(SKKN HAY NHẤT) môn toán THPT các bài toán liên quan đến đồ thị hàm số

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ" LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com MỞ ĐẦU Hàm số có vị trí vơ quan trọng chương trình tốn học trung học phổ thông Hàm số chứa đựng dạng tốn xun suốt chương trình thầy cô giáo, bạn sinh viên học sinh quan tâm như:  Mở đầu hàm số  Hàm số liên tục  Đạo hàm  ứng dụng đạo hàm  Khảo sát vẽ đồ thị hàm số  Các toán liên quan đến đồ thị hàm số Với mục đích giúp bạn đọc có nhìn tổng quan, hiểu chất vấn đề đặt ra, từ đưa phương pháp giải mạch lạc phù hợp với đòi hỏi thi Trong khuân khổ viết tác giả trình bầy phần vấn đề hàm số: Các toán liên quan đến đồ thị hàm số gồm vấn đề sau: Vấn đề 1: Các phép biến đổi đồ thị Vấn đề 2: Tương giao đồ thị hai hàm số Vấn đề 3: Tiếp tuyến đồ thị hàm số Vấn đề 4: Điểm liên quan đến đồ thị Chuyên đề hàm số với phần: Các toán liên quan đến đồ thị hàm số Cụ thể phép biến đổi đồ thị trình bầy theo phương pháp: Tổng quan lý thuyết Ví dụ cụ thể minh hoạ cho lý thuyết Các tập có hướng dẫn tập bạn đọc tự giải Với nỗ lực , cố gắng thân, song viết không tránh khỏi thiếu sót mong đóng góp ý kiến chân thành bạn đọc LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com PHẦN I Các toán liên quan đến đồ thị hàm số Vấn đề 1: Các phép biến đổi đồ thị A phép biến đổi đồ thị y =-f(x) §èi xøng qua Ox ađ ơn vị Đối xứng qua Oy y =-f(-x) Tịnh tiến theo Oy, b đ ơn vị Đối xứng qua gốc O y =f(x) Tịnh tiến theo véctơv(a,b) Đối xøng qua Ox y =f(x+a)+b TÞnh tiÕn theo Ox, a đ ơn vị Đối xứng qua Oy y =f(-x) y =f(x+a) Tịnh tiến theo Ox Tịnh tiến theo Oy bđ ¬n vÞ y =f(x)+b Chú ý: *) Từ đồ thị hàm số y = f(x) suy đồ thị hàm số y = f(x) +b ta có: +) Nếu b > tịnh tiến theo Oy lên b đơn vị +) Nếu b < tịnh tiến theo Oy xuống b đơn vị *) Từ đồ thị hàm số y = f(x) suy đồ thị hàm số y = f(x+a) tacó: +) Nếu a > tịnh tiến theo Ox sang trái a đơn vị +) Nếu a< tịnh tiến theo Ox sang phải a đơn vị Ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Cho hàm số : y = 2x3 – 9x2 + 12x – (C) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2) Dựa vào đồ thị (C) vẽ đồ thị hàm số: a) y = - 2x3 + 9x2 - 12x + b) y = -2x3 – 9x2 -12x – c) y = 2x3 + 9x2 + 12x + (đề thi đại học khối A- 2006) Hướng dẫn 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số: y = 2x3 – 9x2 + 12x – (C) *) Khảo sát biến thiên: y (Bạn đọc tự giải) Ta có: y’ = 6x2 – 18x + 12 y’’ = 12x - 18 o CĐ(1; 1) ; CT(2; 0) x *) Bảng biến thiên: x - y’ + y 1 - + + -4 + - y 2) Dựa vào đồ thị (C) vẽ đồ thị hàm số: a) y = - 2x + 9x - 12x + (đặt f(x) = 2x3 – 9x2 + 12x – ) o -1 -4 x LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ta có: y = - 2x3 + 9x2 - 12x + = -(2x3 – 9x2 + 12x – 4) = - f(x) Đồ thị hàm số vẽ sau: Lấy đối xứng đồ thị (C) qua Ox y 2) Dựa vào đồ thị (C) vẽ đồ thị hàm số: b) y = -2x3 – 9x2 -12x – (đặt f(x) = 2x3 – 9x2 + 12x – 4) .1 -2 -1 o Ta có: y = 2(-x)3 – 9(-x)2 + 12(-x) - = f(-x) Đồ thị hàm số vẽ sau: -4 Lấy đối xứng đồ thị (C) qua Oy ta x đồ thị cần tìm y 2) Dựa vào đồ thị (C) vẽ đồ thị hàm số: c) y = 2x3 + 9x2 + 12x + (C2) (C1) (đặt f(x) = 2x3 – 9x2 + 12x – 4) Ta có: y = f(-x) = 2(-x)3 – 9(-x)2 + 12(-x) - (C) .-2 -1 o -1 x = -2x3 – 9x2 -12x – = g(x) -4 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mặt khác: y = - g(x) = - f(-x) =2x3 + 9x2 + 12x + Vậy: y = 2x3 + 9x2 + 12x + = -f(-x) Do đồ thị hàm số vẽ sau: Bước 1: Lấy đối xứng đồ thị (C) qua Oy Ta đồ thị (C1) Bước 2: Lấy đối xứng đồ thị (C1) qua Ox Ta đồ thị cần tìm(C2) Ví dụ 2: Cho hàm số : y = 2x3 – 9x2 + 12x – (C) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (đề thi đại học khối A- 2006) 2) Dựa vào đồ thị (C) vẽ đồ thị hàm số: a y = 2x3 – 9x2 + 12x – b y = 2(x-2)3 – 9x2 + 48x – 64 c y = 2(x-2)3 – 9x2 + 48x – 62 Hướng dẫn 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số: y = 2x3 – 9x2 + 12x – (C) (Xem ví dụ 1) y 2) Dựa vào đồ thị (C) vẽ đồ thị hàm số: a) y = 2x – 9x + 12x – (đặt y = f(x) = 2x3 – 9x2 + 12x – 4) Ta có: y = 2x3 – 9x2 + 12x – o -2 -4 x LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com = (2x3 – 9x2 + 12x – 4) + = f(x) + Do đồ thị hàm số vẽ sau: Tịnh tiến đồ thị (C) vẽ câu theo trục Oy lên đơn vị y 2) Dựa vào đồ thị (C) vẽ đồ thị hàm số: b) y = 2(x-2)3 – 9x2 + 48x – 64 (đặt f(x) = 2x3 – 9x2 + 12x – 4) o x Ta có: y = 2(x-2)3 – 9x2 + 48x – 64 = 2(x-2)3 – 9(x-2)2 + 12(x-2) – = f(x-2) Do đồ thị hàm số vẽ sau: Tịnh tiến đồ thị (C) vẽ câu theo trục Ox Qua phải đơn vị 2) Dựa vào đồ thị (C) vẽ đồ thị hàm số: c) y = 2(x-2)3 – 9x2 + 48x – 62 (đặt y = f(x) = 2x – 9x + 12x – 4) -4 y o x Ta có: y = f(x-2) = 2(x-2)3 – 9(x-2)2 + 12(x-2) – -4 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com = g(x) Mặt khác: y = g(x)+2 = 2(x-2)3 – 9x2 + 48x – 62 Vậy y = f(x-2) + Do đồ thị hàm số vẽ sau: Bước 1: Tịnh tiến đồ thị (C) vẽ câu theo trục Ox qua phải đơn vị ta đồ thị (C1) Bước 2: Tịnh tiến đồ thị (C1) theo trục Oy Lên đơn vị ta đồ thị cần tìm B Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối y =f(x) y =f(x) y =f(x) y =f(x) y =f(x) 1) Từ đồ thị hàm số y = f(x) suy đồ thị hàm số y = f(x) Ta có: y =  f(x)  =  f ( x) x    f ( x) x  LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Do đồ thị hàm số y =  f(x)  gồm: +) Phần từ trục hoành trở lên đồ thị hàm số y = f(x) +) Đối xứng phần đồ thị phía trục hồnh đồ thị hàm số y = f(x) qua trục hoành 2) Từ đồ thị hàm số y = f(x) suy đồ thị hàm số y = f(x) Ta có: y = f( x ) =  f ( x) x    f ( x ) x  Và y = f( x ) hàm số chẵn nên đồ thị có trục đối xứng Oy Do đồ thị hàm số y = f( x ) gồm: +) Phần bên phải Oy đồ thị hàm số y = f(x) +) Đối xứng phần đồ thị qua Oy 3) Từ đồ thị hàm số y = f(x) suy đồ thị hàm số y = f(x) Từ đồ thị y = f(x) để suy dồ thị y = f(x) ta thực liên tiếp hai quy tắc 2cụ thể là: +) Từ y = f(x) suy y =  f(x)  = g(x) +) lại từ y = g(x) suy y = g( x ) = f(x) Hoặc từ: +) y = f(x) suy y= f( x ) = h(x) +) lại từ y = h(x) suy y = h(x) =f(x) 4) Từ đồ thị hàm số y = f(x) suy đồ thị hàm số y = f(x) Nhận xét: +) Điểm (xo ; yo) thuộc đồ thị suy điểm (x o ; -yo) thuộc đồ thị, nên đồ thị nhận Ox làm trục đối xứng +) Với y  y = f(x)  y = f(x) Do đồ thị y = f(x) gồm: -) Phần từ trục hoành trở lên đồ thị y = f(x) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com -) Đối xứng phần đồ thị qua trục hồnh nửa đồ thị cịn lại Ví dụ 3: Cho hàm số : y = 2x3 – 9x2 + 12x – (C) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (đề thi đại học khối A- 2006) 2) Dựa vào đồ thị (C) vẽ đồ thị hàm số: a) y = 2x3 – 9x2 + 12x – 4 b) y = 2x3 – 9x2 + 12x – c) y = 2x3 – 9x2 + 12x – 4 d) y = 2x3 – 9x2 + 12x – Hướng dẫn 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số: y = 2x3 – 9x2 + 12x – (C) (Xem ví dụ 1) 2) Dựa vào đồ thị (C) vẽ đồ thị hàm số: a) y = 2x3 – 9x2 + 12x – 4 (đặt f(x) = 2x3 – 9x2 + 12x – 4) y Ta có: y = 2x3 – 9x2 + 12x – 4 = f(x) Do đồ thị hàm số: y = 2x3 – 9x2 + 12x – 4 gồm: +) Phần từ trục hoành trở lên o x đồ thị hàm số y = f(x) +) Đối xứng phần đồ thị phía trục hồnh đồ thị hàm số y = f(x) -4 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com qua trục hoành 2) Dựa vào đồ thị (C) vẽ đồ thị hàm số: b) y = 2x3 – 9x2 + 12x – (đặt f(x) = 2x3 – 9x2 + 12x – 4) y Ta có: y = 2x3 – 9x2 + 12x – = f( x ) =  f ( x) x    f ( x) x  Và y = f( x ) hàm số chẵn nên đồ thị -2 -1 o x có trục đối xứng Oy Do đồ thị hàm số: y = f( x ) = 2x3 – 9x2 + 12x – -4 gồm: +) Phần bên phải Oy đồ thị hàm số y = f(x) +) Đối xứng phần đồ thị qua Oy y 2) Dựa vào đồ thị (C) vẽ đồ thị hàm số: c) y = 2x3 – 9x2 + 12x – 4 -2 -1 o x (đặt y = f(x) = 2x3 – 9x2 + 12x – 4) Ta có: y = 2x3 – 9x2 + 12x – 4 = f(x) -4 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Từ đồ thị y = f(x) để suy dồ thị y = f(x) ta thực liên tiếp qua hai phép biến đổi: +) Từ y = f(x) suy y =  f(x)  = g(x) +) lại từ y = g(x) suy y = g( x ) = f(x) 2) Dựa vào đồ thị (C) vẽ đồ thị hàm số: y d) y = 2x3 – 9x2 + 12x – (đặt y = f(x) = 2x3 – 9x2 + 12x – 4) Ta có: y = 2x3 – 9x2 + 12x – Nhận xét: +) Điểm (xo ; yo) thuộc đồ thị suy o 1 x điểm (xo ; -yo) thuộc đồ thị, nên đồ thị nhận Ox làm trục đối xứng +) Với y  y = f(x)  y = f(x)  y= 2x3 – 9x2 + 12x – -4 Do đồ thị y = 2x3 – 9x2 + 12x – gồm: -) Phần từ trục hoành trở lên đồ thị y = f(x) -) Đối xứng phần đồ thị qua trục hồnh nửa đồ thị cịn lại LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... hàm số: Các toán liên quan đến đồ thị hàm số gồm vấn đề sau: Vấn đề 1: Các phép biến đổi đồ thị Vấn đề 2: Tương giao đồ thị hai hàm số Vấn đề 3: Tiếp tuyến đồ thị hàm số Vấn đề 4: Điểm liên quan. .. hàm số chẵn nên đồ thị có trục đối xứng Oy Do đồ thị hàm số y = f( x ) gồm: +) Phần bên phải Oy đồ thị hàm số y = f(x) +) Đối xứng phần đồ thị qua Oy 3) Từ đồ thị hàm số y = f(x) suy đồ thị hàm. .. Phần từ trục hoành trở lên đồ thị hàm số y = f(x) +) Đối xứng phần đồ thị phía trục hồnh đồ thị hàm số y = f(x) qua trục hoành 2) Từ đồ thị hàm số y = f(x) suy đồ thị hàm số y = f(x) Ta có: y =