SKKN ỨNG DỤNG BẢNG BIẾN THIÊN của hàm số bậc HAI vào bài TOÁN GIÁ TRỊ lớn NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT của hàm số và PHƯƠNG TRÌNH

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚCTRƯỜNG THPT XUÂN HÒA BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: “ ỨNG DỤNG BẢNG BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ BẬC HAI VÀO BÀI TOÁN GIÁ TRỊ LỚ

Trang 1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC

TRƯỜNG THPT XUÂN HÒA

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

Tên sáng kiến:

“ ỨNG DỤNG BẢNG BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ BẬC HAI VÀO BÀI TOÁN GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH ”

Tác giả sáng kiến : MAI THỊ HỢI

Trang 2

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

1 Lời giới thiệu

Trong chương trình môn Đại số 10, các em học sinh đã được học chương2: Hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai Thời lượng học bài Hàm số bậc haikhông nhiều nên việc luyện tập còn ít Nhưng thực tế, trong các kỳ thi học kỳ,chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Vĩnh Phúc có những bài toán quy về giải bằng bảngbiến thiên của Hàm số bậc hai Tôi thấy lớp bài tập sử dụng bảng biến thiênHàm số bậc hai khá đa dạng Vì vậy, khi học thì các em phải được tiếp cận vớilớp bài toán với mức độ từ cơ bản đến phức tạp Năm học 2019-2020, tôi đượcgiao nhiệm vụ giảng dạy môn toán ở lớp 10 Xuất phát từ thực tiễn giảng dạybồi dưỡng học sinh giỏi, dạy chuyên đề cùng với mong muốn giúp cho các emhọc sinh có thêm tư liệu học tập, tra cứu khi học tập về vấn đề này, tôi mạnh dạn

biên soạn chuyên đề: “ỨNG DỤNG BẢNG BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ BẬC HAI VÀO BÀI TOÁN GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH ”.

Trên tinh thần đó, tôi biên soạn theo dạng giúp học sinh dễ hiểu Tôi xâydựng phương pháp cho mỗi dạng tổng quát (nếu có) và đưa ra một số ví dụ minhhọa để học sinh vận dụng và nhớ nhanh, giao bài tập học sinh tự luyện Tôi viết

đề tài này qua kinh nghiệm dạy học nên không thể tránh khỏi thiếu sót Tôi rấtmong được sự góy ý, bổ sung của quý đồng nghiệp để đề tài này được hoànchỉnh và có ý nghĩa hơn

2 Tên sáng kiến:

“ỨNG DỤNG BẢNG BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ BẬC HAI VÀO BÀI TOÁN GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH ”

3 Tác giả sáng kiến:

- Họ và tên: Mai Thị Hợi

- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Xuân Hòa

- Số điện thoại: 0986 350 623

2

Trang 3

- Email: - Email: maithihoi.gvxuanhoa@vinhphuc.edu.vn

4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Mai Thị Hợi.

7 Mô tả bản chất của sáng kiến:

7.1 Về nội dung sáng kiến:

Xuất phát từ lý do chọn đề tài, sáng kiến kinh nghiệm thực hiện nhiệm vụ:Giúp cho giáo viên thực hiện tốt nhiệm vụ và nâng cao chất lượng giáo dục,giúp học sinh hình thành tư duy logic kỹ năng phân tích để đi đến một hướnggiải đúng và thích hợp khi gặp bài toán phức tạp đưa về dạng đơn giản thuộcdạng cơ bản và giải được một cách dễ dàng Muốn vậy người giáo viên phải xâydựng phương pháp giải cụ thể cho từng dạng để học sinh dễ áp dụng và nhớ lâu Một số bài toán thi học kỳ, thi học sinh giỏi cấp tỉnh Sau đây là nội dungchi tiết:

Trang 4

  

Đồng biến trên khoảng ( 2 ; )

b a

 

.

4

Trang 5

Nếu a  thì hàm số 0 y ax 2 bx c a ( 0):

b a

  

Nghịc biến trên khoảng ( 2 ; )

b a

 

B - BÀI TẬP DẠNG 1: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM

SỐ BẬC HAI TRÊN R.

Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

y ax 2 bx c a ( 0)

1 Phương pháp:

- Dựa vào bảng biến thiên ta có ngay kết luận:

* Nếu a  thì hàm số bậc hai 0 y ax 2 bx c a ( 0)đạt giá trị nhỏ nhất

a



2 Bài tập minh họa:

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

Trang 6

x

−∞

12

Do hệ số a   và đỉnh ( ; 31 0 I m  m 2) nên ta có bảng biến thiên sau:

Dựa vào bảng biến thiên

Hàm số đã cho có giá trị bằng -10 ta phải có

6

Trang 7

x

−∞

3( 1)4

Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng m2  6m25.

Đặt f m( )m2  6m25 ( m 3)2 16 16

Dấu " " xảy ra khi m  3

Do đó giá trị nhỏ nhất của ( )f m bằng 16 khi m 3

Vậy với m  là giá trị cần tìm.3

3 Bài tập tự luyện: Trắc nghiệm

Bài 1: Giá trị lớn nhất của hàm số y=- 2x2+8x+ trên R là1

Bài 2: Giá trị lớn nhất hàm số y=x2+4x- đạt được tại 6

A x 2 B x 2 C x 25 D x 25Bài 3: Hàm số y=mx2+4(m- 1)x- 6 đạt giá trị lớn nhất trên R khi

A m 0 B m 0 C 0m 1 D m 0Bài 4: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y= -x2 4x+ trên R là1

Trang 8

DẠNG 2: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM

SỐ BẬC HAI KHÔNG CHỨA THAM SỐ TRÊN ĐOẠN, KHOẢNG, NỬA KHOẢNG.

Bài toán 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số

 

ta có bảng biến thiên x

 2

b a

  y

( )

f  ( ) f 

( 2 )

b f a

Dựa vào bảng biến thiên:

a

   

đạt được khi 2

b x

Trang 9

y ax bx c a  trên khoảng   ; nửa khoảng ;   ;  ;  ; 

Phương pháp : Làm tương tự bài toán 1

Lập bảng biến thiên trên khoảng   Dựa vào bảng biến thiên kết luận.; 

Bài toán 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số

y ax bx c a  trên nửa khoảng  ;  ;  ; 

1 Phương pháp : Làm tương tự bài toán 1

Lập bảng biến thiên trên nửa khoảng  ;  ;  ; 

Dựa vào bảng biến thiên kết luận.

Bài 1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 2  2x2 trênđoạn 3; 2

(Trích Đề thi học kỳ 1 – Sở GD và ĐT Vĩnh Phúc năm học 2019-2020)

Lời giải

Hàm số y x 2  2x2 có hoành độ đỉnh x    o 1  3;2 ta có bảng biến thiên

x -3 1 2 y

17 2

1

Dựa vào bảng biến thiên:

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho bằng 17 đạt được khi x 3

giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng 1 đạt được khi x  1

Bình luận: Bài 1 là trường hợp hoành độ đỉnh thuộc đoạn đang xét

Bài 2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 2 4x 2 trênđoạn 1; 2 

Lời giải

Hàm số đã cho có hoành độ đỉnh x   o 2 1;2 ta có bảng biến thiên

Trang 10

x 1 2

y

8

3Dựa vào bảng biến thiên:

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho bằng 8 đạt được khi x 2

giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng 3 đạt được khi x 1

Bình luận: Bài 2 là trường hợp hoành độ đỉnh không thuộc đoạn đang xét và

nằm bên trái đoạn đang xét Với hệ số a  thì hàm số đồng biến trên đoạn0

1; 2 

Bài 3 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x2 4x3 trênđoạn 1; 0

Lời giải

Hàm số đã cho có hoành độ đỉnh x    o 2  1;0 ta có bảng biến thiên

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho bằng -6 đạt được khi x 1

giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng 3 đạt được khi x  0

Bình luận: Bài 3 là trường hợp hoành độ đỉnh không thuộc đoạn đang xét và

nằm bên phải đoạn đang xét Với hệ số a  thì hàm số nghịch biến trên đoạn0

Trang 11

Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho bằng m  3 đạt được khi x 1

Theo giả thiết ta có: m 3 3  m6

2m  3Dựa vào bảng biến thiên:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng 2m  3 đạt được khi x 2

Theo giả thiết ta có phương trình: 2m 3 3 m0

Vậy m  là giá trị cần tìm.0

Bình luận: Bài 5 chứa tham số nhưng hoành độ đỉnh xác định nên ta lập ngay

bảng biến thiên

3 Bài tập tự luyện Trắc nghiệm

Bài 1: (Thi HK 1-THPT Nhữ Văn Lan – Hải Phòng 2018-2019) Tìm giá trị

của tham số m để hàm số y=x2- 2x+2m+ đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn3

Trang 12

Bài 4: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị dương của tham số m để giá trị nhỏ nhất

hàm sốy=4x2- 4mx+m2- 2m trên đoạn 2; 0 bằng 3 Tính tổng T cácphần từ của S

12

T 

C

92

T 

D

32

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số đã cho.

Bước 2: Đặt t P x ( ), điều kiện của t.

Bước 3: Bài toán đưa về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm

số bậc hai trên đoạn, nửa khoảng, khoảng

Lập bảng biến thiên

Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên kết luận.

Trang 13

2 1Dựa vào bảng biến thiên:

Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho bằng 10 đạt được khi t2  4 x2

Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng 1 đạt được khi t2  1 x1

Câu b, c làm hoàn toàn tương tự Nhưng bước quan trọng nhất của bài toán là tìm điều kiện cho ẩn phụ.

Ta gặp tiếp bài toán quy về hàm số bậc hai sau:

2 2

-4

Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng -4 đạt được khi

Trang 14

Bài toán trở thành: tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên R.

2254

Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng

2254



đạt được khi

14

Trang 15

2

342

( 2)

22

x x

Dựa vào bảng biến thiên suy ra điều kiện của t: t 0;4

2254

Trang 16

Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng

2254

Bình luận: Ở câu b) bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên

đoạn 3; 0 nên ta phải tìm điều kiện chặt cho ẩn phụ t Việc tìm điều kiện cho

t là ta giải bài toán: tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn 3; 0 c) Làm tương tự phần b)

Trang 17

Đến đây làm tương tự như bài 4.

Bình luận: Ba phần trên đây là 3 cách tìm điều kiện cho ẩn phụ khác nhau.

Phần a) sử dụng Bất đẳng thức Cauchy tìm điều kiện cho ẩn phụ t

Phần b) sử dụng phân tích tìm điều kiện cho ẩn phụ t

Phần c) sử dụng phân tích tìm điều kiện cho ẩn phụ t

2

g t  t  t

trên miền t 2;2 2Đến đây làm tương tự như bài 4

3 Bài tập tự luyện:

a y 2x 1 1 x  (2x1)(3 x) 1

Trang 18

Bước 1: Tìm điều kiện xác định D của phương trình đã cho.

Bước 2: Đặt t P x ( ), điều kiện của t D 0 Đưa phương trình đã cho về

phương trình ẩn t: g( , ) 0t m 

Bước 3: Cô lập m: g( , ) 0t m   h t( )h m( ) (1)

Bài toán đưa về: phương trình đã cho có nghiệm thuộc tập D khi phương trình

ẩn (1) có nghiệm thuộc tập D0.

Lập bảng biến thiên của hàm số y h t ( )

Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên suy ra kết quả về tham số m.

Bài 1 Tìm điều kiện của tham số m để phương trình sau có nghiệm

Trang 19

x -3 1 2 y

17 2

1

Phương trình (1) có nghiệm thuộc đoạn   3; 2  khi 1   m 17

Vậy với 1   m 17 là các giá trị cần tìm

Bài 2 Tìm điều kiện của tham số m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt

Phương trình ( 1) có 2 nghiệm thuộc   3; 2  khi và chỉ khi phương trình (2) có

2 nghiệm thuộc đoạn   3; 2  Phương trình (2) có nghiệm khi và chỉ khi đường

thẳng y m  cắt đồ thị hàm số y x 2  2x trên đoạn 2   3; 2  tại 2 điểmphân biệt

Lập bảng biến thiên:

Xét hàm số y x 2  2x trên đoạn 2   3; 2 

Hoành độ đỉnh x    o 1  3;2 ta có bảng biến thiên

x -3 1 2 y

17 2

1

Trang 20

Phương trình (1) có 2 nghiệm thuộc đoạn   3; 2  khi 1  m  2

Vậy với 1  m  2 là các giá trị cần tìm

Bài 3 Tìm điều kiện của tham số m để phương trình sau có nghiệm phân biệt

10

2

1

Phương trình (1) có nghiệm thuộc đoạn   3; 2  khi 1   m 10

Vậy với 2   m 17 là các giá trị cần tìm

Bài 4: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình sau có nghiệm:

20

Trang 21

Phương trình (1) có nghiệm khi

Bình luận: Bài 4 tìm tham số để phương trình có nghiệm trên R Bài 5 sau đây

mở rộng bài 4 có nghiệm hay có k nghiệm trên tập cho trước

Bài 5: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình sau:

(x1)(x 1)(x3)(x5) 2m 1 

a) có nghiệm trên đoạn 3; 0

Trang 22

b) có 4 nghiệm trên đoạn 3; 0

Lời giải

Tập xác định: D R

Viết lại phương trình : (x2 4x3)(x2 4x 5) 2 m (1)1

Đặt t x 2 4x4 Suy ra

2 2





   



Tìm điều kiện của t Coi t là hàm số Lập bảng biến thiên hàm t trên 3; 0

Bảng biến thiên:

x -3 -2 0

t 4

1

0

Dựa vào bảng biến thiên suy ra điều kiện của t: t 0;4 Phương trình trở thành: (t 1)(t 5) 2m 1   t2  6t  5 2m1 Xét hàm số g t( ) t2 6t5 trên miền 0;4  Hoành độ đỉnh t   o 3 0;4 ta có bảng biến thiên t 0 3 4

g(t) 5

-3

-4

a) Phương trình (1) có nghiệm trên đoạn  3; 0 khi và chỉ khi phương trình (2)

có nghiệm thỏa mãn t 0;4 Phương trình (2) có nghiệm khi đường thẳng

2m 1

y   cắt đồ thị hàm số g t( ) t2 6t5 trên miền t 0;4 .

Dựa vào bảng biến thiên: Phương trình (1) có nghiệm trên đoạn 3; 0

khi

5

2

           

22

Trang 23

Vậy với

5

2

2 m

  

thì phương trình (1) có nghiệm trên đoạn 3; 0

b) Phương trình (1) có 4 nghiệm trên đoạn 3; 0khi và chỉ khi phương trình (2) có 2 nghiệm thỏa mãn t 0;4 Phương trình (2) có nghiệm khi đường

thẳng y 2m 1 cắt đồ thị hàm số g t( ) t2 6t5 trên miền t 0;4 tại 2

điểm phân biệt

Dựa vào bảng biến thiên: Phương trình (1) có 4 nghiệm trên đoạn 3; 0

khi

5

2

           

Vậy với

5

2

2 m

  

thì phương trình (1) có 4 nghiệm trên đoạn 3; 0

Bài 6 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có bốn nghiệm thực phân biệt 4 x2  4x 5 x2  4x2m 1

(Trích Đề thi học kỳ 1 – Sở GD và ĐT Vĩnh Phúc năm học 2015-2016)

Lời giải

Đkxđ: x R

Viết lại phương trình x2  4x 5 4 x2  4x 5 6 2 m (1)

Đặt t  x2  4x 5 (x 2)2  Điều kiện cho t: 1 1 t  1; 

Phương trình trở thành: t2  4t 6 2 m (2)

Xét hàm số g t( ) t2 4t 6 trên miền t   1; 

Hoành độ đỉnh t    ta có bảng biến thiên o 2 1; 

t 1 2 

g(t) 

-9

-10 Phương trình (1) có 4 nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có 2 nghiệm thỏa mãn t   Phương trình (2) có nghiệm khi đường thẳng 1;  y 2m 1 cắt đồ thị hàm số g t( ) t2 6t5 trên miền t 0;4 tại 2 điểm phân biệt.

Dựa vào bảng biến thiên: Phương trình (1) có 4 nghiệm khi

Trang 24

9 10 2 9 5 2 m m        Bài 7: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình sau có nghiệm:  x2 2x4 (3 x x)( 1) 1  m Lời giải  x2 2x4 (3 x x)( 1) 1 m Đkxđ: x   1;3 Viết lại phương trình  x2 2x 3 4  x2 2x 3 2 0 Đặt 3 1 (3 )( 1) 2 2 x x t   x x      Điều kiện cho t: t 0;2 Phương trình trở thành: t2 4t 4m Xét hàm số g t( ) t2 4t 4 trên miền 0;2  Hoành độ đỉnh t   o 2 0;2 ta có bảng biến thiên t 0 2

g(t) 8

-4 Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm thỏa mãn t 0;2 Phương trình (2) có nghiệm khi đường thẳng y m cắt đồ thị

hàm số g t( ) t2 4t 4 trên miền t 0;2

Dựa vào bảng biến thiên: Phương trình (1) có 4 nghiệm khi

  4 m 8

3 Bài tập tự luyện

Bài 1 Cho phương trình: x 1 3 x  (x1)(3 x) 0 (1) (m-tham số)

a Giải phương trình với m = 3 b Tìm m để phương trình (1) có nghiệm?

(Trích ĐHSP Vinh 2000)

Bài 2 Tìm điều kiện của tham số m để phương trình sau có nghiệm?

(x 3)(2x1) 1 2  x2  5x 5 2m

Bài 3 Cho phương trình: x 1 8 x  (x1)(8 x) 2 m 3

24

Trang 25

a Giải phương trình khi m = 3.

b Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm.?

a Giải phương trình với m = -3

b Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt ?

Bài 6 Tìm điều kiện của tham số m để phương trình sau có nghiệm:

Bài 7: Tìm m để PT sau có nghiệm: x 4 x   x2 4x2m 0

7.2 Về khả năng áp dụng của sáng kiến:

- Sáng kiến đã được áp dụng trong thực tế với các em học sinh tại lớp 10trường THPT Xuân Hòa, khi học chương 2 – Đại số 10

- Sáng kiến có thể áp dụng với tất cả các em học sinh ôn thi học kỳ, ôn thi sinhgiỏi, ôn thi THPT Quốc Gia

8 Thông tin cần bảo mật (Không có)

9 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến

Môn Toán là môn học phục vụ trực tiếp cho việc thi cử của học sinh, vì vậyluôn được sự quan tâm nhà trường, các em học sinh cũng như các bậc phụhuynh Không những thế đây còn là môn học được nhiều lĩnh vực khác áp dụng

Đối với học sinh: phải thuộc cần đọc kỹ đề bài, cần rèn luyện tư duy

logic, nắm được kỹ thuật giải để nhận dạng nhanh và áp dụng vào giải bài tập

Đối với giáo viên: cần giảng dạy theo chủ đề, phân dạng bài tập, cóphương pháp và bài tập tự luyện Thường xuyên cập nhật kỳ thi học sinh giỏitỉnh, kỳ thi THPT Quốc Gia để bổ sung kiến thức kịp thời phù hợp với chươngtrình và cấu trúc đề thi

Định dạng
Số trang	28
Dung lượng	729,78 KB