Sử dụng chiều biến thiên của hàm số chứng minh bất đẳng thức

Bài 03 – Chuyên ñề 01: Hàm số - Khóa Giải tích 12 – Thầy Nguyễn Thượng Võ Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1 BTVN BÀI SỬ DỤNG CHIỀU BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ CHỨ NG MINH BẤT ðẲNG THỨC Bài 1: Chứng minh rằng: 2 sinx ; 0; 2 x π x π   > ∀ ∈     . Giải: Do sinx 2 0; ( ) ; 0; 2 2 π π x BDT f x x x π     ∀ ∈ ⇒ ⇔ = > ∀ ∈         Ta có 2 2 cos sinx ( ) '( ) x x g x f x x x − = = . Xét ( ) cos sinx g x x x = − . Ta có: '( ) cos sin cos sin 0; 0; 2 π g x x x x x x x x   = − − = − < ∀ ∈     . ( ) g x ⇒ nghịch biến trên 2 ( ) 0; ( ) (0) 0 '( ) 0; 0; 2 2 π g x π g x g f x x x     ⇒ < = ⇒ = < ∀ ∈         Vậy hàm f(x) luôn nghịch biến trên 2 0; ( ) 2 2 π π f x f π     ⇒ > = ⇒         ðPCM. Bài 2: CMR: sinx tanx 1 2 2 2 ; 0; 2 π x x   + + > ∀ ∈     Giải: Theo BðT Côsi ta có: sinx+tanx sinx+tanx 1 sinx tanx 2 2 2 2 2.2 2 + + ≥ = Ta sẽ chứng minh: sinx+tanx 1 1 2 2 2 sinx+ t anx 2 ; 0; 2 π x x x +   + > ⇔ > ∀ ∈     ( ) sinx+ t anx-2 0; 0; 2 π f x x x   ⇔ = > ∀ ∈     Ta có: 2 2 1 '( ) cos 2. 0; cos os 2 os π f x x Do x x c x c x   = + − ∈ ⇒ >     2 2 2 2 1 1 '( ) cos 2 2 cos . 2 0 '( ) 0 os os f x x x f x c x c x ⇒ > + − ≥ − = ⇒ > ( ) f x ⇒ ñồng biến trên 0; ( ) (0) 0 2 π f x f   ⇒ > = ⇒     ðPCM Bài 03 – Chuyên ñề 01: Hàm số - Khóa Giải tích 12 – Thầy Nguyễn Thượng Võ Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 2 of 3 Bài 3: CMR: ( ) ln 1 ; 0 x x x + < ∀ > Giải: BðT 1 ( ) ln( 1) 0 '( ) 1 0; 0 1 1 x f x x x f x x x x − ⇔ = + − < ⇒ = − = < ∀ > + + ( ) f x ⇒ luôn ngh ị ch bi ế n v ớ i m ọ i 0 x > . ( ) (0) ln1 0 0 f x f ⇒ < = − = ⇒ ð PCM Bài 4: CMR: ( ) 1 1 ; 3 n n n n n N + > + ∀ ≤ ∈ . Giải: L ấ y logarit c ơ s ố e 2 v ế ta có: B ð T ln ln( 1) ( 1)ln ln( 1) 1 n n n n n n n n + ⇔ + > + ⇔ > + . Ta s ẽ ph ả i ch ứ ng minh ln ( ) x f x x = ngh ị ch bi ế n trên ( ) 3; +∞ . Th ậ t v ậ y ta có: ln 1 ln 3 '( ) 0. 3 2 2 e x f x Do e x x     −   = = < < . V ậ y f(x) ngh ị ch bi ế n mà ln( ) ln( 1) n 1 n ( 1) ( ) 1 n n f n f n n n + + > ⇒ + < ⇔ > ⇒ + ð PCM Bài 5: CMR: V ớ i m ọ i tam giác ABC ta luôn có: 1 os 1 os 1 os 2 2 2 3 3 A B B c c c P A B B + + + = + + > Giải: Tr ướ c h ế t ta có: 2 2 2 2 0 sin sin sin 2 4 x x x x x x< < ⇔ < ⇒ < 2 2 2 cos 1 2sin 1 2. 1 2 4 2 x x x x⇒ = − > − = − . Áp d ụ ng vào tam giác ABC ta có: Bài 03 – Chuyên ñề 01: Hàm số - Khóa Giải tích 12 – Thầy Nguyễn Thượng Võ Hocmai.vn – Ngôi tr ườ ng chung c ủ a h ọ c trò Vi ệ t Page 3 of 3 ( ) 2 cos 1 2 8 2 1 1 1 1 cos 1 2 2 8 8 2 cos 1 2 8 9 18 2. 8 8 A A B B P A B C A B C C C A B C π P A B C π  > −       > − ⇒ > + + − + +         > −   + + ⇔ ≥ − = − + + Ta dễ dàng chứng minh ñược 18 3 3 8 π π − > ⇒ ðPCM ………………….Hết………………… Nguồn: Hocmai.vn . Bài 2: CMR: sinx tanx 1 2 2 2 ; 0; 2 π x x   + + > ∀ ∈     Giải: Theo BðT Côsi ta có: sinx+tanx sinx+tanx 1 sinx tanx 2 2 2 2 2.2 2 + +. ≥ = Ta sẽ chứng minh: sinx+tanx 1 1 2 2 2 sinx+ t anx 2 ; 0; 2 π x x x +   + > ⇔ > ∀ ∈     ( ) sinx+ t anx-2 0; 0; 2 π f x x x   ⇔