bài toán sự biến thiên của hàm số lần 2

Bài 02 – Chuyên ñề 01: Hàm số - Khóa Giải tích 12 – Thầy Nguyễn Thượng Võ Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1 BTVN BÀI SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ (TIẾP) Bài 1: Tìm m ñể hàm số: 3 2 3 ( 2) y x mx m x m = + + − − ñồng biến trên R. Giải: Ta có: 2 ' 3 6 ( 2) y x mx m = + + − ðể hàm số trên ñồng biến trên R thì BPT: 2 ' 3 6 ( 2) 0;y x mx m x = + + − > ∀ ∈ ℝ 3 0 2 ' 9 3 6 0 a m m∆ = >   ⇔  = − + <   . Nhưng ( ) 2 1 23 23 2 ' 9 3 6 9 0 « 6 4 4 m m m V lÝ ∆   = − + = − + ≥ >     Vậy không tồn tại giá trị nào của m ñể hàm số ñồng biến trên R. Bài 2: Tìm a ñể hàm số: 1 3 2 ( 1) (2 1) 3 a y x a x a x − = + − + + luôn ñồng biến. Giải: TXð: D=R. Ta có: 2 ' ( 1) 2( 1) (2 1) y a x a x a = − + − + + • Nếu a 1 ' 3 0 / y t m = ⇒ = > ⇒ • ðể hàm số luôn ñồng biến thì BPT: 2 ' ( 1) 2( 1) (2 1) 0,y a x a x a x = − + − + + ≥ ∀ ∈ ℝ 1 0 1 2 ' ( 1)( 2) 0 ' ( 1) ( 1)(2 1) 0 1 1 1; 2 a a a a a a a a a a a ∆ ∆ − >  >   ⇔ ⇔   = − + > = − − − + <    >  ⇔ ⇔ >  > < −  Vậy với 1 a ≥ thì thõa mãn ñiều kiện bài toán. Bài 3: Tìm a ñể hàm số: 1 3 2 ( 2) ax 3 3 y x a x a = − + − − + nghịch biến trên ( ) 1; +∞ Giải: Ta có: 2 ' 2( 2) a y x a x = − + − − . ðể hàm số nghịch biến trên ( ) 1; +∞ thì BPT: 2 ' 2( 2) a 0, 1 y x a x x = − + − − > ∀ > Bài 02 – Chuyên ñề 01: Hàm số - Khóa Giải tích 12 – Thầy Nguyễn Thượng Võ Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 2 of 3 Ta có: ( ) 2 4 2 2 2( 2) a 0 (2 1) 4 ; 1; 2 1 x x x a x a x x x a x x + ⇔ − + − − > ⇔ − < + ⇔ < ∀ ∈ +∞ − ðặt ( ) 2 2 4 2 ( ) '( ) 0 (2 1) 9 0 1 1; 2 1 x x x g x g x x x x =  + = ⇒ = ⇔ − − = ⇔  = − ∉ +∞ −  Ta có bảng xét dấu: Vậy Min g(x) = g(2)=4. Vậy với 4 a < thì thõa mãn ñiều kiện bài toán. Bài 4: Cho hàm số: 3 2 3( 1) 3( 1) 1 y x m x m = − + + + + . Tìm m ñể hàm số ñồng biến trên các khoảng xác ñịnh của nó. Giải: Tập xác ñịnh: D=R. Ta có: 2 ' 3 6( 1) 3( 1) y x m x m = − + + + ðể hàm số ñồng biến trên R thì BPT: 2 2( 1) ( 1) 0,x m x m x − + + + ≥ ∀ ∈ ℝ 2 1 0 ' ( 1) ( 1) 0 ( 1) 0 1 0 Do a m m m m m ∆ = > ⇒ = + − + ≤ ⇔ + ≤ ⇔ − ≤ ≤ Vậy với 1 0 m − < < thì thõa mãn ñiều kiện bài toán. Bài 5: Cho hàm số: 3 2 3( 1) 3( 1) 1 y x m x m = − + + + + . Tìm m ñể hàm số nghịch biến trên ( ) 1;0 − Giải: Ta có: 2 ' 3 6( 1) 3( 1) y x m x m = − + + + ðể hàm số nghịch biến trên ( ) 1;0 − thì ( ) 2 2( 1) ( 1) 0, 1;0 x m x m x− + + + ≤ ∀ ∈ − ( ) 2 2 ( 1)(2 1) 1 ( ); 1;0 2 1 x x m x m g x x x ⇔ ≤ + − ⇔ + ≥ = ∀ ∈ − − Ta có: 1 2 '( ) 0 (2 1) 1 0 0 x g x x x =  = ⇔ − − = ⇔  =  Ta có bảng biến thiên: Bài 02 – Chuyên ñề 01: Hàm số - Khóa Giải tích 12 – Thầy Nguyễn Thượng Võ Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 3 of 3 Vậy ta có:Max g(x) =g(0)=0. Vậy m 1 0 hay m 1 + > > − thì thõa mãn. ………………….Hết………………… Nguồn: Hocmai.vn . Bài 02 – Chuyên ñề 01: Hàm số - Khóa Giải tích 12 – Thầy Nguyễn Thượng Võ Hocmai.vn. trên ( ) 1; +∞ thì BPT: 2 ' 2( 2) a 0, 1 y x a x x = − + − − > ∀ > Bài 02 – Chuyên ñề 01: Hàm số - Khóa Giải tích 12 – Thầy Nguyễn Thượng Võ Hocmai.vn