Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ

BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC VÀ LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CƠ SỞ 4/101 LÊ HUÂN - TP HUẾ CƠ SỞ 46/1 CHU VĂN AN - TP HUẾ SĐT: 01234332133 GIẢI BẢI TOẢN HINH HOC KHONG GIẢN BẢNG PHƯƠNG PHẢP TOẢ ĐO Tài liệu thân tặng em học sinh Khối 12- chuẩn bị kỳ thi THPT Quốc Gia 2016 HUẾ, 05/05/2016 GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ Bài Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đ{y ABC l| tam gi{c vuông A, AB  a,AC  2a,AA'  b Gọi M, N l| trung điểm BB’ v| AB a Tính theo a v| b thể tích tứ diện A’CMN b Tính tỉ số b để B'C  AC' a Giải Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có O  A , c{c tia Ox, Oy, Oz qua cấc điểm B, C, A’ Khi A  0;0;0  , z B a;0;0  , A'   b  a C  0;2a;0  ,A'  0;0;b  ,B'  a;0;b  , C'  0;2a;  , M  a;0;  ,N  ;0;0  2    C' B' a Thể tích tứ diện A’CMN l|: V 1 A'C,A'M  A'N  6 M    A'C,A'M   ab; ab; 2a2   y A O a   b Ta có A'C   0;2a; b  , A'M   a;0;   , A'N   ;0;  b  2 2   C N  B x a2 b 3a2 b   A'C,A'M  A'N     2a2 b    Vậy VA 'C MN  3a2 b a2 b  b Ta có: B'C   a; 2a;c , AC'   0;2a;b  B'C  AC'  B'C.AC'    4a2  b2   b  2a  b 2 a Bài Cho hai hình chữ nhật ABCD v| ABEF hai mặt phẳng vuông góc với nhau, AB  2a,BC  BE  a Trên đường chéo AE lấy điểm M v| đường chéo BD lất điểm N cho AM BN   k với k   0;1 Tính k để MN l| đoạn vuông góc chung AE v| BD AE BD Giải Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho A  O , c{c tia Ox, Oy, Oz qua D, B, F Khi z A  0;0;0  , B 0;2a;0 , C a;2a;0 , D a;0;0 , E  0;2a;a  , F  0;0;a  Ta có: AM  k  AM  kAE, k   0;1 AE M Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 01234332133 y O≡A M| AM v| AE hướng nên AM  kAE , đo tọa độ M l|: x M  kx E   y M  ky E  2ka hay M  0;2ka;ka  z  kz  ka E  M E F B N D C x x N   k  a    Tương tự BN  kBD  y N  2a  k   2a  hay N  ka;2a  2ka;0   z N   k    MN   ka;2a  4ka;  ka    Ta có: AE   0;2a;a   BD   a; 2a;0  4a2  8ka2  ka2   MN.AE   MN l| đoạn vuông góc chung AE v| BD    k 2  MN.BD    ka  4a  8ka  Bài Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Trên c{c cạnh BB’, CD, A’D’ lấy c{c Vậy MN l| đoạn vuông góc chung AE v| BD k  điểm M, N, P cho B'M  CN  D'P  x , x   0;a  a Chứng minh AC'   MNP  b X{c định vị trí M, N, P để tam gi{c MNP có diện tích bé Giải Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có O  A , c{c tia Ox, Oy, Oz z qua c{c điểm B, D, A’ Khi A  0;0;0  , B a;0;0  , C  a;a;0  , A' D  0;a;0  , A'  0;0;a  , B'  a;0;a  , C'  a;a;a , D'  0;a;a  , M  a;0;a  x  , N  a  x;a;0  , P  0;a  x;a  B' x M a Ta có AC'   a;a;a  MN   x;a; a  x  P x C' D A MP   a;a  x;x  B  AC'.MN   AC'  MN  AC'   MNP  (đpcm)   AC'.MP  AC'  MP     D' x y N C x b Ta có MN  MP  NP  x2  a2   a  x   2x2  2ax  2a2  Tam gi{c MNP l| tam gi{c có cạnh  Diện tích tam gi{c MNP l|: S  hay S  x2  ax  a2 MN2 3  x  ax  a2    a  3a2  3a2 a x   Dấu “=” xảy  x      2    Vậy  S  3a2 M, N, P l| trung điểm c{c cạnh BB’, CD, A’D’ Bài Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Gọi M v| N l| trung điểm AD v| BB’ Chứng minh AC'   AB'D' v| tính thể tích khối tứ diện A’CMN Giải Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 01234332133 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có D  0;a;0 , A' 0;0;a , B' a;0;a , C' a;a;a , D' 0;a;a hình vẽ, ta A  0;0;0  , B a;0;0  , có:  a Ta có A'C   a;a;  a  , AB'   a;0;a  , AD'   0;a;a  z  A'C.AB'  v| A'C.AD'   A'C  AB' v| A'C  AD' D' A'  A'C   AB'D'  (đpcm) B' C' b Thể tích tứ diện A’CMN l|: V C  a;a;0  , 1 A'N,A'M  A'C  6 N D A y M   a  a Ta có: N  a;0;  , M  0; ;0  2    B   a  a  A'N   a;0;   , A'M   0; ; a  v| A'C   a;a; a  2    C x  a2 a2  a3 a3 3a3   A'N,A'M    ;a2 ;  v|  A'N,A'M  A'C   a3         4  3a3 a3 Vậy V  (đvtt)  Bài Cho tứ diện SABC có SC  CA  AB  a 2, SC   ABC  , tam gi{c ABC vuông A C{c điểm M  SA, N BC cho AM  CN  t   t  2a  Tính t để MN ngắn Trong trường hợp n|y chứng minh MN l| đoạn vuông góc chung BC v| SA đồng thời tính thể tích khối tứ diện ABMN Giải Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho A  O  0;0;0  , tia Ox chứa z AC, tia Oy chứa AB v| tia Oz hướng với vec-tơ CS    S  Khi ta có A  0;0;0  , B 0;a 2;0 , C a 2;0;0 ,  S a 2;0;a  M y A B N C x Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 01234332133 NI  Ax  I  Ax  Vẽ MH  Ax  H  Ax  v| MK  Az Vẽ  K  Az   J  Ay  z NJ  Ay v| y B S M K N J t t x C A H A I C x Vì tam gi{c SCA vuông c}n C nên Vì tam gi{c INC vuông c}n I MHAK l| hình vuông có cạnh NC t  IN  IC   huyền t 2  t t  t  Na  ; ;0   AH  AK    2   t t 2  M ;0;   2    t t 2 ; a Ta có: MN    a  t  ;    2    MN   a  t  2  2a  2a2 t2 t2    3t  4at  2a2   t    a 2  3  Đẳng thức xảy t  2a 2a t  3 Vậy MN ngắn a a a a   2a  ; ; b Khi MN ngắn  t   , ta có MN     3        Ta có SA  a 2;0;a v| BC  a 2; a 2;0   MN.SA   MN  SA    MN.BC   MN  BC Vậy MN l| đường vuông góc chung SA v| BC (đpcm) Bài Cho khối lăng trụ tam gi{c có cạnh đ{y a v| AB'  BC' Tính thể tích khối lăng trụ Giải Gọi O l| trung điểm AC Chọn hệ trục tọa độ có gốc tọa độ l| O, tia Ox qua A, tia Oy qua B Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 01234332133 a   a  ;0  , Khi A  ;0;0  , B  0;  2    z C' B'  a   a   a  ; h  , C'   ;0; h  C   ;0;0  , B'  0;   2       A'  h  AA'  BB'    a a   a a  ; h  v| BC'    ;  ;h Ta có AB'    ;   2       y a2 3a2 a AB'  BC'  AB'.BC'     h2   h  4 C B O A x a2 a a3  Bài Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh Gọi M, N, P l| trung điểm c{c cạnh A’B’, BC, DD’ Vậy thể tích khối lăng trụ l| V  SΔABC h  a Tính góc hai đường thẳng AC’ v| A’B b Chứng minh AC'   MNP  v| tính thể tích khối tứ diện AMNP Giải Chọn hệ trục tọa độ A’xyz hình vẽ, ta có: A'  0;0;0  , B1;0;0  , C' 1;1;0  , D'  0;1;0  , A  0;0;1 ,    1  1 B1;0;1 , C 1;1;1 , D  0;1;1 , M  ;0;0  , N  1; ;1 , P  0;1;  2    2  a Ta có AC'  1;1; 1 v| A'B  1;0;1  AC'.A'B   Góc hai đường thẳng AC’ v| A’B có số đo 900 b  1 1  MN   ; ;1 v| MP    ;1;   2 2   AC'.MN  v| AC'.MP  z  AC'  MN v| AC'  MP A D  AC'   MNP  (đpcm) Thể tích khối tứ diện AMNP l|: N B C  3 3 V   MN,MP  MA với  MN,MP     ;  ;  ,      4 4 D' A'   MA    ;0;1   P y M 3 Vậy V     (đvtt) 16 B' C' x Bài Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình vuông cạnh a, mặt bên SAD l| tam gi{c v| nằm mặt phẳng vuông góc với (ABCD) Gọi M, N, P l| trung điểm SB, BC, CD Chứng minh AM  BP v| tính thể tích khối tứ diện CMNP Giải Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 01234332133 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O trùng với A, tia Ox z qua B, tia Oy qua D, tia Oz hướng với vec-tơ HS S (H l| trung điểm AD), A  0;0;0  , B a;0;0  , C  a;a;0  , D  0;a;0  ,  a a 3 S  0; ; ,  2    a a a 3 M ; ; , 2 4    M  a  a  N  a; ;0  , P  ;a;0    2  y H O A a a a 3  a  Ta có AM   ; ;  v| BP    ;a;0  2 4      D P B C N x AM.BP   AM  BP (đpcm) Thể tích CMNP l| V  1 CM,CN  CP  6   a  CP    ;0;0     Ta có  CM    a ;  3a ; a  , CN   0;  a ;0      4        a2 a2  a3  CM,CN    ;0;   CM,CN  CP         16  Vậy VCMNP  a3 a3   16 96 Bài Cho hình chóp tứ gi{c S.ABCD có cạnh đ{y a , cạnh bên hợp với đ{y góc 450 Gọi O l| t}m ABCD v| I, J, K l| trung điểm SO, SD, DA a X{c định đoạn vuông góc chung IJ v| AC b Tính thể tích khối tứ diện AIJK Giải a IJ l| đường trung bình tam gi{c SOD  IJ∥OD  IJ  SO hay IJ  IO SO   ABCD   SO  AC hay IO  AC z (1) S (2) Từ (1) v| (2) suy IO l| đoạn vuông góc chung IJ v| AC J b Góc cạnh bên SD v| đ{y (ABCD) l| SDO  450 I  Tam gi{c SOD vuông c}n O a 2 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có O trùng với t}m hình vuông ABCD, tia Ox qua C, tia Oy qua D v| tia Oz qua S \ K A 450 y D  OS  OD  O B C x  a   a  ;0;0  , B  0;  ;0  , Khi A           Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 01234332133  a   a 2  a 2  a a 2  a a  D  0; ;0  , S  0;0; ; ; ;0   , I  0;0;  , J  0; , K       2     4   4     1 AI,AJ  AK  6 Thể tích tứ diện AIJK l| V   a a 2 AI   ;0;        a2 a a a   a2  a3 Ta có AJ   ; ;    AI,AJ     ;0;    AI,AJ  AK          32 4      AK   a ; a ;0        Vậy VAIJK  a3 a3   32 192 Bài 10 Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a K l| trung điểm DD’ v| O l| t}m hình vuông AA’B’B Tính thể tích khối tứ diện AIKA’ Suy khoảng c{ch từ A’ đến mặt phẳng (AB’K) Giải Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có A  O , c{c tia Ox, Oy, Oz lần z lượt A' qua B, D, A’ Khi B a;0;0 , B' a;0;a , C a;a;0 , A  0;0;0  , A'  0;0;a  , C'  a;a;a  , D  0;a;0  , D'  0;a;a  ,  a a a K  0;a;  , I  ;0;  (I l| trung điểm AB’ v| A’B) 2 2 2  B' B  a a a  a   AI,AK     ;  ;    AI,AK  AA'         K D A a a  a Ta có AI   ;0;  , AK   0;a;  , AA'   0;0;a  2 2 2  C' I Thể tích khối tứ diện AIKA’ l| V   AI,AK  AA'  6 D' x y C a3 a3 Vậy VAIKA '   12 Ta có  AB'K    AIK       d A',  AB'K   d A',  AIK   SΔAIK   3VA '.AIK SΔAIK với VA '.AIK  a3 v| 12 1 a4 a4 a4 3a2 AI,AK       16 2  Vậy d A',  AB'K   3a2 3a2 2a :  12 Bài 11 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Gọi M l| trung điểm cạnh AD v| N l| t}m hình vuông CC’D’D Tính b{n kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện BC’MN Giải Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 01234332133 Chọn hệ trục tọa độ A’xyz hình vẽ z D'  0;a;0  , A  0;0;a  , B a;0;a  , A Ta có A'  0;0;0  , B'  a;0;0  , C'  a;a;0  , a a  a  C  a;a;a  , D  0;a;a  , M  0; ;a  , N  ;a;    2 2 N B{n kính mặt cầu nói l| R  α2  β2  γ2  δ (S) qua B, C’, M, D' A' x2  y2  z2  2αx  2βy  2γz  δ  cầu D C B Phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện BC’MN có dạng: Mặt M B' N y C' nên: x 2αa  γa  δ  2a2 a2   a2  2αa   γa  δ  1   2αa  2βa  δ  2a2 a2  a2   2αa  2βa   δ  2    5a2 0  a  a2   βa  γa  δ    β a  γ a  δ    3   4   6a2  a  a2  a  αa  2βa  γa  δ   α a  β a  γ a  δ    4  4  (1) trừ (2)  β  γ (5) (2) trừ (3) kết hợp với    2α  β   3a (6) (3) trừ (4) kết hợp với (5) ta α   a (7) (6) trừ (7)  β  a a m| γ  β nên γ  4 Thay α, β v|o (1) ta δ  2a2 Vậy b{n kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện BC’MN l|: R  α2  β2  γ2  δ  a2 a2 a2 a 35    2a2  16 16 16 Bài 12 Cho hình chóp tứ gi{c S.ABCD có cạnh đ{y a v| chiều cao h Gọi I l| trung điểm cạnh bên SC Tính khoảng c{ch từ S đến mặt phẳng (ABI) Giải z Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho gốc tọa độ l| t}m O hình vuông ABCD, tia Ox chứa OA, tia Oy chứa OB v| tia Oz chứa OS S a   a   a  ;0;0  , B  0; ;a  , C   ;0;0  , S  0;0;h  Khi A              I M Giao điểm M SO v| AI l| trọng t}m tam gi{c SAC v| ta D  h có M  0;0;  3  Mp(ABI) l| mp(ABM) Vậy, phương trình mp(ABI) x l|: Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 01234332133 C O A B y x a 2  y a 2  x y z z   1   hay h a a h 3 2 h 1 h khoảng c{ch từ S tới mp(ABI) l|: d     a   2        a     2   2  1     h      a2  a2  hay d  h2 2ah 4h2  9a2 Bài 13 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh Gọi M l| trung điểm cạnh BC Tính khoảng c{ch từ A tới mặt phẳng (A’MD) Giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ z Kéo d|i DM cắt AB E A' Ta có BM  AD  BM l| đường trung bình tam gi{c ADE D' C' B'  B l| trung điểm AE A  0;0;0  , E  2;0;0  , D  0;1;0  , A'  0;0;1 B M Mp(A’MD) l| mặt phẳng (A’ED) nên phương trình mặt phẳng (A’MD) l|: D A   AE  2AB  Khi đó:   C E x y z     x  2y  2z   1  Khoảng c{ch từ A tới mp(A’MD) l| d A,  A'MD   y x 2 1   Bài 14 Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình thoi cạnh a v| BAD  1200 , đường cao SO (O l| t}m ABCD), SO  2a Gọi M, N l| trung điểm DC v| SB a Tính thể tích khối tứ diện SAMN b Chứng minh tồn mặt cầu t}m O v| tiếp xúc với bốn mặt bên S.ABCD Tính thể tích khối cầu tạo mặt cầu nói z Giải Ta có BAD  1200  ABC  600 S ABCD l| hình thoi cạnh a v| ABC  600 N  ABC, ADC l| c{c tam gi{c cạnh a  OA  OC  Chọn hệ a a v| OB  OD  2 trục tọa độ Oxyz C hình vẽ Khi a  O  0;0;0  , A  ;0;0  , 2  Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 01234332133 B M D y O A x Ta có: A'B   a;0;  a  ,  B'D   a;a; a  , A'B'   a;0;0    A'B,B'D  a2 ;2a2 ;a2     A'B.B'D  A'B' a3 a     Vậy d  A'B,B'D    A'B,B'D  a2 6   b Góc hia đường thẳng MP v| C’N   a    a  a a a a Ta có M  a;0;  , N  ;a;0  , P  0; ;a   MP   a; ;  , NC'   ;0;a   MP.NC'   MP  NC' 2 2 2   2     Vậy góc hai đường thẳng MP v| C’N có số đo 900 Bài 28 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với A  0;0;0 , B 1;0;0 , D 0;1;0 , A' 0;0;1  Gọi M v| N l| trung điểm AB v| CD a Tính khoảng c{ch hai đường thẳng A’C v| MN b Viết phương trình mặt phẳng chứa A’C v| tạo với mặt phẳng Oxy góc α biết cos α  Giải a Khoảng c{ch hai đường thẳng A’C v| MN z Cách  d  A'C,MN   d M,  P   D' A' Gọi (P) l| mặt phẳng chứa A’C v| song song với MN Khi đó: C' B' Phương trình mặt phẳng (P): 1 1   Ta có C 1;1;0  , M  ;0;0  , N  ;1;0  2 2   M  A'C  1;1; 1 , MN   0;1;0   Vec-tơ ph{p tuyến D A mặt phẳng n   A'C,MN   1;0;1   (P) l| x B y N C  Phương trình mp(P) l|: 1 x     y    1 z  1  hay x  z     Vậy d  A'C,MN   d M,  P    1 12  02  12  2 Cách d  A'C,MN    A'C,MN  A'M 1    với  A'C,MN   1;0;1 , A'M   ;0; 1    A'C,MN  2      A'C,MN   2,  A'C,MN  A'M       Vậy d  A'C,MN    2  2 Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 01234332133 22 b Viết phương trình mặt phẳng chứa A’C tạo với mp(Oxy) góc α Gọi (Q) l| mặt phẳng chứa A’C v| tạo với mp(Oxy) góc α  Phương trình mp(Q) có dạng: ax  by  cz  d  a2  b2  c2   c  d   c  d  a  b Mp(Q) qua A'  0;0;1 v| C 1;1;0  nên  a  b  d  Khi phương trình (Q) l|: ax  by   a  b  z   a  b    Mp(Q) có vtpt l| n   a;b;a  b  Mp(Oxy) có vtpt l| k   0;0;1 Gọi α l| góc (Q) v| (Oxy), ta có cos α     cos n,k   ab a2  b   a  b      6    a  b   a2  b2  ab    2a2  2b2  5ab   2a2  ab  2b2  4ab   a  2a  b   2b  b  2a     2a  b  a  2b    a  2b b  2a Với a  2b , chọn a  v| b  1  Phương trình mặt phẳng (Q) l| 2x  y  z   Với b  2a , chọn a  v| b  2  Phương trình mặt phẳng (Q) l| x  2y  z   Bài 29 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ C{c điểm M, N thay đổi c{c đoạn thẳng BD v| AD’ cho DM  AN a X{c định vị trí hai điểm M, N để MN nhỏ Chứng minh MN vuông góc với BD v| AD’ b Chứng minh MN vuông góc với đường thẳng cố định Giải Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O trùng với A, tia Ox chứa AB, tia Oy chứa AD, tia Oz chứa AA’ a Giả sử cạnh hình lập phương có độ d|i a.Đặt   AN  DM  t  t  a z Khi ta có A  0;0;0  , B a;0;0  , D  0;a;0  , D'  0;a;a  ,   t  t t  t ; M ;a  ;0  , N  0;  2    C' D'  t t  ;t  a; Do MN     2  N A Ta có:   t  MN      t a 2  B' A'  2  t  2    3t  2at  a  2 B x M y D C Xét h|m số f  t   3t  2at  a2 H|m số n|y có đồ thị l| Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 01234332133 23 parabol quay bề lõm lên phía Do f(t) nhỏ v| t  a a  a  0;a  nên MN nhỏ t   M, N thuộc đoạn BD, AD’ tương ứng cho   3 1 DM  BD, AN  AD' 3 Vì Khi MN nhỏ ta có: t   a a a a nên MN    ;  ;   3 3 Mặt kh{c BD   a;a;0  , AD   0;a;a  nên:  a  a a MN.BD      a      a    3  3  a  a a MN.AD'         a  a   3  3 Vậy MN vuông góc với BD v| AD’ b Trước hết ta tìm phương α   x;y;z   vuông góc với vec-tơ MN Điều tương đương với: α.MN  t   0;a     t   t   x    y t  a  z   t   0;a  2   2    x z    y 2  t  ya  2  t   0;a     x z y   x  z    y  ya   Chọn α  1;0;1 Vậy MN vuông góc với đường thẳng cố định nhận α  1;0;1 l|m vec-tơ phương Chú ý: Ta có kết luận tương tự l| MN song song với mặt phẳng cố định Bài 30 Cho tam gi{c ABC vuông A v| đường thẳng Δ vuông góc với mặt phẳng (ABC) điểm A C{c điểm M, N thay đổi đường thẳng Δ cho  MBC   NBC a Chứng minh AM.AN không đổi b X{c định vị trí M, N để tứ diện MNBC tích nhỏ Giải Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O trùng với điểm A, c{c tia Ox, Oy Oz trùng c{c tia AB, AC, AM Đặt AB  b, AC  c, AM  m (b, c không đổi) Khi A  0;0;0  , B b;0;0  , C  0;c;0  , M  0;0;m  Giả sử N  0;0;n  Ta có (MBC): 1 1  x y z     có ph{p vec-tơ α  ; ;  ; b c m b c m Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 01234332133 24 (NBC): 1 1 x y z     có ph{p vec-tơ β   ; ;  b c n b c n z Vậy  MBC   NBC  α.β  M b2 c2   mn  b2 c2 m.n b2  c2 Mặt kh{c m  nên n  Vậy M v| N nằm hai phía A    a Ta có AM.AN  m n  m.n  b2 c2 b2  c2 không đổi x A b Ta có: BC   b;c;0  , BM   b;0;m  , BN   b;0;n    BM,BN   0;b  n  m ;0    B N C 1 Vậy VMNBC   BM,BN  BC  bc  n  m   6 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: y 1 b2 c2 VMNBC  bc  n  m   bc.2 m  n   6 b2  c2 Dấu đẳng thức xảy v| m  n  bc b2  c2 Vậy VMNBC nhỏ M, N nằm hai phía A v| AM  AN  AB.AC BC Chú ý: ta tính thể tích tứ diện MNBC theo c{ch: 1 VMNBC  VMABC  VNABC  AM.SΔABC  AN.SΔABC 3 1   AM  AN  SΔABC  bc  m  n  Bài 31 Cho tam gi{c ABC có cạnh a, I l| trung điểm BC, D l| điểm đối xứng với A qua I Dựng đoạn SD  a b a vuông góc với mặt phẳng (ABC) Chứng minh rằng:  SAB   SAC  SBC   SAD Giải Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O trùng với điểm I, c{c tia Ox, Oy, trùng c{c tia ID, IC, tia Oz song song v| chiều với tia DS Khi a  D ;0;0  ,      a a   a   a   a C  0; ;0 , B  0;  ;0 , A   ;0;0 , S  ;0;    2   2        a 6 SA cắt Iz trung điểm M SA Ta có M   0;0;     Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 01234332133 25  a   a  ;0;0  , B  0;  ;0  , a Mặt phẳng (SAB) qua A         z S  a 6 M  0;0;  nên có phương trình đoạn chắn (SBA):    (SBA): 2x 2y 4z    1  a a a v| có M ph{p vec-tơ B  2  n1   ; ;   a a a 6 Mặt D I phẳng (SAC) qua A C y  a   a   a 6 A  ;0;0  , C  0; ;0  , M  0;0;  nên có phương trình          đoạn chắn (SAC):  2x a  Ta có n1.n2   x  2  2y 4z    v| có ph{p vec-tơ n2   ; ;  a a  a a a 6 2  2 4      0 a a a  a a a Do  SAB   SAC b Mặt phẳng (SBC) có cặp vec-tơ phương l|:  a a a  BC  0;a;0 ∥α  0;1;0  ; CS  ; ; ∥β  2     Vậy (SBC) có vec-tơ ph{p tuyến n3  α,β     3; 1;   6;0;   Mặt phẳng (SAD) trùng mặt phẳng tọa độ (xOz) nên có ph{p vec-tơ n4  0;1;0  Do n3 n4  nên  SBC   SAD  Bài 32 Cho hình vuông ABCD C{c tia Am v| Cn vuông góc với mặt ABCD v| chiều C{c điểm M, N thuộc Am, Cn Chứng minh  BMN    DMN    MBD   NBD Giải Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O trùng với điểm A, c{c tia Ox, Oy, Oz trùng c{c tia AB, AD, Am Giả sử hình vuông ABCD có cạnh a z m Đặt AM  m, CN  n Ta có: M B a;0;0  , D  0;a;0  , M  0;0;m  , n N N  a;a;n  , C  a;a;0  B Mặt phẳng (BMN) có cặp vec-tơ phương BM   a;0;m  , A x BN   0;a;n  Do (BMN) có ph{p vec-tơ    BM,BN   am;an; a ∥α  m; n;a  Mặt phẳng (DMN) có cặp   Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 01234332133 D y C 26 vec-tơ phương DM   0; a;m  , DN   a;0;n    Do (DMN) có ph{p vec-tơ  DM,DN   an;am;a2 ∥α2  n;m;a    Vậy  BMN    DMN   α1.α2   m.n  Ta có (MBD): a2 (1) 1 1  x y z     có ph{p vec-tơ l| β1   ; ;  a a m a a m Mặt phẳng (BDN) có cặp vec-tơ phương BD   a;a;0  , BN   0;a;n    Do (NBD) có ph{p vec-tơ BD,BN   an;an; a2 ∥β2  n;n; a  (2)   n n a a2     m.n  a a m Từ (1) v| (2) ta có điều phải chứng minh Vậy  MBD    NBD   β1.β2   Bài 33 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất c{c cạnh nhau, M l| trung điểm BB’ Chứng minh A’M vuông góc với AC’ v| CB’ Giải Gọi O l| trung điểm AB Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có c{c tia Ox, Oy trùng với c{c tia OC, OB, tia Oz song song chiều với tia AA’ Giả sử c{c cạnh hình lăng trụ a Khi đó: a   a   a   a  C ;0;0  , B  0; ;0  , A  0; ;0  , B'  0; ;a            z a   a   a a ;0;a  , M  0; ;  , A'  0; ;a  , C'       2    3;1;2  M O   a a  CB'    ; ;a ∥γ   3;1;2  2    C' B'  a  Vậy A'M  0;a; ∥α  0;2; 1   a a  AC'   ; ;a ∥β   2    A' A C y B  y Do α.β  0, α.γ  nên A'M  AC' v| A'M  CB' Bài 34 Cho hình chóp S.ABCD, đ{y có cạnh a Gọi M, N l| trung điểm SA, SC Biết BM  DN Tính thể tích khối chóp S.ABCD Giải Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc tọa độ O l| t}m hình vuông ABCD, c{c tia Ox, Oy, Oz trùng c{c tia OA, OB, Ó  a   a   a   a  ;0  , D  0; ;0  ,A  ;0;0  , C  ;0;0  , Đặt SO  h Khi đó: B 0;          a  a h h S  0;0;h  , M  ;0;  , N  ;0;  (vì M, N l| trung điểm SA, SC) 2 2 2 2 Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 01234332133 27  a a h   a a h  ; ; ;  ;  ; DN   Ta có BM   2 2 2 2 2 2 z S Ta có: BM.DN   a2 a2 h2 a 10   0h M N a 10 Vậy VS.ABCD  SO.SABCD  Bài 35 Cho hình chóp S.ABC, đ{y có cạnh a Gọi M, N l| trung điểm SB, SC Biết  AMN   SBC Tính thể tích hình chóp S.ABC D A x O C B y Giải Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có O l| t}m tam gi{c ABC, c{c tia Oy, Oz trùng c{c tia OB, OS, tia Ox hướng với tia CA z S Đặt SO  h Khi đó:  a a   a   a a  A ; ;0  , B  0; ;0  , C  ; ;0  ,   2  2   N  a h   a a h  S  0;0; h  , M  0; ; , N  ; ;   2  4 2 M C K Mặt phẳng (AMN) có cặp vec-tơ phương A O  a a h   3a a h  AM   ; ;  , AN   ; ;  2   4 2 x B y Vậy (AMN) có ph{p vec-tơ  2    AM,AN    3ah ; ah ; 5a ∥α  3ah ;  ah; 5a    8 8 3  3      a   a  ;0  , S 0;0;h  nên có phương trình đoạn Mặt phẳng (SBC) cắt trục Ox K  ;0;0  v| qua B  0;     chắn (SBC): 3x 3y z   1  a a h  3  ;  Vậy (SBC) có ph{p vec-tơ β  ;  a a h   Ta có  AMN    SBC  α.β   9h h 3 5a2 h 0h a 12 1 a2 a3 a  Vậy VS.ABC  SO.SABC  3 12 24 Bài 36 Cho hình chóp S.ABCD có đ{y l| hình vuông cạnh a, tam gi{c SAB Gọi M, N, P, K l| trung điểm BC, CD, SD, SB a Tính khoảng c{ch hai đường thẳng MK v| AP b Chứng minh  ANP    ABCD  Giải Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 01234332133 28 Gọi O l| trung điểm AB Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có c{c tia Ox, Oy, Oz trùng c{c tia ON, OB, OS Khi đó: z S   a   a  a 3 A  0; ;0  , B  0; ;0  , N  a;0;0  , S  0;0; ,        P   a   a a a  a a   a a 3 D  a; ;0  , P  ; ;  , M  ; ;0  , K  0; ;     4   2   4  K A a Đường thẳng MK có vec-tơ phương l|:   a a a  MK   ; ; ∥α 2;1;   4    Đường thẳng AP có vec-tơ phương l|:   a a a 3 AP   ; ; ∥β 2;1; 2     B O x N C M y   3a a  Ta có α,β   3; 4 2;0 , AK   0; ;     4      α, β  AK 3a 3a     Vậy d  MK,AP    α, β  15   b Mặt phẳng (APN) có cặp vec-tơ phương l|   a a a  a a a 3 NP   ; ; ∥α  2;1;  ; AP   ; ; ∥β 2;1;  4  2            Do (ANP) có ph{p vec-tơ l| α,β   3; 4 3;0 ∥n1  1; 2;0    Mặt phẳng (ABCD) có ph{p vec-tơ l| n2   0;0;1 Do n1.n2  nên  ANP    ABCD  Bài 37 Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A  0;0;0  , D  0;1;0 , D' 0;1;2 , B' 1;0;2  Gọi E l| điểm đối xứng với A qua B Điểm M thuộc đoạn CD cho mặt phẳng (A’ME) tạo với mặt (ABB’A’) góc φ thỏa mãn tan φ  a Viết phương trình mặt phẳng (A’ME) b Viết phương trình mặt cầu (S) qua C, B’, D’ v| có t}m thuộc mặt phẳng (A’ME) Giải Dễ d|ng suy tọa độ c{c điểm A'  0;0;2  , z B1;0;0  , C 1;1;0  , C' 1;1;2  , E  2;0;0  A' Đặt DM  t   t  1 Khi M  t;1;0  B' D' C' Mặt phẳng (A’ME) có cặp vec-tơ phương A'M   t;1; 2  , A'E   2;0; 2 ∥α 1;0; 1 Do (A’ME) có ph{p vec-tơ  A'M, α   n1  1;t  2; 1   Mặt phẳng (ABB’A’) có ph{p vec-tơ n2  0;1;0  B A x E y Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 01234332133 D M C 29  t 2  Ta có cos φ  cos n1 ,n2  Vậy   t  2 suy sin φ   cos2 φ  2   t  2 2  t    t  (vì  t  ) t 2  tan φ  Vậy M 1;1;0  (trùng với điểm C) a Mặt phẳng (A’ME) có ph{p vec-tơ n1  1;t  2; 1   1; 1; 1∥1;1;1 v| qua điểm E  2;0;0  nên có phương trình:  A'ME :1 x  2  1 y  0  1z    hay  A'ME : x y z  b (S) qua C, B’, D’ nên có t}m I thuộc c{c mặt phẳng  α  , β  l| c{c mặt phẳng trung trực CB’, CD’  α  qua trung điểm K 1; 21 ;1 CB’ v| có ph{p vec-tơ CB'   0; 1;2    1 Vậy  α  :   y     z  1   2y  4z   2  β  qua trung điểm L  21 ;1;1 CD’ v| có ph{p vec-tơ D'C  1;0; 2    1 Do β  :1 x     y  1   z  1   2x  4z   2  x  y  z   1   Vậy tọa độ I l| nghiệm hệ: 2y  4z    I  ; ;1 2  2x  4z    Mặt cầu (S) có b{n kính R  IC  2  1  1 Vậy  S :  x     y     z  1  2  2  Bài 38 Cho tứ diện OABC vuông O C{c mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) tạo với mặt phẳng (ABC) c{c góc α, β, γ tương ứng Gọi SO , SA , SB , SC l| diện tích c{c mặt đối diện với c{c đỉnh O, A, B, C tứ diện Chứng minh rằng: a OH  OA  OB  OC2 với H l| hình chiếu vuông góc O (ABC) b SO2  SA2  SB2  SC2 Giải Chọn hệ tọa độ Oxyz hình vẽ Giả sử OA  a, OB  b, OC  c , O  0;0;0  , A  a;0;0  , B 0;b;0  , C  0;0;c a Mặt phẳng (ABC) có phương trình: x y z   1 a b c Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 01234332133 30    OH  d O,  ABC   a   OH OH2   a  OA b    z b  C c2 c2 OB2  H OC2 x O A b Do c{c tam gi{c OAB, OAC, OBC l| c{c tam gi{c vuông O nên: S2A  SOBC 1  b2 c2   OB.OC   S2A  2  Tương tự ta có: S2B  B y c2 a2 a2 b2 , SC  4 1 2 2 AB,AC  b c  c a  a2 b2  S2O  S2ΔABC  S2A  S2B  S2C  2 Bài 39 Cho hình chữ nhật ABCD có AB  a, AD  b C{c tia Am v| Cn hướng v| vuông góc với Mặt kh{c: SΔABC  mặt phẳng (ABCD) C{c điểm M, N thay đổi c{c tia Am, Cn cho  MBD    NBD  Chứng minh AM.CN không đổi Giải Chọn hệ trục tọa độ Oxyz A  0;0;0  , B a;0;0  , D  0;b;0  , C  a;b;0  hình vẽ, đó: z m Giả sử AM  m, CN  n  m,n   Ta có M  0;0;m  , N  a;b;n  n M N 1 1  Mặt phẳng (MBD) có vec-tơ ph{p tuyến n  ; ;  a b m B Mặt phẳng (NBD) có vec-tơ ph{p tuyến n'   NB,ND   A x Do NB   0; b; n  , ND   a;0; n  nên 1 1 n'   bn;an; ab   abn  ; ;   a b n D C y  MBD   NBD  n.n'    12  a b   mn a b a b  2  AM.CN   const mn a b a  b2 Bài 40 Cho hình chóp S.ABCD, đ{y có cạnh a Gọi M, N l| trung điểm SA v| BC, 2 2 Do đó: O l| t}m đ{y ABCD Biết MN tạo với mặt phẳng (ABCD) góc 300 z a Chứng minh rằng: SO  MN b Tính góc MN v| (SBD) S Giải M Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ, đó: O  0;0;0  , a   a  B  ;0;0 , C  0; ;0  ,      a a   a  N  ; ;0  , A  0; ;0  Giả     SO  h  h   Khi Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 01234332133 sử D C N O A y B x 31 a a h  a h  S  0;0;h  , M  0; ; ;   ;   MN  2 2   a Mặt phẳng (ABCD) có phương trình z  v| có vec-tơ ph{p tuyến n  0;0;1 , suy sin 300  n.MN n MN (vì MN tạo với (ABCD) góc 300 ) Do đó: h 5a a 30 h hay h      h2  6 2a 2a h 2 5a  2h   16 4 Vậy SO  h  a 30 2  a   a   h 2 a a 5a a 30 Mặt kh{c MN              24     2 Vậy SO  MN b Mặt phẳng (SBD) có phương trình y  v| có vec-tơ ph{p tuyến n '  0;1;0  a a a 30  MN   ; ;  12   a 15 Gọi α l| góc MN v| (SBD), ta có: sin α    n ' MN a 30 Bài 41 Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt (ABC) Tam gi{c ABC vuông B, n '.MN AB  a, BC  b Đường thẳng SC tạo với mặt phẳng (ABC) góc 600 Tính thể tích hình chóp v| b{n kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Giải Chọn hệ tọa độ Oxyz hình vẽ Giả sử SA  h , B  0;0;0  , A  a;0;0  , C  0;b;0  , S  a;0;h  z S SC   a;b; h  Mặt phẳng (ABC) có phương trình z  n   0;0;1 l| vec-tơ ph{p tuyến (ABC) Do SC tạo với (ABC) góc 600 nên: sin 600  n.SC n SC  h a  b2  h  C   h  a  b2  Giả sử I  x ; y0 ;z0  l| t}m mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, ta có: Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 01234332133 y B A x 32 IA  IB2  IC2  IS2  x 02  y02  z 02   x  a   y02  z 02  x 02   y0  b   z 02    x 02  y02   z  a  b      a  b2 a b  x  ; y0  ;z  2 Gọi R l| b{n kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, ta có: R  IB  x 02  y02  z02  a  b2 Gọi V l| thể tích hình chóp, ta có:   1 V  SA.SΔABC  SA.AB.BC  ab a  b2 6 Bài 42 Cho hình chóp S.ABC, đ{y có cạnh a M, N l| trung điểm SA, SC Biết BM  AN Tính thể tích v| b{n kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Giải Gọi O l| t}m tam gi{c ABC v| K l| trung điểm z a a a , AO  BC, đó: OK  AK  , KB  KC  Giả sử SO  h  h   S  a a   a  ;0  , A  0;  ;0  ,  a a  C   ; O  0;0;0  , B  ; ;0  ,     2  S  0;0;h  I A C O  a h  a a h  M  0;  ; , N  ; ;    12   x K y B  a a h  a 5a h   BM    ;  ;  , AN    ; ;  2   12  Do BM  AN nên BM.AN   N M Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ Khi đó: a 15a h 42   0h a 36 1 a 42 a a 14  Gọi V l| thể tích hình chóp, ta có: V  SO.SΔABC  3 24 Gọi I l| t}m mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, dễ thấy I  SO nên I  0;0;m  Ta có: IA  IS2   a 42  a2 42 5a a2  m2  a  a.m  m2  m   m2    m   3 42   Vậy R  IA  a 25a 9a   168 42 Bài 43 Cho điểm M nằm góc tam diện vuông Oxyz Mặt phẳng  α  thay đổi qua M v| cắt c{c tia Ox, Oy, Oz c{c điểm ph}n biệt A, B, C Tìm gi{ trị nhỏ thể tích tứ diện OABC Giải Chọn hệ tọa độ Oxyz hình vẽ Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 01234332133 33 Giả sử M  x ; y0 ;z0  v| mặt phẳng  α  cắt Ox, Oy, Oz c{c điểm z A  a;0;0  , B 0;b;0  , C  0;0;c  C x y z   1 a b c x y z  abc Vì M   α  nên    a b c Khi mặt phẳng  α  có phương trình: Ta có VOABC Suy  33 x y0 z (bất đẳng thức Cô-si) abc  abc  27x y0 z0  VOABC  M B y O 27x y0 z0 a  3x x y0 z  Dấu “=” xảy      b  3y0 a b c c  3z  A x Bài 44 Cho hai đường thẳng chéo a, b vuông góc với nhau, nhận AB l|m đoạn vuông góc chung (A thuộc a, B thuộc b) C{c điểm M, N thay đổi a, b cho MN  AM  BN Chứng minh khoảng c{ch từ trung điểm O đoạn AB tới đường thẳng MN không đổi Từ suy MN tiếp xúc với mặt cầu đường kính AB Giải Kẻ Ay∥b Dễ thấy Ay  a , Ay  AB z Chọn hệ tọa độ Oxyz hình vẽ Giả sử AB  h, AM  m, BN  n  h,m,n   N B Khi đó: A  0;0;0  , B  0;0;h  , M  m;0;0  , b h  N  0;n;h  , O  0;0;  2  Theo giả thiết MN  AM  BN nên ta có a m  n  h  m  n  h  2mn 2 y O A M x h  Ta có MN   m;n;h  , OM   m;0;   2   hn hm    MN,OM     ; ; mn   2  Do d  O, MN    MN,OM     MN h n h m2   m2 n 4  m  n2  h2 2mn 2m3n   m2 n mn h 4   2 m2  n  2mn Vậy khoảng c{ch từ O đến MN không đổi v| AB Do MN tiếp xúc với mặt cầu đường kính AB Bài 45 Trong không gian tọa độ cho c{c điểm A  0;0;1 , D 0;2;0  C{c điểm B v| C thay đổi trục Ox cho  ACD    ABD  X{c định vị trí B v| C để thể tích tứ diện ABCD nhỏ Ứng với vị trí đó, viết phương trinh mặt phẳng  α  chứa AD v| tạo với c{c mặt (ACD), (ABD) góc Giải Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 01234332133 34 Giả sử B  b;0;0  , C  c;0;0  Khi (ABD) có phương trình: x y   z 1 b z 1  v| có vec-tơ ph{p tuyến n   ; ;1 b  Mặt phẳng (ACD) có phương trình: x y   z  v| có vec-tơ ph{p tuyến c C A 1  n '   ; ;1 c  O VABCD  VBOAD  VCOAD   BO  CO  y D 1 Do  ACD    ABD  nên n.n '       bc   bc Vậy ta có OB.OC  v| B, C nằm kh{c phía O Ta có: B x 1  BO  CO .SΔOAD   BO  CO   BO.CO  3 3 Dấu “=” xảy Khi mp(AOD) tạo với c{c mặt phẳng (ACD), (ABD) góc v| đó, mặt phẳng  α  qua AD v| vuông góc với (AOD) tạo với c{c mặt phẳng (ACD), (ABD) góc (AOD) có phương trình: x  v| có vec-tơ ph{p tuyến n 1;0;0  α  có vec-tơ 0. x  0  1. y    2. z  1  hay y  2z   Bài gian Mặt phẳng 46 Trong không ph{p tuyến tọa α n1   n, AD   0;1;2 Do độ Oxyz, cho hình hộp có phương trình: ABCD.A’B’C’D’ có A  0; 1;0  , C  2;1;0  , B'  2; 1;2  , D'  0;1;2  C{c điểm M, N thay đổi c{c đoạn A’B’ v| BC cho D'M  AN a Chứng minh MN vuông góc với đường thẳng cố định b Khi M l| trung điểm A’B’, viết phương trình mặt phẳng (DMN) Giải Ta có AC   2;2;0  , B'D'   2;2;0   AC  B'D' v| AC  B'D'  AC  BD v| AC  BD A' M  ABCD l| hình vuông Tương tự, ta chứng minh c{c mặt lại hình hộp l| hình vuông, ABCD.A’B’C’D’ l| hình lập phương  (ABCD) có phương trình: z  B' C D Giả sử n  AC,B'D'  n   0;0;8  (ABCD) có vec-tơ ph{p tuyến n  0;0;8  C' D' N A B (A’B’C’D’) có phương trình: z  Từ dễ d|ng x{c định c{c đỉnh lại hình lập phương l|: B  2; 1;0  , D  0;1;0  , A'  0; 1;2  , C'  2;1;2  Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 01234332133 35  x  2t  A’B’ có phương trình:  y  1 BC có phương trình: z   x    y  1  2s z    t,s   Do M, N nằm c{c đoạn A’B’ v| BC nên M  2t; 1;2  , N  2; 1  2s;0  với  t  1,  s  Theo giả thiết D'M  AN  D'M.AN   t  s  MN    2t;2t; 2  a Xét u  1;1;1 , ta thấy MN.u  t nên MN vuông góc với c{c đường thẳng có phương u , suy MN vuông góc với đường thẳng cố định b Khi M l| trung điểm A’B’ t  s  Ta có M 1; 1;2  , N  2;0;0   MN  1;1; 2 , DM  1; 2;2    MN,DM    2; 4; 3  (DMN) qua D  0;1;0  v| có vec-tơ ph{p tuyến n1   2;4;3 Vậy (DMN) có phương trình: 2x  4y  3z   Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 01234332133 36 [...]... giữa hai đường thẳng MP v| C’N có số đo bằng 900 Bài 28 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với A  0;0;0 , B 1;0;0 , D 0;1;0 , A' 0;0;1  Gọi M v| N lần lượt l| trung điểm của AB v| CD a Tính khoảng c{ch giữa hai đường thẳng A’C v| MN b Viết phương trình mặt phẳng chứa A’C v| tạo với mặt phẳng Oxy một góc α biết cos α  1 6 Giải a Khoảng c{ch giữa hai đường thẳng... từ O đến MN không đổi v| bằng AB Do đó MN luôn tiếp xúc với mặt cầu đường 2 kính AB Bài 45 Trong không gian tọa độ cho c{c điểm A  0;0;1 , D 0;2;0  C{c điểm B v| C thay đổi trên trục Ox sao cho  ACD    ABD  X{c định vị trí của B v| C để thể tích tứ diện ABCD nhỏ nhất Ứng với vị trí đó, viết phương trinh mặt phẳng  α  chứa AD v| tạo với c{c mặt (ACD), (ABD) những góc bằng nhau Giải Trần... (ABD) những góc bằng nhau v| do đó, mặt phẳng  α  qua AD v| vuông góc với (AOD) cũng tạo với c{c mặt phẳng (ACD), (ABD) những góc bằng nhau (AOD) có phương trình: x  0 v| có vec-tơ ph{p tuyến n 1;0;0  α  có vec-tơ 0. x  0  1. y  0   2. z  1  0 hay y  2z  2  0 Bài gian Mặt phẳng 46 Trong không ph{p tuyến tọa α n1   n, AD   0;1;2 Do đó độ Oxyz, cho hình hộp có phương trình:... ABCD  Bài 37 Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A  0;0;0  , D  0;1;0 , D' 0;1;2 , B' 1;0;2  Gọi E l| điểm đối xứng với A qua B Điểm M thuộc đoạn CD sao cho mặt phẳng (A’ME) tạo với mặt (ABB’A’) góc φ thỏa mãn tan φ  2 a Viết phương trình mặt phẳng (A’ME) b Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua C, B’, D’ v| có t}m thuộc mặt phẳng (A’ME) Giải Dễ d|ng suy ra được tọa độ của... ' MN a 30 6 Bài 41 Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt (ABC) Tam gi{c ABC vuông tại B, n '.MN AB  a, BC  b Đường thẳng SC tạo với mặt phẳng (ABC) góc 600 Tính thể tích hình chóp v| b{n kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Giải Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ Giả sử SA  h , khi đó B  0;0;0  , A  a;0;0  , C  0;b;0  , S  a;0;h  z S SC   a;b; h  Mặt phẳng (ABC) có phương trình z... 2 2 2  R a2 9a2 9a2 a 11    2a2  4 4 4 2 Bài 19 Cho tứ diện OABC có c{c tam gi{c OAB, OBC v| OCA l| c{c tam gi{c vuông đỉnh O Gọi α, β, γ lần lượt l| góc giữa mặt phẳng (ABC) v| c{c mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) Bằng phương ph{p tọa độ hãy chứng minh: a Tam gi{c ABC có ba góc nhọn b cos2 α  cos2 β  cos2 γ  1 Giải Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ z Ta có A  a;0;0  , B 0;b;0  , C  0;0;c... 3 a  AC'   ; ;a ∥β   2 2    A' A C y B  y Do α.β  0, α.γ  0 nên A'M  AC' v| A'M  CB' Bài 34 Cho hình chóp đều S.ABCD, đ{y có cạnh bằng a Gọi M, N lần lượt l| trung điểm của SA, SC Biết rằng BM  DN Tính thể tích khối chóp S.ABCD Giải Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc tọa độ O l| t}m của hình vuông ABCD, c{c tia Ox, Oy, Oz lần lượt trùng c{c tia OA, OB, Ó  a   a   a   a  ;0 ... minh Vậy  MBD    NBD   β1.β2  0  Bài 33 Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có tất cả c{c cạnh bằng nhau, M l| trung điểm của BB’ Chứng minh rằng A’M vuông góc với AC’ v| CB’ Giải Gọi O l| trung điểm của AB Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có c{c tia Ox, Oy lần lượt trùng với c{c tia OC, OB, tia Oz song song cùng chiều với tia AA’ Giả sử c{c cạnh của hình lăng trụ bằng a Khi đó: a 3   a   a   a...  1 a2 5 a a3  Vậy VA.IGCG'  3 2 5 6 Bài 27 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a a Tính theo a khoảng c{ch giữa hai đường thẳng A’B v| B’D b Gọi M, N, P lần lượt l| trung điểm của BB’, CD, A’D’ Tính góc giữa hai đường thẳng MP v| C’N z D' A' Giải C' B' Chọn hệ tọa độ Oxyz có gốc O trùng với A v| ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt đi qua B, D, A’ (như hình vẽ) Khi đó A  0;0;0  , B a;0;0 ... với một đường thẳng cố định b Khi M l| trung điểm của A’B’, viết phương trình mặt phẳng (DMN) Giải Ta có AC   2;2;0  , B'D'   2;2;0   AC  B'D' v| AC  B'D'  AC  BD v| AC  BD A' M  ABCD l| hình vuông Tương tự, ta chứng minh được c{c mặt còn lại của hình hộp l| những hình vuông, do đó ABCD.A’B’C’D’ l| hình lập phương  (ABCD) có phương trình: z  0 B' C D Giả sử n  AC,B'D'  n   0;0;8