Viết phương trình tiếp tuyến với C, biết 2x 1 tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung tương ứng tại các điểm A, B thỏa mãn OAB vuông cân tại gốc tọa độ O... Tiếp tuyến của C tại M0 c[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Chủ đề 1: Bài toán tiếp tuyến 1.1 Dạng 1: Tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M( x0 , y0 ) (C ) : y f ( x) * Tính y ' f ' ( x) ; tính k f ' ( x0 ) (hệ số góc tiếp tuyến) * Tiếp tuyến đồ thị hàm số y f ( x) điểm M x0 ; y0 có phương trình y y0 f ' ( x0 ) x x0 với y0 f ( x0 ) Ví dụ 1: Cho hàm số y x3 3x (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C): a) Tại điểm A (-1; 7) b) Tại điểm có hoành độ x = c) Tại điểm có tung độ y =5 Giải: a) Phương trình tiếp tuyến (C) điểm M ( x0 ; y0 ) có dạng: y y0 f '( x0 )( x x0 ) Ta có y ' 3x y '( 1) Do đó phương trình tiếp tuyến (C) điểm A(-1; 7) là: y hay y = b) Từ x y y’(2) = Do đó phương trình tiếp tuyến (C) điểm có hoành độ x = là: y 9( x 2) y x 18 y x 11 x c) Ta có: y x3 x x x x x +) Phương trình tiếp tuyến (C) điểm (0; 5) Ta có y’(0) = -3 Do đó phương trình tiếp tuyến là: y 3( x 0) hay y = -3x +5 +) Phương trình tiếp tuyến (C) điểm ( 3;5) y '( 3) 3( 3)2 Do đó phương trình tiếp tuyến là: y 6( x 3) hay y x +) Tương tự phương trình tiếp tuyến (C) ( 3;5) là: y x (2) Ví dụ 2: Cho đồ thị (C) hàm số y x3 x2 x a) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) giao điểm (C) với trục hoành b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) giao điểm (C) với trục tung c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) điểm x0 thỏa mãn y”(x0) = Giải: Ta có y ' 3x2 x Gọi M x0 ; y0 là tiếp điểm thì tiếp tuyến có phương trình: y y0 y '( x0 )( x x0 ) y y '( x0 )( x x0 ) y0 (1) a) Khi M (C ) Ox thì y0 = và x0 là nghiệm phương trình: x x x x ; y’(2) = 6, thay các giá trị đã biết vào (1) ta phương trình tiếp tuyến: y 6( x 2) b) Khi M (C ) Oy thì x0 = y0 y (0) 4 và y '( x0 ) y '(0) , thay các giá trị đã biết vào (1) ta phương trình tiếp tuyến: y x c) Khi x0 là nghiệm phương trình y”= Ta có: y” = 6x – 88 2 2 y” = x x x0 y0 y ; y '( x0 ) y ' 27 3 3 Thay các giá trị đã biết vào (1) ta phương trình tiếp tuyến: y 100 x 27 Ví dụ 3: Cho hàm số y x3 3x (C) a) Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) tai điểm có hoành độ x=2 b)Tiếp tuyến d cắt lại đồ thị (C) điểm N, tìm tọa độ điểm N Giải a) Tiếp tuyến d điểm M đồ thị (C) có hoành độ x0 y0 Ta có y '( x) 3x y '( x0 ) y '(2) Phương trình tiếp tuyến d điểm M đồ thị (C) là y y '( x0 )( x x0 ) y0 y 9( x 2) y x 15 Vậy phương trình tiếp tuyến d điểm M đồ thị (C) là y x 15 b) Giả sử tiếp tuyến d cắt (C) N Xét phương trình x x3 3x x 15 x3 12 x 16 x x x x 4 Vậy N 4; 51 là điểm cần tìm (3) Ví dụ 4: Cho hàm số y x3 3x (C ) và điểm A( x0 , y0 ) (C), tiếp tuyến đồ thị (C) điểm A cắt (C) điểm B khác điểm A tìm hoành độ điểm B theo x0 Lời giải: Vì điểm A( x0 , y0 ) (C) y0 x03 3x0 , y ' 3x y ' ( x0 ) 3x02 Tiếp tuyến đồ thị hàm có dạng: y y ' ( x0 )( x x0 ) y0 y (3x02 3)( x x0 ) x03 3x0 y (3x02 3)( x x0 ) x03 (d ) Phương trình hoành độ giao điểm (d) và (C): x3 3x (3x02 3)( x x0 ) x03 x3 3x02 x x03 ( x x0 ) ( x x0 ) ( x x0 ) x x0 ( x0 0) x x x x 0 Vậy điểm B có hoành độ xB 2 x0 Ví dụ 5: Cho hàm số y x3 x 3x (C) Viết phương trình tiếp tuyến d đồ thị (C) điểm có hoành độ x0 thỏa mãn y '' ( x0 ) và chứng minh d là tiếp tuyến (C) có hệ số góc nhỏ Giải Ta có y' x2 x y '' x y ''( x0 ) x0 x0 M (2; ) ' Khi đó tiếp tuyến M có hệ số góc k0 y ( x0 ) y ' (2) 1 2 Vậy tiếp tuyến d đồ thị (C) điểm M 2; có phương trình 3 ' y y0 f ( x0 ) x x0 1 x hay y x 3 Tiếp tuyến d có hệ số góc k0 -1 suy y Mặt khác tiếp tuyến đồ thi (C) điểm kỳ trên (C) có hệ số góc k y ' ( x) x x x 1 k0 2 Dấu =” xảy x nên tọa độ tiếp điểm trùng với M 2; 3 (4) 2 Vậy tiếp tuyến d (C) điểm M 2; có hệ số góc nhỏ 3 Ví dụ 6: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y x2 các giao điểm (C) x 1 với đường thẳng (d): y 3x + Phương trình hoành độ giao điểm (d) và (C): x2 3x x (3x 2)( x 1) (x = không phải là nghiệm phương trình) x 1 3x x x ( y 2) x ( y 4) Vậy có hai giao điểm là: M1(0; -2) và M2(2; 4) 3 + Ta có: y ' ( x 1) + Tại tiếp điểm M1(0; -2) thì y’(0) = -3 nên tiếp tuyến có phương trình: y 3x + Tại tiếp điểm M2(2; 4) thì y’(2) = -3 nên tiếp tuyến có phương trình: y 3x 10 Tóm lại có hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là: y 3x và y 3x 10 m Ví dụ 7: Cho hàm số y x3 x (Cm).Gọi M là điểm thuộc đồ thị (Cm) có hoành 3 độ -1 Tìm m để tiếp tuyến với (Cm) M song song với đường thẳng d: 5x-y=0 Giải Ta có y ' x2 mx Đường thẳng d: 5x-y=0 có hệ số góc bẳng 5, nên để tiếp tuyến M song song với đường thẳng d trước hết ta cần có y ' (1) m m 1 Khi m ta có hàm số y x3 x ta có x0 1 thì y0 2 3 ' Phương trình tiếp tuyến có dạng y y ( x0 )( x x0 ) y0 y 5( x 1) y x Rõ ràng tiếp tuyến song song với đường thẳng d Vậy m là giá trị cần tìm Ví dụ 8: Cho hàm số y x3 3x2 m (1) Tìm m để tiếp tuyến đồ thị (1) điểm có hoành độ cắt các trục Ox, Oy các điểm A và B cho diện tích tam giác OAB Giải Với x0 y0 m M(1 ; m – 2) - Tiếp tuyến M là d: y (3x02 x0 )( x x0 ) m (5) d: y = -3x + m + m2 - d cắt trục Oy B: yB m B(0 ; m 2) - d cắt trục Ox A: 3xA m xA - SOAB m2 A ; 0 3 m2 | OA || OB | | OA || OB | m (m 2) 2 m m m 3 m 5 Vậy m = và m = - 1.2 Dạng 2: Viết tiếp tuyến đồ thi hàm số y f ( x) (C) biết trước hệ số góc nó + Gọi M ( x0 , y0 ) là tiếp điểm, giải phương trình f ' ( x0 ) k x x0 , y0 f ( x0 ) + Đến đây trở dạng 1,ta d dàng lập tiếp tuyến đồ thị: y k ( x x0 ) y0 Các dạng biểu diễn hệ số góc k: *) Tiếp tuyến tạo với chiều dương trục Ox góc , với 2 150 ;300 ;450 ; ; Khi đó hệ số góc k = tan 3 *) Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = ax + b Khi đó hệ số góc k = a 1 *) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d): y = ax + b ka 1 k a k a *) Tiếp tuyến tạo với đường thẳng (d): y = ax + b góc Khi đó, tan ka *) Cho trực tiếp: k 5; k 1; k 3; k Ví dụ 9: Cho hàm số y x3 3x2 (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết hệ số góc tiếp tuyến k = -3 Giải: Ta có: y ' 3x x Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm Tiếp tuyến M có hệ số góc k f ' ( x0 ) 3x02 x0 Theo giả thiết, hệ số góc tiếp tuyến k = - nên: 3x02 x0 3 x02 x0 x0 (6) Vì x0 y0 2 M (1; 2) Phương tr nh tiếp tuyến cần tìm là y 3( x 1) y 3 x Ví dụ 10: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y x3 3x2 (C) Biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = 9x + Giải: Ta có: y ' 3x x Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm Tiếp tuyến M có hệ số góc k f ' ( x0 ) 3x02 x0 Theo giả thiết, tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = 9x + +6 tiếp tuyến có hệ x0 1 M (1; 3) số góc k = x02 x0 x02 x0 x0 M (3;1) Phương tr nh tiếp tuyến (C) M(-1;-3) là: y 9( x 1) y x (loại) Phương tr nh tiếp tuyến (C) M(3;1) là: y 9( x 3) y x 26 Ví dụ 11: Cho hàm số y x3 3x (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng y 1 x Giải: Ta có y ' 3x2 Do tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường 1 x nên hệ số góc tiếp tuyến k = 9 Do đó y ' k 3x2 x2 x 2 +) Với x = y Pttt điểm có hoành độ x = là: y 9( x 2) y x 14 thẳng y +) Với x 2 y Pttt điểm có hoành độ x = - là: y 9( x 2) y x 18 Vậy có hai tiếp tuyến củả (C) vuông góc với đường thẳng y 1 x là: y =9x - 14 và y = 9x + 18 Ví dụ 12: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số: y tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d): x y 2010 Giải: x x , biết (7) 1 (d) có phương trình: y x 402 nên (d) có hệ số góc là - 5 Gọi là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k thì k 1 k (do (d )) Ta có: y ' x3 x nên hoành độ tiếp điểm là nghiệm phương trình: x3 x x3 x ( x 1)( x x 5) x x y 9 Vậy tiếp điểm M có tọa độ là M 1; 4 11 Tiếp tuyến có phương trình: y 5( x 1) y x 4 11 Vậy tiếp tuyến cần tìm có phương trình: y x x2 Ví dụ 13: Cho hàm số y (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp 2x tuyến cắt trục hoành A, trục tung B cho tam giác OAB vuông cân O, đây O là góc tọa độ Giải 1 Ta có: y ' (2 x 3) Vì tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ tam giác vuông cân nên hệ số góc tiếp tuyến là: k 1 Khi đó gọi M x0 ; y0 là tiếp điểm tiếp tuyến với đồ thị (C) ta có y ' ( x0 ) 1 x0 2 1 (2 x0 3) x0 1 Với x0 1 thì y0 lúc đó tiếp tuyến có dạng y x (trường hợp này loại vì tiếp tuyến qua góc tọa độ, nên không tạo thành tam giác OAB) Với x0 2 thì y0 4 lúc đó tiếp tuyến có dạng y x Vậy tiếp tuyến cần tìm là y x 2x 1 có đồ thị (C) x 1 Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy các điểm A và B thỏa mãn OA = 4OB Giải Ví dụ 14: Cho hàm số y = (8) Giả sử tiếp tuyến d (C) M ( x0 ; y0 ) (C ) cắt Ox A, Oy B cho OA 4OB OB 1 Hệ số góc d OA 4 x ( y ) 0 1 Hệ số góc d là y ( x0 ) 0 ( x0 1)2 ( x0 1)2 x ( y 5) y ( x 1) y x 4 Khi đó có tiếp tuyến thỏa mãn là: y ( x 3) y x 13 4 Do OAB vuông O nên tan A 1.3 Dạng 3: Tiếp tuyến qua điểm Cho đồ thị (C): y = f(x) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua điểm A( ; ) Cách giải + Tiếp tuyến có phương trình dạng: y f ( x0 ) f '( x0 )( x x0 ) , (với x0 là hoành độ tiếp điểm) + Tiếp tuyến qua A( ; ) nên f ( x0 ) f '( x0 )( x0 ) (*) + Giải phương trình (*) để tìm x0 suy phương trình tiếp tuyến Ví dụ 15: Cho đồ thị (C): y x3 3x 1, viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua điểm A(-2; -1) Giải: Ta có: y ' 3x2 Gọi M x0 ; x03 3x0 1 là tiếp điểm Hệ số góc tiếp tuyến là y '( x0 ) 3x02 Phương trình tiếp tuyến với (C) M là : y x03 3x0 1 (3x02 3)( x x0 ) qua A(-2;-1) nên ta có: 1 x03 3x0 (3 x02 3)(2 x0 ) x03 3x02 x0 y0 1 ( x0 1)( x02 x0 4) x0 2 y0 1 Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: : y 1 ; : y x 17 1.4 Dạng Một số bài toán tiếp tuyến nâng cao Ví dụ 16: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) hàm số: y x3 3x cho tiếp (9) tuyến (C) A và B song song với và độ dài đoạn AB = Giải: Gọi A(a; a3 3a 2) , B(b; b3 3b 2) , a b là hai điểm phân biệt trên (C) Ta có: y ' 3x2 nên các tiếp tuyến với (C) A và B có hệ số góc là: y '(a) 3a và y '(b) 3b Tiếp tuyến A và B song song với khi: y '(a) y '(b) 3a 3b (a b)(a b) a b (vì a b a b 0) AB AB 32 (a b) (a3 3a 2) (b3 3b 2) 32 2 (a b)2 (a b3 ) 3(a b) 32 (a b) (a b)(a ab b ) 3(a b) 32 (a b) (a b) (a ab b ) 3 32 , thay a = -b ta được: 4b 4b b 3 32 b b b 3 b6 6b 10b 2 b a 2 (b 4)(b 2b 2) b b 2 a - Với a 2 và b A(2;0) , B(2;4) - Với a và b 2 A(2;4) , B(2;0) Tóm lại cặp điểm A, B cần tìm có tọa độ là: (2; 0) và (2; 4) Ví dụ 17: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) hàm số: y 2x 1 cho tiếp tuyến x 1 (C) A và B song song với và độ dài đoạn AB = 10 Giải: Hàm số viết lại: y x 1 Gọi A a;2 , B b;2 là cặp điểm trên đồ thị (C) thỏa mãn yêu cầu bài a 1 b 1 toán Với điều kiện: a b, a 1, b 1 Ta có: y ' y '(a) nên hệ số góc các tiếp tuyến với (C) A và B là: ( x 1) 3 và y '(b) (a 1) (b 1) (10) Tiếp tuyến A và B song song khi: y '(a) y '(b) 3 (a 1) (b 1) a b a b a b (1) (do a b ) a b a b 2 AB 10 AB 40 (a b) 40 b 1 a 1 2 2 (2b 2) 40 4(b 1) 40 ( thay a (1) ) b b b 1 (b 1) b b 1 (b 1) 10(b 1) b b 3 (b 1) b a 2 b 2 a b a 4 b 4 a Cặp điểm A và B cần tìm có tọa độ là: (2;5) và (0; 1) ; (2;1) và (4;3) Ví dụ 18: Cho hàm số: y = x3 + 3x2 + mx + có đồ (Cm); (m là tham số) Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng y = điểm phân biệt C(0, 1), D, E cho các tiếp tuyến (Cm) D và E vuông góc với Giải Phương trình hoành độ giao điểm (Cm) và đường thẳng y = là: x x3 + 3x2 + mx + = x(x2 + 3x + m) = (2) x 3x m * (Cm) cắt đường thẳng y = C(0, 1), D, E phân biệt: Phương trình (2) có nghiệm xD, xE m 4m 0 m m Lúc đó tiếp tuyến D, E có hệ số góc là: kD = y’(xD) = 3xD2 xD m ( xD 2m); kE = y’(xE) = 3xE2 xE m ( xE 2m) Các tiếp tuyến D, E vuông góc và khi: kDkE = –1 (3xD + 2m)(3xE + 2m) = 9xDxE+6m(xD + xE) + 4m2 = –1 (11) 9m + 6m (–3) + 4m2 = –1; (vì xD + xE = –3; xDxE = m theo định lý Vi-t) 4m2 – 9m + = m = 65 1 ĐS: m = 65 hay m 65 8 2x Ví dụ 19: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số: y , biết x 1 khoảng cách từ điểm I(-1; 2) đến tiếp tuyến là lớn Giải: 2a Gọi là tiếp tuyến đồ thị (C) tiếp điểm M a; , M (C ) a 1 Ta có: y ' 4 y '(a) , a 1 ( x 1) (a 1) Vậy : y 2a ( x a) x (a 1) y 2a 4a (*) a (a 1) d I; 4(1) (a 1) 2 2a 4a (a 1) a 1 ( a 1) Ta có: (a 1)4 22 (a 1) 2.2(a 1)2 (a 1) 2.2(a 1) a d I; a 1 Vậy d I ; lớn d I ; = a 1 a a 22 (a 1) Cả hai giá trị thỏa mãn a a 2 a 3 + Với a = thay vào (*) ta phương trình tiếp tuyến 4x y x y 1 + Với a = -3 thay vào (*) ta phương trình tiếp tuyến x y 28 x y Tóm lại: Có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: x y ; x y là: là: x 1 Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết 2x tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung tương ứng các điểm A, B thỏa mãn OAB vuông cân gốc tọa độ O Giải: Ví dụ 20: Cho (C) là đồ thị hàm số y (12) Gọi M x0 ; y0 là tiếp điểm Tiếp tuyến với (C) M phải thỏa mãn song song với các đường thẳng y = x y = -x Ta có: y ' nên tiếp tuyến với (C) M có hệ số góc là: (2 x 1) y '( x0 ) 0 (2 x0 1) Vậy tiếp tuyến với (C) M song song với đường thẳng d: y = -x 1 Do đó, 1 (2 x0 1)2 ; ( x0 không là nghiệm phương trình) 2 (2 x0 1) x0 x0 y0 Vậy có hai tiếp điểm là: M1 (0;1) , M (1;0) x0 1 x0 1 y0 + Tại điểm M1(0; 1) ta có phương trình tiếp tuyến là: y = - x + 1: thỏa mãn song song với d + Tại điểm M2(-1; ) ta có phương trình tiếp tuyến là: y = - x - 1: thỏa mãn song song với d Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: y x ; y x x3 x 1 a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số b) Cho điểm M o ( xo ; yo ) thuộc đồ thị (C) Tiếp tuyến (C) M0 cắt các tiệm cận Ví dụ 21: Cho hàm số y (C) các điểm A và B Chứng minh Mo là trung điểm đoạn thẳng AB Giải a) Tự làm b) M o ( xo ; yo ) (C) y0 x0 Phương trình tiếp tuyến (d) M0: y y0 ( x x0 ) ( x0 1)2 Giao điểm (d) với các tiệm cận là: A(2 x0 1;1), B(1;2 y0 1) x A xB y yB x0 ; A y0 M0 là trung điểm AB 2 (13) x2 (C) x 1 a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số b) Chứng minh tiếp tuyến đồ thị (C) lập với hai đường tiệm cận tam giác có diện tích không đổi Giải a) Tự làm a2 b) Giả sử M a; (C) a 1 a2 3 a 4a PTTT (d) (C) M: y y (a).( x a) y x a 1 (a 1)2 (a 1) Ví dụ 22: Cho hàm số: y a5 Các giao điểm (d) với các tiệm cận là: A 1; , B (2a 1;1) a 1 6 IA ; IB (2a 2;0) IB a IA 0; a 1 a 1 Diện tích IAB : S IAB = IA.IB = (đvdt) ĐPCM 2x Ví dụ 23: Cho hàm số y x2 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Cho M là điểm bất kì trên (C) Tiếp tuyến (C) M cắt các đường tiệm cận (C) A và B Gọi I là giao điểm các đường tiệm cận Tìm tọa độ điểm M cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ Giải 2x 1 Giả sử M x0 ; , x0 , y '( x0 ) x0 x0 Phương trình tiếp tuyến () với (C) M: y x0 (x x0) 2x x0 2x Tọa độ giao điểm A, B () với hai tiệm cận là: A 2; ; B x0 2;2 x0 x xB x0 y yB x0 x0 xM , A Ta thấy A yM suy M là trung điểm 2 x0 AB Mặt khác I(2; 2) và IAB vuông I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện (14) tích x0 S = IM ( x0 2) ( x0 2) 2 ( x0 2) x0 x0 1 Dấu =” xảy ( x0 2) ( x0 2) x0 Do đó điểm M cần tìm là M(1; 1) M(3; 3) 2x 1 Tìm tọa độ điểm M cho khoảng cách từ điểm x 1 I (1; 2) tới tiếp tuyến (C) M là lớn Ví dụ 24: Cho hàm số y Giải Nếu M x0 ; (C ) thì tiếp tuyến M có phương trình x 3 y2 ( x x0 ) hay 3( x x0 ) ( x0 1)2 ( y 2) 3( x0 1) x0 ( x0 1) Khoảng cách từ I ( 1; 2) tới tiếp tuyến là d 3(1 x0 ) 3( x0 1) x0 1 Theo bất đẳng thức Côsi x0 ( x0 1) ( x0 1) 2 ( x0 1) ( x0 1)2 , vây d ( x0 1) Khoảng cách d lớn ( x0 1)2 x0 1 x0 1 ( x0 1) Vậy có hai điểm M: M 1 3; M 1 3; 2x Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết x 1 tiếp tuyến cách hai điểm A(2; 4), B(4; 2) Giải Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm ( x0 1 ) Ví dụ 25: Cho hàm số y PTTT (d) là y 2x 1 x ( x0 1) y x02 x0 ( x x0 ) ( x0 1) x0 (15) Ta d ( A, d ) d ( B, d ) có: 4( x0 1) x02 x0 4 2( x0 1) x02 x0 x0 x0 x0 2 x ; y x 1; y x 4 Chú ý: Bài toán này có thể giải cách sau: Tiếp tuyến cách A, B nên có khả năng: Tiếp tuyến song song (trùng) AB tiếp tuyến qua trung điểm AB Vậy có ba phương trình tiếp tuyến: y 2x (C ) tìm điểm M (C ) cho tiếp tuyến đồ thị x 1 hàm số M cắt hai trục tọa độ A, B cho tam giác OAB có diện tích Giải: 2 x0 Gọi M ( x0 , y0 ) (C ) y0 , y' ( x 1) x0 Ví dụ 26: Cho hàm số y Tiếp tuyến M có dạng: y y '( x0 )( x x0 ) y0 y x0 x02 2 ( x x ) y x (d ) ( x0 1) x0 ( x0 1) ( x0 1) Gọi A (d ) ox tọa độ điểm A là nghiệm hệ: x02 x y ( x0 1) ( x0 1) y x x02 A( x02 ,0) y Gọi B (d ) oy tọa độ điểm B là nghiệm hệ: x02 x y ( x0 1) ( x0 1) x x x02 x02 B (0, ) ( x0 1) y ( x0 1) Tam giác OAB vuông O ; OA = x02 x02 ; OB = x02 x02 ( x0 1)2 ( x0 1) Diện tích tam giác OAB: x04 1 S = OA.OB = 2 ( x0 1) x02 x0 x02 x0 x0 y0 2 x ( x0 1) x x x x ( ) 0 x0 y0 (16) Vậy tìm hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán: M1 ( ; 2) ; M (1,1) (17)