SKKN Rèn luyện kỹ năng giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp véc tơ

SKKN Rèn luyện kỹ năng giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp véc tơ 1 1 Mở đầu 1 1 Lý do chọn đề tài Giải một bài toán là một nghệ thuật do thực hành mà có, ngay cả khi bài toán mà bạn đa[.]

1 Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài Giải toán nghệ thuật thực hành mà có, tốn mà bạn giải bình thường khêu gợi trí tị mị buộc bạn phải sáng tạo, đặc biệt bạn tự giải lấy toán bạn biết quyến rũ sáng tạo niềm vui thắng lợi Đối với học sinh, sau mong muốn giải tốn cụ thể cịn có tị mị sâu sắc hơn, mong muốn biết đường lối, phương tiện, lập luận qua trình dẫn tới cách giải, mà điều khơng sách trình bày cho học sinh Bài tập toán đa dạng phong phú, việc giải tập yêu cầu quan trọng học sinh Trong chương trình sách giáo khoa mơn Tốn nói chung phân mơn Hình học khơng gian nói riêng, số lượng tập chưa có sẳn thuật tốn giải lớn gây cho học sinh khơng khó khăn, lúng túng giải chúng dẫn đến tâm lí sợ ngại, thiếu tự tin vào khả Đây trở ngại lớn cho ý chí tiến thủ học tập học sinh Do giải tập giáo viên không đơn cung cấp lời giải mà quan trọng “dạy cho học sinh biết cách suy nghĩ tìm đường hợp lí để giải tốn” Bởi “Tìm cách giải tốn phát minh” Bên cạnh đó, đề thi THPT quốc gia đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa năm qua, tốn hình học không gian liên quan đến véc tơ thiếu tốn khơng thuộc loại khó Tuy nhiên học sinh coi tốn khó cần đến áp dụng linh hoạt định nghĩa, tính chất, phương pháp giải véc tơ Véc tơ với tính chất giúp cho việc nghiên cứu hình học định lượng hơn, phần giúp ta giải số tốn hình học không gian thuận lợi để học sinh thấy khai thác điểm mạnh véc tơ giải tốn hình học khơng gian, lý mạnh dạn chọn đề tài ‘‘ Rèn luyện kỹ giải tốn hình học khơng gian phương pháp véc tơ’’ 1.2 Mục đích nghiên cứu Nhằm giúp học sinh khắc phục yếu điểm nêu từ đạt kết cao giải tốn hình học khơng gian nói riêng đạt kết cao SangKienKinhNghiem.net trình học tập thi tuyển nói chung 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Học sinh lớp 11A1 11A4 ôn thi THPT Quốc gia ôn thi HSG tỉnh Thanh Hóa - Các dạng tốn hình học khơng gian mà sử dụng véc tơ để giải chương trình hình khơng gian 11 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý luận; - Điều tra thực tế; - Thực nghiệm sư phạm 1.5 Những điểm sáng kiến Để khắc phục khó khăn mà học sinh thường gặp phải, thực số giải pháp sau: - Đưa hệ thống lí thuyết, hệ thống phương pháp giải - Lựa chọn ví dụ, tập cụ thể Phân tích tỉ mỉ hướng giải, vận dụng hoạt động lực tư kỹ vận dụng kiến thức học sinh để từ giúp học sinh đưa lời giải toán - Thực nghiệm sư phạm SangKienKinhNghiem.net Nội dung 2.1 Cơ sở lý luận 2.1.1 Nội dung chủ đề véc tơ chương trình tốn THPT Ở chương trình lớp 10 véc tơ áp dụng để chứng minh hệ thức lượng tam giác đường trịn Nó sở để trình bày phương pháp tọa độ mặt phẳng Chương I - véc tơ: Trình bày khái niệm véc tơ (véc tơ, véc tơ phương, hướng, nhau) phép toán cộng trừ véc tơ, nhân véc tơ với số Đồng thời trình bày kiến thức mở đầu tọa độ, trục hệ trục tọa độ mặt phẳng Tọa độ véc tơ, điểm trục hệ trục tọa độ Chương II – Tích vơ hướng véc tơ ứng dụng, bao gồm: Định nghĩa, tính chất, biểu thức tọa độ tích vơ hướng, hệ thức lượng tam giác [1] Ở chương trình lớp 11 – véc tơ không gian mọt chương III: Quan hệ vng góc khơng gian Các phép tốn tính chất véc tơ không gian hiểu tương tự véc tơ mặt phẳng, nên khơng trình bày cách tỉ mỉ Chỉ có khái niệm đồng phẳng ba véc tơ Việc đưa véc tơ vào chương trình giúp cho việc chứng minh số tính chất quan hệ vng góc thuận lợi yêu cầu giảm tải chương trình phân ban 2006 [2] Ở chương trình lớp 12 có đưa vào khái nệm tích có hướng hai véc tơ, r r r r ký hiệu a, b  a  b , xác định biểu thức tọa độ để làm sở viết phương trình mặt phẳng [3] 2.1.2 Sử dụng phương pháp véc tơ để giải tốn hình học [2] Dùng véc tơ phép tốn véc tơ giải nhanh số tập hình học Sau số kết thường sử dụng SangKienKinhNghiem.net  Để chứng minh điểm A, B, C, D đồng phẳng ta chứng minh véc tơ uuur uuur uuur uuur uuur uuur AB, AC, AD đồng phẳng, tức chứng minh AB  kAC  lAD  Để chứng minh hai đường thẳng AB CD song song trùng ta uuur uuur chứng minh hai véc tơ AB CD phương, tức chứng minh uuur uuur AB  kCD  Để chứng minh đường thẳng AB song song nằm P  , ta lấy P  hai véc tơ r r r a b không phương chứng minh cho ba véc tơ a , r r r uuur uuur b AB đồng phẳng tìm véc tơ c P  cho AB c phương  Để chứng minh hai đường thẳng AB CD vng góc với ta chứng uuur uuur minh AB.CD  uuur  Để tính độ dài đoạn thẳng AB ta biểu diễn véc tơ AB theo véc uuur uuur tơ biết tính AB Từ suy AB  AB uuur uuur uuur uuur OA.OB · ·  Để tính AOB ta tín tích vơ hướng OA.OB , từ suy cos AOB  OA.OB 2.2 Thực trang vấn đề trước áp dụng SKKN Qua thực tế trực tiếp giảng dạy trường THPT Thọ Xuân cho thấy HS thường gặp lúng túng không giải tập học chương III phần tập liên quan đến “Véc tơ không gian - Quan hệ vuông góc” ngun nhân tình trạng xuất phát từ nhiều phía : * Về phía HS : - Khơng nắm vững định nghĩa, tính chất, quy tắc véc tơ - Không nắm vững kỹ áp dụng quy tắc véc tơ - Không nắm vững phương pháp lựa chọn tập nên sử dụng véc tơ - Nhiều HS chưa tự giác tích cực, chưa phát huy khả tư sáng tạo SangKienKinhNghiem.net * Về phía GV: GV khơng thể cung cấp hết kiến thức, phương pháp giải tập cho HS thời gian ngắn lớp * Về phía phụ huynh: Sự quan tâm số phụ huynh đến việc học tập em cịn hạn chế 2.3 Giải pháp tổ chức thực để giải vấn đề: Sử dụng kĩ thuật véc tơ để xử lí số dạng tốn hình học khơng gian DẠNG I Chứng minh điểm thẳng hàng, hai đường thẳng song song uuur uuur Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh hai vectơ AB AC uuur uuur phương, tức AB  k AC Để chứng minh hai đường thẳng phân biệt AB CD song song, ta chứng minh uuur uuur k  ¡ , AB  kCD Bài Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' Gọi G, G ' trọng tâm tam giác A ' BD CB ' D ' Chứng minh A, G, G ', C ' thẳng hàng [3] Hướng dẫn Bước 1: Phân tích tốn uuur uuuuur uuuur Để chứng minh A, G, G ', C ' thẳng hàng, ta chứng minh vectơ AG, C ' G ', AC ' phương Chọn hệ vectơ sở (Gồm ba vectơ không đồng phẳng) cho việc biểu diễn uuur uuuuur uuuur vectơ AG, C ' G ', AC ' theo hệ vectơ thuận lợi thông thường ta chọn ba vectơ gắn với ba cạnh hình hộp chung đỉnh Chú ý giả thiết G, G ' trọng tâm tam giác A ' BD CB ' D ' C B D A G G' C' B' A' D' SangKienKinhNghiem.net Bước 2: Thực giải toán uuur r uuur r uuur r Đặt AB  a , AD  b , AA '  c uuuur r r r Ta có: AC '  a  b  c 1 Vì G trọng tâm tam giác A ' BD nên: uuur uuur uuur uuur r r r AG  AD  AB  AA '  a  b  c 3     2  Vì G ' trọng tâm tam giác CB ' D ' nên: uuuuur uuuur uuuuur uuuur r r r C ' G '  C ' C  C ' B '  C'D'   a  b  c 3 3 uuur uuuur Từ 1 2  suy ra: AG  AC '  A, G, C ' thẳng hàng uuuuur uuuur Từ 1 3 suy ra: C ' G '   AC '  A, G ', C ' thẳng hàng     Vậy bốn điểm A, G, G ', C ' thẳng hàng Bài Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ với M, N thuộc cạnh CA, DC’ cho uuur uuur uuur uuuur MC  mMA ND  mNC ' Tìm m để MN song song với BD’ [5] Hướng dẫn C B M D A N C' B' A' D' Bước 1: Phân tích tốn uuuur uuur Đề MN / / BD’ MN phương với BD ' , tức có số thực k cho uuuur uuur MN  k BD ' SangKienKinhNghiem.net Chọn hệ vectơ sở (Gồm ba vectơ không đồng phẳng) cho việc biểu diễn uuuur uuur vectơ MN , BD ' theo hệ vectơ thuận lợi thông thường ta chọn ba vectơ gắn với ba cạnh hình hộp chung đỉnh uuur uuur uuur uuuur Chú ý giả thiết MC  mMA ND  mNC ' Bước 2: Thực giải toán uuur r uuur r uuur r Đặt BA  a , BB '  b;BC  c uuuur uuur uuuur Ta có: MN  BN  BM  r r r 1 m r m r r uuuur uuur uuur uuur a (b  c) , BD '  BA  BC  BB '   a  b  c 1 m 1 m uuuur uuur m 1 m Để MN / / BD’ MN  k BD '   m 1 m 1 m Vậy m   MN song song với BD’ Một số tập tương tự [5]: Bài Cho hai tia Ax, By chéo nhau, M di chuyển Ax , N di chuyển By Giả sử AM  BN , I điểm chia MN theo tỉ số IM  k Chứng minh I di chuyển IN tia cố định Bài Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' Tìm điểm M thuooch đoạn AC điểm N thuộc đoạn C ' D cho MN song song với BD ' Dạng II Chứng minh đồng phẳng, đường thẳng song song với mặt phẳng Để chứng minh bốn điểm A, B, C , D đồng phẳng ta chứng minh véc tơ uuur uuur uuur uuur uuur uuur AB, AC , AD đồng phẳng, tức chứng minh AB  k AC  l AD Để chứng minh đường thẳng AB song song với mặt phẳng   , nằm mặt r r phẳng   ta lấy   hai véc tơ a, b không phương chứng minh ba uuur r r r uuur r véc tơ AB, a, b đồng phẳng tìm véc tơ c   cho AB c phương Bài Cho tứ diện ABCD , I trung điểm AB , J trung điểm CD Điểm M chia AD theo tỉ số MA NB  k , điểm N chia BC theo tỉ số k MD NC Chứng minh I , J , M , N đồng phẳng [3] SangKienKinhNghiem.net Hướng dẫn A I M B D N J C Bước 1: Phân tích tốn uur uuur uur Để chứng minh I , J , M , N đồng phẳng, ta chứng minh ba véc tơ IJ , IM , IN Hay có uur uuur uur thể biểu diễn IJ  mIM  nIN uur uuur uur Ta chọn hệ véc tơ sở biểu diễn véc tơ IJ , IM , IN theo chúng, từ suy I , J , M , N đồng phẳng Bước 2: Thực giải toán uuur r uuur r uuur r Đặt AB  a , AC  b; AD  c Theo ta có: uuuur uuuur uuuur uuur uuuur uuuur uuuur k uuur k r AM  k MD  AM  k AD  AM  AM  AD hay AM  c 1 k 1 k uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur k uuur uuur k r r BN  k NC  BN  k BC  BN  BN  AC  AB hay BN  ba 1 k 1 k uuur uur uuuur 1r k r c Do IM  IA  AM   a  1 1 k uur uur uuur r k r r 1 k r k r IN  IB  BN  a  ba  a b 2  1 k 1  k  1 k uur uur uur uur uuur uur uuur 1r 1r 1r IJ  IC  ID  IA  AC  IA  AD   a  b  c 3 2 2 uuur uur r r r k 2k uur a  b  c  IJ Từ 1, 2  3 suy ra: IM  IN  1 k 1 k                 Vậy I , J , M , N đồng phẳng SangKienKinhNghiem.net Bài Cho hình chóp S ABC , gọi G trọng tâm tam giác ABC Một mặt phẳng P  cắt đoạn thẳng SA, SB, SC , SG theo thứ tự A’, B’, C’, G’ Chứng minh rằng: SA SB SC SG    [6] SA ' SB ' SC ' SG ' Hướng dẫn S A' C' G' B' A G C M B Bước 1: Phân tích tốn SA SB SC SG  x;  y;  z; m SA ' SB ' SC ' SG ' uuur uuur uuur Chọn hệ véc tơ sở với điểm đầu S Sau biểu diễn véc tơ SA '; SB '; SC ' ; uuur SG ' theo véc tơ chọn từ sử dụng điều kiện đồng phẳng véc tơ Để chứng minh toán ta đặt tỷ số suy điều phải chứng minh Bước 2: Thực giải toán uur r uur r uuur r SA SB SC SG  x;  y;  z; m SA ' SB ' SC ' SG ' uuur r uuur r uuur r uuur uuur r r r Ta có SA '  a; SB '  b; SC '  c; SG '  SG  (a  b  c) x y z m 3m Đặt SA  a; SB  b; SC  c Do A’, B’, C’, G’ đồng phẳng nên , ,   R ;       cho SG '  SA '  SB'  SC'  r r r r r r (a  b  c)  a  b  c 3m x y z x    3m     y         3m x y z 3m  z    3m  SangKienKinhNghiem.net SA SB SC SG    SA ' SB ' SC ' SG ' , SA SB SC SG    Vậy, ta có SA ' SB ' SC ' SG ' Do        x  y  z  3m Bài Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' Các điểm M , N , P trung điểm cạnh AD, BB ', C ' D ' Chứng minh đường thẳng C ' D song song với mặt phẳng MNP  [8] Hướng dẫn B C M A D N C' B' P D' A' Bước 1: Phân tích tốn Để chứng minh đường thẳng C ' D song song với mặt phẳng MNP  , ta chứng minh uuur uuuur uuur ba véc tơ C'D; MN ; MP đồng phẳng nghĩa phải tồn hai số thực uuur uuur uuuur x, y cho: C'D  xMP  yMN Bước 2: Thực giải toán uuur r uuur r uuur r Đặt AB  a , AD  b; AA '  c uuuur uuur uuur uuur r 1r 1r 2 uuur uuuur uuuur uuuur r r r MP  MD  DD '  D ' P  a  b  c 2 uuuur uuuuur uuuur r r C ' D  C ' D '  D 'D   a  c r r r 1r 1r uuur uuur uuuur Giả sử C'D  xMP  yMN  a  c  x  a  b  c   2   Ta có: MN  MA  AB  BN  a  b  c 1 r 1r r y a  b  c 2  10 SangKienKinhNghiem.net r r  r  1 r 1  a  c   x  y  a    x  y  b   x      2   x  y  1     x  y   x  y    1  x  y  1  uuur uuur uuuur Vậy, C'D   MP  MN 3 uuur uuuur uuur Do ba véc tơ C'D; MN ; MP đồng phẳng r yc  Mà C '  MNP  nên suy C ' D / / MNP  Một số tập tương tự [5]: Bài Cho tứ diện SABC Hai điểm I, J thứ tự chuyển động AB, AC cho AB AC   Chứng minh mặt phẳng (SIJ) qua đường thẳng cố định AI AJ uuur uuuur Bài Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' Gọi M , N điểm thỏa mãn MA   MD uuuur uuu r , NA '   NC Chứng minh MN song song với mặt phẳng BC ' D  Dạng III Chứng minh quan hệ vng góc, tính góc độ dài đoạn thẳng Để chứng minh đường thẳng AB vng góc với đường thẳng CD ta chứng minh uuur uuur AB.CD  uuur Để tính độ dài đoạn thẳng AB ta biểu diễn véc tơ AB theo véc tơ biết uuur sau ta bình phương vơ hướng véc tơ AB sử dụng kiến thức từ giả thiết để suy AB uuur uuur uuur uuur OA OB Để tính góc ·AOB ta tính tích vơ hướng OA.OB dùng cơng thức cos ·AOB  OA.OB để tính kết Bài Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' Gọi M , N trung điểm AD BB ' Chứng minh MN  A ' C [3] Hướng dẫn Bước Phân tích tốn uuuur uuuur Để chứng minh MN  A ' C , ta cần tích vơ hướng MN A ' C  Muốn làm uuuur uuuur điều ta chọn hệ véc tơ sở phù hợp, biểu diễn véc tơ MN , A ' C qua 11 SangKienKinhNghiem.net uuuur uuuur hệ véc tơ sở tính tích vơ hướng MN A ' C B C M A D N C' B' A' D' Bước Thực giải toán uuur r uuur r uuur r Đặt AB  a , AD  b; AA '  c uuuur uuur uuur uuur r 1r 1r 2 uuuur uuuur uuuur uuuur r r r A ' C  A ' B  A 'D'  A ' A  a  b  c Ta có MN  MA  AB  BN  a  b  c rr rr rr r r r Vì ABCD A ' B ' C ' D ' hình lập phương nên: a.b  b.c  c.a  a  b  c  x (với x độ dài cạnh hình lập phương) uuuur uuuur r 1r 1r r r r Khi ta có: MN A 'C   a  b  c  a  b  c 2   r2 r r r r r r r2 r r r r r r r2  a  a.b  a.c  a.b  b  b.c  a.c  b.c  c 2 2 2 r2 r2 r2 1  a  b  c  x2  x2  x2  2 2 uuuur uuuur Vậy, MN  A 'C  MN  A ' C   Bài Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi M , N trung điểm cạnh BD AC Trên đường thẳng AB, ND lấy điểm E F cho EF song song với CM Tính độ dài đoạn EF theo a [3] Hướng dẫn Bước Phân tích tốn uuur Để tính độ dài đoạn EF ta chọn hệ véc tơ sở phù hợp, biểu diễn véc tơ EF uuur uuur theo véc tơ sở tính EF Từ suy độ dài đoạn EF  EF 12 SangKienKinhNghiem.net A N E C F D M B Bước Thực giải toán uuur r uuur ur uuur r Đặt AB  x; AC  y; AD  z uuur uuur uuur AE  m , AF  n AN  (1  n) AD AB r ur r ur r r a Ta có x y  z y  z.x  uuuur r r uuur r uuur uuur r uuur n ur r Lúc AM  ( x  z ); AE  m.x; AF  n AN  (1  n) z; AF  y  (1  n) z 2 uuuur uuuur uuur r ur r Suy CM  AM  AC  ( x  y  z ) uuur uuur uuur r n ur r EF  AF  AE   mx  y  (1  n) z k  m   uuur uuuur n Do CM / EF CM//EF nên EF  kCM    k  k   2 k  1  n   uuur ur r ur r a r r EF =  ( x  y  z )  EF = ( x  y  z )  EF  3 13 SangKienKinhNghiem.net Bài Cho lăng trụ tam giác ABC A' B ' C ' Tìm góc hai đường thẳng AB ' BC ' , biết AA '  AB [3] C' B' A' C B A Hướng dẫn Bước Phân tích tốn uuuur uuuur Để toán ta chọn hệ véc tơ sở phù hợp, biểu diễn hai véc tơ AB ' BC ' uuuur uuuur theo véc tơ sở tính tích vơ hướng AB '.BC ' Từ áp dụng cơng thức uuuur uuuur uuuur uuuur tính tích vơ hướng AB '.BC '  AB '.BC '.cos AB ', BC ', suy góc hai đường thẳng AB ' BC ' Bước Thực giải toán uuur r uuur r uuuur r uuur r r Đặt AB  x , AA '  a; AB  b; AC  c , với a  uuuur r uuur uuuuur r r r x r r , b  c  x Ta có AB '  a  b , BC '  BB '  B ' C '  a  b  c uuuur uuuur r r r r r r2 r r r r r r r2 r r x2 x2 3x 2 Do AB '.BC '  a  b a  b  c  a  a.b  a.c  b.a  b  b.c   x    10    x 30 x 30 , BC '  B ' C '2  BB '2  5 uuuur uuuur uuuur uuuur AB '.BC ' 1     AB ', BC'  arccos Do đó: cos AB ', BC '  AB '.BC ' 4 Mà AB '  AB  BB '2    Một số tập tương tự: 14 SangKienKinhNghiem.net Bài Cho tứ diện ABCD Gọi M , N , P trung điểm cạnh uuuur uuur AB, CB, AD G trọng tâm tam giác BCD ,  góc vectơ MG NP Tính cos  [5] · Bài Cho hình hộp đứng ABCD A ' B ' C ' D ' có đáy hình thoi cạnh a, BAD   với cos   uuuur uuur , cạnh bên AA '  2a Gọi M điểm thỏa mãn DM  k DA N trung điểm cạnh A ' B ' Tìm k để C ' M  D ' N [5] ·  1200 Bài Cho lăng trụ (ABCD.A'B'C'D') có đáy hình thoi cạnh a, góc BAD Hình chiếu B lên mặt phẳng (ABCD) trung điểm H đoạn thẳng CD tam giác ABB’ tam giác cân Tính cos với  góc hai đường thẳng BH AC ' [6] Dạng IV Tính giá trị biểu thức chứng minh hệ thức hình học Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Các điểm A , C  uuur uur uuur uuur SC Mặt phẳng P  chứa đường thẳng AC  cắt 2019 cạnh SB , SD B , D ( B ', D ' khơng trùng S ) Tính giá trị biểu thức: thỏa mãn SA  SA , SC   T SB SD  [8] SB ' SD ' Hướng dẫn S A' B' C' D' D A C B Bước Phân tích tốn uuur uur uuur uuur Để giải toán ta biểu diễn véc tơ SB ' theo SB SD ' theo SD Từ áp dụng 15 SangKienKinhNghiem.net uuur uuur uuur uuur quy tắc véc tơ biểu diễn véc tơ SA ' theo SB ' , SD ' SC ' Sau sử dụng điều kiện đồng phẳng điểm suy kết Bước Thực giải toán uuur uur uuur uuur x Đặt SB  x.SB , SD  y.SD x, y   , T   uuur uuur uuur uur uuur uur uur uur y uuur uuur Ta có AD  BC  SD  SA  SC  SB  SA  SB  SD  SC uuur uuur uuur 2019 uuur uuur uuur uuur uuur SC   3.SA  SB  SD  2019.SC   SA  SB  SD  3x 3y x y Do điểm A , B , C  , D đồng phẳng Nên ta có  1 2019 1    T    2022 3x y x y Bài (HSG tỉnh Hải Dương 2016-2017) Cho hình lăng trụ tam giác ABC ABC  có AB  AA  a Điểm M thay đổi đường thẳng AB cho mặt phẳng qua M , vng góc AB cắt đường thẳng BC  điểm N đoạn BC  Xác định vị trí M để biểu thức 2AM  MN đạt giá trị nhỏ [5] Hướng dẫn A' C' B' N M A C B Bước Phân tích tốn uuuur uuur uuur uuuur Để toán ta chọn hệ véc tơ sở phù hợp, ta đặt AM  m AB , BN  nBC  biểu uuuur diễn véc tơ MN theo véc tơ chọn đặt Sau sử dụng điều kiện vng 16 SangKienKinhNghiem.net góc hai véc tơ thiết lập yêu cầu toán theo m, n đưa hàm số bậc hai để xét tìm giá trị nhỏ Bước Thực giải toán uuur r uuur r uuur r uuuur uuur uuur uuuur Đặt AB  a , AC  b , AA  c , AM  m AB , BN  nBC  uuuur uuur uuur uuur r r r Khi MN  MA  AB  BN  1  m  n a  nb  n  m c Do P  vng góc AB nên MN vng góc AB , ta uuuur uuur r r r r MN AB   a 1  m  n a  nb  n  m c    1  m  n a  n a  rr (do a.b  a ) Từ n   2m Khi MN  12m  18m  a nên AM  MN  20m  18m  a Do N thuộc đoạn BC  nên n  0;1, suy m   ;1 2  b m  nên f m  đồng biến 2a 20 1 Từ f m  nhỏ f   m  2 2 Tức 2AM  MN nhỏ M trung điểm AB Đặt f m   20m  18m  ,  1   ;1 Bài (HSG tỉnh Thanh Hóa 2017-2018) Cho tứ diện SABC có SA  SB  SC  Một mặt phẳng ( ) thay đổi qua trọng tâm G tứ diện cắt cạnh SA, SB, SC điểm A ', B ', C ' Chứng minh biểu thức T 1 có giá trị không đổi [5]   SA ' SB ' SC ' Hướng dẫn 17 SangKienKinhNghiem.net S C' A' A G B' E I C M B Bước Phân tích tốn uuur Để tốn ta sử dụng quy tắc trọng tâm biểu diễn véc tơ SG theo véc tơ uur uur uuur uur uur uuur uuur uuur uuur SA, SB, SC Sau lại biểu diễn SA, SB, SC theo véc tơ SA ', SB ', SC ' , sử dụng điều kiện đồng phẳng véc tơ thiết lập yêu cầu toán Bước Thực giải tốn uuuur Vì G trọng tâm tứ diện SABC nên ta có tính chất: MG  uuur uuur uuur uuuur MS  MA  MB  MC ,   với M điểm tùy ý Áp dụng tính chất cho điểm M  S ta có: uuur uur uur uur uuur uur uur uuur SG  SS  SA  SB  SC  SA  SB  SC 4 uur SA uuur uur SB uuur uuur SC uuur Lại có SA  SA ', SB  SB ', SC  SC ' SA ' SB ' SC ' uuur uuur uuur uuur Do SG  SA '  SB '  SC ' SA ' SB ' SC '     1     T  4 SA ' SB ' SC ' Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D có tâm O AB  3a, AD  AA  4a Vì bốn điểm A ', B ', C ', G đồng phẳng nên phải có Mặt phẳng P  qua O cắt tia AB ', AC , AD ' tương ứng ba điểm phân biệt M , N , P Tìm giá trị lớn biểu thức T  AM AN AP [7] Hướng dẫn 18 SangKienKinhNghiem.net B A C A D B' A' P M O C' B' N O Q D' H R C D' Bước Phân tích tốn uuuur uuur uuur uuur Để toán ta chọn hệ véc tơ sở phù hợp, ta đặt AM  m AB , AN  n AC , uuur uuur uuuur AN  p AD ' biểu diễn véc tơ AO theo véc tơ chọn đặt Sau sử dụng điều kiện đồng phẳng véc tơ thiết lập yêu cầu toán theo m, n, p sử dụng bất đẳng thức Cauchy tìm giá trị nhỏ biểu thức cần tìm Bước Thực giải toán uuuur r r r uuur r uuur r uuur ur Đặt AA '  a, AB  b, AD  d Ta có AC '  a  b  c uuur uuuur uuur uuur  AO  x AM  y AN  z AP Vì M , N , P, O đồng phẳng nên   x  y  z  uuuur uuuur r r uuur uuur r ur uuur uuuur r ur Ta có : AM  m AB '  m(a  b), AN  n AC  n(b  d ), AP  p AD '  p(a  d ) uuur uuuur r r ur 1 1 AO  AC '  (a  b  d ) Suy mx  ny  pz      4 m n p 2  1 4 AB ' AC AD ' 5a 5a 4a      4   4 AM AN AD ' AM AN AP AM AN AD ' BĐT Cauchy : Vậy minT  4 675  33 T  5T 16 675 15 Khi AM  AN  , AD '  16 Một số tập tương tự [5]: 19 SangKienKinhNghiem.net Bài Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ có cạnh Gọi G trung điểm BD ' Mặt phẳng ( P ) thay đổi qua điểm G cắt đoạn thẳng AD ', CD ', D ' B ' tương ứng H , K , I Chứng minh: 1 + + = 2 D'I D'K D'H Bài Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA,OB ,OC đơi vng góc với O Gọi H hình chiếu vng góc O lên mặt phẳng (ABC ) P điểm bất PA PB PC PH + + = 2+ kỳ tam giác ABC Chứng minh OA OB OC OH Bài Cho hình hộp ABCD A' B 'C ' D ' Lấy M , N đoạn CA' C ' D cho: MA'  m.MC , NC '  nND ( M khác C , A' N khác C ' , D ) Giả sử MN // BD ' , chứng minh rằng: m  n  10 Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành Một mặt phẳng P  khơng qua S ,cắt cạnh SA, SB, SC , SD điểm A ', B ', C ', D ' Chứng minh SA SB SC SD    SA ' SB ' SC ' SD ' 2.4 Hiệu việc triển khai đề tài SKKN Khi triển khai đề tài tiến hành 02 lớp thuộc trường THPT Thọ Xuân, là: Lớp dạy 11A1 (học ban A) lớp dạy 11A4 (học ban bản) * Kết đạt - Về mặt định tính : Khi tơi áp dụng phương pháp sử dụng kĩ thuật chọn hệ véc tơ sở vào giải dạng tốn hình học không gian phức tạp, thấy học sinh ham học hình hơn, u thích tập hình khơng gian khơng cịn thấy lo lắng, lúng túng việc xử lí tốn hình không gian phức tạp - Về mặt định lượng : Qua nghiên cứu, ứng dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy nhận thấy kết đạt khả quan nhiều Cụ thể thực nghiệm sư phạm tiến hành hai lớp có trình độ tương đương Sau dạy thực nghiệm, cho học sinh làm kiểm tra sau: 20 SangKienKinhNghiem.net ... tròn Nó sở để trình bày phương pháp tọa độ mặt phẳng Chương I - véc tơ: Trình bày khái niệm véc tơ (véc tơ, véc tơ phương, hướng, nhau) phép toán cộng trừ véc tơ, nhân véc tơ với số Đồng thời trình... hệ véc tơ sở vào giải dạng tốn hình học khơng gian phức tạp, tơi thấy học sinh tơi ham học hình hơn, u thích tập hình khơng gian khơng cịn thấy lo lắng, lúng túng việc xử lí tốn hình khơng gian. .. hai véc tơ, r r r r ký hiệu a, b  a  b , xác định biểu thức tọa độ để làm sở viết phương trình mặt phẳng [3] 2.1.2 Sử dụng phương pháp véc tơ để giải tốn hình học [2] Dùng véc tơ phép tốn véc