b là hai số chính phương liên tiếp (Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội 2016)

Vậy a và b là hai số chính phương liên tiếp

Biến đổi sơ cấp là công cụ rất mạnh cho những bài toán ở mức độ vừa, giáo viên cần khai thác mạnh phương pháp này.Từ đó học sinh sẽ làm tốt những ví dụ như sau.

Ví dụ 3. Cho a, b và c là các số nguyên thỏa mãn ab bc ca1.Chứng minh rằng 1a2 1b2 1c2 là số chính phương

( Thi khảo sát đội tuyển 9 huyện Cẩm Thuỷ 2020)

Lấy tích theo vế, ta có 1a2 1b2 1c2 [(a b a c b c)()()]2 là số chínhphương.

Biến đổi sơ cấp đồng thời sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ cũng đem lại kết quả chứng minh một số bài toán về số chính phương nhanh nhất.

Ví dụ 4. Cho x y,Î ¢ Chứng minh rằng:A= +(xy x)( +2y x) ( +3y x)( +4y)+y4 là số chính phương.

Ví dụ 5: (Thi Học sinh giỏi tỉnh Thanh Hoá năm 2021).

Cho ba số tự nhiên a, b,c, thỏa mãn a b là số nguyên tố và 3c2c(a b) ab Chứng minh rằng 8c 1 là số chính phương.

Lời giải

Ta có 3c2c a b()ab4c2c2ab bc ca(c a b c)()

Đặt (a c b c,) d (a c) (b c d) a b dd 1d a b

 

 

 với m n N,) a b(a b m n)()

Mà a - b nguyên tố nên: a b 0 m n 1 m n  14c2(a b) (2 n1)n.Suy ra n2 n n2 n 04c2 0 c 08c 1 1 là số chính phương (1) TH2: Xétd 1 Vì (a c, b c) 1 mà (a c)(b c) 4c2 là số chính phương nên:

2( ,)

a c x

x y Nb cy

  

 

là số chính phương.Từ (1) và (2), ta thấy 8c+1 luôn là số chính phương

Bài toán này còn được viết trên tạp chí Pi tháng 12 năm 2021 và được độc giảđánh giả là bài toán hay.

Giáo viên có thể giới thiệu và hướng dẫn các em làm thêm cách khác như sau:

Mà k và k + 1 là hai số tự nhiên liên tiếp  k = 0  b = c = pk

( mâu thuẫn với (3))

Ví dụ 6. Cho các số nguyên a, b và số nguyên tố p thỏa mãn

  Chobiết p là tổng của hai số chính phương Chứng minh rằng

cũng là tổngcủa hai số chính phương.

(Thi khảo sát đội tuyển học sinh giỏi huyện Cẩm Thuỷ 2021)

Do p c2d2 và  22

p a∣b nên p ac bd ac bd∣()() Như vậy, hoặc p là ướccủa ac bd , hoặc p là ước của ac bd Đối chiếu từng trường hợp với mộttrong hai biến đổi trên, ta thu được điều phải chứng minh.

Nhận xét: Đây là một bài toán tương đối khó Biến đổi ở câu trên đều có liên quan đến đồng nhất thức Brahmagupta - Fibonacci

chính phương Tuy nhiên, bất đẳng thức lại là một công cụ khá mạnh để tìmlời giải đẹp cho bài toán mang nội dung số chính phương như sau:

 Thật vậy, quy đồng và biến đổi ta được:

xx z

xy xz xy yzxzyzx yyy z

Lời giải.

Ta có nhận xét nếu x, y, z là các số dương và xy thì xy  x zy z

 Thật vậy, quyđồng và biến đổi ta được xx zxy xz xy yzxzyzx y.

Như vậy, lúc này abcd ( )ac 2 là một số chính phương

Dạng 1 hay gặp trong các đề thi các cấp và thi vào PTTH chuyên nên khi dạybản thân đã ưu tiên ngiên cứu và dạy các em nhiều hơn.

Lật ngược vấn đề: Khi các em đã thành thạo “Chứng minh một số là số chính

phương hoặc là một tổng của nhiều số chính phương” thì ngược lại “chứngminh một số không là số chính phương ta làm như thế nào?”

Dạng 2: Chứng minh một số không là số chính phương :

Ví dụ 1. Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số liên tiếp không thể làsố chính phương.

Bài tập tương tự : Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì

Do n 1 không là bội của 7 nên d 1 và 4n24n1 chính phương Đây là điềukhông thể xảy ra, vì 4n24n1 3 ( mod 4)

Giả sử phản chứng là sai và ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 4. Cho số tự nhiên n và số nguyên tố p sao cho a 2n 2p

Ta giả sử a, b là số chính phương, khi đó a b cũng là số chính phương Đặt

Các số x, y không thể âm, thế nên y 1 là vô lí Giả sử phản chứng là sai.Vậy a và b không đồng thời là các số chính phương.

Qua các ví dụ trên, giáo viên phân tích cho học sinh thấy phương pháp phảnchứng luôn là công cụ rất mạnh khi giải các bài toán số học, không những thếmà còn cho ta lời giải hay và đẹp mắt.

Dạng 3 Tìm giá trị của biến để một biểu thức là số chính phương

Thử lần lượt từng giá trị ta thu được n 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Nói đến các đề thi của nước ngoài có thể học sinh và giáo viên sợ khó nhưng cónhững bài rất vừa sức và lại một lần nữa chúng ta giới thiệu cho học sinh thấythế mạnh của bất đẳng thức để giải nhanh các bài toán số học qua ví dụ sau:

có các số nguyên a, b thỏa mãn n2 a b và n3a2b2.

 Vậy các giá trị của n cần tìm là 0;1;2.

Hơn nữa khi giới thiệu các bài toán dịch từ nước ngoài mà các em giải quyếtđơn giản bằng một vài kỹ thuật nhỏ cũng gây hứng thú học tập, tìm tòi sáng tạorất lớn cho học sinh.

Ví dụ 4. Tìm số tự nhiên n sao cho 2n 9

 là số chính phương.

Lời giải:

Giả sử 2n  9 m2, m m3 m3 2 n

Vì m3m3 nên 3 2 ,3 2

 nên a 1. Điều này dẫn đến m 5 và n 4.

Giáo viên cho học sinh làm bài tập tương tự: Tìm số tự nhiên n sao cho 3n 19

Mà A x2y2z22xy2x z 12y z 1 nên ta có đánh giá sau

x y z  12 Ax y z  12.Suy ra Ax y z  2.

x y z  xy x z y z x y z 2y 2x 0 x y.

Vậy x y z; ;   a a b; ;  với a, b là các số nguyên dương tùy ý.

Dựa vào kết quả bài toán, giáo viên có thể gợi ý học sinh khai thác bài toán như sau :

Cho các số nguyên dương x, y, z thoã mãn

Dạng 4 Ứng dụng của đồng dư thức

1.Lí thuyết

Chúng ta sẽ tìm hiểu các ứng dụng về đồng dư thức đối với các bài toán chứayếu tố số chính phương Trước hết chúng ta phát biểu lại các kiến thức sau:(1) Một số chính phương bất kì chỉ có thể

- Đồng dư với 0 hoặc 1 theo modulo 3 - Đồng dư với 0,1,2 hoặc 4 theo modulo 7 - Đồng dư với 0 hoặc 1 theo modulo 4 - Đồng dư với 0,1 hoặc 4 theo modulo 8 - Đồng dư với 0,1 hoặc 4 theo modulo 5 - Đồng dư với 0,1,3,4,5,9theo modulo 11 (2) Một số chính phương bất kì thì có thể: - Ðồng du với1,0 hoặc 1 theo modulo 7 - Đồng dư với 1,0 hoặc 1 theo modulo 9 (3) Một lũy thừa bậc bốn bất kì chỉ có thể- Đồng dư với 0 hoặc 1 theo modulo 5 - Đồng dư với 0 hoặc 1 theo modulo 16

2.Các ví dụ:

Ví dụ 1. Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên a sao cho a2 a 20102009.

Thi Phổ thông Năng khiếu 2009

Ví dụ 2. Cho số tự nhiên n thỏa mãn n n  (1) 6 không chia hết cho 3 Chứng minh rằng 2n2 n 8 không phải là số chính phương.

Chuyên Toán Hà Nội 2013

Dạng 5: Sử dụng phương pháp kẹp lũy thừa.

Như vậy, có 4 giá trị của n thỏa mãn đề bài là n1,n2,n3 và n 5.

Ví dụ 2. Cho x, y là những số nguyên lớn hơn 1 sao cho 4x y227x7y là số chính phương Chứng minh rằng xy (Chuyên Khoa học Tự nhiên 2014)

Khai thác bài toán:

Bài tập : Cho hai số x; y nguyên dương lớn hơn 1, thỏa mãn: 22

4x y 7y7x là số chính phương Chứng minh rằng : x2022 - y2022 chia hết cho 2022.

Đặt :A4x2y27y7 (*)x

Xét:A(2xy 1)24x2y27y7x4x2y24xy1x y(47) 7 y1 0(1)

(2xy+1) A4x y 4xy 1 4x y 7y7xy x(47) 7 y 1 0(2)

Từ (1 ) và (2) suy ra : (2xy 1)2A(2xy+1)2.

Do x; y là các số nguyên dương lớn hơn 1 nên ta có : A(2 ) (3)xy 2

Từ (*) Và (3) ta có : x=y, nên x2022 - y2022 = 0 suy ra : x2022 - y2022 chia hết cho2022

Việc dạy học khai thác bài toán là rất khó với giáo viên và học sinh, đặc biệt làđối với số học lại càng khó hơn Thế nhưng phát huy được khả năng này cho họcsinh thì coi như giáo viên đã thành công trong ôn tập học sinh các đội tuyển.chính vì thế khi dạy đội tuyển bản thân tôi cũng đang hướng tới phát huy khảnăng này của giáo viên và học sinh.

Bài 3 Chứng minh rằng: A= 1442443144244311 1122 2251997 1998 là một số chính phương

Bài 4 Cho x y,Î ¢ Chứng minh rằng:A= +(xy x)( +2y x) ( +3y x)( +4y)+y4 là sốchính phương

Bài 5 Có tồn tại hay không 2013 số nguyên dương a1, a2, , a2013 sao cho các số

Bài 8 Tìm 3 a   sao cho a a 1  a a1  a2aa a 1 

Bài 9 Tìm tất cả các số nguyên m sao cho m4m31 là một số chính phương.

Bài 10 Cho n  * Chứng minh rằng nếu 2n 1 và 3n 1 là các số chínhphương thì n chia hết cho 40.( Thi học sinh giỏi tỉnh Thanh Hoá năm 2019)

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.

Sáng kiến kinh nghiệm trên chủ yếu được áp dụng cho học sinh khá giỏitrong việc bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 và thi vào lớp 10 THPT chuyên Sau