phương pháp giải phương trình lượng giác

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com  Chuyên đề 2: LƯNG GIÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC  Vấn đề 1: A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Phương trình lượng giác cosx = cos  x =  + k2 sinx = sin  x    k2    x      k2 tanx = tan cotx = cot  x =  + k  x =  + k (với k  ) Phương trình bậc hai hàm số lượng giác asin2x + bsinx + c = Đặt t = sinx,  t  acos2x + bcosx + c = Đặt t = cosx,  t  atan2x + btanx + c = Đặt t = tanx acot2x + bcotx + c = Đặt t = cotx Phương trình bậc sinx, cosx asinx + bcosx = c (*) Điều kiện có nghiệm: a2 + b2  c2  Cách 1: Chia hai vế cho a2  b2  a b (*)  sinx + cosx = a2  b a2  b 2 c a2  b 2 a b     Do  + =1  2 2   a b   a b  a b Nên đặt = cos, = sin 2 a b a  b2 Khi đó: (*)  sinxcos + sincosx = c a2  b  sin(x + ) =  Cách 2: Chia hai vế cho a (giả sử a  0) b c (*)  sinx + cosx = a a b sin  c Đặt = tan Khi đó: (*)  sinx + cosx = a cos  a 70 c a2  b Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN  sinx cos + sin cosx =  Cách 3: Đặt ẩn số phụ  Xét x = (2k + 1) với (k   Xét x  (2k + 1) với (k  x Đặt t = tan 2t c c cos  sin(x + ) = cos a a ) có nghiệm )  t2 = c  (b + c)t2 – 2at + c – b =  t2  t2 Phương trình đối xứng: a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c =   Đặt t = sinx + cosx = cos  x   4  Khi đó: (*)  a Điều kiện  t  +b t2  Thay vào phương trình ta phương trình đại số theo t  Chú ý: a(sinx  cosx) + bsinxcosx + c = Khi đó: t2 = + 2sinxcosx  sinxcosx = Đặt t = sinx – cosx (với t  ) Phương trình đẳng cấp bậc sinx, cosx asin2x + bsinxcosx + ccos2x =   Xét cosx =  x = + k (k  ) có nghiệm không?  Xét cosx  Chia vế cho cos2x ta thu phương trình bậc theo tanx  Chú ý: Nếu phương trình đẳng cấp bậc k sinx, cosx ta xét cosx = xét cosx  chia vế phương trình cho coskx ta thu phương trình bậc k theo tanx B ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2011  sin 2x  cos2x  sin x.sin 2x Giải phương trình:  cot x Giải Điều kiện: sinx  Khi đó: (1)   sin 2x  cos2x  sin x  2sin x cosx  sin2 x 71 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com    sin2 x  sin2x  cos2x  2 sin2 x.cosx   sin2x  cos2x  2 cosx (vì sinx  0)  2cos2 x  2sin x cosx  2 cosx   cosx   cosx  sin x     cosx   sin  x    4   x    k  x   k2 (k  Z) (Thỏa điều kiện sinx  0)    k  x   k2 (k  Z) Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2011 Vậy nghiệm (1) x  Giải phương trình: sin2xcosx  sinxcosx  cos2x  sinx  cosx Giải sin2xcosx  sinxcosx  cos2x  sinx  cosx  2sinx.cos2x + sinx.cosx = 2cos2x – + sinx + cosx  sinx.cosx(2cosx + 1) = cosx(2cosx + 1) + sinx –  cosx (2cosx + 1)(sinx – 1) = sinx –  sinx – = cosx (2cosx + 1) =  sinx = 2cos2x + cosx – =  sinx = cosx = –1 cosx =  x    k2 x    k2 x    k2   2 (k Z)  k2 x   k 3 Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2011  x Giải phương trình: sin 2x  cosx  sin x  tan x  0 Giải sin 2x  cosx  sin x  tan x   Điều kiện: tanx   cosx     sin2x  2cosx  sinx    2sin x cosx  2cosx  sin x   72 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN         2cosx sin x   sin x    sin x  2cosx   sin x  1 (Loại cosx = 0)     x    k2 (k Z)  cosx   So với điều kiện ta nghiệm phương trình x    k2 (k Z) Bài 4: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2011 Giải phương trình: cos4x + 12sin2x – = Giải 2 cos4x + 12sin x – =  2cos 2x – + 6(1 – cos2x) – =  cos22x – 3cos2x + =  cos2x = hay cos2x = (loại)  2x = k2π  x = kπ (k  Z) Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2010   (1  sin x  cos2x)sin  x   4   cos x Giải phương trình:  tan x Giải Điều kiện: cosx  tanx ≠ – Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương: (1  sin x  cos2x).(sin x  cosx)  cosx  tan x (1  sin x  cos2x).(sin x  cosx)  cosx  cosx sin x  cosx   sin x  cos2x   sin x  cos2x   2sin2 x  sin x    sin x  1(loạ i) hay sin x   x 7   k2 hay x   k2 (k  Z) 6 Bài 6: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2010 Giải phương trình (sin 2x + cos 2x) cosx + 2cos2x – sin x = Giải Phương trình cho tương đương: (2sinxcosx + cos2x)cosx + 2cos2x – sinx =  cos2x (cosx + 2) + sinx (2cos2x – 1) =  cos2x (cosx + 2) + sinx.cos2x = 73 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com  cos2x (cosx + sinx + 2) =  cos2x     cosx  sin x   (vn)  2x =   k (k  )x=    k (k  ) Bài 7: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2010 Giải phương trình sin2x  cos2x  3sinx  cosx   Giải Phương trình cho tương đương: 2sin x cos x   2sin x  3sin x  cos x    cos x(2sin x  1)  2sin x  3sin x    cos x(2sin x  1)  (2sin x  1)(sin x  2)   (2sin x  1)(cos x  sin x  2)   sin x      cos x  sin x  2 (VN)    x   k2  (k  )  x  5  k2  Bài 8: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2010 Giải phương trình cos 5x 3x cos  2(8sin x  1)cosx  2 Giải Phương trình cho tương đương: 2(cos4x  cosx)  16sin x cosx  2cosx   2cos4x  8sin2x    4sin2 2x  8sin2x   4sin22x – 8sin2x + =  sin 2x  (loại ) hay sin 2x  2  5  2x   k2 hay 2x   k2 6  5  x   k hay x   k (k  ) 12 12 Bài 9: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2009 Giải phương trình: 74 1  2sin x  cos x  1  2sin x 1  sin x  Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN Giải (*) Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương: Điều kiện: sinx  sinx   (1 – 2sinx)cosx = 1  2sin x 1  sin x   cosx  sin x  sin2x  cos2x      cos  x    cos  2x   6      2 (k  )  k2 hoặ c x    k 18  2 Kết hợp (*), ta nghiệm: x    k  k  18 Bài 10: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2009 x Giải phương trình: sinx + cosxsin2x +   cos3x  cos4x  sin3 x  Giải Phương trình cho tương đương: (1 – 2sin2x)sinx + cosxsin2x + cos3x  2cos4x  sinxcos2x + cosxsin2x +  sin3x + cos3x  2cos4x   cos3x  cos4x  cos  3x    cos4x 6     4x = 3x   k2 hoặ c 4x  3x   k2 (k  6   2 Vậy: x =   k2; x  k k   42 Bài 11: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2009 ) cos5x  2sin3xcos2x  sinx  Giải Phương trình cho tương đương: Giải phương trình: cos5x   sin5x  sin x   sin x    cos5x  sin 5x  sin x  sin   5x   sin x 2       5x  x  k2 hay  5x    x  k2 (k  ) 3     Vậy: x =  k hay x    k  k   18  75 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bài 12: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2009 Giải phương trình (1 + 2sinx)2cosx = + sinx + cosx Giải Phương trình cho tương đương: (1 + 4sinx + 4sin2x)cosx = + sinx + cosx  cosx + 4sinxcosx + 4sin2xcosx = + sinx + cosx  + sinx = hay 4sinxcosx = 1  sinx = 1 hay sin2x =   5  x    k2 hay x   k hay x   k (với k  12 12 ) Bài 13: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2008 Giải phương trình:  sin x  7   4sin   x 3     sin  x     Giải 3   Ta có: sin  x    cosx   sin x  Điều kiện:   sin2x  cos x  Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương: 1     4sin  x   sin x cosx 4    cosx  sin x   2  sin x  cosx  sin x cosx     cosx  sin x   sin 2x     x    k  tan x  1   cos x  sin x         x    k (k  sin 2x    sin 2x       x   k  ) Bài 14: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2008 Giải phương trình: sin3 x  cos3 x  sin x cos2 x  sin2 x cosx Giải sin x  cos x  sin x.cos x  sin2 x.cosx 76 (1) Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN Cách 1: Phương trình cho tương đương: sin x(cos2 x  sin2 x)  cosx(cos2 x  sin2 x)      cos2 x  sin2 x sin x  cosx   k  x    cos2x     (k  )  x     k  tan x       Nghiệm phương trình là: x   k x    k (k  ) Cách 2:  cosx = nghiệm phương trình (1)  Chia hai vế phương trình (1) cho cos3x ta được: tan3 x   tan x  tan3 x   x    k   tan x   3 k    (tan x  3)(tan2 x  1)      x     k  tan x  1  Bài 15: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2008 Giải phương trình: 2sinx(1 + cos2x) + sin2x = + 2cosx Giải Phương trình cho tương đương: 4sinx.cos2x + sin2x – – 2cosx =  2cosx(2sinxcosx – 1) + (sin2x – 1) =  (sin2x – 1)(2cosx + 1) =  2 2  sin 2x  1hay cosx    x   k hayx   k2 hay x    k2 (k  ) 3 Bài 16: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2008 Giải phương trình: sin3x  cos3x  2sin2x Giải Phương trình cho tương đương:   sin3x  cos3x  sin 2x  cos sin3x  sin cos3x  sin 2x 2 3    sin  3x    sin 2x 3  77 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com     3x   2x  k2  x   k2    (k  ) 3x      2x  k2  x  4  k2   15 Bài 17: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2007 Giải phương trình: (1 + sin2x)cosx + (1 + cos2x)sinx = + sin2x Giải Phương trình cho tương đương: (sinx + cosx)(1 + sinxcosx) = (sinx + cosx)2  (sinx + cosx)(1  sinx)(1  cosx) =    x    k, x   k2, x  k2 (k  ) Bài 18: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2007 Giải phương trình: 2sin22x + sin7x – = sinx Giải Phương trình cho tương đương với: sin7x  sinx + 2sin22x  =  cos4x(2sin3x  1) =  k  cos4x =  x =  k    2 5 2 x   sin3x   x  k k (k  ) 18 18 Bài 19: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2007 x  x Giải phương trình:  sin  cos   cosx  2  Giải Phương trình cho tương đương với:      sin x  cosx   cos  x     x   k2, x    k2 (k  ) 6 2  Bài 20: ĐẠI HỌC SÀI GÒN KHỐI A NĂM 2007     sin x  Giải phương trình: 3tan2  x         sin x  Giải Điều kiện: sinx  Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương: 2  1  3cot x  2  sin x sin x sin x 78 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN   sin x      x   k2,  k  1     vô nghiệ m   sin x  Bài 21: ĐẠI HỌC SÀI GÒN KHỐI B NĂM 2007 Giải phương trình: + sinx + cosx + tanx = Giải Phương trình cho tương đương với: sin x + sinx + cosx +  (điều kiện: cosx  0) cos x     sin x  cosx  1  0 cosx   3  x  k sin x  cos x      (k    cos x  1  x    k2 ) Bài 22: CAO ĐẲNG XÂY DỰNG SỐ NĂM 2007 Giải phương trình: cos4x – sin4x + cos4x = Giải Phương trình cho tương đương với: cos2x – sin2x + 2cos22x – =   x   k  cos2x  1    (k   2cos22x + cos2x – =    cos2x   x     k   ) Bài 23: CAO ĐẲNG KỸ THUẬT CAO THẮNG NĂM 2007 Giải phương trình: 2sin3x + 4cos3x = 3sinx Giải Phương trình cho tương đương với: 2sin3x + 4cos3x – 3sinx(sin2x + cos2x) =  sin3x + 3sinxcos2x – 4cos3x = (1) Dễ thấy cosx = nghiệm (1) Do cosx  0, ta chia hai vế (1) cho cos3x, ta được: (1)  tan3x + 3tanx – =  (tanx – 1)(tan2x + tanx + 4) =  tanx = (do tan2x + tanx + > với x)   x   k (k  ) 79 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Tìm nghiệm khoảng (0; ) phương trình: x 3   4sin2  cos2x   cos2  x     Giải Phương trình cho tương đương với: 3    2(1  cosx)  cos2x    cos  2x      – 2cosx  cos2x = – sin2x cos2x – sin2x = 2cosx    cos2x  sin 2x   cosx  cos  2x    cos(  x) 6 2  5 2   x  18  k   (k  )  x   7  k2  5 17 5 Do x  (0; ) nên ta có nghiệm: x1  , x2  , x3  18 18 Bài 31: ĐỀ DỰ BỊ    Giải phương trình: sin x cos2x  cos2 x tan2 x   2sin3 x  Giải Điều kiện: cosx   sinx   Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương:  sin2 x  sin x.cos2x  cos2 x    2sin3 x   cos2 x       sin x cos2x  2sin2 x  cos2x   sin x(cos2x   cos2x)  cos2x   2sin2 x  sin x     sin x  1 (loạ i)  x   k2   k sin x   x  5  k2   Bài 32: ĐỀ DỰ BỊ cos2x    Giải phương trình: tan   x   3tan2 x    cos2 x 82 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN Giải Điều kiện: cosx  sinx  Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương:  cot x  3tan2 x  2sin2 x   tan2 x   tan3 x  1 tan x cos x   tan x  1  x   k (k  ) thỏa điều kiện Bài 33: Giải phương trình: 5sinx  = 3(1  sinx) tan2x Giải Điều kiện cosx   sinx   Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương: 5sin x   1  sin x  sin2 x  1  sin x  cos2 x  (5sinx  2) (1 + sinx) = 3sin2x  5sinx + 5sin2x   2sinx = 3sin2x  2sin2x + 3sinx  = sin2 x  sin2 x     x   k2  sin x (thỏ a mã n đk)       x  5  k2 sinx =  (loạ i)  (k  ) Bài 34: Giải phương trình (2cosx  1) (2sinx + cosx) = sin2x  sinx Giải Phương trình cho tương đương với: (2cosx  1) (2sinx + cosx) = 2sinxcosx  sinx  (2cosx  1) (2sinx + cosx) = sinx (2cosx  1)  (2cosx  1) (sinx + cosx) =     x =   k2 cos x        x     k tan x     (k  ) Bài 35: ĐỀ DỰ BỊ Giải phương trình: 4(sin3x + cos3x) = cosx + 3sinx Giải cosx = nghiệm phương trình nên ta chia vế cho cos3x 83 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Phương trình cho tương đương với: 4tan3x + = + tan2x + 3tanx(1 + tan2x)  tan3x – tan2x – 3tanx + =  (tanx – 1)(tan2x – 3) =  tan x  1hay tan2 x   tan x  hay tan x    x    k hay x    k k   Bài 36: ĐỀ DỰ BỊ Giải phương trình: 1     2 cos  x   cosx sin x 4  Giải Điều kiện cosxsinx   x  k (k  ) Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương:   sin x  cosx  2 cos  x   cosxsin x 4        cos  x    cos  x   sin 2x 4 4      cos  x    hay sin 2x  1 4        x    k  x   k     (k  2x     k2  x     k   ) Bài 37: Giải phương trình cotx  = cos2x  sin2 x  sin 2x  tan x Giải   x    k  tan x  1   (k  Điều kiện    xk sin x,cos x  x  k    Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương:   cos2 x  sin2 x cosx cosx  sin x   sin2 x  cosxsin x sin x cosx  sin x 84 ) Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN cosx  sin x   cosx  sin x  cosx  sin x  sin x  cosx  sin x   cosx  sin x  hay  sin x cosx  sin2 x  tanx = hay1  tan2 x  tanx  tan2x   x   k      x   k,  k  2 tan2 x  tan x    vô nghiệ m   Bài 38: Giải phương trình: cotx  tanx + 4sin2x = sin 2x Giải Điều kiện sin2x  Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương: cos2x   4sin 2x   cos2x  4sin2 2x  sin 2x sin 2x  2cos22x  cos2x  =  cos2x   loạ i      cos2x =   x    k  cos2x    k   Bài 39: x  x  Giải phương trình sin2    tan2 x  cos2  2 4 Giải   k, k  Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương:    cos  x     tan2 x   cos x  2 Điều kiện: x   (1  sin x) sin2 x   cosx   cos x   cosx  hay1 cosx 1  sin x 1  cosx 1  cosx    cosx  sin x  x    k2  nhậ n  k    cos x  1 hay tan x      x     k  nhậ n   85 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bài 40: ĐỀ DỰ BỊ Giải phương trình:  tanx (tanx + 2sinx) + 6cosx = Giải Điều kiện: cosx  Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương: sin x  sin x  3  2sin x   cosx   cosx  cosx   3cos2x – sinx(sinx + 2sinx.cosx) + 6cos3x =  3cos2x(1 + 2cosx) – sin2x(1 + 2cosx) =  + 2cosx = hay 3cos2x – sin2x =   cos2x   hay tan2 x   x    k  k   hay tan x   3   x    k  k   Bài 41: ĐỀ DỰ BỊ Giải phương trình: 3cos4x  8cos6x + 2cos2x + = Giải Phương trình cho tương đương với: 3(1 + cos4x) – 2cos2x (4cos4x – 1) =  6cos22x – 2cos2x(2cos2x – 1)(2cos2x + 1) =  6cos22x – 2cos2x(cos2x)(2cos2x + 1) =  2cos2x = hay 3cos2x – cos2x(2cos2x + 1) =  cos2x    2 cos x  5cos x    cos2x    k    2x   k x    cos x    , k     x  k  x  k  cos x   loạ i   Bài 42: ĐỀ DỰ BỊ Giải phương trình:    cos x  2sin2  x2  4  cos x  Giải 1 Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương: Điều kiện: cos x  86 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN     (2  3)cosx  1  cos  x     cosx    cosx  sin x       tan x   x   k; (k  ) 4 Kết hợp lại điều kiện cos x  Ta chọn x   m2, m  Bài 43: ĐỀ DỰ BỊ Giải phương trình: cotx = tanx + cos 4x sin 2x Giải Điều kiện sin2x   cos2x  1 Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương: cosx sin x cos4x  cos2x = sin2x + cos4x   sin x cosx 2sin x.cosx  cos2x – sin2x – (2cos22x – 1) =  2cos22x – cos2x – = 2   x    k  k   cos2x  1 loạ i  hay cos2x    cos 3  Bài 44: Giải phương trình sin23x  cos24x = sin25x  cos26x Giải Phương trình cho tương đương với:  cos6x  cos8x  cos10x  cos12x    2 2  cos8x + cos6x = cos12x + cos10x  cos7xcosx = cos11xcosx  cosx = hay cos11x = cos7x    x =  k    x = k  (k  )  x  k    x  k    x  k   Bài 45: ĐỀ DỰ BỊ Giải phương trình: sin4 x  cos4 x 1  cot 2x  5sin 2x 8sin 2x Giải Điều kiện sin2x  Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương: 87 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com  2sin2 x.cos2 x cos2x   5sin 2x sin 2x 8sin2x  cos2x   loạ i    cos2 2x  5cos2x      cos2x   nhậ n     cos2x =  cos  x =   k (k  ) Bài 46: ĐỀ DỰ BỊ Giải phương trình tan4 x     sin2 2x  sin3x cos4 x Giải Điều kiện cosx  Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương: sin4x + cos4x = (2 – sin22x).sin3x  – 2sin2x.cos2x = (2 – sin22x).sin3x  (2 – sin22x) = 2(2 – sin22x).sin3x  – sin22x =0( loại) hay = 2sin3x  2  x k   18  sin3x = (k  )  x  5  k 2  18 Bài 47: CAO ĐẲNG KINH TẾ - KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP I  2   sin x   Giải phương trình: sin2  x    sin2  x   3    Giải Phương trình cho tương đương với:      sin x sin2  x    sin2   x   3     2    2   cos  2x   2x    cos        sin x   2 2    2   2x     sin x  cos  2x    cos  3      1   sin x     cos2x   2  – cos2x – sinx =  2sin2x – sinx = 88 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN  x  k  sin x   x    k2    (k   sin x   5  x   k2  ) Bài 48: CAO ĐẲNG KINH TẾ - KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP TP HCM Giải phương trình: cos3x.tan5x = sin7x Giải Điều kiện: cos5x  Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương: sin5x cos3x = sin7x cos5x 1   sin 2x  sin8x    sin 2x  sin12x  2 k  x   sin12x = sin8x   (k  )  x    k  20 10 Bài 49: CAO ĐẲNG CÔNG NGHIỆP THỰC PHẨM Giải phương trình: 1     sin  x   cosx sin x 4  Giải Điều kiện: cosx  0; sinx  Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương: 2(sinx + cosx) = sin2x(cosx + sinx)  sinx + cosx = hay = sin2x ( vô nghiệm)   tanx = 1  x    k (k  ) Bài 50: CĐSP TW TP HCM Giải phương trình: sin2x + cos2x + 3sinx – cosx – = Giải Phương trình cho tương đương với: 2sinxcosx + – 2sin2x + 3sinx – cosx – =  cosx(2sinx – 1) – (2sin2x  3sinx + 1) =  cosx(2sinx – 1) – (sinx -1)(2sinx  1) =  2sinx – = hay cosx – sinx +1 = 89 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com    x   k2   x   k2   sinx = hay sin  x   = sin   hay  (k    4  x  5  k2  x    k2  Bài 51: CAO ĐẲNG KINH TẾ ĐỐI NGOẠI   Giải phương trình: sin6x + cos6x = 2sin2  x   4  Giải Phương trình cho tương đương với:  sin22x = (sinx + cosx)2  3sin22x + 4sin2x = 4   sin2x = hay sin2x =  (loại)  x = k (k  ) Bài 52: CAO ĐẲNG KINH TẾ TP HCM Giải phương trình: sin2xsinx + cos5xcos2x =  cos8x Giải Phương trình cho tương đương với: 1  cos8x  cosx  cos3x   cos7x  cos3x  2  cosx + cos7x = + cos8x  2cos4xcos3x = 2cos24x  k  x    cos 4x   (k  )   x  k2  cos 4x  cos3x  Bài 53: CAO ĐẲNG TÀI CHÍNH – HẢI QUAN Giải phương trình: cosx.cos2x.sin3x = sin2x Giải Phương trình cho tương đương với: 2cosxcos2xsin3x = sinxcosx  cosx  hay2cos2xsin3x  sin x   x = + k (k  ) hay sin5x + sinx = sinx  k  x = + k hay x = (k  )  Vấn đề 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC TRÊN MỘT MIỀN ĐỀ THI 90 ) Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN Bài 1: Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2) phương trình: cos3x  sin3x    sin x    cos2x   2sin 2x   Giải Điều kiện + 2sin2x  (1) Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương với: 5(sinx + 2sin2xsinx + cos3x + sin3x) = (cos2x + 3)(1 + 2sin2x)  5(sinx + cosx  cos3x + cos3x + sin3x) = (cos2x + 3)(1 + 2sin2x)  5(2sin2xcosx + cosx) = (cos2x + 3)(1 + 2sin2x)  5cosx(1 + 2sin2x) = (cos2x + 3)(1 + 2sin2x)  5cosx = cos2x + (Vì + 2sin2x  0)  5cosx = 2cos2x +  cosx = (thỏa điều kiện (1))   x    k2 (k  )  5 Vì nghiệm x thuộc khoảng (0; 2) nên x   x= 3 Bài 2: Tìm x thuộc đoạn [0; 14] nghiệm phương trình: cos3x  4cos2x + 3cosx  = Giải Phương trình cho tương đương với: 4cos3x  3cosx  (2cos2x 1) + 3cosx =  4(cos3x  2cos2x) =  + k (k  )  3 5 7 Vì x  [0; 14] nên x = , x = , x= , x= 2 2  cosx =  cosx = (loại)  x =  Vấn đề 3: ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC A PHƯƠNG PHÁP GIẢI  Phương trình Asinx + Bcosx = C có nghiệm  A2  B2  C2  Sử dụng phương pháp thường gặp đại số 91 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com B ĐỀ THI Bài 1: ĐỀ DỰ BỊ Xác đònh m để phương trình 2(sin4x + cos4x) + cos4x + 2sin2x  m = có   nghiệm thuộc đoạn  0;   2 Giải Phương trình cho tương đương với: 2(1 – 2sin2x.cos2x) + – 2sin22x + 2sin2x – m =      sin2 2x    2sin2 2x  2sin 2x  m    3sin22x + 2sin2x + = m (1)   Đặt t = sin2x Vì x   0;    2x     sin2x    t   2 (1) thành  3t2 + 2t + = m Đặt f(t) = 3t2 + 2t +  f'(t) = 6t + (2);  t   f'(t) =  t =  Bảng bòến thiên t  f'(t) + f(t) 10 1 +   Nhận xét: (2) phương trình hoành độ giao điểm đường thẳng : y = m   đường cong (C) Từ (1) có nghiệm x   0;   2 10   (C) có điểm chung [0;1]   m  Bài 2: ĐỀ DỰ BỊ Cho phương trình 2sin x  cosx  a sin x  cosx  b/ Tìm a để phương trình (1) có nghiệm a/ Giải phương trình (1) a = 92 (1) (a tham số) Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN Giải Tập xác đònh phương trình (1): D = Do đó: (1)  2sinx + cosx + = a(sinx – 2cosx + 3)  (2 – a)sinx + (2a + 1).cosx = 3a – 1 5 a/ Khi a = : (1)  sin x  cosx   sin x  cosx  3   sin x   cosx  tan x  1  x    k (k  ) b/ Do (2 – a)2 + (2a + 1)  nên điều kiện cần đủ để (1) có nghiệm (2 – a)2 + (2a + 1)2  (3a – 1)2  2a2 – 3a –     a  2  Vấn đề 4: BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC A PHƯƠNG PHÁP GIẢI  Sử dụng công thức tam giác tương ứng  Nhận dạng tam giác cách rút gọn hệ thức cho hay chứng tỏ hệ thức điều kiện dấu bất đẳng thức Hệ thức tam giác cần ý a b c a Đònh lí hàm số sin:    2R sin A sin B sin C b Đònh lí hàm số cosin: a2 = b2 + c2 – 2bccosA; b2 = a2 + c2 – 2accosB c2 = a2 + b2 – 2abcosC 2b2  2c2  a2 A 2bc.cos d Đònh lí đường phân giác: la = bc c Đònh lí đường trung tuyến: m2a  e Diện tích tam giác: 1 abc S = a.ha = absinC = = pr = (p – a).ra = p(p  a)(p  b)(p  c) 2 4R A B C f Bán kính đường tròn nội tiếp: r = (p – a)tan = (p – b)tan = (p – c)tan 2 A g Bán kính đường tròn bàng tiếp: = p.tan B.ĐỀ THI 93 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bài 1: ĐỀ DỰ BỊ Tìm góc A, B, C tam giác ABC để biểu thức: Q = sin2A + sin2B  sin2C đạt giá trò nhỏ Giải 1 Ta có: Q  (1  cos2A)  (1  cos2B)  sin2C 2   cos(A  B).cos(A  B)  sin2 C = + cosC cos(A  B)  + cos2C = cos2C + cosC cos(A  B) 1   =  cosC  cos(A  B)   cos (A  B)   4   Vậy Qmin    A  B C  1200    1 cosC     A  B  30  Bài 2: ĐỀ DỰ BỊ Xác đònh hình dạng tam giác ABC, biết rằng:  p  a sin2 A   p  b  sin2 B  c.sin A.sin B Trong BC = a, CA = b, AB = c, p  abc Giải 2 (p – a)sin A + (p – b)sin B = c.sinA sinB  (p – a)a2 + (p – b)b2 = abc (đònh lý hàm sin)   p  a a  p  b b bc  ac  p  p  a a p  p  b  b  p bc ac  a(1 + cosA) + b(1 + cosB) = a + b + c ( p  p  a  bc  p.r b.c.tan A  abc a sin A  cosA )    4R b.c.tan A 4.R.tan A 2.tan A 2 2  acosA + bcosB = c  sin2A + sin2B = 2sinC  2sin(A + B).cos(A – B) = 2sinC  cos (A – B) =  A = B   ABC cân C Bài 3: ĐỀ DỰ BỊ Xét tam giác ABC có độ dài cạnh AB = c, BC = a, CA = b Tính diện tích tam giác ABC biết rằng: bsinC (bcosC + c.cosB) = 20 94 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN Giải Tính diện tích tam giác Từ b.sinC(b.cosC + c.cosB) = 20  4R2sinB.sinC(sinBcosC + sinC.cosB) = 20  4R2.sinB.sinC.sinA = 20 Ta có: S  (1) abc 8R3 sinA.sin B.sin C   2R2 sin A.sin B.sin C 4R 4R (2) Thế (1) vào (2)  S = 10 (đvdt) Bài 4: Gọi x, y, z khoảng cách từ điểm M thuộc miền ABC có góc nhọn đến cạnh BC, CA, AB Chứng minh rằng: x y z a2  b2  c2 Dấu “=” xảy nào? 2R (a, b, c cạnh ABC, R bán kính đường tròn ngoại tiếp) Giải Ta có: 2 a b c a b c a  b  c 2R 2R 2R 2R  VP  asinA  bsinB  csinC  a 2S 2S 2S b c   a b c  2S     bc ac ab  bc ac ab  Mặt khác ta có: 2S = ax + by + cz, đó: a2  b2  c2  a b c    ax  by  cz      2R  bc c ab  Ta có: Vậy a b c b      bc ac ab 2a  c (1) c  c a  a b        b  2b  a c  2c  b a  b c a b c 1         Vì    a b bc ac ab a b c   (2) Từ (1) (2) ta có: a2  b2  c2 1 1   ax  by  cz      2R a b c 1    ax  by  cz   b c  a  Suy ra: x y z  x y z  a2  b2  c2 2R 95 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com b c a c a b ABC đề u a  b  c       2 Dấu “=” xảy   c b c a b a   x  y  z M : trọ ng tâ m a x  b y  c z  Bài 5: Gọi A, B, C góc tam giác ABC, chứng minh để tam giác ABC điều kiện cần đủ là: cos2 A B C AB BC CA  cos2  cos2   cos cos cos 2 2 Giải A B C AB B C CA Ta có : cos2  cos2  cos2   cos cos cos 2 2  cos2 A B C AB BC CA  cos2  cos2   cos cos cos 2 2 2   cosA   cosB   cosC   cos   cosA  cosB  cosC  1  cos AB BC CA cos cos 2 AB BC CA cos cos 2 A B C   Ta bietá cosA + cosB + cosC  = 4sin sin sin  2 2  A B C AB BC CA  8sin sin sin  cos cos cos 2 2 2 Nhân hai vế cho 8cos A B C cos cos 2  8sinAsinBsinC = (sinA + sinB)(sinB + sinC)(sinC + sinA)  sinA = sinB = sinC (Cauchy có VP  VT)  A = B = C  ABC 96 ... KIỆN CÓ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC A PHƯƠNG PHÁP GIẢI  Phương trình Asinx + Bcosx = C có nghiệm  A2  B2  C2  Sử dụng phương pháp thường gặp đại số 91 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán... KHỐI A NĂM 2006 Giải phương trình: cos3x.cox3x – sin3x.sin3x = 23 Giải 3sin x  sin3x 3cosx  cos3x cos3x = 4cos3x – 3cosx  cos3 x  Từ phương trình cho tương đương với phương trình Ta có công... a để phương trình (1) có nghiệm a/ Giải phương trình (1) a = 92 (1) (a tham số) Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN Giải Tập xác đònh phương trình