Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Hàm số bậc hai được cho bởi công thức Tập xác định của hàm số này là
Hàm số đã học ở lớp 9 là một trường hợp riêng của hàm số này.
2.1.2 Đồ thị của hàm số bậc hai. Đồ thị của hàm số là một đường parabol có đỉnh là điểm
, có trục đối xứng là đường thẳng , Parabol này quay bề lõm lên trên nếu , xuống dưới nếu
Cách vẽ Để vẽ parabol , ta thực hiện các bước:
1) Xác định tọa độ của đỉnh
3) Xác định tọa độ các giao điểm của parabol với trục tung (điểm ) và trục hoành (nếu có).
Xác định thêm một số điểm thuộc đồ thị, chẳng hạn điểm đối xứng với điểm qua trục đối xứng của parabol, để vẽ đồ thị chính xác hơn.
4) Vẽ parabol Khi vẽ parabol cần chú ý đến dấu của hệ số ( bề lõm quay lên trên, bề lõm quay xuống dưới).
2.1.3 Chiều biến thiên của hàm số.
Dựa vào đồ thị của hàm số , ta có bảng biến thiên của nó trong hai trường hợp và như sau:
Từ đó, ta có định lí dưới đây Định lí
* Nếu thì hàm số nghịch biến trên khoảng ; đồng biến trên khoảng
* Nếu thì hàm số đồng biến trên khoảng ; nghịch biến trên khoảng
Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 4 1 Thực trạng của vấn đề
2.2.1 Thực trạng của vấn đề
Trong chương trình toán THPT, đặc biệt là phần Đại số lớp 10, hàm số đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết các bài toán thực tiễn Hàm số và đồ thị hàm số bậc hai là những nội dung cần được khai thác sâu hơn Tuy nhiên, sách giáo khoa, sách bài tập và một số tài liệu tham khảo hiện có thường chỉ đề cập sơ sài, cung cấp ít ví dụ và chưa thể hiện đầy đủ những ưu điểm của hàm số.
Nhiều học sinh, mặc dù có kiến thức vững về toán học lý thuyết, vẫn gặp khó khăn khi áp dụng vào thực tế, đặc biệt là học sinh lớp 10 mới chuyển từ lớp 9 Họ thường bỡ ngỡ khi tiếp cận nội dung hàm số và khai thác đồ thị, nhất là đồ thị hàm số bậc hai Việc giải các bài tập trắc nghiệm như đọc yếu tố đồ thị, xác định giao điểm, cũng như tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) dựa vào đồ thị hoặc bảng biến thiên là những thách thức không nhỏ đối với các em.
Trong bối cảnh đổi mới thi cử hiện nay, việc học sinh tiếp cận các bài toán đồ thị đa dạng từ mức độ nhận biết đến vận dụng cao là rất quan trọng Để giải quyết hiệu quả những bài toán này, học sinh cần không chỉ thành thạo các công thức toán học mà còn phải có nền tảng kiến thức vững chắc từ lớp 10 Việc hiểu biết sâu và luyện tập thường xuyên sẽ giúp học sinh tích lũy kinh nghiệm, từ đó nâng cao khả năng suy luận và giải quyết bài toán một cách chính xác và đầy đủ.
Trước thực trạng hiện nay, tôi băn khoăn về cách giúp học sinh lớp 10 mới vào học đối mặt với những bài toán khó khăn, đồng thời làm thế nào để các em xây dựng được kiến thức vững chắc cho kỳ thi lớp 12 sau này.
Nhiều học sinh chưa thể áp dụng linh hoạt kiến thức về hàm số bậc hai để giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị và các dạng toán khác.
- Thời gian để làm dạng này còn chưa nhanh, đang còn lúng túng.
Việc nắm kiến thức một cách máy móc và hình thức thường dẫn đến những sai lầm trong việc xác định và đọc các yếu tố đồ thị, đặc biệt là trong các dạng toán liên quan đến đồ thị hàm số bậc hai.
Bộ sách giáo khoa hiện tại chủ yếu bao gồm các bài tập tự luận, với phương pháp dạy và học truyền thống Tuy nhiên, các bài tập khai thác đọc yếu tố đồ thị hàm số, thường xuất hiện trong các đề thi kiểm tra định kỳ, lại không được đề cập trong sách giáo khoa Do đó, giáo viên dạy Toán ở các trường THPT đang áp dụng các phương pháp giảng dạy khác nhau để bù đắp cho sự thiếu hụt này.
Để xây dựng một chuyên đề hiệu quả về khai thác đồ thị hàm số, cần tham khảo tài liệu và đáp án thi giữa kỳ, cuối kỳ, cũng như khảo sát chất lượng theo định hướng thi Tốt nghiệp THPT hàng năm của các trường Việc trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp cũng rất quan trọng, giúp hình thành nền tảng vững chắc cho học sinh lớp 12 trong việc khai thác đồ thị các hàm số một cách dễ dàng.
Trong thời gian học chính khóa và giờ học thêm, cần tận dụng để hướng dẫn học sinh kỹ năng khai thác đồ thị hàm số và giải quyết các bài toán liên quan Đồng thời, xây dựng một hệ thống bài tập phong phú để học sinh có thể thực hành và củng cố kiến thức.
Mặc dù đây là một chuyên đề mới, nhưng số lượng bài tập liên quan còn hạn chế và phân tán trong các đề thi trên toàn quốc, dẫn đến việc không phải giáo viên nào cũng có đủ tài liệu giảng dạy Thêm vào đó, thời gian dành cho chuyên đề này cũng không nhiều, gây khó khăn cho giáo viên trong quá trình giảng dạy.
2.2.4 Kết quả của thực trạng.
Sau khi hoàn thành chương 2 - Đại số lớp 10 về "Hàm số bậc nhất và bậc hai", tôi đã tiến hành khảo sát học sinh tại các lớp 10A4 và 10A5 Thời gian làm bài là 15 phút nhằm kiểm tra kỹ năng giải toán của các em, đặc biệt là khả năng đọc và khai thác đồ thị hàm số bậc hai Đề khảo sát được thiết kế dưới dạng câu hỏi trắc nghiệm, yêu cầu học sinh trình bày lời giải để đảm bảo các em không chỉ lụi đáp án.
Kết quả cho thấy hầu hết học sinh có kiến thức lý thuyết nhưng gặp khó khăn trong việc áp dụng vào bài tập thực tế Việc trình bày còn thiếu rõ ràng và có sự nhầm lẫn giữa các yếu tố của đồ thị và nhận biết hàm số bậc hai.
Bảng thống kê điểm kiểm tra:
Giải quyết vấn đề
2.3.1 Dạng 1 Đọc đồ thị, bảng biến thiên của hàm số bậc hai.
2.3.1.1 Dạng 1.1 Xác định hình dáng của đồ thị, bảng biến thiên khi biết hàm số.
- Xác định dấu của hệ số và tọa độ đỉnh của Parabol để lựa chọn chính xác đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số đó.
Chú ý: Có thể xác định dấu của hệ số , , để lựa chọn.
+ Nếu thì đồ thị có bề lõm quay lên phía trên, nếu thì đồ thị có bề lõm quay về phía dưới.
+ Nếu , trái dấu thì đỉnh của Parabol nằm về bên phải trục tung, nếu , cùng dấu thì đỉnh của Parabol nằm về bên trái trục tung.
Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ nằm trên trục hoành, trong khi nếu đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ nằm dưới trục hoành.
Ví dụ 1.Đồ thị nào sau đây là đồ thị của hàm số
Ta có ; nên có bề lõm hướng lên (loại hình ). có đỉnh có (loại hình và ).
Vậy có đồ thị là hình
Ví dụ 2 (THPT Nhữ Văn Lan - Hải Phòng – Kiểm tra học kỳ I năm học
2018 - 2019) Bảng biến thiên của hàm số là bảng nào sau đây?
Hàm số có hệ số nên bề lõm quay lên trên vì vậy ta loại đáp án B, D Hàm số có tọa độ đỉnh nên ta loại đáp án A
Vậy bảng biến thiên của hàm số là bảng C
2.3.1.2 Dạng 1.2 Xác định dấu hệ số của hàm số khi biết đồ thị của nó.
+ Dựa vào đồ thị có bề lõm quay lên trên hay quay xuống dưới để xác định dấu của hệ số
Dựa vào vị trí của đỉnh đồ thị so với trục tung, ta có thể xác định hệ số có cùng dấu hoặc trái dấu Điều này giúp chúng ta dễ dàng nhận biết được dấu của hệ số trong phương trình.
* Nếu đỉnh của đồ thị nằm bên phải trục tung thì trái dấu.
* Nếu đỉnh của đồ thị nằm bên trái trục tung thì cùng dấu.
+ Dựa vào tung độ giao điểm của đồ thị với trục tug để xác định dấu của hệ số
* Nếu giao điểm nằm phía dưới gốc thì hệ số
* Nếu giao điểm nằm phía trên gốc thì hệ số
Ví dụ 1.Đồ thị hàm số , có hệ số là
Bề lõm hướng xuống Chọn B
Ví dụ 2.Cho parabol có đồ thị như hình vẽ dưới đây Khẳng định nào dưới đây đúng?
Parabol quay bề lõm xuống dưới Parabol cắt Oy tại điểm có tung độ dương Đỉnh của parabol có hoành độ dương mà
Ví dụ 3.Nếu hàm số có và thì đồ thị hàm số của nó có dạng
Do nên Parabol quay bề lõm lên trên, suy ra loại phương án A, D Mặt khác do nên đỉnh Parabol có hoành độ nên loại phương án B Vậy chọn C.
Nhận xét : Với các đáp án này thừa dữ kiện
Ví dụ 4.Cho hàm số y ax 2 bx c a ,( 0, b 0, c 0)thì đồ thị (P) của hàm số là hình nào trong các hình sau:
Vì c 0nên đồ thị cắt trục tung tại điểm nằm phía trên trục hoành.
Mặt khác a 0, b 0 nê hai hệ số này trái dấu, trục đối xứg sẽ phía phải trục tug.
Do đó, hình (3) là đáp án cần tìm.
Ví dụ 5.Cho hàm số có đồ thị như hình bên dưới Khẳng định nào sau đây đúng?
Hướng dẫn: Parabol có bề lõm quay lên loại D
Parabol cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên loại B,C Chọn A
Ví dụ 6.Cho hàm số có bảng biến thiên trên nửa khoảng như hình vẽ dưới đây:
Dựa vào bảng biến thiên ta có: Parabol có bề lõm quay xuống dưới; hoành độ đỉnh dương; cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng – 1 nên:
Ví dụ 7.Cho hàm số có đồ thị là parabol trong hình vẽ
Khẳng định nào sau đây là đúng?
Vì Parabol hướng bề lõm lên trên nên Đồ thị hàm số cắt tại điểm ở dưới
Hoành độ đỉnh Parabol là , mà Chọn D
2.3.1.3 Dạng 1.3 Xác định hàm số khi biết đồ thị của nó.
Để xác định dấu của hệ số trong đồ thị, cần dựa vào hình dạng của đồ thị, cụ thể là bề lõm quay lên trên hay xuống dưới Ngoài ra, giao điểm của đồ thị với trục tung cũng giúp xác định dấu của hệ số Cuối cùng, trục đối xứng của đồ thị cũng là yếu tố quan trọng để nhận biết dấu của hệ số.
+ Dựa vào giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ (nếu cần).
Ví dụ 1 Hàm số nào có đồ thị như hình vẽ bên dưới?
Hướng dẫn: Chọn A Đồ thị có bề lõm quay xuống dưới nên Loại phương án D
Trục đối xứng: do đó chọn A
Ví dụ 2 Đồ thị hàm số sau biểu diễn đồ thị hàm số nào?
Hướng dẫn: Đồ thị có hệ số nên loại C. Đồ thị đi qua điêm nên loại A và loại D Chọn B
Ví dụ 3 Bảng biến thiên sau là của hàm số nào ?
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy Loại B.
Tọa độ đỉnh Suy ra Loại C.
Ví dụ 4 Đồ thị trong hình vẽ dưới đây là của hàm số nào trong các phương án
Hướng dẫn: Chọn D Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng nên loại B và C Hoành độ của đỉnh là nên ta loại A và chọn D
Ví dụ 5 Cho parabol có đồ thị như hình sau
Phương trình của parabol này là
Hướng dẫn: Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm nên Tọa độ đỉnh , ta có phương trình:
Vậy parabol cần tìm là: Chọn D
Ví dụ 6 Đồ thị hình bên dưới là đồ thị của hàm số bậc hai nào?
Hướng dẫn: Dựa vào hình vẽ, ta xác định hàm số bậc hai với hệ số, do đó loại bỏ đáp án C và D Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại một điểm có tọa độ, và điểm này thuộc đồ thị hàm số nhưng không thuộc đồ thị hàm số đã cho, vì vậy ta chọn đáp án B.
Ví dụ 7.Cho parabol có đồ thị như hình bên Khi đó có giá trị là x y
Parabol đi qua các điểm , , nên có hệ phương trình:
2.3.1.4 Dạng 1.4 Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Phương pháp: Từ đồ thị : ta suy ra đồ thị:
* Phần 1: Giữ nguyên đồ thị phần bên phải trục tung.
* Phần 2: Lấy đối xứng qua trục tung phần phía phải trục tug của đồ thị
* Phần 1: Giữ nguyên đồ thị phần phía trên trục hoành.
* Phần 2: Lấy đối xứng qua trục hoành phần dưới trục hoành của đồ thị
Ví dụ 1.Cho đồ thị hàm số có đồ thị như hình vẽ sau Đồ thị nào dưới đây là đồ thị của hàm số
Hướng dẫn: Đồ thị hàm số gồm hai phần Phần 1: ứng với của đồ thị Phần 2: lấy đối xứng phần của đồ thị qua trục Chọn D.
Ví dụ 2 Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình bên?
Đồ thị hàm số loại A và D có phần bên phải trục tung thể hiện hàm số với tọa độ đỉnh và trục đối xứng xác định Phần bên trái trục tung là hình ảnh đối xứng của phần bên phải qua trục tung, tạo thành một đồ thị hoàn chỉnh cho hàm số.
2.3.2 Dạng 2 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Phương pháp: Xác định GTLN, GTNN của hàm số + Xác định tọa độ đỉnh
+ Xác định dấu của hệ số
* Nếu thì GTLN của hàm số là
* Nếu thì GTNN của hàm số là
Lưu ý: Đối với trường hợp tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn thì ngoài việc xét dấu hệ số thì ta cần tính các giá trị
2.3.2.1 Dạng2.1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số chotrước.
Ví dụ 1 Cho hàm số có đồ thị Tìm mệnh đề sai.
Dựa vào đồ thị của hàm số : , ta nhận thấy:
I (1; 3) 3 có đỉnh nên A đúng nên B sai có trục đối xứng nên C đúng.
, đạt được khi nên D đúng Chọn B.
Ví dụ 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 2 4 x 1
2 4 1 y x x x 2 2 3 3 Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi x 2 Vậy hàm số đã cho đạt giá trị nhỏ nhất là 3 tại x 2 Chọn A.
Ví dụ 3 Giá trị nhỏ nhất của hàm số đạt được tại
Dấu bằng xảy ra khi nên chọn đáp án B.
Ví dụ 4 Khẳng định nào dưới đây đúng?
A Hàm số có giá trị lớn nhất bằng
B Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng
C Hàm số có giá trị lớn nhất bằng
D Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng
Vì nên hàm số có giá trị lớn nhất là: Chọn A.
Ví dụ 5 Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn là:
Ta có Do đó Để dễ hiểu hơn, ta quan sát bảng biến thiên của hàm số
Ví dụ 6 Tổng giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số trên miền là
Chọn C Vì xét trên miền thì hàm số có bảng biến thiên là
Giá trị lớn nhất của hàm số được xác định là, trong khi giá trị nhỏ nhất của hàm số là Do đó, tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số là.
Ví dụ 7 Giá trị nhỏ nhất của hàm số là:
Cách 1: Đặt Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi
Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là Đáp án C.
Ví dụ 8 Cho hàm số Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số khi Tính
Dựa vào BBT ta có Vậy Chọn B
2.3.2.2 Dạng 2.2.Tìm m thỏa mãn điều kiện cho trước.
Ví dụ 1 Tìm giá trị thực của tham số để hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng trên
Hướng dẫn: Ta có , suy ra Để hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng khi và chỉ khi
Ví dụ 2 Hàm số đạt giá trị lớn nhất trên đoạn bằng khi thuộc
Xét hàm số trên đoạn
Hàm số đạt GTLN trên đoạn bằng khi và chỉ khi
Trong bài thi KTHK1 lớp 11 tại THPT Việt Trì năm học 2019 - 2020, câu hỏi đặt ra là xác định giá trị của tham số để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất Cần phân tích các khoảng giá trị của tham số để tìm ra khoảng nào phù hợp với điều kiện này.
Hướng dẫn: Ta có Đẳng thức xảy ra khi Vậy
Yêu cầu bài toán Chọn B.
Ví dụ 4 Giá trị lớn nhất của hàm số bằng:
Hướng dẫn: Hàm số có giá trị nhỏ nhất là
Suy ra hàm số có giá trị lớn nhất là Đáp án D.
Ví dụ 5 Tìm để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn bằng
Ta có hàm số có hệ số , trục đối xứng là đường thẳng nên có bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên đoạn suy ra giá trị nhỏ nhất trên đoạn bằng Theo giả thiết
Ví dụ 6 Cho hàm số , m là tham số Giá trị của để giá trị nhỏ nhất của hàm số là lớn nhất thuộc khoảng nào sau đây?
Hàm số bậc hai đã cho có hệ số với giá trị nhỏ nhất là Đặt hàm số bậc hai với hệ số để đạt giá trị lớn nhất tại
Tập hợp tất cả các giá trị dương của tham số được xác định để giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn bằng một giá trị cụ thể Tính tổng các phần tử của tập hợp này để có kết quả cuối cùng.
Hướng dẫn: Ta có đỉnh
Do nên Khi đó đỉnh
Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn là tại
Ví dụ 8 Giả sử hàm số có tập giá trị
Hãy tính giá trị của biểu thức
- Hàm số đã cho xác định
Khi đó hàm số đã cho trở thành: , với
Ta có đỉnh của Parabol của hàm số có hoành độ:
- Ta lập BBT hàm số , với
- Từ BBT ta suy ra tập giá trị của hàm số đã cho là Khi đó
Ví dụ 9 Cho hàm số Đặt và
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho
Tính tổng bình phương các phần tử thuộc S.
Hướng dẫn: Đồ thị hàm số là một parabol quay bề lõm lên trên và có đỉnh có hoành độ
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi Vậy
Vậy Do đó tổng bình phương các phần tử thuộc S bằng 2 Chọn C.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN (Xem phần phụ lục).
Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Trong năm học 2020 - 2021, tôi đã áp dụng các giải pháp giảng dạy tại các lớp 10A4 và 10A5, tập trung vào ôn tập và rèn luyện kỹ năng giải toán liên quan đến đồ thị và hàm số bậc hai Kết quả cho thấy sự tiến bộ rõ rệt của học sinh qua các kỳ thi kiểm tra định kỳ và kỳ thi KSCL lớp 10, phù hợp với định hướng thi tốt nghiệp THPT của nhà trường Điểm thi cụ thể của các lớp tôi dạy đã phản ánh sự cải thiện tích cực trong năng lực học sinh.
10A4 10A5 Điểm lần 1 6.01 4,12 Điểm lần 2 6.50 4.60 Điểm lần 3 6.95 5.35 Điểm lần 4 7.50 6.55
Qua điều tra, tất cả học sinh lớp 10 Trung học phổ thông đều đã nắm vững cách giải các bài toán liên quan đến đồ thị, đặc biệt là đồ thị hàm số bậc hai Các em thể hiện sự tự tin khi thực hành bài tập và luyện đề cả trên lớp lẫn ở nhà Điều này không chỉ giúp các em chuẩn bị tốt về kiến thức và kỹ năng mà còn tạo nền tảng vững chắc cho việc học tập và tiếp thu kiến thức mới về đồ thị và khai thác đồ thị.
Tôi đã chia sẻ kinh nghiệm rèn luyện kỹ năng giải toán khai thác đồ thị và phân tích các yếu tố trong bài toán liên quan đến đồ thị hàm số bậc hai với đồng nghiệp môn Toán Các giáo viên đã đánh giá cao tính khoa học và thực tiễn của đề tài này.
