Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

b Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y  mx  2 cắt đồ thị của hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt.. a Khảo sát hàm số.[r]

CHUYÊN ĐỀ: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ I Các kiến thức cần nhớ: 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số *) Tìm TXĐ D *) Tính y’ *) Tìm các nghiệm phương trình y’=0 và các điểm mà đó y’ không xác định y, lim y *) Tìm xlim  x  *) Tìm các tiệm cận đứng, ngang (nếu có) *) Lập bảng biến thiên và điền đầy đủ các yếu tố *) Nêu đồng biến,nghịch biến và cực trị (nếu có) *) Tìm các điểm đặc biệt (giao với trục Ox, giao với trục Oy) và số điểm *) Vẽ đồ thị 2) Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Cho hàm số y = f(x) Dạng 1: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) điểm M(x0;y0) - Xác định x0; y0 - Tính y’ sau đó tính y’(x0) hay f’(x0) - Viết phương trình y  y0  f '( x0 )( x  x0 ) Dạng 2: Phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước - Tính y’ suy f’(x0) - Giải phương trình f’(x0) = k tìm x0 - Có x0 tìm y0, viết phương trình y  y0  f '( x0 )( x  x0 ) 3) Biện luận số nghiệm phương trình dựa vào đồ thị (C ): y=f(x) - Đưa phương trình dạng f(x) = A(m) - Số nghiệm phương trình là số giao điểm đồ thị hàm số y = f(x) với đường thẳng y = A(m) - Vẽ hai đồ thị trên cùng hệ trục tọa độ và biện luận kết Lưu ý: Đôi bài toán yêu cầu tìm m để phương trình có 3, nghiệm, ta trả lời đúng yêu cầu bài toán đưa 4) Tìm GTLN, GTNN hàm số y = f(x) trên [a; b] - Nhận xét: Hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b] - Tính y’ - Giải phương trình y’=0 tìm nghiệm xi trên [a;b], tìm xj trên [a;b] cho f(xj) không xác định - Tính f(a), f(b), f(xi), - So sánh các giá trị và kết luận 5) Điều kiện để hàm số có cực trị - Hàm số đạt cực trị x0 thì f’(x0) = (f(x) có đạo hàm x0) - Nếu y’ là tam thức bậc hai có biệt thức  thì y’ đạt cực trị    Lop12.net  f '(a )   f ''(a )   f '(a )  - Nếu f ''(a)  : Hàm số f(x) đạt cực tiểu x  a    f ''(a )  - Nếu f ''(a)  : Hàm f ( x) đạt cực đại x  a   6) Số giao điểm hai đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) - Giải phương trình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x) - Số nghiệm phương trình là số giao điểm hai đồ thị đã cho II Các dạng toán luyện tập: 1.Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị hàm số: Bài 1: Tìm các khoảng đồng biến hay nghịch biến và cực trị (nếu có) các hàm số sau: x  2x y ; e) y = 2x - x ; g) y  e x  x x 1 a) y  x3  3x  x  ; b) y  x  3x  ; c) y  x  x  ; d) Hướng dẫn học sinh giải : * Các bước tìm : - Nêu TXĐ - Tính đạo hàm y' - Xét dấu y' và dựa vào định lý nêu kết luận Giải TXĐ:  a) y  x3  3x  x  y '  x  x    x  3  0, x  Hàm số đồng biến trên  Hàm số không có cực trị b) y  x  3x  TXĐ:  x  y '  3x  x ; y '    x  Dấu y ' : X y' Y  + 0 -  + -3 Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng  ;0  ,  2;   Hàm số nghịch biến trên khoảng  0;  Hàm số đạt cực đại x = 0, yCD = Hàm số đạt cực tiểu x =2, yCT  -3 c) y  x  x  Lop12.net TXĐ:  x  y '  x  x  x x  ; y '    x  1  x    Dấu y' : x y' y -1  - + 0 -  + 2 Hàm số đồng biến trên các khoảng  1;0  , 1;   Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ; 1 ,  0;1 Hàm số đạt cực đại x = 0, yCD = Hàm số đạt cực tiểu x = -1, x =1, yCT  x2  2x x 1 TXĐ :  \ 1 d) y  x   x  1  x  x x  x   y'    0, x  2  x  1  x  1 Hàm số đồng biến trên các khoảng  ;1 , 1;   e) y = 2x - x TXĐ:  0; 2 y'  1 x 2x  x2 ; y'   x 1 Dấu y' : x y' y || + 1 - || Vậy hàm số đồng biến trên khoảng  0;1 và nghịch biến trên khoảng 1;  Hàm số đạt cực đại x=1, yCD =1 g) y  e x  x TXĐ :  y '  e x  1; y '   x  Dấu y' : Lop12.net x y' y 0  -  + Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;0  và đồng biến trên khoảng  0;   Hàm số đạt cực tiểu x = , yCT  1 Bài 2: Tìm các giá trị tham số m để hàm số f ( x)  x3  x  mx  nghịch biến trên khoảng 1;3 Giải : TXĐ:  y '  x2  4x  m Để hàm số nghịch biến trên khoảng 1;3 , thì y '  0, x  1;3  x  x  m  0, x  1;3  x  x  m, x  1;3 Xét hàm số f ( x)  x  x trên 1;3 , ta có f '( x)  x  4; f '( x)   x  x f'(x) f(x) - + -3 -3 -4 Để f ( x)  m, x  1;3 thì m  Maxf ( x)  m  3 1;3 Bài 3: Cho hàm số y  x  (m  1) x  (2m  1) x   3m Tìm m để hàm số có cưc trị Giải :  TXĐ: D = R  y '  3x  2(m  1) x  (2m  1)  Hàm số y  x3  (m  1) x  (2m  1) x   3m có cực trị  y '  có hai nghiệm phân biệt  Xét y '   3x  2(m  1) x  (2m  1)   '  (m  1)  3(2m  1)  m  4m   (m  2)  0, m Vậy với m  2 thì phương trình y’=0 có hai nghiệm phân biệt Hay với m  2 thì hàm số có cực trị Bài 4: Cho hàm số y  x3  mx  m  , m là tham số Xác định m để hàm số đạt cực tiểu điểm x = Giải : TXĐ : R Cách 1: y’ = 3x2 – 2mx Hàm số đạt cực tiểu x =2 nên y’(2) =  m  Với m = 3, ta có hàm số : y = x3 - 3x2 + Lop12.net y’ = 3x2 – 6x; y’ = x = 0, x =  x  y' + 0 + hàm số đạt cực tiểu x = Vậy m = là giá trị cần tìm Cách 2: y '  x  2mx; y ''  x  2m TH1: y ''(2)   m  trường hợp này y '(2)   m  không thoả mãn TH2: y ''(2)  :  y '(2)  12  4m  m     m   y ''(2)  12  2m  m  Hàm số đạt cực tiểu x =   Vậy m = là giá trị cần tìm Tìm GTLN-GTNN hàm số : Bài 5: Tìm GTLN, GTNN các hàm số: a) f ( x)   x3  3x  x  trên [ -2;2] ; b) f ( x)  2sin x  sin x trên [0;  ] c) y  x   x ; d) y  x  trên khoảng (0;  ) x Giải :  x  1 x  f (2)  24; f (1)  3; f (3)  29 a) f '( x)  3x  x  9; f '( x)    f (2)  4; Do đó max fx)  29; f ( x)  3  2; 2  2; 2 Đặt s inx  t , với x   0;    t   0;1 Thay vào hàm số ta hàm b) f ( x)  2sin x  sin x trên [0;  ]  t     0;1  2 g (t )  2t  t với t   0;1 g '(t )   4t ; g '(t )     t   2 g (0)  0; g (1)  ; g ( )  3 Vậy max f ( x)  0;  2 ; f ( x)  0;  c) y  x   x TXĐ:  2; 2 x  ; y '    x2  x    x  x2  x2 x  y (2)  2, y (2)  2, y ( 2)  2 y '  1 x   x2  x max y  2; y  2 Lop12.net d) y '   x y' y , x2  x  1   0;   y'    x  1 0 || + - + + + Hàm số có giá trị nhỏ đạt x = Hàm số không có giá trị lớn Khảo sát hàm số và bài toán liên quan: Bài 6: Cho hàm số y   x3  3x  a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên b) Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm phương trình x3  3x  m  Bài giải a)  TXĐ: D = R  y '  3x  6x x  y '   3x  6x=0   x   Dấu y ' :   x y'  - 0 +  -   Hàm số đồng biến trên (0 ; 2); hàm số nghịch biến trên (;0) và (2; )  Hàm số đạt cực đại x = 2, yCĐ = 3; hàm số đạt cực tiểu x = 0, yCT =  Giới hạn: xlim y  , lim y    x   Bảng biến thiên:  Điểm đặc biệt: (0;-1), (-1; 3), (3; -1), (1; 1)  Đồ thị: Lop12.net b)  x3  3x  m    x3  3x   m   Số nghiệm phương trình là số giao điểm đồ thị hàm số y   x3  x  với đường thẳng y = m –  Vậy: m    m  : Phương trình có nghiệm m    m  : Phương trình có nghiệm  m   1   m  : Phương trình có nghiệm m   1  m  :Phương trình có nghiệm m   1  m  : Phương trình có nghiệm Bài 7: Cho hàm số y  x  x có đồ thị (C ) a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C ) b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hoành độ x0 = Bài giải a) TXĐ: D = R  y '  x3  x x  y '   x3  x     x  1  Dấu y ' :   x y'  -1 - + 0 -  +  Hàm số đồng biến trên các khoảng (-1; 0) và (1;  ); hàm số nghịch biến trên các khoảng (  ; 0) và (0;1)  Hàm số đạt cực đại x = 0, yCĐ = 0; hàm số đạt cực tiểu x  1 , yCT = -1  Giới hạn: xlim y  , lim y    x   Bảng biến thiên: Lop12.net   Điểm đặc biệt: ( 2;0), ( 2;0), (0;0)  Đồ thị: b)  Hàm số y  x  x với x0 = thì y0  16  2.4   y '  x3  x, y '(2)  4.8  4.2  24  Phương trình tiếp tuyến: y  y0  y '( x0 )( x  x0 )  y   24( x  2)  y  24 x  40 2x  Bài 8: Cho hàm số y  có đồ thị (C) 2x 1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) giao điểm (C) với trục tung Bài giải a)  TXĐ: D   \   2  y'  8  0, x  D (2x  1)  Hàm số luôn nghịch biến trên khoảng xác định  Giới hạn: xlim y  1; lim y  , lim y  ; lim y    x  1 x   2  1 x   2  Vậy: y = là tiệm cận ngang đồ thị hàm số x là tiệm cận đứng đồ thị hàm số  Bảng biến thiên: Lop12.net  Hàm số không có cực trị  Điểm đặc biệt:   ;0  , (0; 3)    Đồ thị: b)  Tại giao điểm với trục tung thì x0 = 0, y0  3  y'  8  y '(0)  8 (2x  1)  Phương trình tiếp tuyến: y  y0  y '( x0 )( x  x0 )  y   8( x  0)  y  8 x  Bài 9: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) các trường hợp: a) y  x3  3x  biết tiếp tuyến có hệ số góc b) y  x  2x biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 24x c) y  2x  biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y  x 2x 1 Bài giải a)  y '  3x   Hệ số góc k =  y '( x0 )   3x 02    x0  2  Với x0 =  y0  Phương trình tiếp tuyến: y  y0  y '( x0 )( x  x0 )  y   9( x  2)  y  9x  14  Với x0 = -2  y0  Phương trình tiếp tuyến: Lop12.net y  y0  y '( x0 )( x  x0 )  y   9( x  2)  y  x  18 Vậy có hai phương trình tiếp tuyến: y  9x  14 và y  x  18 b)      Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 24x nên có hệ số góc k = 24 y '  4x  4x k  24  4x 03  4x  24  x0  x   y0  Phương trình tiếp tuyến: y  y0  y '( x0 )( x  x0 )  y   24( x  2)  y  24 x  40 c)  Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y  x nên có hệ số góc k = -2  y'  8 (2x  1)  x   8  2    k  2  (2x  1) x     Với x0   y0  Phương trình tiếp tuyến: y  y0  y '( x0 )( x  x0 )  y   2( x  )  y  2 x   Với x0    y0  1 phương trình tiếp tuyến: y  y0  y '( x0 )( x  x0 )  y   2( x  )  y  2 x  2 Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm: y  2 x  và y  2 x  Bài 10: Cho hàm số y   x  3x  có đồ thị (C) a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) b) Dựa vào đồ thị (C) tìm m để phương trình x  3x  log m  có nghiệm phân biệt Bài giải a) Thực các bước tương tự bài tập 2, ta đồ thị hàm số sau: 10 Lop12.net b)  x  3x  m    x  3x    log m  Số nghiệm phương trình là số giao điểm đồ thị (C) với đường thẳng y =  log m  Dựa vào đồ thị , phương trình có nghiệm phân biệt 13    log m    log m    m  4 2x 1 Bài 11: Cho hàm số y  có đồ thị (C) x2 a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) b) Chứng minh với giá trị m, đường thẳng y = x – m luôn cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt Bài giải a) Thực tương tự các bước khảo sát bài 3, ta có đồ thị (C) sau: b)  Đường thẳng y = x – m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt và 2x 1  x  m có hai nghiệm phân biệt x2 2x 1  x  m ( x  2)  Xét phương trình: x2  x   ( x  m)( x  2)  x  x  mx   2m   x  (4  m) x   2m  phương trình 11 Lop12.net Có   (4  m)2  4(1  2m)  m  8m  16   8m  m  12  m  Vậy với m thì đường thẳng y = x – m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt III Bài tập tự luyện Bài 1: Lập bảng xét dấu đạo hàm y’ và kết luận tính đồng biến, nghịch biến và cực trị các hàm số sau: y= x3-3x+5 y= -x3+3x2-1 y= -x3+2x2-3x y= x3+x2-3 2x -1 y= - 2x y= - x4+2x2 y= x4-2x2 Bài2: Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ các hàm số: y= x2-4x+3 y = -x2+6x-1 y = x3+3x2-9x-7 trên đoạn [-4;3] y= -3x2+4x-8 trên đoạn [0;1] y= x4-2x2 trên đoạn [0;2] y = x  3x  trên khoảng (-1;3) y= x - 2x + trên đoạn [-2;1] y= - 4x trên đoạn [-1;1] 10 y  cos x  4sin x , x[0;π/2] y  2sin x - sin x trên đoạn [0;π] Bài a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số y=x3+3x2+1 b Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình x3+3x2+1-m=0 c Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỡi (C) , Ox và đường thẳng x=-2, x=0 Bài a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số y=-x3+3x+1 b Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình x3-3x+m-1=0 c Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có hoành độ Bài a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số y= -x3+3x2-4x+2 b Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có hoành độ x0, biết y”(x0)=0 c Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) , Ox và Oy Bài a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số y = x3-3x+1 b Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm nó với trục tung c Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỡi (C), x’Ox và đường thẳng x=0, x=1 Bài a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số y = x3 – 3x +5 b Dùng đồ thị (C), biện luận theo k số nghiệm phương trình: x3 – 3x – k +4 = 12 Lop12.net c Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) và đường thẳng (D): y = Bài a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số y = -x3+3x2-2 b Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có hoành độ -1 c Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bỡi hình phẳng giới hạn bỡi (C), Ox, x =1, x =2 quay quanh Ox Bài a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số y=x4-2x2+1 b Tìm m để phương trình x4-2x2 = log m có nghiệm phân biệt c Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỡi (C) và trục hoành Bài 10.a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số y = x +3 1- x b.Cho điểm A có hoành độ thuộc (C).Viết PT tiếp tuyến (C) A Bài 11: Cho hàm số y  x3  3mx  3(2m  1) x  a) Định m để hàm số đồng biến trên TXĐ b) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị với m = Bài 12:Cho hàm số y   2x x 1 a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho b) Tìm tất các giá trị tham số m để đường thẳng y  mx  cắt đồ thị hàm số đã cho hai điểm phân biệt Bài 13: Cho hàm số y  x  mx  (m  1) có đồ thị (Cm) a) Tìm m để đồ thị hàm số qua điểm M(-1;4) b) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số m = -2 c) Tìm m để hàm số y  x  mx  (m  1) có cực đại và cực tiểu Bài 14: Cho hàm số y  x 1 x 1 a) Khảo sát hàm số b) Cho đường thẳng d có phương trình 2x-y+m = CMR d luôn cắt đồ thị hàm số hai điểm A, B phân biệt với m Tìm m để AB ngắn 13 Lop12.net