Dạng 5. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình.. Chỉ ra một nghiệm của phương trình là x  x0 thường là nhẩm nghiệm.[r]

Dạng Sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình PHƯƠNG PHÁP GIẢI Biến đổi phương trình dạng f  x   m (hoặc f  x   g  x  ) Xét tính đơn điệu hàm số f (hoặc f và g) Chỉ nghiệm phương trình là x  x0 (thường là nhẩm nghiệm) Dựa vào tính nhất, kết luận x  x0 là nghiệm phương trình  Ghi nhớ: a) Phương trình có dạng f  x   m  x   Nếu f  x  là hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên  và phương trình f  x   m có nghiệm x  x0 thì x  x0 là nghiệm phương trình f  x   m trên  b) Phương trình có dạng f  x   g  x   x   Nếu f  x  là hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên  , g  x  là hàm số nghịch biến (hoặc đồng biến) trên  và phương trình f  x   g  x  có nghiệm x  x0 thì x  x0 là nghiệm phương trình f  x   g  x  trên  VD1 Giải phương trình a) x  15  x   x  HDG a) + Viết lại: b) x5  x3    x x  15  x   x   f  x   x   x   x  15  (1) 3 x   thì:   f  x   Do đó phương trình vô nghiệm  x   x  15    2  + Nếu x  thì: f   x    x    và f  x  liên tục trên  ;    3  x 15   x 8 2   f  x  đồng biến trên  ;   3  + Ta lại có f 1  Vậy phương trình có nghiệm x  + Nếu x  HDG b) + Viết lại: x5  x3    x  f  x   x5  x3    x  1  , x  và f  x  liên tục trên + ĐK: x  Ta có: f   x   x  x  3  3x 2   f  x  đồng biến trên  ;  3  + Ta lại có: f  1  Vậy phương trình có nghiệm x  1 VD2 Giải hệ phương trình cot x  cot y  x  y  a) 5 x  y  2 0  x, y    2 x   y  y  y  b) 2 y   z  z  z 2 z   x3  x  x  HDG a) cot x  cot y  x  y cot x  x  cot y  y  f ( x)  f ( y )    + Viết lại: 5 x  y  2  5 x  y  2  5 x  y  2 0  x, y   0  x, y   0  x, y      + Xét f (u )  cot u  u   u    Ta có: f   u    (1) 1  0  u    sin u Lop12.net 2   ;  3   f  u  nghịch biến trên  0;   Do đó: f  x   f  y   x  y + Vậy (1) suy x  y   HDG b) 2 x   y  y  y 2 x   f ( y )   + Viết lại: 2 y   z  z  z  2 y   f ( z ) 2 z   x3  x  x 2 z   f ( x)   + Xét f (t )  t  t  t  t    Ta có: (I) f   t   3t  2t   0, t    f  t  đồng biến trên  + CHỨNG MINH: Nếu hệ (I) có nghiệm  x0 ; y0 ; z0  thì x0  y0  z0 Giả sử x0  y0 (1) Ta có: f  x0   f  y0  , vì f là hàm số đồng biến trên  Khi đó: z0   x0   z0  x0 (2) Suy f  z0   f  x0   y0   z0   y0  z0 (3) Từ (1), (2), (3)  x0  y0  z0  x0 (vô lý)   x  1 2 x   x3  x  x  x3  x  x    x  y  z  1  + Do đó: (I)      x     x  y  z  x  y  z x  y  z x  y  z  +Vậy: Hệ phương trình có hai nghiệm x  y  z  1 , x  y  z  VD3 Giải phương trình ( x  2)(2 x  1)  x    ( x  6)(2 x  1)  x  HDG + ĐK: x  + Viết lại: f  x   x   x  2 x    (1)    x     x  Do đó ta xét (1) với x  + Ta có + Với x  Ta lại có: g  x   x   x   và g   x    g  x  đồng biến trên 5;   1  0 x6 x2   h  x  đồng biến trên 5;   2x 1 + Khi đó f  x  đồng biến trên 5;   ( f  x   g  x  h  x  và g  x   0, h  x   ) h( x)  x    và h( x)  + Mặt khác: f     13    13   Vậy x  là nghiệm (1) BÀI TẬP ÔN LUYỆN Giải các phương trình sau: x a)   c) 3.25 x   (3 x  10).5 x    x  Giải các phương trình sau: a) log  x  log x b) 3 x   x  x  14 d) x 3x  3x (12  x)   x3  x  19 x  12 c) x log2  x 3log2 x  x log2 d)  x   log  x  3  log  x     15  x  1 x     b) log x  3log6 x  log x Lop12.net