phân dạng phương trình lượng giác

TRẦN SĨ TÙNG ›š & ›š TÀI LIỆU ƠN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG Năm 2011 Trần Sĩ Tùng Phương trình lượng giác CHƯƠNG ƠN TẬP CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC sin Định nghĩa giá trị lượng giác: tang I HỆ THỨC CƠ BẢN OP = cos a OQ = sin a AT = tan a BT ' = cot a Q O Nhận xét: B T T' cotang M a p A cosin · "a , - £ cos a £ 1; - £ sin a £ · tana xác định a ¹ p + kp , k Ỵ Z · cota xác định a ¹ kp , k Ỵ Z Dấu giá trị lượng giác: Cung phần tư I II II IV sina + + – – cosa + – – + tana + – + – cota + – + – Giá trị lượng giác Hệ thức bản: sin2a + cos2a = 1; tana.cota = 1 1 + tan a = ; + cot a = cos2 a sin a Cung liên kết: Cung đối Cung bù cos(-a ) = cos a sin(p - a ) = sin a sin(-a ) = - sin a cos(p - a ) = - cos a tan(-a ) = - tan a tan(p - a ) = - tan a cot(-a ) = - cot a cot(p - a ) = - cot a Trang Cung phụ ỉp sin ç - a ÷ = cos a è2 ø ỉp cos ç - a ÷ = sin a è2 ø ỉp tan ç - a ÷ = cot a è2 ø ỉp cot ç - a ÷ = tan a è2 ø Phương trình lượng giác Trần Sĩ Tùng p Cung p Cung sin(p + a ) = - sin a ỉp sin ç + a ÷ = cos a è2 ø cos(p + a ) = - cos a ỉp cos ç + a ÷ = - sin a è2 ø tan(p + a ) = tan a ỉp tan ç + a ÷ = - cot a è2 ø cot(p + a ) = cot a ỉp cot ç + a ÷ = - tan a è2 ø Bảng giá trị lượng giác góc (cung) đặc biệt p p p p 2p 3p p 3p 2p 00 300 450 600 900 1200 1350 1800 2700 3600 sin 2 3 2 –1 cos 2 2 –1 tan 3 3 3 cot - - 2 - –1 3 –1 - 0 II CƠNG THỨC CỘNG Cơng thức cộng: sin(a + b) = sin a cos b + sin b.cos a sin(a - b) = sin a.cos b - sin b.cos a cos(a + b) = cos a cos b - sin a.sin b cos(a - b) = cos a cos b + sin a.sin b Hệ quả: tan a + tan b - tan a.tan b tan a - tan b tan(a - b) = + tan a.tan b tan(a + b) = ỉp + tan a tan ç + a ÷ = , è4 ø - tan a ỉp - tan a tan ç - a ÷ = è4 ø + tan a Trang Trần Sĩ Tùng Phương trình lượng giác III CƠNG THỨC NHÂN Cơng thức nhân đơi: sin 2a = sin a cos a cos 2a = cos2 a - sin a = cos2 a - = - sin a tan 2a = tan a - tan a ; cot 2a = cot a - cot a Cơng thức hạ bậc Cơng thức nhân ba (*) - cos 2a + cos 2a cos a = cos 2a tan2 a = + cos 2a sin 3a = 3sin a - 4sin3 a cos 3a = cos3 a - 3cos a 3tan a - tan3 a tan 3a = - tan a sin a = Cơng thức biểu diễn sina, cosa, tana theo t = tan a : (*) a 2t Đặt: t = tan (a ¹ p + kp ) thì: sin a = ; + t2 cos a = - t2 1+ t ; tan a = IV CƠNG THỨC BIẾN ĐỔI Cơng thức biến đổi tổng thành tích: sin(a + b) cos a.cos b sin(a - b) tan a - tan b = cos a.cos b sin(a + b) cot a + cot b = sin a.sin b sin(b - a) cot a - cot b = sin a.sin b a+b a-b cos 2 a+b a-b cos a - cos b = - sin sin 2 a+b a-b sin a + sin b = 2sin cos 2 a+b a-b sin a - sin b = cos sin 2 cos a + cos b = cos tan a + tan b = ỉ ỉ pư pư sin a + cos a = 2.sin ç a + ÷ = 2.cos ç a - ÷ 4ø 4ø è è ỉ ỉ pư pư sin a - cosa = sin ç a - ÷ = - cos ça + ÷ è 4ø è 4ø Cơng thức biến đổi tích thành tổng: é cos(a - b) + cos(a + b)ùû 2ë sin a.sin b = éë cos(a - b) - cos(a + b)ùû sin a.cos b = éësin(a - b) + sin(a + b) ùû cos a.cos b = Trang 2t - t2 Phương trình lượng giác Trần Sĩ Tùng V HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC TẬP XÁC ĐỊNH, TẬP GIÁ TRỊ, TÍNH CHẴN – LẺ, CHU KỲ y = sin x : Tập xác định D = R; tập giá trị T = éë -1, 1ùû ; hàm lẻ, chu kỳ T0 = 2p 2p a * y = sin(ax + b) có chu kỳ T0 = * y = sin(f(x)) xác định Û f ( x ) xác định y = cos x : Tập xác định D = R; tập giá trị T = éë -1, 1ùû ; hàm chẵn, chu kỳ T0 = 2p 2p a * y = cos(ax + b) có chu kỳ T0 = * y = cos(f(x)) xác định Û f ( x ) xác định ìp ü y = tan x : Tập xác định D = R \ í + kp , k Ỵ Z ý ; tập giá trị T = R, hàm lẻ, chu kỳ T0 = p ỵ2 þ p a * y = tan(ax + b) có chu kỳ T0 = * y = tan(f(x)) xác định Û f ( x ) ¹ p + kp (k Ỵ Z ) y = cot x : Tập xác định D = R \ {kp , k Ỵ Z } ; tập giá trị T = R, hàm lẻ, chu kỳ T0 = p p a * y = cot(ax + b) có chu kỳ T0 = * y = cot(f(x)) xác định Û f ( x ) ¹ kp (k Ỵ Z ) * y = f1(x) có chu kỳ T1 ; y = f2(x) có chu kỳ T2 Thì hàm số y = f1 ( x ) ± f2 ( x ) có chu kỳ T0 bội chung nhỏ T1 T2 Trang Trần Sĩ Tùng Phương trình lượng giác CHƯƠNG I PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Phương trình sinx = sina é x = a + k 2p a) sin x = sin a Û ê (k Ỵ Z ) ë x = p - a + k 2p b) sin x = a Điều kiện : - £ a £ é x = arcsin a + k 2p sin x = a Û ê (k Ỵ Z ) ë x = p - arcsin a + k 2p c) sin u = - sin v Û sin u = sin(- v) ỉp d) sin u = cos v Û sin u = sin ç - v ÷ è2 ø ỉ pư e) sin u = - cos v Û sin u = sin ç v - ÷ è 2ø Các trường hợp đặc biệt: sin x = Û x = kp (k Ỵ Z ) sin x = Û x = p + k 2p (k Ỵ Z ) sin x = - Û x = - sin x = ± Û sin x = Û cos2 x = Û cos x = Û x = p + k 2p (k Ỵ Z ) p + kp (k Ỵ Z ) Phương trình cosx = cosa a) cos x b) cos x cos x c) cos u = cos a Û x = ± a + k 2p (k Ỵ Z ) = a Điều kiện : - £ a £ = a Û x = ± arccos a + k 2p (k Ỵ Z ) = - cos v Û cos u = cos(p - v) ỉp d) cos u = sin v Û cos u = cos ç - v ÷ è2 ø ỉp e) cos u = - sin v Û cos u = cos ç + v ÷ è2 ø Các trường hợp đặc biệt: p cos x = Û x = + kp (k Ỵ Z ) cos x = Û x = k 2p (k Ỵ Z ) cos x = - Û x = p + k 2p (k Ỵ Z ) cos x = ± Û cos2 x = Û sin x = Û sin x = Û x = kp (k Ỵ Z ) Trang Phương trình lượng giác Trần Sĩ Tùng Phương trình tanx = tana a) tan x = tan a Û x = a + kp (k Ỵ Z ) b) tan x = a Û x = arctan a + kp (k Ỵ Z ) c) tan u = - tan v Û tan u = tan(- v) ỉp d) tan u = cot v Û tan u = tan ç - v ÷ è2 ø ỉp e) tan u = - cot v Û tan u = tan ç + v ÷ è2 ø Các trường hợp đặc biệt: tan x = Û x = kp (k Ỵ Z ) tan x = ± Û x = ± p + kp (k Ỵ Z ) Phương trình cotx = cota cot x = cot a Û x = a + kp (k Ỵ Z ) cot x = a Û x = arccot a + kp (k Ỵ Z ) Các trường hợp đặc biệt: p cot x = Û x = + kp (k Ỵ Z ) cot x = ± Û x = ± p + kp (k Ỵ Z ) Một số điều cần ý: a) Khi giải phương trình có chứa hàm số tang, cotang, có mẫu số chứa bậc chẵn, thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định p * Phương trình chứa tanx điều kiện: x ¹ + kp (k Ỵ Z ) * Phương trình chứa cotx điều kiện: x ¹ kp (k Ỵ Z ) * Phương trình chứa tanx cotx điều kiện x ¹ k p (k Ỵ Z ) * Phương trình có mẫu số: · sin x ¹ Û x ¹ kp (k Ỵ Z ) p + kp (k Ỵ Z ) p · tan x ¹ Û x ¹ k (k Ỵ Z ) p · cot x ¹ Û x ¹ k (k Ỵ Z ) b) Khi tìm nghiệm phải kiểm tra điều kiện Ta thường dùng cách sau để kiểm tra điều kiện: Kiểm tra trực tiếp cách thay giá trị x vào biểu thức điều kiện Dùng đường tròn lượng giác Giải phương trình vơ định · cos x ¹ Û x ¹ Trang Trần Sĩ Tùng Phương trình lượng giác Bài Giải phương trình: ỉ pư 1) cos ç x + ÷ = 6ø è ỉ pư 4) sin ç x + ÷ = 3ø è 7) sin ( x + 1) = ỉ pư 2) cos ç x - ÷ = 3ø è ỉx pư 5) sin ç - ÷ = è2 4ø ( ) 8) cos x - 150 = ỉp 3) cos ç - x ÷ = -1 è5 ø ỉp 6) sin ç + x ÷ = -1 è6 ø 2 ỉx pư 9) sin ç - ÷ = è2 3ø ( ỉp 10) cos ç - x ÷ = 11) tan ( x - 1) = è6 ø ỉ ỉ pư pư 13) tan ç x + ÷ = -1 14) cot ç x - ÷ = 6ø 3ø è è Bài Giải phương trình: ) 12) cot x + 10 = 3 15) cos(2x + 250) = - 1) sin(3 x + 1) = sin( x - 2) ỉ ỉ pư pư 2) cos ç x - ÷ = cos ç x + ÷ 3ø 6ø è è 3) cos3 x = sin x ỉ ỉ pư pư 5) cos ç x + ÷ + cos ç x - ÷ = 3ø 3ø è è 4) sin( x - 120 ) + cos x = ỉp x 6) sin x + sin ç - ÷ = è 2ø ỉ ỉ pư pư 7) tan ç x - ÷ = tan ç x + ÷ 4ø 6ø è è ỉ ỉ pư pư 8) cot ç x - ÷ = cot ç x + ÷ 4ø 3ø è è 9) tan(2 x + 1) + cot x = 10) cos( x + x ) = 11) sin( x - x ) = 12) tan( x + x + 3) = tan 13) cot x = 14) sin x = ỉ pư 16) sin ç x - ÷ = cos2 x 4ø è Bài Giải phương trình: 1) cos3 x.tan x = sin x 15) cos x = 2) tan x tan x = 4) 3sin x - cos x = + 4sin3 x 3) cos x - cos x - cos x = 5) cos3 x.cos3 x + sin x.sin x = Bài Giải phương trình: 2 6) 1) cos x - sin x = 1 - cos x 3) tan x = - sin x Bài Giải biện luận phương trình: 1) (m - 1) sin x + - m = + = cos x cos x sin x 2) sin x + cos x = 4) cot x = tan x + sin x 2) sin m cos x = 4) (m + 1)sin x + - m2 = 3) (m - 4) tan x - m = Trang Phương trình lượng giác Trần Sĩ Tùng II PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SINX VÀ COSX Dạng: a.sinx +b.cosx = c (1) Cách 1: · Chia hai vế phương trình cho a + b2 ta được: a b c (1) Û sin x + cos x = a + b2 a2 + b2 a2 + b2 a b · Đặt: sin a = , cos a = (a Ỵ éë0, 2p ùû) 2 2 a +b a +b c (1) trở thành: sin a sin x + cos a cos x = a2 + b2 c Û cos( x - a ) = = cos b (2) a + b2 · Điều kiện để phương trình (2) có nghiệm là: c £ Û a + b2 ³ c 2 a +b · (2) Û x = a ± b + k 2p (k Ỵ Z ) Cách 2: x p = + kp có nghiệm hay khơng? 2 x b) Xét x ¹ p + k 2p Û cos ¹ x 2t - t2 Đặt: t = tan , thay sin x = , cos x = , ta phương trình bậc hai theo t: + t2 + t2 a) Xét x = p + k 2p Û (b + c)t - 2at + c - b = (3) Vì x ¹ p + k 2p Û b + c ¹ 0, nên (3) có nghiệm khi: D ' = a - (c - b ) ³ Û a + b ³ c Giải (3), với nghiệm t0, ta có phương trình: tan x = t0 Ghi chú: 1) Cách thường dùng để giải biện luận 2) Cho dù cách hay cách điều kiện để phương trình có nghiệm: a2 + b2 ³ c2 3) Bất đẳng thức B.C.S: y = a.sin x + b.cos x £ a2 + b2 sin x + cos2 x = a + b2 Û y = - a2 + b2 max y = a2 + b2 Û Trang sin x cos x a = Û tan x = a b b Trần Sĩ Tùng Phương trình lượng giác Bài Giải phương trình sau: 2) sin x + cos x = 1) cos x + sin x = cos3 x + sin x = ỉp 5) sin x + sin ç + x ÷ = è2 ø Bài Giải phương trình sau: 4) sin x + cos x = sin x 3) 6) ( - 1) sin x - ( + 1) cos x + - = 2) sin x - cos x = ( sin x + cos8 x ) 1) 2sin x + sin x = 3) cos x = + sin x cos x ỉp 4) cos x - sin x = cos ç - x ÷ è3 ø 6) cos x - sin x = 3(cos x - sin x ) 5) sin x + cos x = cos13 x 7) sin x - cos x = 3(sin x + cos8 x ) Bài Giải phương trình sau: 1) (3 cos x - sin x - 6)2 + + 3(3 cos x - sin x - 6) = 2) (4 sin x - cos x ) - 13(4 sin x - cos x ) + 42 = +8= 3) 12 cos x + sin x + 12 cos x + sin x + 14 4) cos x + 4sin x + =6 3cos x + 4sin x + Bài Giải phương trình sau: 1) 3sin x - cos x = 3) cos x + 4sin x = -1 5) sin x - cos x = 7) sin x + cos x = 13 sin 14 x Bài Giải phương trình sau: 2) cos x + sin x - = 4) 2sin x - cos x = 6) sin x + cos x = 8) cos x + sin x = ỉ ỉ ỉ pư pư pư 1) 2sin ç x + ÷ + sin ç x - ÷ = 2) cos x + sin x + sin ç x - ÷ = 2 è 4ø è 4ø è 6ø Bài Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 1) (m + 2)sin x + m cos x = 2) (m + 1) cos x + (m - 1)sin x = 2m + 3 sin x + sin x = m Bài Tìm m để phương trình sau vơ nghiệm: 1) (2 m –1)sin x + (m – 1) cos x = m – 2) sin x + m cos x = 3) (m - 1)sin x + m cos x = m 4) + sin x số ngun + cos x Bài Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số sau: 1) y = (2 - ) sin x + cos x 2) y = (sin x - cos x ) + cos x + sin x cos x Bài Tìm x cho y = sin x + cos x + cos x + sin x + 4) y = cos x - sin x + sin x + cos x + Bài 10 Tìm giá trị a để phương trình có nghiệm x ra: 3) y = 1) (cos a + sin a - ) x + ( cos a - sin a - 2) x + sin a - cos a + = ; x0 = 2) (2 sin a - cos a + 1) x - ( sin a ) x + cos a - (3 - ) sin a = ; x0 = Trang Trần Sĩ Tùng Dạng: Phương trình lượng giác VẤN ĐỀ 2: PHƯƠNG PHÁP TỔNG HAI SỐ KHƠNG ÂM ì A ³ 0; B ³ ìA = í A + B = Û íB = ỵ ỵ Đặc biệt: ìA = · A2 + B2 = Û í ỵB = ì ì ìA =1 · í A £ 1, B £ Û í A £ 1, B £ Ûí ỵB = ỵA + B = ỵ(1 - A) + (1 - B) = cos x - cos x + 4(3sin x - sin x + 1) = (*) ì p x = + kp ï p ì (*) Û cos2 x + (sin x + 1)2 = Û ícos x = Û í Û x = + l 2p ỵsin x = -1 ï x = - p + k 2p ỵ Ví dụ: Giải phương trình: Bài Giải phương trình sau: 1) sin x + sin x = sin x.sin x 2) sin x + sin x = sin x.sin x 3) cos2 x + tan x - cos x + tan x + = 4) cos x - cos x + 4(3sin x - sin x + 1) = Bài Giải phương trình sau: 2x 1) sin x + sin -2 = 2) sin x - cos2 x = 4) sin x.cos8 x = 3) sin x(cos x + cos x + cos x ) = 5) sin x + cos x = -2 6) sin3 x + cos3 x = 7) sin x + sin x + 3sin x + 4sin x = 10 Bài Giải phương trình sau: 1) Trang 15 Phương trình lượng giác Trần Sĩ Tùng VẤN ĐỀ 3: PHƯƠNG PHÁP ĐỐI LẬP ìA ³ M ï ìA = M Dạng: íB £ M Û í ỵB = M ïỵ A = B Để sử dụng phương pháp ta cần chứng minh bất đẳng thức: A ³ M B £ M Chú ý: Các bất đẳng thức thường dùng: · Bất đẳng thức lượng giác bản: -1 £ sin x , cos x £ 1; £ sin x, cos2 x £ · Bất đẳng thức Cơ–si: Với a, b ³ 0, ta có: a + b ³ ab · Bất đẳng thức Bu-nhia-cốp-xki: Với cặp số (a, b) (x, y) ta có: (ax + by )2 £ (a2 + b2 )( x + y ) (a + b)2 £ 2(a2 + b2 ) Đặc biệt: Ví dụ: Giải phương trình: sin x + cos x = 2(2 - sin x ) (*) ỉ pư sin x + cos x = sin ç x + ÷ £ è 4ø · Ta có: 2(2 - sin x ) = [1 + (1 - sin x )] ³ ì p ì ỉ pư x = + k 2p ïsin ç x + ÷ = ï (*) Û í è (vơ nghiệm) Ûí 4ø p ïỵsin x = ï x = + l 2p ỵ Do đó: Bài Giải phương trình sau: 1) sin x + cos x = 2(2 - sin x ) + sin x = sin x + cos x Bài Giải phương trình sau: 3) 2) (cos x - cos x )2 = + sin x 4) + cos2 x = sin x - cos3 x 1) sin x + - sin x = + + cos x 2) cos3 x + - cos2 x = 2(1 + sin 2 x ) 3) p sin x = cos x 5) x = sin x 4) sin x 6) cos x = x + 2- x x2 + x = x + 2- x 7) cos Bài Giải phương trình sau: 1) cos(p x ) = x - x + Trang 16 = cos x Trần Sĩ Tùng Dạng: Phương trình lượng giác VẤN ĐỀ 4: PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG ì A £ M, B £ N ìA = M í A + B = M + N Û íB = N ỵ ỵ Ví dụ: Giải phương trình: (*) cos7 x + sin x = ìïcos7 x £ cos2 x ìïcos7 x = cos2 x Suy ra: (*) · Ta có: í Û í 2 ïỵsin x £ sin x ïỵsin x = sin x é cos x = Phương trình (1) cho ta ê ë cos x = – Khi cos x = sin x = ±1 : nghiệm phương trình (2) – Khi cos x = sin x = : nghiệm phương trình (2) é p é cos x = x kp Vậy (*) Û ê Ûê = 2+ = cos x ê ë ë x = k 2p (1) (2) Bài Giải phương trình sau: 1) sin x + cos15 x = 2) sin3 x + cos3 x = - sin x 3) cos13 x + sin14 x = Bài Giải phương trình sau: 1) Trang 17 Phương trình lượng giác Trần Sĩ Tùng VẤN ĐỀ 5: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ · Dự đốn nghiệm sử dụng tính đơn điệu hàm số để chứng minh phương trình có nghiệm · Cho hàm số y = f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) khoảng (a; b) Khi đó, với a, b Ỵ (a; b) ta có: f(a) = f(b) Û a = b Chú ý: Trong số trường hợp, ta cần phải dựa vào bảng biến thiên để nhận xét Bài Giải phương trình sau: 1) cos x = + x 3) cos x = - x2 2) sin x = x é pù 4) 2sin x = cos x , x Ỵ ê 0; ú ë 2û p Bài Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 5) sin x + tan x - x = 0, £ x < 1) cos2 x + (1 - m ) cos x + m - 1, x Ỵ (0; p ) ỉ pư 1ỉ 1 2) sin x + cos x + + ç tan x + cot x + + ÷ = m, x Ỵ ç 0; ÷ 2è sin x cos x ø è 2ø 3) sin x + 4(cos x - sin x ) = m 4) sin x + cos6 x = m(sin x + cos x ) Bài Giải phương trình sau: 1) Trang 18 Trần Sĩ Tùng Phương trình lượng giác VI BÀI TẬP ƠN Bài Giải phương trình sau: sin x sin x 1) + tan x = tan x (1 - tan x ) 2) 8.cos x cos x cos x = 3) cos x.cos x.cos x + = 4) sin x - 2sin x - sin x = 2 5) cos x - cos x + sin x = 6) cos2 x - cos x - x.sin x + x + = p p p p +k 2) x = + k 14 4) vơ nghiệm 5) x = kp Bài Giải phương trình sau: ĐS: 1) x = 3) x = p + k 2p ; x = 6) x = 2) sin3 x + cos3 x = 1) tan x.tan x = p + kp 2 x 3x x 3x + cos x - sin x x = 4) = - tan 3) cos x cos cos - sin x sin sin 2 2 3cos x + - sin x 2 x 5cos4 5) - sin x + tan x = 6) log (1 + cos x ) = 2 sin x cos x p p p p -1 2) x = + k 2p ; x = + a + k 2p , cos a = ĐS: 1) x = + k 18 4 p p p 5p 3) x = - + kp ; x = - + k 2p ; x = + k 2p ; x = + k 2p 6 4) x = k 2p ; x = 2a + k 2p (tan a = - 1); x = -2 b + k 2p (tgb = + 1) 6) x = 5) vơ nghiệm Bài Giải phương trình sau: p + k2p 1) tan x + tan x = tan x 2) cos3 x cos x + = cos3 x cos x + 12 cos x 3) sin3 x + cos3 x = - sin x x x x p 3p 4) sin - cos = - sin x thỏa - £ 2 2 5) + log3 cos x 32 + 6= + log sin x ĐS: 1) x = kp ; x = ± 6) sin1994 x + cos1994 x = p p +k 12 2) x = p + k 2p ; x = ±a + l 2p , cos a = p p 5p 5p + k2p 4) x = , p , 2p , 5) x = + k 2p 2 12 Bài Giải phương trình sau: 3) x = 1) sin x - 2sin x = sin x cos x 2) cos13 x + 3(cos x + cos3 x ) = 8cos x cos3 x 3) + cos x + cos x + cos3 x 2 cos x + cos x - = 2- sin x 4) sin x.tan x + 3(sin x - tan x ) = 3 thỏa + log x £ 2 5) cot x + cos x - cot x - cos x + = Trang 19 6) x = k p 2 -1 Phương trình lượng giác Trần Sĩ Tùng p 2p p + k 2p ; x = + k 2p 2) x = k 3 12 p p p 5) x = + k2p 4) x = - + k , k ³ Bài Tìm m để phương trình: 1) sin x = m.sin x có nghiệm x ¹ kp (k Ỵ Z ) ĐS: 1) x = kp ; x = 3) x = k2p ỉ pư 1ỉ 1 2) sin x + cos x + + ç tan x + cot x + + ÷ = m có nghiệm x Ỵ ç 0; ÷ 2è sin x cos x ø è 2ø 3) sin x - 1)(2 cos x + sin x + m) = - cos2 x có nghiệm thuộc [ 0; p ] 4) cos x + (1 - cos x )4 = m vơ nghiệm 5) cos3 x + sin x = m.sin x.cos x có nghiệm 6) sin x + sin x - m.cos2 x = có nghiệm £m 17 5) "m Ỵ R 18 Bài Tìm m để phương trình: ĐS: 1) - 3) m < - hay m > hay m = 6) m ³ é p pù 1) cos2 x + sin x = m có nghiệm thuộc đoạn ê - ; ú ë 4û 2) sin x - cos x + 4sin x = m có nghiệm 3) + cos x + + 2sin x = m có nghiệm ĐS: 1) 2) -4 £ m £ Bài Giải phương trình sau: 65 3) + £ m £ + 16 1) Trang 20 Trần Sĩ Tùng Phương trình lượng giác ĐỀ THI ĐẠI HỌC Bài (ĐH 2002A) Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2p ) phương trình: ỉ cos3 x + sin x ç sin x + ÷ = cos x + + sin x ø è ì é p p x = ï x ¹ - 12 + mp ê PT Û 5cos x = cos x + Û cos x = Û ê HD: Điều kiện: í p ïx ¹ êx = p + np 12 ỵ ë Bài (ĐH 2002B) Giải phương trình: sin x - cos2 x = sin x - cos2 x é p êx = k HD: PT Û cos x.sin x.sin x = Û sin x.sin x = Û ê êx = k p êë Bài (ĐH 2002D) Tìm x thuộc đoạn [0; 14] nghiệm phương trình: cos x - cos x + cos x - = p 3p 5p 7p HD: PT Û cos2 x (cos x - 2) = Û cos x = Û x = ; x = ;x = ;x = 2 2 2sin x + cos x + Bài (ĐH 2002A–db1) Cho phương trình: = a (a tham số) sin x - cos x + 1 Giải phương trình a = Tìm a để phương trình có nghiệm p HD: 1) x = - + kp 2) - £ a £ (Đưa PT bậc sinx cosx) ỉ xư Bài (ĐH 2002A–db2) Giải phương trình: tan x + cos x - cos2 x = sin x ç + tan x.tan ÷ è 2ø x ìcos x ¹ HD: x = k2p Chú ý: Điều kiện: í + tan x.tan = cos x ỵcos x ¹ -1 Bài (ĐH 2002B–db1) Giải phương trình: tan x + = ( - sin2 x ) sin x cos x p 2p 5p 2p HD: Điều kiện: cosx ¹ PT Û sin x = Û x = + k ;x= +k 18 18 sin x + cos x 1 Bài (ĐH 2002B–db2) Giải phương trình: = cot x 5sin x 8sin x p HD: Điều kiện: sin2x ¹ PT Û cos2 x - cos x + = Û x = ± + kp Bài (ĐH 2002D–db1) Giải phương trình: = sin x 8cos2 x ìcos x ¹ HD: Điều kiện: í ỵsin x > p 3p 5p 7p PT Û x = + k 2p ; x = + k 2p ; x = + k 2p ; x = + k 2p 8 8 Bài (ĐH 2002D–db2) Xác định m để phương trình: Trang 21 Phương trình lượng giác Trần Sĩ Tùng ( sin x + cos x ) + cos x + sin x - m = (*) é pù có nghiệm thuộc đoạn ê 0; ú ë 2û 10 HD: - £ m £ -2 é pù Đặt t = sin2x (*) có nghiệm thuộc ê 0; ú Û f (t ) = 3t - 2t = m + có nghiệm tỴ[0;1] ë 2û cos x Bài 10 (ĐH 2003A) Giải phương trình: cot x - = + sin x - sin x + tan x HD: Điều kiện: sin x ¹ 0, cos x ¹ 0, tan x ¹ -1 p + kp Bài 11 (ĐH 2003B) Giải phương trình: cot x - tan x + 4sin x = sin x p ìsin x ¹ HD: Điều kiện: í PT Û cos2 x - cos x - = Û x = ± + kp ỵcos x ¹ ỉx pư x Bài 12 (ĐH 2003D) Giải phương trình: sin ç - ÷ tan x - cos2 = è2 4ø HD: Điều kiện: cos x ¹ é x = p + k 2p PT Û (1 - sin x )(1 + cos x )(sin x + cos x ) = Û ê p ê x = - + kp ë PT Û (cos x - sin x )(1 - sin x.cos x + sin x ) = Û x = Bài 13 (ĐH 2003A–db1) Giải phương trình: cos x + cos x ( tan x - 1) = HD: Điều kiện: cosx ¹ p + k 2p Bài 14 (ĐH 2003A–db2) Giải phương trình: - tan x ( tan x + sin x ) + cos x = p HD: Điều kiện: cosx ¹ PT Û (1 + cos x )(3 cos2 x - sin x ) = Û x = ± + kp PT Û (1 + cos x )(2 cos2 x - 5cos x + 2) = Û x = (2k + 1)p , x = ± Bài 15 (ĐH 2003B–db1) Giải phương trình: cos x - cos6 x + cos2 x + = p p + k , x = kp ( - ) cos x - 2sin2 ỉç x - p ư÷ è ø = Bài 16 (ĐH 2003B–db2) Giải phương trình: cos x - 1 p HD: Điều kiện: cos x ¹ PT Û - cos x + sin x = Û x = + (2k + 1)p ( cos x cos x - 1) Bài 17 (ĐH 2003D–db1) Giải phương trình: = 2(1 + sin x ) sin x + cos x ỉ pư HD: Điều kiện: sin ç x + ÷ ¹ è 4ø p PT Û (1 + sin x )2 (1 + cos x ) = Û x = - + kp , x = p + k 2p HD: PT Û cos x (-2 cos x + 5cos2 x - 3) = Û x = Trang 22 Trần Sĩ Tùng Phương trình lượng giác Bài 18 (ĐH 2003D–db2) Giải phương trình: cot x = tan x + cos x sin x HD: Điều kiện: sin2x ¹ PT Û cos2 x - cos x - = Û x = ± p + kp Bài 19 (ĐH 2004B) Giải phương trình: 5sin x - = 3(1 - sin x ) tan x é p x = + k 2p ê HD: Điều kiện: cos x ¹ PT Û 2sin x + 3sin x - = Û ê ê x = p + k 2p ë Bài 20 (ĐH 2004D) Giải phương trình: (2 cos x - 1)(2sin x + cos x ) = sin x - sin x é p ê x = ± + k 2p HD: PT Û (2 cos x - 1)(sin x + cos x ) = Û ê ê x = - p + kp ë Bài 21 (ĐH 2004A–db1) Giải phương trình: ( sin3 x + cos3 x ) = cos x + 3sin x HD: PT Û tan3 x - tan x - 3tan x + = Û x = Bài 22 (ĐH 2004A–db2) Giải phương trình: ìïu = - sin x HD: Đặt í PT Û ïỵv = - cos x p Û x = + k 2p ; x = k 2p p p + kp ; x = ± + kp - sin x + - cos x = ìu + v = ìu = ìu = Ûí í í 2 2 ỵv = ỵv = ỵ(1 - u ) + (1 - v ) = ỉ è Bài 23 (ĐH 2004B–db1) Giải phương trình: 2 cos ç x + pư 1 = ÷+ ø sin x cos x p ìsin x ¹ HD: Điều kiện: í PT Û (cos x - sin x )(1 + sin x ) = Û x = ± + kp ỵcos x ¹ Bài 24 (ĐH 2004B–db2) Giải phương trình: sin x sin x = cos3 x cos x p p p HD: x = + k ; x = + kp 20 10 Bài 25 (ĐH 2004D–db1) Giải phương trình: 2sin x cos x + sin x.cos x = sin x cos x p HD: PT Û sin x (cos x - 1) = Û x = k Bài 26 (ĐH 2004D–db2) Giải phương trình: sin x + sin x = 3(cos x + cos x ) HD: PT Û x = p + k 2p ; x = 2p 2p +k Bài 27 (ĐH 2005A) Giải phương trình: cos2 x.cos x - cos2 x = p Bài 28 (ĐH 2005B) Giải phương trình: + sin x + cos x + sin x + cos x = p 2p HD: PT Û (sin x + cos x )(2 cos x + 1) = Û x = - + kp ; x = ± + k 2p ỉ pư ỉ pư Bài 29 (ĐH 2005D) Giải phương trình: cos x + sin x + cos ç x - ÷ sin ç x - ÷ - = è 4ø è 4ø HD: PT Û cos2 x + cos x - = Û x = k Trang 23 Phương trình lượng giác Trần Sĩ Tùng p + kp Bài 30 (ĐH 2005A–db1) Tìm nghiệm khoảng (0; p ) phương trình: ỉ x 3p 4sin - cos x = + cos2 ç x ÷ è ø ỉ pư 5p 17p 5p HD: PT Û cos ç x + ÷ = cos(p - x ) Û x = ;x= ; x= è 6ø 18 18 pư 3ỉ Bài 31 (ĐH 2005A–db2) Giải phương trình: 2 cos ç x - ÷ - cos x - sin x = è 4ø HD: PT Û sin 2 x + sin x - = Û x = HD: PT Û cos3 x + sin x + 3cos2 x.sin x + 3cos x.sin x - 3cos x - sin x = Xét trường hợp: ìcos x = p a) Nếu cos x = PT Û í Û x = + kp ỵsin x - sin x = b) Nếu cos x ¹ ta chia vế PT cho cos3 x p ìcos x ¹ Khi đó: PT Û í Û x = + kp ỵtan x = p p Vậy: PT có nghiệm: x = + kp x = + kp Bài 32 (ĐH 2005B–db1) Giải phương trình : sin x.cos x + cos2 x ( tan x - 1) + 2sin3 x = é p x = + k 2p ê HD: Điều kiện: cos x ¹ PT Û 2sin x + sin x - = Û ê p êx = + k 2p ë ỉp cos x - Bài 33 (ĐH 2005B–db2) Giải phương trình : tan ç + x ÷ - 3tan x = è2 ø cos2 x p HD: Điều kiện: cos x ¹ PT Û tan3 x = -1 Û x = - + kp ỉ 3p sin x Bài 34 (ĐH 2005D–db1) Giải phương trình: tan ç - x÷+ =2 è ø + cos x é p ê x = + k 2p HD: Điều kiện: sin x ¹ PT Û 2sin x = Û ê p êx = + k 2p ë Bài 35 (ĐH 2005D–db2) Giải phương trình: sin x + cos x + 3sin x - cos x - = é p ê x = + k 2p é ê 5p êsin x = ê HD: PT Û (2 sin x - 1)(sin x - cos x - 1) = Û ê Û ê x = + k 2p êsin ỉ x - p = ê p ÷ êë çè 4ø ê x = + k 2p ê x = p + k 2p ë Bài 36 (ĐH 2006A) Giải phương trình: ( cos6 x + sin x ) - sin x cos x - 2sin x Trang 24 =0 Trần Sĩ Tùng Phương trình lượng giác p PT Û 3sin 2 x + sin x - = Û x = + kp 5p Đối chiếu điều kiện, kết luận PT có nghiệm: x = + 2mp ỉ xư Bài 37 (ĐH 2006B) Giải phương trình: cot x + sin x ç + tan x tan ÷ = è 2ø x HD: Điều kiện: sin x ¹ 0, cos x ¹ 0, cos ¹ é p ê x = 12 + kp cos x sin x PT Û + = Û sin x = Û ê sin x cos x ê x = 5p + kp ë 12 Bài 38 (ĐH 2006D) Giải phương trình: cos x + cos x - cos x - = é x = kp HD: PT Û sin x(2 cos x + 1) = Û ê 2p + k 2p êx = ± ë HD: Điều kiện: sin x ¹ Bài 39 (ĐH 2006A–db1) Giải phương trình: HD: PT Û cos x = cos3 x.cos3 x - sin x.sin x = 2+3 p p Û x =± +k 16 ỉ pư 2sin ç x - ÷ + 4sin x + = è 6ø é x = kp cos x + sin x + ) = Û ê 7p + k 2p êx = ë Bài 40 (ĐH 2006A–db2) Giải phương trình: HD: PT Û sin x ( ( 2sin2 x - 1) tan2 x + ( cos2 x - 1) = p p Điều kiện: cos x ¹ PT Û cos x ( tan 2 x - ) = Û x = ± + k Bài 41 (ĐH 2006B–db1) Giải phương trình: HD: Bài 42 (ĐH 2006B–db2) Giải phương trình: cos x + (1 + cos x )(sin x - cos x ) = é p ê x = + kp ê p HD: PT Û (sin x - cos x )(cos x - sin x + 1) = Û ê x = + k 2p ê êë x = p + k 2p cos3 x + sin x + sin x = é p ê x = - + kp HD: PT Û (cos x + sin x )(1 - cos x )(sin x + 1) = Û êê x = k 2p ê x = - p + k 2p êë Bài 43 (ĐH 2006D–db1) Giải phương trình: 4sin3 x + 4sin x + 3sin x + cos x = é p x = - + k 2p ê HD: PT Û (sin x + 1)(-2 cos2 x + 3cos x + 2) = Û ê p êx = ± + k 2p ë Bài 44 (ĐH 2006D–db2) Giải phương trình: Trang 25 Phương trình lượng giác Bài 45 (ĐH 2007A) Giải phương trình: Trần Sĩ Tùng (1 + sin2 x ) cos x + (1 + cos2 x ) sin x = + sin x é p ê x = - + kp ê p HD: PT Û (sin x + cos x )(1 - sin x )(1 - cos x ) = Û ê x = + k 2p ê ëê x = k 2p 2sin 2 x + sin x - = sin x é p p êx = + k ê p 2p HD: PT Û cos x ( 2sin x - 1) = ) Û ê x = + k ê 18 ê 5p 2p êë x = 18 + k Bài 46 (ĐH 2007B) Giải phương trình: ỉ x xư Bài 47 (ĐH 2007D) Giải phương trình: ç sin + cos ÷ + cos x = è 2ø é p ê x = + k 2p ỉ pư HD: PT Û + sin x + cos x = Û cos ç x - ÷ = Û ê è 6ø ê x = - p + k 2p ë 1 = cot x Bài 48 (ĐH 2007A–db1) Giải phương trình: sin x + sin x sin x sin x p p HD: Điều kiện sin x ¹ PT Û cos x ( cos2 x + cos x + 1) = Û x = + k Bài 49 (ĐH 2007A–db2) Giải phương trình: cos2 x + sin x cos x + = 3(sin x + cos x ) ỉ ỉ pư pư 2p HD: PT Û cos2 ç x - ÷ - 3cos ç x - ÷ = Û x = + kp è è 6ø 6ø ỉ 5x p ỉx p 3x Bài 50 (ĐH 2007B–db1) Giải phương trình: sin ç - ÷ - cos ç - ÷ = cos è 4ø è2 4ø é p 2p êx = + k ê ỉ 3x ỉ pư p HD: PT Û cos ç cos ç x + ÷ + ÷ = Û ê x = + k 2p è 4ø ê è ø ëê x = p + k 2p sin x cos x + = tan x - cot x cos x sin x p HD: Điều kiện: sin x ¹ PT Û cos x = - cos x Û x = ± + k2p ỉ p Bài 52 (ĐH 2007D–db1) Giải phương trình: 2 sin ç x - ÷ cos x = 12 ø è Bài 51 (ĐH 2007B–db2) Giải phương trình: ỉ p p p p 5p HD: PT Û sin ç x - ÷ = cos = sin Û x = + kp hay x = + kp 12 ø 12 12 è Bài 53 (ĐH 2007D–db2) Giải phương trình: (1 – tan x )(1 + sin x ) = + tan x Trang 26 Trần Sĩ Tùng Phương trình lượng giác é p HD: Điều kiện: cos x ¹ PT Û (cos x + sin x )(cos x - 1) = Û ê x = - + kp ê = ë x kp ỉ 7p 1 Bài 54 (ĐH 2008A) Giải phương trình: + = sin ç - x÷ sin x è ø ỉ 3p sin ç x ÷ è ø ỉ 3p HD: Điều kiện: sin x ¹ 0, sin ç x ÷¹0 è ø é p ê x = - + kp ê ỉ p PT Û (sin x + cos x ) ç + 2 ÷ = Û ê x = - + kp ê è sin x cos x ø ê 5p êë x = + kp sin3 x - cos3 x = sin x cos2 x - sin x cos x p p p HD: PT cos x ( sin x + cos x ) = Û x = + k ; x = - + kp Bài 56 (ĐH 2008D) Giải phương trình: 2sin x (1 + cos x ) + sin x = + cos x Bài 55 (ĐH 2008B) Giải phương trình: 2p p + k 2p ; x = + kp Bài 57 (ĐH 2008A–db1) Tìm nghiệm khoảng (0; p ) phương trình: ỉ x 3p 4sin - cos x = + cos2 ç x ÷ è ø ỉ pư HD: PT Û -2 cos x = cos x - sin x Û cos ç x + ÷ = cos (p - x ) 6ø è HD: PT Û (2 cos x + 1)(sin x - 1) = Û x = ± 5p 2p 7p +k hay x = + h2p 18 5p 17p 5p Do x Ỵ (0; p ) nên chọn x = ; x= ; x= 18 18 ỉ pư Bài 58 (ĐH 2008A–db2) Giải phương trình: 2 cos3 ç x - ÷ - cos x - sin x = è 4ø Û x= HD: PT Û cos3 x + sin x + 3cos2 x.sin x + 3cos x.sin x - 3cos x - sin x = Xét trường hợp: ìcos x = p a) Nếu cos x = PT Û í Û x = + kp ỵsin x - sin x = b) Nếu cos x ¹ ta chia vế PT cho cos3 x p ìcos x ¹ Khi đó: PT Û í Û x = + kp ỵtan x = p p Vậy: PT có nghiệm: x = + kp x = + kp Bài 59 (ĐH 2008B–db1) Giải phương trình: sin x cos x + cos2 x ( tan x - 1) + sin x = HD: Điều kiện: cos x ¹ Û x ¹ p + kp Trang 27 Phương trình lượng giác Trần Sĩ Tùng p 5p + k 2p ; x = + k 2p 6 ỉp cos x - Bài 60 (ĐH 2008B–db2) Giải phương trình: tan ç + x ÷ - 3tan x = è2 ø cos2 x p HD: Điều kiện: cos x ¹ PT Û tan3 x = -1 Û x = - + kp ỉ 3p sin x Bài 61 (ĐH 2008D–db1) Giải phương trình: tan ç - x÷+ = è ø + cos x é p ê x = + k 2p HD: Điều kiện: sin x ¹ PT Û (cos x + 1)(2 sin x - 1) = Û ê ê x = 5p + k 2p ë Bài 62 (ĐH 2008D–db2) Giải phương trình: sin x + cos x + 3sin x - cos x - = é êsin x = HD: PT Û (2 sin x - 1)(sin x - cos x - 1) = Û ê êsin ỉ x - p = ç ÷ 4ø ëê è p 5p p Û x = + k 2p ; x = + k 2p ; x = + k 2p ; x = p + k 2p 6 (1 - 2sin x ) cos x Bài 63 (ĐH 2009A) Giải phương trình: = (1 + 2sin x )(1 - sin x ) HD: Điều kiện: sin x ¹ 1, sin x ¹ - ỉ ỉ pư pư PT Û cos x - sin x = sin x + cos x Û cos ç x + ÷ = cos ç x - ÷ è 3ø è 6ø p 2p Û x = - +k 18 PT Û 2sin x + sin x - = Û x = sin x + cos x.sin x + cos x = ( cos x + sin x ) é p ê x = - + k 2p ỉ pư HD: PT Û sin x + cos3 x = cos x Û cos ç x - ÷ = cos x Û ê è 6ø ê x = p + k 2p ë 42 Bài 64 (ĐH 2009B) Giải phương trình: cos x - sin x cos x - sin x = é p p ê x = 18 + k ỉp HD: PT Û cos x - sin x = sin x Û sin ç - x ÷ = sin x Û ê p p 2 è3 ø êx = - + k ë ỉ pư (1 + sin x + cos x )sin ç x + ÷ è ø = cos x Bài 66 (ĐH 2010A) Giải phương trình: + tan x HD: Điều kiện: cos x ¹ 0; + tan x ¹ Bài 65 (ĐH 2009D) Giải phương trình: PT Û sin x + cos x = Û x = Bài 67 (ĐH 2010B) Giải phương trình: p 7p + k 2p ; x = + k 2p 6 (sin x + cos x ) cos x + cos x - sin x = Trang 28 Trần Sĩ Tùng Phương trình lượng giác p p +k Bài 68 (ĐH 2010D) Giải phương trình: sin x - cos x + 3sin x - cos x - = p 5p HD: PT Û (2 sin x - 1)(cos x + sin x + 2) = Û x = + k 2p ; x = + k 2p 6 Bài 69 (ĐH 2011A) HD: PT Û (sin x + cos x + 2) cos x = Û x = Trang 29 ... chu kỳ T0 bội chung nhỏ T1 T2 Trang Trần Sĩ Tùng Phương trình lượng giác CHƯƠNG I PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Phương trình sinx = sina é x = a + k 2p a) sin x = sin... Tùng Phương trình lượng giác VI MỘT SỐ CÁCH GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG MẪU MỰC VẤN ĐỀ 1: PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH éA = Dạng: A.B = Û ê ëB = Một phương pháp thường sử dụng để giải phương. .. phương trình sau ln có nghiệm với m: sin x + cos x + m sin x.cos x = Bài Giải phương trình : sin x + sin ç x + Trang 10 Trần Sĩ Tùng Phương trình lượng giác IV PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI DẠNG: