SKKN Rèn luyện kỹ năng giải bài toán liên quan đến đồ thị của hàm số đạo hàm, góp phần nâng cao chất...

SKKN Rèn luyện kỹ năng giải bài toán liên quan đến đồ thị của hàm số đạo hàm, góp phần nâng cao chất lượng ôn tập thi THPT quốc gia tại trường THPT Như Thanh SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG TH[.]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT NHƯ THANH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ ĐẠO HÀM, GĨP PHẦN NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG ƠN TẬP THI THPT QUỐC GIA TẠI TRƯỜNG THPT NHƯ THANH Giáo viên: Nguyễn Khắc Sâm Tổ: Toán - Tin Trường: THPT Như Thanh SKKN thuộc mơn Tốn THANH HĨA, NĂM 2019 SangKienKinhNghiem.net MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu .1 1.4 Phương pháp nghiên cứu .1 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM .2 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm .2 2.2 Thực trạng 2.3 Giải vấn đề .3 2.3.1 Cơ sở lý thuyết 2.3.2 Một số dạng toán hàm số f (x ), f éu(x )ù biết đồ thị hàm số f '(x ) .7 ê ë ú û 2.4 Một số tập trắc nghiệm vận dụng .23 2.5 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm .25 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ .26 3.1 Kết luận 26 3.2 Kiến nghị 26 TÀI LIỆU THAM KHẢO 27 SangKienKinhNghiem.net MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Trong công đổi toàn diện giáo dục nước nhà, đổi phương pháp dạy học nhiệm vụ quan trọng hàng đầu Đổi phương pháp dạy học với mục đích phát huy tốt tính tích cực, sáng tạo người học Nhưng thay đổi phương pháp hoàn toàn lạ mà phải trình áp dụng phương pháp dạy học đại sở phát huy yếu tố tích cực phương pháp dạy học truyền thống nhằm thay đổi cách thức, phương pháp học tập học sinh chuyển từ thụ động sang chủ động Trong chương trình đổi nội dung Sách giáo khoa, đạo hàm công cụ mạnh để giải nhiều toán Giữa hàm số f ( x ) đạo hàm f '( x ) có nhiều mối liên hệ chặt chẽ Đạo hàm hàm số ngồi việc biểu diễn dạng cơng thức cịn thể qua đồ thị, việc dựa vào đồ thị hàm số f '( x ) để tìm tính chất hàm số f ( x ) giúp ta giải nhiều tốn khó Từ năm học 2016-2017, Bộ GD&ĐT thay đổi từ hình thức thi tự luận sang trắc nghiệm mơn Tốn, xuất đề thi nhiều tốn có giả thiết cho đồ thị bảng biến thiên hàm số f '( x ) yêu cầu tính chất hàm số f ( x ) Đây yêu cầu mẻ học sinh, để giải dạng toán học sinh cần phải nắm vững kiến thức hàm số, đạo hàm ứng dụng Xuất phát từ lý trên, tơi chọn đề tài “Rèn luyện kỹ giải toán liên quan đến đồ thị hàm số đạo hàm, góp phần nâng cao chất lượng ơn tập thi THPT Quốc Gia trường THPT Như Thanh” để nghiên cứu 1.2 Mục đích nghiên cứu Đề tài nghiên cứu nhằm giúp học sinh giải tốt toán vận dụng, vận dụng cao hàm số f ( x ), f u( x ) biết đồ thị hàm số f '( x ) 1.3 Đối tượng nghiên cứu Sáng kiến kinh nghiệm có đối tượng nghiên cứu vận dụng số lý thuyết chương trình SGK lớp 12 để giải toán đơn điệu, cực trị, GTLN-GTNN hàm f u( x ) biết đồ thị hàm số f '( x ) 1.4 Phương pháp nghiên cứu Để trình bày sáng kiến kinh nghiệm này, tơi sử dụng phối kết hợp nhiều phương pháp như: -Nghiên cứu tài liệu, quan sát, điều tra bản, thực nghiệm so sánh, phân tích kết thực nghiệm, … phù hợp với mơn học thuộc lĩnh vực Tốn học - Trao đổi với đồng nghiệp để đề xuất biện pháp thực SangKienKinhNghiem.net NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Nghị Hội nghị BCH Trung ương Đảng lần thứ tám (Khóa XI) đổi bản, toàn diện giáo dục đào tạo nêu rõ: "Tiếp tục đổi mạnh mẽ phương pháp dạy học theo hướng đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo vận dụng kiến thức, kỹ người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt chiều, ghi nhớ máy móc Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo sở để người học tự cập nhật đổi tri thức, kỹ năng, phát triển lực " Mọi người cần phải học toán dùng toán sống hàng ngày Vì mà Tốn học có vị trí quan trọng tất lĩnh vực đời sống xã hội Hiểu biết Toán học giúp cho người ta tính tốn, suy nghĩ, ước lượng, có cách thức tư duy, phương pháp suy nghĩ, suy luận lôgic, giải vấn đề nảy sinh, học tập sống hàng ngày Ở trường phổ thông, học toán hoạt động giải toán Giải toán liên quan đến việc lựa chọn áp dụng xác kiến thức, kỹ bản, khám phá số, xây dựng mơ hình, giải thích số liệu, trao đổi ý tưởng liên quan, Giải tốn địi hỏi phải có tính sáng tạo, hệ thống Học toán giải toán giúp học sinh tự tin, kiên nhẫn, bền bỉ, biết làm việc có phương pháp Kiến thức mơn Tốn cịn ứng dụng, phục vụ cho việc học môn học khác Vật lí, Hóa học, Sinh học, Do đó, trường phổ thơng nói chung, việc dạy học mơn Toán để đáp ứng yêu cầu đổi giai đoạn phải tập trung vào việc hình thành phát triển lực chung lực chun biệt mơn Tốn như: Năng lực tư (gồm: tư lôgic; tư phê phán; tư sáng tạo; khả suy diễn, lập luận tốn học), Năng lực tính tốn (gồm: lực sử dụng phép tính; lực sử dụng ngơn ngữ tốn; lực mơ hình hóa; lực sử dụng cơng cụ, phương tiện hỗ trợ tính tốn) 2.2 Thực trạng Trong trình dạy học trường THPT Như Thanh nhiều năm nhận thấy việc học mơn tốn học sinh khó khăn, đặc biệt toán hàm số f ( x ) biết đồ thị hàm số f '( x ) Các em đâu, vận dụng kiến thức liên quan nào… Chính khó khăn ảnh hưởng khơng nhỏ đến chất lượng học tập mơn Tốn, dẫn đến em khơng có hứng thú việc học mơn Tốn Khi chưa áp dụng nghiên cứu đề tài để dạy học giải tập hàm số f ( x ) biết đồ thị hàm số f '( x ) , em thường thụ động việc tiếp cận toán phụ thuộc nhiều vào cách giải mà giáo viên cung cấp chưa chủ động việc giải toán dạng Kết khảo sát số lớp chọn khối A trường có 10% học sinh hứng thú với dạng toán SangKienKinhNghiem.net 2.3 Giải vấn đề Năm học 2017-2018 năm học thứ hai mơn Tốn thi hình thức trắc nghiệm, mã đề 101 có tốn sau: Cho hai hàm số y  f x  , y  g x  Hai hàm số y  f  x  y  g  x  có đồ thị hình vẽ bên, đường cong đậm đồ thị hàm số y  g  x  y  f  x  y 10 O 1011 x y  g  x  Hàm số h x   f x    g  x   đồng biến khoảng đây?  A  5; 31    B 2 9   ; 3 4  C  31 ;      D  6; 25    (Trích câu 50 đề thức thi THPT Quốc gia 2018) Đây tốn tương đối khó với em học sinh phổ thơng, kể học sinh có học lực giỏi Cái khó khăn bái tốn việc tìm mối liên hệ hai điều kiện đồ thị hàm số f '( x ), g '( x ) tính đơn điệu hàm h( x ) Sau số cách giải toán Cách 1: Đặt X  x  , Y  x  Ta có h x   f   X   g  Y  Để hàm số h x   f x    g  x   đồng biến h x   2 3  x     f   X   g  Y với X , Y  3;8   3  x   1  x  1  x  19      19   9 19   19   x  Vì  ;    ;  Vậy, chọn B 4  2x  4  4     x  2 Cách 2: Kẻ đường thẳng y  10 cắt đồ thị hàm số y  f  x  A a;10  ,  a  8;10  Khi ta có:  f x    10,  x   a  f x    10,   x        3 3 25 g x   5,  x   11 g x   5,  x        2 2 4     Do h x   f  x    g   x     x  Vậy, chọn B 2  SangKienKinhNghiem.net Cách 3: Ta có h x   f  x    g   x   2  25  x   , f x    f 3  10 ; Dựa vào đồ thị, x   ;3  , ta có 4  3  x   , g  x    f 8   2 2  Suy h x   f  x    g   x    0, x   ;3  Do hàm số đồng 2  4  biến  ;3  Vậy, chọn B 4  Rõ ràng tốn có nhiều hướng để giải quyết, nhiên học sinh kỹ đọc đồ thị hàm số đạo hàm khó khăn Trong năm học 2016-2017 năm tổ chức thi hình thức trắc nghiệm với mơn Tốn, đề thi thức mã đề 101 có tốn sau: Cho hàm số y = f (x ) Đồ thị hàm số y = f ¢(x ) hình bên Đặt h(x ) = 2f (x ) - x Mệnh đề ? y - 2 x - A h(4) = h(- 2) > h(2) B h(4) = h(- 2) < h(2) C h(2) > h(4) > h(- 2) D h(2) > h(- 2) > h(4) (Trích câu 49 đề thức thi THPT Quốc gia 2017) Giải + Tính đạo hàm: h(x ) = 2f (x ) - x Ta có: h ¢(x ) = 2f ¢(x ) - 2x h ¢(x ) = Û 2f ¢(x ) - 2x = Û f ¢(x ) = x + Vẽ thêm đường thẳng y = x vào đồ thị hình bên y - 2 x - SangKienKinhNghiem.net éx = - ê ¢ h (x ) = Û ê êx = (tại giao điểm đường cong đường thẳng hình) ê x= ê ë é- < x < h ¢(x ) > Û 2f ¢(x ) - 2x > Û ê êx > ê ë éx < - h ¢(x ) < Û 2f ¢(x ) - 2x < Û ê ê2 < x < ê ë + Bảng biến thiên + Từ bảng biến thiên ta nhận thấy h (2) lớn giá trị cực trị + Chỉ cần so sánh hai giá trị cực tiểu cịn lại Ta có: h(4) - h(- 2) = ò - h '(x )dx = ò - h '(x )dx + ò h '(x )dx > Û h(4) > h(- 2) + Vậy thứ tự là: h(2) > h(4) > h(- 2) Vậy, chọn đáp án C Như vây, toán liên quan đến đồ thị hàm số ln xuất nhiều đề thi thức năm học qua đề minh hoạ Bộ GD& ĐT năm học 2018-2019 Trong sáng kiến kinh nghiệm tập trung vào giải toán liên quan đến hàm số f (x ), f éëêu(x )ùûú biết đồ thị hàm số f '(x ) 2.3.1 Cơ sở lý thuyết Các kiến thức bản: Các kiến thức sử dụng đề tài bao gồm định nghĩa tính chất từ sách giáo khoa mà học sinh học 2.3.1.1 Các định nghĩa Định nghĩa 1: Cho hàm số f xác định K Hàm số y  f x  gọi đồng biến (hay tăng) K x1 , x2  K , x1  x2  f x1   f x2  Hàm số y  f x  gọi nghịch biến (hay giảm) K x1 , x2  K , x1  x2  f  x1   f  x2  Định nghĩa 2: Cho hàm số y  f x  xác định liên tục khoảng a; b  (có thể a  ; b  ) điểm x0  a; b  a Nếu tồn số h  cho f x   f x0  với x  x0  h; x0  h  x  x0 ta nói hàm số f x  đạt cực đại x0 b Nếu tồn số h  cho f x   f x0  với x  x0  h; x0  h  x  x0 ta nói hàm số f x  đạt cực tiểu x0 SangKienKinhNghiem.net Định nghĩa 3: Cho hàm số y = f (x) xác định tập D a Số M gọi giá trị lớn hàm số y  f x  tập D f x   M với x thuộc D tồn x0  D cho f x0   M Kí hiệu M  max f x  D b Số m gọi giá trị nhỏ hàm số y  f x  tập D f x   m f  x  với x thuộc D tồn x0  D cho f x0   m Kí hiệu m  D 2.3.1.2 Các tính chất Định lý 1: Cho hàm số y = f (x ) có đạo hàm K + Nếu f Â(x ) > 0, " x ẻ K thỡ hàm số y = f (x ) đồng biến K + Nếu f ¢(x ) < 0, " x Î K hàm số y = f (x ) nghịch biến K Định lý mở rộng: Cho hàm số y = f (x ) có đạo hàm K Nếu f ¢(x ) ³ 0, " x Î K (hoặc f ¢(x ) £ 0, " x Î K ) f  x   số hữu hạn điểm hàm số y = f (x ) đồng biến (nghịch biến) K Định lý 2:: Giả sử hàm số f có cực trị điểm x Khi đó, f có đạo hàm x f  x   Định lý 3: Giả sử hàm số y  f x  liên tục khoảng K  x0  h; x0  h  có đạo hàm K K \ x0 , với h  a Nếu f ' x   khoảng x0  h; x0  f ' x   khoảng x0 ; x0  h  x0 điểm cực đại hàm số f x  b Nếu f ' x   khoảng x0  h; x0  f ' x   khoảng x0 ; x0  h  x0 điểm cực tiểu hàm số f x  2.3.1.3 Một số phép biến đổi đồ thị hàm số - Cho hàm số y  f x  có đồ thị C  Đồ thị hàm số C : y  f x  a  suy từ đồ thị C  cách tịnh tiến đồ thị C  theo phương trục hoành đoạn a Nếu a  tịnh tiến đồ thị C  qua phải a đơn vị a  tịnh tiến đồ thị C  qua trái a đơn vị - Cho hàm số y  f x  có đồ thị C  Đồ thị hàm số C : y  f x  b suy từ đồ thị C  cách tịnh tiến đồ thị C  theo phương trục tung đoạn b Nếu b  tịnh tiến đồ thị C  xuống b đơn vị b  tịnh tiến đồ thị C  lên b đơn vị - Cho hàm số y  f x  có đồ thị C  Đồ thị hàm số ìï f ( x ) x > (C3 ) : y = f ( x ) = ïí suy từ đồ thị hàm số C  cách: ïï f (- x ) x £ ỵ SangKienKinhNghiem.net + Giữ ngun phần đồ thị C  nằm bên phải trục Oy bỏ phần C  nằm bên trái Oy + Lấy đối xứng phần đồ thị C  nằm bên phải trục Oy qua Oy - Cho hàm số y  f x  có đồ thị C  Đồ thị hàm số ìï f ( x ) f ( x ) > (C3 ) : y = f ( x ) = ïí suy từ đồ thị hàm số C  cách: ïï - f ( x ) f ( x ) £ ỵ + Giữ ngun phần đồ thị C  nằm Ox + Lấy đối xứng phần đồ thị C  nằm Ox qua Ox bỏ phần đồ thị C  nằm trục Ox 2.3.1.4 Một số ứng dụng tích phân a Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong trục hồnh Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f x  liên tục, trục b hoành hai đường thẳng x  a; x  b tính theo cơng thức: S   f x  dx a b Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong Cho hai hàm số y  f x  y  g x  liên tục đoạn a; b  Khi diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f x  , y  g x  hai đường thẳng b x  a, x  b S   f x   g x  dx a 2.3.2 Một số dạng toán hàm số f (x ), f éëêu(x )ùúû biết đồ thị hàm số f '(x ) Dạng 1: Xét tính đơn điệu, cực trị hàm số f (x ), f éëêu(x )ùûú biết đồ thị hàm số f '(x ) Với dạng ta thường gặp dạng tốn sau đây: Bài toán: Cho hàm số y  f x  xác định, liên tục ¡ có đồ thị đạo hàm y  f  x  hình vẽ cho trước Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị hàm số y = f éêëu (x )ùûú Để giải toán ta thường thực theo bước sau: Bước 1: Từ đồ thị hàm số y  f  x  tìm nghiệm phương trình f ¢(x ) = (hoành độ giao điểm đồ thị hàm f  x  với trục Ox ) Giả sử có nghiệm là: x  x1, x  x2, Bước 2: Tính đạo hàm hàm số y = f éêëu (x )ùûú giải phương trình u  x .f  u x   SangKienKinhNghiem.net    u  x   u x  x1  nghiệm xi (i  1, n ) u  x f  u x     u x  x2   Bước 3: Tìm khoảng f  x  0, f  x  Giả sử f  x  0, x  a;b      f  u x   0, u x  a;b Giải bất phương trình a  u x   b   Bước 4: Lập bảng biến thiên kết luận Sau số ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Cho hàm số y  f x  Hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ sau Tìm khoảng đồng biến hàm số y  f 2  x  (Trích đề minh hoạ năm 2018 – BGD&ĐT) Giải +) Dựa vào đồ thị hàm f  x  ta có: f  x   0, x  1;1 4;  ; f  x   0, x  ; 1 1; 4 x  1  f  x   x  x    +) Đặt g x   f 2  x  Ta có: g x   2  x  f  2  x    f  2  x  +) Để hàm g x   f 2  x  đồng biến thì: g x     f  2  x    f  2  x   2  x  1     x   x   2  x   Vậy, hàm số đồng biến khoảng 2;1 3;    Qua ví dụ 1, học sinh hình thành tư tương tự cho toán việc xét tính đơn điệu hàm số Ví dụ 2: Cho hàm số y  f x  có đạo hàm liên tục ¡ , hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị hàm số g x   f  x  x  ¡ SangKienKinhNghiem.net Để tìm khoảng nghịch biến hàm số ta phải dựa vào việc xét dấu đạo hàm cấp +) Ta tính đạo hàm hàm số g x   f  x  x .Ta có: g   x    f (  x  x )   1  x  f   x  x , biến thiên hàm số ' g x   f  x  x phụ thuộc vào dấu g   x    x   x    1  x     +) Ta có: g  x       x  x    x  1    f  x  x   x   x  x     +) Nhận thấy g  1  3 f  2   nghiệm phương trình g  x   nghiệm đơn nên ta có bảng xét dấu g  x  sau: x g  x   1      0 Dựa vào bảng biến thiên ta dễ dàng suy hàm số g x  nghịch biến  1 khoảng  1;   0;    , đồng biến khoảng ;  1   ;0  , hàm 2    số đạt cực trị điểm x  1; x   ; x  Ngoài cách xét dấu g  x  ta xét dấu g  x  sau:   x    1  x     x  x2   f  x  x       g  x         x  x    1  x       x   f  x  x        0   x  x     x        x  1  x      x      1  x  x    1  x    Từ ta có bảng xét dấu g  x  Ví dụ 3: Cho hàm số y  f x  có đạo hàm liên tục ¡ Đồ thị y  f  x  hình vẽ bên f 2   f 2   SangKienKinhNghiem.net Tìm khoảng nghịch biến hàm số g x    f 3  x  Giải Ta có: g  x   2 f ' 3  x  f 3  x  Từ đồ thị y  f  x  ta có bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên ta suy f x   0, x  ¡  f 3  x   0, x  ¡ Hàm số g x    f 3  x  nghịch biến  2   x  2  x  g   x   2 f 3  x  f  3  x    f  3  x      3  x  x  Vậy, hàm số nghịch biến khoảng 2;5 ;1 Ví dụ 4: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục ¡ Đồ thị hàm số y = f ¢( x ) hình bên Tìm khoảng nghịch biến hàm số g( x ) = f (1- x ) ¡ Giải Ta có g¢( x ) = - 2xf ¢(1- x ) Hàm - Giải (1): ïìï - 2x > Û í ï f Â(1- x )< ùợ s g( x ) nghịch biến ïìï x < í ïïỵ < 1- x < éìï - 2x > êï êíï f ¢ 1- x < ) êï ( Û g¢( x ) < ờợ ờỡù - 2x < ờù ờớ Â êïïỵ f (1- x )> ë (1) (2) hệ vơ nghiệm 10 SangKienKinhNghiem.net - Giải (2): ïìï - 2x < Û í ï f ¢(1- x )> ïỵ ïìï x > Û x > í ïïỵ 1- x < 1Ú1- x > Vậy, hàm số nghịch biến khoảng (0 :+ ¥ ) Tuy nhiên ta giải cách khác sau: Ta có éx = g¢( x ) = Û ê êf ¢ 1- x = ) ê ( ë Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên hàm số nghịch biến khoảng (0 :+ ¥ ) Ví dụ 5: Cho hàm số y  f x  có đạo hàm hàm số f  x  ¡ Biết hàm số y  f  x    có đồ thị hình vẽ bên Tìm khoảng nghịch biến hàm số f x  y -2 x O -1 Giải: Nhận xét: Với yêu cầu tốn ta cần xác định dấu hàm số f  x  Từ giả thiết ta thấy rằng, đồ thị hàm số f  x  thực số phép biến đổi đồ thị để đồ thị hình vẽ Từ ta giải sau: Từ đồ thị hàm số f ' ( x - 2) + tịnh tiến xuống đơn vị, ta đồ thị hàm số f ' ( x - 2) (tham khảo hình vẽ bên dưới) y -2 x O -3 Tiếp tục tịnh tiến đồ thị hàm số f ' ( x - 2) sang trái f ' ( x ) (tham khảo hình vẽ bên dưới) đơn vị, ta đồ thị hàm số 11 SangKienKinhNghiem.net y -1 O x -3 Từ đồ thị hàm số f ' ( x ) , ta thấy f ' ( x ) < x Î (- 1;1) Vậy, hàm số nghịch biến khoảng (- 1:1) Tuy nhiên cách giải ta giải cách sau: Dựa vào đồ thị hàm số ta có: f  x     2, x  1;3  f  x    0, x  1;3 Đặt t  x  f  t   0, t  1;1 Vậy, hàm số f x  nghịch biến khoảng 1;1 Ví dụ 6: Cho hàm số y  f x  có đạo hàm ¡ Biết đồ thị hàm số y  f ' x  hình vẽ Tìm điểm cực tiểu hàm số g x   f x   x Lời giải Ta có g ' x   f ' x   Khi g ' x    f ' x   1 (1) Nghiệm (1) hoành độ giao điểm đồ thị hàm số y  f ' x  đường thẳng y  1 Dựa vào đồ thị hàm số y  f ' x  , ta thấy đồ thị hàm số y  f ' x  đường thẳng x  y  1 có ba điểm chung có hồnh độ 0;1; Do f ' x   1   x   x  x  Suy g ' x     x   x  Trên ;1 đường thẳng y  1 tiếp xúc nằm đồ thị hàm số y  f ' x  Trên 1;  đường thẳng y  1 nằm đồ thị hàm số y  f ' x  Trên 2;   đường thẳng y  1 nằm đồ thị hàm số y  f ' x  Ta có bảng biến thiên 12 SangKienKinhNghiem.net Từ bảng biến thiên suy hàm số g x  đạt cực tiểu điểm x  Ví dụ 7: Cho hàm số y = f (x ) biết hàm số y = f ¢(x ) có đồ thị hình vẽ bên Tìm tất giá trị m để hàm số y = f (x + m) có cực trị Giải + Hàm số y = f (x + m) có đạo hàm y ¢= 2x.f ¢(x + m) éx = ¢ ¢ y = Û 2x.f (x + m) = Û ê êf ¢(x + m) = ê ë éx + m = ê 2 ¢ f (x + m ) = Û ê êx + m = ê2 êx + m = ë + Vì đồ thị y = f ¢(x ) tiếp xúc trục Ox điểm có hồnh độ x = nên x = nghiệm bội chẵn Do ta cần xét số nghiệm hai phương trình: éx + m = éx = - m ê ê êx + m = Û êx = - m ê ê ë ë éx = - m (1) + Để hàm số y = f (x + m) có cực trị hai phương trình êê có x = - m (2) ê ë thêm hai nghiệm đơn khác ìï - m £ TH 1: ïí ìï m ³ Û ïí Û £ m < phương trình (1) vơ nghiệm ïï - m > ïï m < î î nghiệm kép x = , phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác khơng 2x.f '(x + m) = có nghiệm đơn nên có cực trị ïì - m > ïì m < TH 2: ïí khơng có m thỏa u cầu tốn Û ïí ïï - m £ ïï m ³ ỵ ỵ 13 SangKienKinhNghiem.net Vậy, £ m < hàm số y = f (x + m) có cực trị Ví dụ 8: Cho hàm số y = f (x ) có đạo hàm ¡ đồ thị hình bên đồ thị đạo hàm y = f ¢(x ) Hàm số g (x ) = f (x )+ 2019 có điểm cực trị? y = f '(x ) Giải + Ta có f ' (x ) = có nghiệm thực x = a < 0; x = b > 0; x = c > f ' (x ) > khoảng (a;b)và (c; + ¥ ) f ' (x ) < khoảng (- ¥ ; a )và (b; c) + Bảng biến thiên: + Vì hàm số y = f (x ) có cực trị có cực trị có hồnh độ dương + Thực biến đổi đồ thị hàm số dạng y = f (x ) Bỏ phần đồ thị phía bên trái trục tung, lấy đơi xứng phần đồ thị bên phải trục tung qua trục tung (hình vẽ đây) đồ thị hàm số y = f (x ) y = f(x) + Ta thấy đồ thị hàm số y = f (x ) có cực trị, suy đồ hàm số g (x ) = f (x )+ m có cực trị với giá trị m Vậy, hàm số g (x ) = f (x )+ 2019 có cực trị 14 SangKienKinhNghiem.net Ví dụ 9: Cho hàm số f x  có đạo hàm ¡ , đồ thị hàm số y  f  x  hình vẽ bên, f a   Tìm số điểm cực trị đồ thị hàm số y = f ( x) ? y f  x  a O b c x Giải.: Từ đồ thị hàm số y = f '( x) ta có bảng biến thiên sau: x y, a  - +  c b - + f (b) y f (a ) f (c ) Đề suy đồ thị hàm số y = f ( x) ta cần phải so sánh hai giá trị f (a ), f (c ) dấu chúng c Ta có: f (c) - f (a ) = b c ò f '( x)dx = ò f '( x)dx + ò f '( x)dx > Þ a a f (c ) > f (a ) > b Do đó, đồ thị hàm số f ( x) nằm phía trục ox với x Þ đồ thị f ( x) đồ thị f ( x) Vậy, đồ thị hàm số f ( x) có điểm cực trị Ví dụ 10: Cho hàm số y  f x  xác định ¡ có f 3  ; f 4   ; f 2   2 Biết hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ bên Tìm số điểm cực trị đồ thị hàm số y  f x   x  1 Giải Nhận xét: Số cực trị hàm số y  f x  số cực trị hàm số y  f x  cộng với số giao điểm đồ thị hàm số y  f x  với trục hoành Đặt g ( x )  f x   x  1 , x  ¡ h x   f x   x  12 , x  ¡ Ta có: h ' x   f ' x   x  1  h ' x    f ' x   x  (*) 15 SangKienKinhNghiem.net Dự vào đồ thị, nghiệm phương trình (*) hồnh độ giao điểm đồ thị  x  1 x  y  f  x  đường thẳng y  x  , ta có: *   x   x  Ta có bảng biến thiên hàm số h x  sau: Ta có: 2 h 3  f 3  3  1  f 3  h 2   f 2   2  1  f (2)  h 4   f 4   4  1  f 4   2 Suy h x   có hai nghiệm phân biệt x1  3;  1 x2  3;  Vậy, hàm số g x   h x  có điểm cực trị Dạng 2: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất, so sánh giá trị hàm f (x ) biết đồ thị hàm số f '(x ) Cơ sở phương pháp tốn dạng tốn trình bày dạng Sau ta xét số ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Cho hàm số f x  có đạo hàm f  x  Đồ thị hàm số y  f  x  cho hình vẽ đây: Biết f 1  f 0   f 1  f 2  Tìm giá trị x0 đề hàm số đạt giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số y  f x  đoạn 1; 2 Giải Từ đồ thị hàm số y  f  x  ta có bảng biến thiên hàm số y  f x  đoạn 1; 2 sau: 16 SangKienKinhNghiem.net f  x   f (1) Nhận thấy: 1;2   Để tìm Max f x  ta so sánh f ( 1) f (2) 1;2 Theo giả thiết, f 1  f 0   f 1  f 2   f 2   f 1  f 0   f 1 Từ bảng biến thiên , ta có f 0   f 1  Do f 2   f 1   f 2   f 1 Hay max f x   f 2  Vậy, hàm số đạt 1;2   giá trị nhỏ x  giá trị lớn x  Ví dụ 2: Cho hàm số y = f (x ) có đạo hàm f ¢(x ) Đồ thị hàm số y = f ¢(x ) cho hình vẽ bên Biết f (0) + f (3) = f (2) + f (5) Tìm giá trị x0 đề hàm số đạt giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số y  f x  đoạn 0;5 Giải + Từ đồ thị ta có bảng biến thiên hàm số y = f (x ) éëê0;5ùúû f  x   f (2) + Từ bảng biến thiên ta thấy 0;5   + Để tìm Max f x  ta so sánh f (0) f (5) 0;5 + Ta có: f (0) + f (3) = f (2) + f (5) Þ f (0)- f (5) = f (2)- f (3) < Þ f (0) < f (5) f  x   f 5 Vậy, hàm số đạt giá trị nhỏ x  giá trị lớn Hay max 0;5   x  17 SangKienKinhNghiem.net Ví dụ : Cho hàm số y = f (x ) có đạo hàm liên tục ¡ , đồ thị hàm số y = f ¢(x ) hình vẽ bên Tìm giá trị x0 đề hàm số đạt giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số y  f x  đoạn a ; c  Giải: Từ đồ thị hàm số y = f ¢(x ) ta có bảng biến thiên sau: f  x   f (b) Để tìm giá trị nhỏ ta so Dựa vào bảng biến thiên ta thấy Max a ;c   sánh hai giá trị f (a);f(c) Tuy nhiên khó tốn so với ví dụ trước khơng có kiện để ta so sánh, ta phải dựa vào dấu hiệu diện tích hình b phẳng Bằng trực quan ta thấy ị f ¢(x )dx > 0; a c ò f ¢(x )dx < diện tích hình b phẳng giới hạn éêëa;bùúû lớn hình phẳng giới hạn éêëb; cùúûnên Ta có f (c)- f (a ) = c ò f ¢(x )dx = a b ò f ¢(x )dx + a c ị f ¢(x )dx > Þ f (c) > f (a ) b f  x   f a  Vậy, hàm số đạt giá trị nhỏ x  a giá trị lớn Hay a;c   x  b Ví dụ 4: Cho hàm số y = f (x ) có đạo hàm f ¢(x ) Đồ thị hàm số y = f ¢(x ) cho hình vẽ bên Biết f (0) + f (1)- 2f (2) = f (4)- f (3) So sánh giá trị f (0); f (2); f (4) 18 SangKienKinhNghiem.net ... hàm số, đạo hàm ứng dụng Xuất phát từ lý trên, chọn đề tài ? ?Rèn luyện kỹ giải toán liên quan đến đồ thị hàm số đạo hàm, góp phần nâng cao chất lượng ôn tập thi THPT Quốc Gia trường THPT Như Thanh”... Ví dụ 9: Cho hàm số f x  có đạo hàm ¡ , đồ thị hàm số y  f  x  hình vẽ bên, f a   Tìm số điểm cực trị đồ thị hàm số y = f ( x) ? y f  x  a O b c x Giải. : Từ đồ thị hàm số y = f ''(... Biết hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ bên Tìm số điểm cực trị đồ thị hàm số y  f x   x  1 Giải Nhận xét: Số cực trị hàm số y  f x  số cực trị hàm số y  f x  cộng với số giao