CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC LỚP 11

LỜI NÓI ĐẦU Phương trình lượng giác là một trong các dạng toán cơ bản và quan trọng trong chương trình toán THPT ,đặc biệt nó luôn được cấu trúc trong các đề thi Đại học-Cao đẳng hằng

LỜI NÓI ĐẦU

Phương trình lượng giác là một trong các dạng toán cơ bản và quan trọng trong chương

trình toán THPT ,đặc biệt nó luôn được cấu trúc trong các đề thi Đại học-Cao đẳng hằng năm

Thực tế,nhiều học sinh chưa có kỉ năng giải đúng và hoàn chỉnh một bài về phương trình

lượng giác Thậm chí , giải phương trình lượng giác cơ bản có khi còn sai Mặt khác bài tập giải

phương trình lượng giác trong SGK Đại số –Giải tích 11 cơ bản và nâng cao, dạng cần rèn luyện còn

ít ,chưa được hệ thống sắp xếp ứng với từng chủ đề và các công thức lượng giác học ở lớp 10 phục

vụ cho việc giải phương trình lượng giác rất nhiều – Trong SGK chưa được tóm tắt và ôn tập lại

Chuyên đề này là một phương tiện giúp các em học sinh dễ dàng nắm bắt các kiến thức cơ bản

và có kỉ năng giải tốt phương trình lượng giác ở mức độ yêu cầu phù hợp với chương trình chuẩn

kiến thức-kỉ năng và nội dung giảm tải của Bộ GD-ĐT đã ban hành bắt đầu từ năm học 2011-2012

 Mỗi chủ đề đều có:

 Tóm tóm tắt kiến thức cần nhớ  Dạng bài tập  Phương pháp giải  Bài tập mẫu  Luyện tập CHÚ Ý: Bài tập có dấu (*) là thuộc dạng bài giảm tải dành cho HS khá-giỏi lớp Ban Cơ bản hoặc HS thuộc lớp Ban Tự nhiên  Nội dung chuyên đề gồm :  Chủ đề 1: Phương trình lượng giác cơ bản  Chủ đề 2: Phương trình lượng giác thường gặp  Câu hỏi trắc nghiệm  Phụ lục: Phương trình lượng giác trong các đề thi Đại học-Cao đẳng những năm gần đây Bài tập dành cho HS tự luyện tập là các bài tương tự với dạng bài tập đã giải mẫu và bài tập trong SGK cơ bản ,SGK nâng cao đồng thời được sắp xếp lại theo dạng Chuyên đề tự biên soạn, tất nhiên không sao tránh khỏi sai sót ,rất mong ý kiếnï đóng góp của quí đồng nghiệp và các em HS để chuyên đề được hoàn chỉnh hơn

Bình Dương,ngày 28 tháng 08 năm 2013

GV: Nguyễn Văn Khánh 

cos

2 3

arcsin 2 3

m

cos ( )f x  cos ( )g x

( ) ( ) 2 cos ( ) cos ( )

tanx tan  tanx tan 0 x 0k1800 tanx tan150 x 150k1800

tanx = m m tùy ý

x≠



2

 +k 

tanxm x arctanm k  tanx 3 x arctan 3 k arctan m là

k/h sđ của cung(rad) mà có tan bằng m

tan ( )f x  tan ( )g x f(x)

vàg(x)≠

 /2+k 

tan ( )f x  tan ( )g x f x( ) g x( ) k PT :tan2x = tanx ĐK cos2 x  0 và cosx ≠ 0

tan2x = tanx ⇔ 2x = x + k  ⇔ x = k  (thỏa ĐK)

DANG : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

cotx cot  cotxcot  xk

0

tanx tan tanx tan 0 x 0k1800 tanx tan150 x 150k1800

cotxm m tùy ý

x  k

cotxm x arccotm k  1

cot 4

Chú ý:  Trong PTLG thấy không có đơn vị nào thì xem như đơn vị rad

 Khi giải PTLG không được trình bày theo hai đơn vị vừa rad ,vừa độ

PTLG CƠ BẢN DẠNG ĐẶC BIỆT

Dạng Công thức nghiệm (k  ) Ví dụ đơn giản

Chú ý: f(x) là biểu thức chứa ẩn x,có thể f(x) = x

 DẠNG BÀI TẬP

DẠNG 1 :

( là số đã biết, f(x) là biểu thức chứa ẩn x)

 PHƯƠNG PHÁP: Dưa theo công thức nghiệm của PT sinx=sin , cosx=cos ,v.v…

 …tiếp tục giải xem như PT 1 ẩn x

 BÀI TẬP MẪU:

Giải: sin( ) sin

2

322

Giải: tan(2x1 ) tan190  02x10 190k.1800 2x200k.1800 x100k.900

CHÚ Ý: Giải PT trên,HS còn sai lầm viết 2x10190k  (?)

 LUYỆN TẬP Giải phương trình:

 DẠNG 2 :

  và f(x) là biểu thức chứa ẩn x

 PHƯƠNG PHÁP: Có 2 trường hợp :

Trường hợp 1: m là GTLG của các cung (góc) đặc biệt  ,chẳng hạn m = 1, 3, 2

2 2 2 ,… (Đ/v sin và

cos) , m = 3, 3

3 ,…(Đ/v tan và cotang) Khi đó ta thay m bằng các GTLG của cung (góc)  đó và áp

dụng công thức nghiệm dạng sinx=sin ,cosx=cos,… đưa về PT 1 ẩn x để giải

Trường hợp 2: m không là GTLG của các cung (góc) đặc biệt ,khi đó ta coi m là GTLG của các

cung (góc)  không đặc biệt nào đó hoặc thay  bằng các kí hiệu arcsinm,arccosm v,v… để giải

Ví dụ: sin 2x 1  1( sin ) 2x 1= +k2

tiếp tục giải tìm nghiệm x (  coi như số

đã biết, có sin bằng 1

12x 1 arcsin  k2





)60(3

arc là một sai lầm lớn !

 HS nên khắc sâu: arccot( 6) là kí hiệu một số (rad) mà có cotang bằng -6 Vì vậy khi giải PT

2xarccot( 6) k ta rút ra cot( 6)

trong công thức nghiệm không được lấy 6

2



 Chú ý trên cũng được hiểu tương tự đ/v các kí hiệu arcsina, arcccosa, arctana (a  )

Bài 2: Giải phương trình: sin( ) 3

Bài 4: Giải phương trình: sin 2x 1  1

3

 

 DẠNG 3 : (Dạng đặc biệt)

 và f(x) là biểu thức chứa ẩn x)

 PHƯƠNG PHÁP: Áp dụng công thức nghiệm của các PTLG dạng đặc biệt sinx=1,cosx=0

13 cos sin x  1 (Ban TN) ĐS: x= m, m  

HD: sinx = k2  ĐK pt có nghiệm là 2k   1  k = 0

14 (20a/29-SGK 11 NC) Tìm nghiệm của PT sau trong khoảng đã cho:

tan(2x -150) = 1 với -1800<x<800 ĐS: -1500,-600,300

    

Sin[f(x)] = sin[g(x] ,cos[f(x]) = cos[g(x)]

tan[f(x)] = tan[g(x)], cot[f(x)] = cot[g(x)]

 DẠNG 4 :

(f(x) ,g(x) là các biểu thức chứa ẩn x)

 PHƯƠNG PHÁP: Áp dụng công thức biến đổi tương đương giống như công thức nghiệm

của các PTLG cơ bản sinx=sin ,cpsx=cos v.v…

 tiếp tục giải xem như PT 1 ẩn x

Chú ý: Đối với PT dạng tan[f(x)] = tan[g(x)] , cot[f(x)] = cot[g(x)] cần có ĐK để tan và cot xác định

 BÀI TẬP MẪU:

Vậy PT có nghiệm x=

 DẠNG 5:

Chú ý : Công thức gtlg của các cung (góc) liên quan đặc biệt

1) Hai cung (góc) đối nhau : α và – α

Chú ý: Hai cung đối có tổng sđ bằng 0 (0 )

cos (-α) = cosα , sin (-α) = - sin α , tan(-α) = - tan α , cot(-α) = - cot α

2) Hai cung (góc) bù nhau : α và π – α

Chú ý: Hai cung bù có tổng sđ bằng  (180)

sin (-α)=sin α ,cos (-α) = -cosα , tan(-α) =- tan α ,cot(-)-cot α

3 ) Hai cung (góc) phụ nhau : α và  

2

Chú ý: Hai cung phụ có tổng sđ bằng

2

 (90 )

Ghi chú : Để dễ nhớ các công thức (1) ,(2) và (3) ta nhớ câu “ cos đối,sin bù ,phụ chéo nhau”

 BÀI TẬP MẪU:

Chú ý: Đ/v cos - Nhiều HS thường sai lầm cho rằng  22  cos(4)

Áp dụng công thức hai cung (góc) đối nhau,bù nhau ,phụ

nhau để đưa PT về dạng PTLG cơ bản

Giải: ĐK: cos3x  0 và cosx  0 Khi đó

 CHÚ Ý: Có thể áp dụng công thức hạ bậc để giải

 BÀI TẬP MẪU:

Giải: 2

x= k (1)cos2x= 1 2x= k2

Chú ý: KQ hai cách giải trên đều đúng ,nếu biểu diễn điểm cuối hai ĐS ,trên cùng một đường tròn

LG thì KQ như nhau Công thức họ nghiệm (3) chính là từ (1) và (2) gộp lại

k k

 LUYỆN TẬP:Giải phương trình:

8 tan2x tan23x = 1 (Ban TN)

HD: ĐK : cosx ≠ 0 , cos3x ≠ 0  pt tanx tan3x = ± 1  tan 3x = ± cotx  ĐS: ;

 BÀI TẬP MẪU

Giải: Đk của pt : x  k Khi đó:

(Chú ý vấn đề xét nghiệm : Vì

22

 DẠNG 8 : (Dành cho HS Khá-Giỏi hoặc HS Ban TN)

 CHÚ Ý: Công thức lượng giác:

2

1 cos 2sin

2

1 cos 2tan

1 cos 2

a a

a a

a a

21

 BÀI TẬP MẪU

Giải: Áp dụng công thức nhân đôi ,ta có:

1

sin 22

cos8x cos6x cos4x cos2x(Theo công thức hạ bậc)

cos7x.cosx 2cos3x.cosx (Theo công thức tổng tích)

2cosx 0

55

k x k

x

k x k

 LUYỆN TẬP Giải phương trình:

  HD: Áp dụng công thức hạ bậc sin2x  PT tích

6 cos 5 sin 4x xcos3 sin 2x x ĐS:

 KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1/ Phương trình bậc nhất đối với ẩn x:ax b 0(a 0) x b

a b x

a b x

 CHÚ Ý: Không phải giải PT bậc II ,lúc nào chúng ta cũng dùng máy tính để giải Nếu nghiệm

là số gần đúng mà thói quen dùng dấu “=” để ghi nghiệm x= ….là sai

 DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

at+b =0 (a ≠ 0) với t là một HSLG nào đó a,b  

 CÁCH GIẢI: Chuyển b sang VP ,chia 2 vế cho a  đưa về phương trình lượng giác cơ bản

 BÀI TẬP MẪU:

( Là PT bậc nhất đ/v cos3x)

DANG : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

Bài 1: Giải phương trình: 2cos3x  3 0    

Bài 2: Giải phương trình: 3tan 3 0  

( Là PT bậc nhất đ/v  0

sin x 60 )

 sin x60   1 0  sin x60   1 x60  90 k.360 x 30 k.360

( Là PT bậc nhất đ/v cos2x)

Giải: 2cos2x- 3 0  cos2x 3 1

2

( Là PT bậc nhất đ/v cot x 2  )

 LUYỆN TẬP: Giải phương trình:

1 2sin3x +3 0     ĐS: Vô nghiệm

 DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

at² +bt+c =0 ( a ≠ 0) với t là một HSLG nào đó a,b,c  

 CÁCH GIẢI:

 Đặt biểu thức lượng giác có mặt trong PT làm ẩn phụ (Nêu ĐK ẩn phụ nếu có) và qui phương trình bậc hai đối với ẩn phụ đó

 Giải PT bậc hai đối với ẩn phụ và chọn nghiệm thỏa mãn ĐK

 Giải PT lượng giác cơ bản và KL nghiệm của PT đã cho

CHÚ Ý: Nếu PT bậc II đ/v sin và cos thì đặt ẩn phụ t phải có ĐK: -1 ≤t ≤ 1 , còn PT bậc II đ/v tan

và cotan thì không co ùĐK của ẩn phụ

PT đưa về PT bậc nhất hoặc bậc hai , theo nội dung giảm tải là phần đọc thêm đ/v HS lớp cơ bản

 BÀI TẬP MẪU:

Giải: Đặt t= cosx (đk: -1 ≤ t ≤ 1) , PT trở thành : t² - 3t + 2 =0 Û 1( )

t = 1 Þ cosx= 1 Û x= k2p Vậy PT có nghiệm là x = k2

 CHÚ Ý : Có thể trình bày giải trực tiếp , không cần đặt ẩn phụ :

Bài 2 : Giải phương trình: 2

cot 3xcot 3x 2 0

Bài 3(*): (3a/37-SGK 11CB) Giải phương trình:

(Các nghiệm trên đều thỏa mãn ĐK)

 LUYỆN TẬP: Giải phương trình:

12 (*) cos 2xsin x 2 0 ĐS: (2 1)

2

 DẠNG 3: ( Dạng giảm tải -Dành cho HS Khá-Giỏi hoặc HS Ban TN)

PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT BẬC HAI ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX

atan2x b  t anx+c=0 (2) ( đã biết cách giải)

CHÚ Ý :

1) Nếu a = 0 hoặc c = 0 thì đưa pt(*) về dạng phương trình tích

2) Đ/v pt dạng : asin2x b  s inxcosx+cos2x  d (**)( d  0) Khi chia 2 vế cho cos² x thì

x   .Từ đó, chuyển vế và cũng đưa về PT bậc II đ/v tanx

3) Ngoài ra ,để giải pt (*) có thể dùng các công thức hạ bậc và công thức nhân đôi  pt dạng bậc nhất đ/v sin 2x và cos2x

 BÀI TẬP MẪU:

Giải:

 Xét cosx = 0  sinx = 0 (Vô lý)  không thỏa mãn pt

 Xét cos²x  0 ,chia 2 vế của pt cho cos²x ta có pt :

tan 1

4

2 tan ²x tanx – 3 0 3

3tan

arctan( )2

 Xét cosx = 0  sin2x = 2

3 (không thỏa mãn PT)

 Xét cos²x  0 ,chia 2 vế của pt cho cos²x ta có pt :

2

tanx=12

tanx=3cos

Bài 1(*) : (4a/37-SGK 11CB) Giải phương trình:

2sin²x +sinxcosx -3cos²x  0

Bài 2(*): (4b/37-SGK 11CB) Giải phươngtrình:

3sin²x -4sinxcosx +5cos²x  2

 LUYỆN TẬP: Giải phương trình:

1 (*) 4sin²x -5sinxcosx -6cos²x 0 ĐS: xarctan 2k và arctan 3

3 (*) (4d/37-SGK 11CB) 2 cos ²x 3 3 sin2x 4sin²x     HD: Đưa về PT tích : 4

cos x(cosx  3 sinx)=0 ĐS:

 .a sinx b cosx  c (1) (với a,b,c   và a , b không đồng thời bằng 0 )

 CÁCH GIẢI: Áp dụng công thức sau vào VT của PT (1)

Chú ý: Trường hợp đặc biệt của công thức

• sinx+ cosx = 2sin

 BÀI TẬP MẪU:

(PT bậc I đ/v sinx và cosx)

Giải: Áp dụng công thức (*), ta có sinx  3cosx  1 ( 3) sin(x  2 ) 2sin(x  ) Với

 Chú ý: PT(1) có nhiều cách giải ,chẳng hạn bài 2 có thể giải theo các cách sau:

Cách : (Chia 2 vế của pt cho a2 b2 ,rồi áp dụng công thức cộng đưa về PT LG cơ bản)

Cách : (Chia 2 vế của pt cho a( hoặc b), thay tan

a(sinx + cosx ) + bsinx.cosx = c, trong đó a,b,c  

(Không thuộc dạng giảm tải)

 CÁCH GIẢI:

- Đặt t = sinx + cosx = 2cos( x -

4

)

Điều kiện : t  2  sinx.cosx =

 BÀI TẬP MẪU:

Giải : Đặt t = sinx + cosx (- 2  t  2), phương trình trở thành: 3t2 – 10t + 30 = 0 

13

4

) = -

2

k x

k x

1

 cos(x -

4

) = -

22

1

= cos  x =

4

   +k2

Vậy pt (1) có 4 họ nghiệm : x =

4

   +k2 , x =  + k2 ; x = -

2

 + k2 , k  Z

Bài 2: Giải phương trình: 3 sinx cosx 4sinxcosx 3  0      

Bài 1: Giải phương trình: 5 sinx cosx – 3cosxsinx     3

+ Chú ý : Khi gặp phương trình dạng :a(sinx – cosx ) + bsinxcosx = c Đặt: t = sinx – cos;t  2

sinx.cosx =

2

1t2

.Giải tương tự như pt đối xứng đối với sinx và cosx

Giải : +Đặt t = sinx – cosx = 2sinx ( x-

4

)=

2

2

= sin x 2  k.24

 LUYỆN TẬP: Giải phương trình:

1 (3c/179 SGK 11CB) sinx cosx   1+sinxcosx ĐS: 2

Em hãy chọn và khoanh trịn chữ cái trước câu trả lời đúng nhất trong các câu sau:

Câu 1: Giải phương trình sinx = -1 ,ta được nghiệm :

Câu 8: Trong các phương trình sau phương trình nào vô nghiệm ?

A 3 sinx -2 = 0 B cos2x = cosx C tanx = m² +1 D sinx+m² +1=0

Câu 9: Phương trình sinx + cosx = 2 có nghiệm là:

Câu 13: Phương trình cosx.cos7x = cos3x.cos5x tương đương với phương trình nào sau đây:

A cos2x = 0 B.sin4x = 0 C cos4x = 0 D sinx = 0

Câu 14: Số nghiệm của phương trình sin 5 x 2 c o sx

s in x  trong khoảng (0;) là:

5sin

Câu 25: Phương trình sin 2x = -1

2 trong khoảng (0, ) có bao nhiêu nghiệm ?

A 4 B 2 C 3 D 1

  D.Một đáp số khác

Câu 27: Phương trình cos² x + 5sinx cosx – 2 sin² x = 2 có thể đưa được về phương trình nào trong

các phương trình sau :

A 4sin² x - 5sinx cosx – cos² x = 0 B 3cos2x +5sin2x = 5

C 4sin² x + 5sinx cosx + cos² x = 0 D Một kết quả khác

Câu 28: Phương trình sinx = 0 có nghiệm là :

A x= k  B x=

2



+ k 

C Các đáp số trên đều đúng D Các đáp số trên đều sai

Câu 29: Phương trình sinx = 1

2 có nghiệm là :

C Các đáp số trên đều đúng D Các đáp số trên đều sai

Câu 30 Nghiệm của phương trình sin² x – sin x = 0 với 0 <x<  là :

D Một đáp số khác

Câu 31: Xác dịnh m để phương trình sin (2x- 1) = m² - 1 vô nghiệm ?

A – 2< m < 2 B m= 0 C m > ± 2 D m (-∞ ; - 2 ) ( 2;+∞ )

Câu 32: Phương trình cos2x = 2

3 có nghiệm là :

3+k D.Kết quả khác

Câu 33: Phương trình cos x = 3

3 có nghiệm là :

2 3

2 3

Câu : Khẳng định nào sau đây là đúng ?

(Đại học -K.B-2011) Giải PT: sin2xcosx sinxcosx=cos2x+sinx+cosx

Giải: PT đã cho tương đương với PT:

sinx(1+cos2x) sinxcosx=cos2x+sinx+cosx cos2x(sin 1) cos (sin 1) 0

Giải: ĐK cos x  0 và tanx   3 (*) PT đã cho tương đương với PT:

( Đại học-K.A và A 1 -2012) Giải PT: 3sin2x cos2x=2cosx 1 

Giải: PT đã cho tương đương với PT: ( 3sinx cosx 1)cosx=0 

( Đại học-K.B -2012) Giải PT: 2(cosx 3sinx)cosx =cosx 3sinx+1

Giải: PT đã cho tương đương với PT:

cos2x 3sin2x=cosx 3sinx cos 2x cos x

k x

Giải: PT đã cho tương đương với PT:

cos2x=0(2sinx 2 cos x 2)cos2x=0

2sinx 2 cos x 2 0cos2x=0

72

212

k x

12

(CAO ĐẲNG KHỐI A, A1, B, D NĂM 2012) Giải phương trình : 2cos2x + sinx = sin3x

Giải: 2cos2x + sinx = sin3x  sin3x – sinx – 2cos2x = 0

 2cos2xsinx – 2cos2x = 0 2cos2 sinx 1   0  cos2 0

2

 + k2, k  Z

(Đại học -K.D-2013) Giải phương trình sin 3xcos 2xs inx0

Giải: sin 3xcos 2xsinx0

( s inx cos )( 2 cos 1 ) 0 s inx cos 1 0 4