1 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC DOÃN XUÂN HUY-THPT ÂN THI- HƯNG YÊN PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC MỘT SỐ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1) 2 + 2 = 1 2 = 1 2 ; 2 = 1 2 . 2) . = 1 = 1 .3) 1 + 2 = 1 2 .4) 1 + 2 = 1 2 .5) = .6) = .7) cos ± = cos .8) sin ± = ± .9) tan ± = (± ) (1 ) .10) 2 = 2 = 2 2 .11) 2 = 2 2 = 2 2 1 = 1 2 2 2 = (1 2) 2 ; 2 = (1 + 2) 2 .12) 3 = 3 4 3 3 = (33) 4 .13) 3 = 4 3 3 3 = (3+ 3 ) 4 .14) cos = cos + + cos 2 .15) = cos cos + 2 .16) = sin + + sin 2 .17) = sin + sin 2 . 18) cos + = 2 + 2 2 .19) = 2 + 2 2 . 20)+ = 2 + 2 2 . 21) = 2 + 2 2 22)± = sin(± ) .23) + = 2 2 24) = 22 . 25) + = 2 + 2 (+ ) 26) ± 3 = 2 sin ± 3 . 27) 3± = 2 sin ± 6 28) ± = 2 sin ± 4 ; 29) ± = 2cos( 4 ) 30) (± ) 2 = 1 ± 2 = ± (± ) 2 1 2 31) = ; = ; tan() = 32) = ; = ; = 33) 2 = ; 2 = GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC MỘT SỐ GÓC ĐẶC BIỆT: GT 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 120 0 135 0 150 0 180 0 0 6 4 3 2 2 3 3 4 5 6 0 1/2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 1/2 0 1 3 2 2 2 1/2 0 -1/2 2 2 3 2 -1 0 1 3 1 3 3 -1 1 3 0 3 1 1 3 0 1 3 -1 3 2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC DOÃN XUÂN HUY-THPT ÂN THI- HƯNG YÊN CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN: ) = : = + ; = + ) = : = ±+ ) = = + Để giải phương trình dạng ± + + = = ± . I.Sử dụng phép biến đổi lượng giác để đơn giản phương trình: 1) 1 + 1 2 = 2 4 ; 2) 2 2 = ( 2 3 1) 2 3) 2 2 + 2 = ( 3 + 1) 2 ; 4) 8 + 8 = 17 16 2 2 5) 4 + 4 = 7 cot + 3 cot( 6 ) 8 ; 6) 6 + 6 = 4 7) 4 + 4 + 4 = 1 4 ; 8) 4 2+ 2 6 = 0 9) 33+ 2 = 2+ 2 4 ; 10) (4 3) = 2 11) = 2 3 4) ; 12 10+ 2 2 4+ 63 = + 8 3 3 13) 2 1 + + 2 = 0 ; 14) 2+ 5/2 3 7/2 = 1 + 2 15) 3 3+ 3 3 = 3 4; 16) 3 3+ 3 3 = 2 4 17)1 + 2 2 2 = 2 2 4 2 ; 18) 2 3 = 2 19) 2 4 2 6 = (21 2 + 10); 20) + = 2(2+ 2) 21) 2 2 2 = 16 1 + 4 ; 22) 231/ = 23+ 1/ 23) + = 2 2+ 2 ; 24) 21 + = 1 25) ( 2 2) ( 2 4 2 2 ) = 2 2 ; 26) = 23 27) 2+ 2 = 22+ 1 2 ; 28)2,5 = 5 3 0,5 29) (2+ 32+ 4) 22 = 2 ; 30) 4 = 31) 2+ 3 2 2 2 1 1 + 2 = 1; 32)4 2 + 3 2 = 1 3 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC DOÃN XUÂN HUY-THPT ÂN THI- HƯNG YÊN 33)213+ 3 3+ 5 = 8 3 4; 34)3+ 222 = 0 35) (2+ 32) 2 5 = 2 6) ; 36 342 2 3 = 1 37) 4+ 23 = 0 ; 38) 2 + 2 2+ 2 3+ 2 4 = 1,5 39) 2 2 2+ 2 = 4 2 2 2 ; 40) 33 39 = 1 + 4 3 3 41)75 32 = 1 75; 42) 4 + 6 = 2 43) 4232 = 3 41 ; 44) 4+ 2 + 23 = 0 45) 2 2 2 2 = 1 + 2 ; 46) 3622 = 2 8 4 47) 2 2 + 2 2+ 2 3 3 = 4 22+ 1 ; 48) 5 5 = 1 49) 2+ 5 = 2 2 ; 50) 2 + 2 + 2 2 = 11/3 51) 1 + 2 = 2() 1 ; 52) 1 + 2 = 1 2 2 2 53) 2+ 4+ 6 = 23+ 2 54) 3 23 + 3 1 + 23 = 0 55) 8 2 6 + 2 2 3 36 2 4 1 = 0 56) 3+ 4 = 2+ 2 ; 57) 2 4 = 2 (3+ 2 ) 58) 423 = 4 ; 59) 16248 = 1 60) 2 2 2 8 = 10+ 17 2 ; 61) 1 + 2 2 3 5 = 3(4 5 ) 62) 3 12 + 12 = 1 ; 63) = + 2 3 2 64) 3622+ 4 = 2 8 ; 65) 2+ = 3 + 2 2 66) (1 + ) 2 = ; 67) 2 2 4 4 1 = 2(7 2 2+ 324) 68) 23 1 4 2 = 1 6 = ; 69) 10 + 10 = 29 64 4 = 0 II.Biến đổi về phương trình tích: 1) 2 = (1 3 ) (1 3 ) ; 2) 2+ = 22+ 1 3) 21 22+ 1 = 3 4 2 ; 4) 2+ 1 34+ 24 + 4 2 = 3 5) 2+ 3 32 = 3 3 ; 6) 42 24 = 1 4 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC DOÃN XUÂN HUY-THPT ÂN THI- HƯNG YÊN 7) 2 3 + 2+ = 0 ; 8) 2 3 2+ = 0 9) 3(2+ 2) 22 22 = 2 ; 10) 3(+ ) 2 = 2 11) 3 5 = 2 ; 12) 2 + 2 = 4 2 13)1 + + 3 = + 2+ 2; 14)3+ 2 = 1 + 22 15) 1 + + + 2+ 2 = 0 ; 16) = + 17) 2 3 2 2 3 2 = 1 2 ; 18) 2 2 + 4 = 1 + 1 19) 2 + + 3 = 0 ; 20) 2 + 2 2+ 2 3+ 2 4 = 2 21) + 4 = 23 ; 22) + = 2(2+ 2) 23) 32 = 3 ; 24) 2+ 3 = 1 23 25) 3+ 2 = 2 + 3 ; 26) 44 = 1 + 4 2( 4 ) 27) 1 2 = 2 3 3 1 3 ; 28) 2 2 2 + 1 = 2 2 4 2 29)23 1 = 23+ 1 ; 30)3 3 + 3(1 + ) 2 8 2 4 2 = 0 31) 4 2 2 = 4 2 4 2 7 2 ; 32) 2 + 3 + = 0 33) 2+ 1 3 2 + = 8 3 + 2+ 3 + 2 + 1 3 2 34) 22+ 42 = 0 ; 35) 2+ = 8 2 36) (1 ) 2 + (1 + ) 2 4(1 ) 2 = 1 + 2 + 2 37) + 2 + 3 + 4 = + 2 + 3 + 4 38) 4 3 + 3 22 = 8 ; 39) 423 2 = 3(41) 40) 9+ 632+ 2 = 8 ; 41) 3+ 2 = 2 + 3 III.Đặt ẩn phụ: 1) 3 + 4 = 2 ; 2) 3 4 = 2(+ 4 ) 3) 3 4 = 1 ; 4) 3 + 3 = 2+ + 5 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC DOÃN XUÂN HUY-THPT ÂN THI- HƯNG YÊN 5)8 3 + 3 = 3; 6) 3+ 120 0 140 0 = 2(80 0 + 2) 7) 2+ 2 = 1,5 ; 8) + 2 + 3 + + 2 + 3 = 6 9)3+ 4+ 6 3+ 4+ 1 = 6; 10)+ 3 = 3 3 + 3+ 1 11)+ 2 2 + 2 2 = 3 ; 12)+ 1 + + 1 = 10 3 13) 2 21 = 4 1 2+ 4 (2+ 4 ) IV.Đưa về phương trình của tanx: 1) 62 3 = 52 ; 2) 4 3 + 3 3 3 2 = 0 3)2 3 = 3 ; 4) 2 + 1 = 3 + 3 5) 3 4 3 3 2 + = 0 ; 6) 4 3 + = 0 7) 2+ 3 = 6 3 ; 8) 2+ 2 = 22+ 1 2 9) 3+ 3+ 2 = 0 ; 10) 3 + 3 2 = 0 11) = + 22 ; 12) 1 + 3 = 22 13) 1 + 32 = 2 ; 14) 2+ 2 = 1,5 15) 9 3 5+ 2 3 = 0 ; 16) 2 2 2 = 3( 2+ ) 17) 3 3 = 5 2 ; 18) 42 = 3 V.Phương trình chứa giá trị tuyệt đối và căn thức: 1) + + = 2 ; 2) + 42 = 1 3)3+ 2 2 = 0 ; 4) 3 = 1 33 5) 4 4 = + ; 6) + 3 = 2 + 2+ 32 7) + 3+ + 3 = 2; 8) 52+ 2 = 0 9) 5 3 2 4 = 1 2 ; 10) 2 3+ 4 = 1 + 82 2 2 11) 1 + 3 + 1 + 3 = 22 ; 12) 1 + + = 0 13) 2+ 1 + 2 = 2 + ; 14) 1 + + 1 = 22 6 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC DOÃN XUÂN HUY-THPT ÂN THI- HƯNG YÊN 15) + 223 = 1 + 2; 16) + 1 2 = 22 17) 222 = ; 18) + + 2 = 1 19) 2+ 1 + 2 = 3 + 3 2 ; 20) + + = (2 2) 4 21) (3) 1 2 = 2+ 2 ; 22) 3 1 + = 2 VI.Các phương trình lượng giác đặc biệt: 1) 8 2 4 4+ 1 = 0 ; 2) 2 + 0,25 2 3 = 2 3 3)4 24 + 4 1 + 24 = 0; 4) 3 + 3 = 2 4 5) 6 2 3 + 1 = 0 ; 6) + 3 = 2(2 1,5 ) 7) 3+ 2 2 3 = 2 1 + 2 ; 8) + 2 2 + 2 2 = 3 9) 1 1 + 3 1 3 1 = 1 ; 10) + = 2(2 3) 11) 26+ 1216 3 + 4 = 0 ; 12) 5 + 2 = 0 13) + = 1 , ; , > 2 ; 14) 7 2 + 8 100 = 8 15) 2 22+ 2 = 0 ; 16) 2 4 2+ 2 + 3 = 0 17) ( 2 + 1 2 ) 2 + ( 2 + 1 2 ) 2 = 12 + 0,5 18)4 2 + 3 2 4 3+ 2 3+ 4 = 0 ; 18)2 32 3+ 4 = 0 19) ( 2 1 2 ) 2 + ( 2 1 2 ) 2 = 3,5 + 2 2 20) ì á , ó : 2 + 5 = 2 2(+ ) 21) 3 3 + = 22 ; 22)3 2 + 4 2 2 34+ 2 = 0 23) 5 + 5 + 2+ 2 = 1 + 2 ; 23) 6 4 2 = 5 sin 24) 2 4+ 2 8 = 2 12+ 2 16+ 2 7 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC DOÃN XUÂN HUY-THPT ÂN THI- HƯNG YÊN 7.Phương trình chứa tham số: 1) ì ó 7 2 ; 2 : 32+ 1 = 0 ( 1 < < 3 ) 2) á á á ó 8 0; 3 : 32 + 1 + = 0 (2 3 < < 2 ) 3) ì ó 4 0; 2 : 2+ = ( < 1; = 2) 4) ì ó 0; 4 : 4 6 3 + 3 21 + 2 2 2 43 = 0 (1 ; < 3 4 ) 5) ì ó 0; : 2+ 43 = 0 ( < 2 ) 6) ì á ó 1 0; 2 : 1 2 + 1 + 32 = 0 ( 0,5; 1 3 < < 1 ) 7) Tìm các gt của thsố m để các pt sau có ng: ) ( 6 + 6 ) 2 = 2 > 0,25 ; ) 4 + 4 = 2 2 4 ( 2 2 ) ) 3 2 + + 1 + 3 2 = 0 ( < 4 ) 8) ì ó 0; 12 : 4 = 2 3+ 2 ( 0 < < 1 ) 9) ì ó 0; 2 : + + 1 + 0,5 + + 1 + 1 = 0 ( 2 1 ) 10)ì ó 0; : 2+ 43 = 0 ( < 2 ) 11)ì á ó 1 0; 2 : 1 2 + 1 + 32 = 0 ( 0,5; 1 3 < < 1 ) 12)Tìm các gt của thsố m để các pt sau có ng: ) ( 6 + 6 ) 2 = 2 > 0,25 ; ) 4 + 4 = 2 2 4 ( 2 2 ) ) 3 2 + + 1 + 3 2 = 0 ( < 4 ) 8 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC DOÃN XUÂN HUY-THPT ÂN THI- HƯNG YÊN 13)ì ó 0; 12 : 4 = 2 3+ 2 ( 0 < < 1 ) 14)ì ó 0; 2 : + + 1 + 0,5 + + 1 + 1 = 0 ( 2 1 ) 15)ì , ó : 1 + 2 = + 2 1 16)ì , , ó : + 2+ 3 = 0 17) à : 8 2 + 1 3 4 2 + 1 + 2 3 = 0 18) à : 1 + + 1 = ( 2 ) 19) 4 5 4 5 = 2 4+ . = 8 à 1 Của (*) . Hãy tìm các ng của (*) tmbpt: 4 3 2 + 2 < 0 . 20) Xác định các gt của thsố m để 2pt sau tương đương: )3+ 23+ 1 = 22 & 3+ 4 8 2 + 74 + 84 = 0 ) 22 = 1 + 2+ 3 & 4 2 + 423 = + 4 (1 + 2) ) 3+ 2 = 1 + 22 & 3 = (4 2 ) 2 ) = 2 2 & 3 = + 1 2 1 2 ) 2 7 1 3 + 2 3 21 = 0 & 2 6 + 2 = 1 + 2 3 + 2 ) 21,50,5 = 1 & 3+ 2 2 2 2 + 6 = 0 21) Tìm các gt của a và b để 2 pt sau tđ với nhau: 2+ 2 = 2+ 2 & 2 2 + 2+ 2+ = 2 + + 1 22) Tìm m để bpt sau đúng với 0; 2 : 3+ 2+ 3 0 ( 2 2 ) 23) Tìm m để bpt sau đúng với 0; 4 : 5 + 5 (+ ) (+ ) 24) Tìm a để hpt sau có ngdn: 2 + 1 = 2 + 2 = 1 // . 1 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC DOÃN XUÂN HUY-THPT ÂN THI- HƯNG YÊN PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC MỘT SỐ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1) 2 + 2 = 1 2 . 3 1 1 3 0 1 3 -1 3 2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC DOÃN XUÂN HUY-THPT ÂN THI- HƯNG YÊN CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN: ) = : = +. = + Để giải phương trình dạng ± + + = = ± . I.Sử dụng phép biến đổi lượng giác để đơn giản phương trình: 1) 1 + 1 2 =