tong hop cac bai tap ve phuong trinh lương giac lớp 11

toán học 11

Trang 1

I PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX

A NHẬN DẠNG :

* Là phương trình có dạng : a.sinx+b.cosx=c

B CÁCH GIẢI

1 Chia hai vế phương trình cho : a2b2 0

2 Phương trình có dạng : 2a 2 sinx+ 2b 2 cosx= 2c 2

a b a b a b

3 Đặt : sin 2a 2 ; os =c 2b 2 ; os =c 2c 2 ;d/k:c2 a2 b2

4 Khi đó phương trình trở thành :sinx.sin +cosx.cos =cos    cos x-  cos

k Z

C MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1 Giải các phương trình sau :

a

2

sin os 3 osx=2

1 2sin osx

3

1 2sin 1 sinx

x c x





sinx+cosxsin2x+ 3 os3x=2 cos4x+sinc x d 3 os5x-2sin3xcos2x-sinx=0c

Bài 2 Giải các phương trình sau :

a 4 sin 4 x c os4x 3 sin 4x2 b 2 2 sinx+cosx osx=3+cos2x c

c cos 2x 3 sin 2x 2 sinx+cosx  d sin4x c os4x2 3 sinxcosx+1

a 4sin sin sin 4 3 osx.cos 2 os 4 2

x  x   x c x c x  

2sin 4x16sin osx 3cos 2x c  x5 c 3 6 6

1 sin 4 os sin

a sin 8x c os6x= 3 sin 6 x c os8x b cos7x-sin5x= 3 os5x-sin7xc 

c 3sin 3x 3 os9x=1+4sin 3c 3 x d 3 os5x+sin5x-2cos2x=0c

II PHƯƠNG TRÌNH : BẬC NHẤT - BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

I ĐỊNH NGHĨA :

*Là phương trình có dạng :

2 2 2 2

.cot cot 0

a u b u c

a c u b u c

a u b u c

(1) Với u=u(x)

Trang 2

II CÁCH GIẢI :

osu=t t 1

0 2 tan

cot

u t t

c

at bt c

u t t R





- Giải phương trình (2) để tìm t

- Kiểm tra điều kiện đối với t , để chọn t phù hợp

- Sau đó giải phương trình : u=u(x)=t

III MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1 Giải các phương trình sau :

a 5 sinx+cos3x+sin3x 3 os2x

1 2sin 2x c

 



  b cos 3 os2x-cos2 x c 2x 0

x x c     x   

    d 4.sinxcosx+3sin2x6sinx

Bài 2 Giải các phương trình sau

a sin 32 x c os 42 xsin 52 x c os 62 x b sin2 tan2 os2 0

x c



c tan 2 tan 2 2

    d 5.sinx-2=3 1-sinx tan x  2

a 2sin 3 1 2cos3 1

c

1

1 sin 2

x





c cos os osx 3x sinx.sin sinx 3 1

x

x c c   d 4cos3x3 2 sin 2x8cosx

a cos 2 os 2x- 4sin 2 2 1 sinx 

b 3cot2x2 2 sin2x2 3 2 osx c c

4sin 2 6sin 9 3cos 2

0 osx

c



c Cho : ( ) sinx+ sin 31 2sin 5

f x  x x Hãy giải phương trình : f'(x)=0

sin 5cos sin

x

 b sin 2 cotx xtan 2x 4cos2x

c 2 6

2cos 1 3cos

4

x 

Trang 3

a

4

sin 2 os 2

os 4

x c x

c x





b 48 14 22 1 cot 2 cot  0

4

x c x x c x  c d os2x 2 1

c

a sin 2x 2 tanx 3 b cot t anx+4sin2x= 2

sin2x

x 

c 1 t anx 1 sin 2    x  1 t anx d sin 4x t anx

a sin4 sin4 sin4 9

x x x  

    b sinx 3 2 2cos  2sin2 1

1

1 sin 2

x





c 4cos4x3 2 sin 2x8cosx d 4 2

cos os 3

x

c x



a sin 2 2 sin 0

4

x x  

2cos 1 3cos

 

c 3cos 4x 2cos 32 x1 d 3tan2x-4tan3x=tan 3 tan 22 x x

8

c os62 sin62 1tan 2

os sin 4

x





 d cos2x c os 22 x c os 32 x c os 42 x2

III PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG THEO SINX, COSX

I NHẬN DẠNG :

* Là phương trình có dạng : a( sinx+cosx)+bsinx.cosx=c (1)

II CÁCH GIẢI

- Đặt t= sinx+cosx , điều kiện : t  2

- Tính : sinxcosx=

2

a t b  c bt at b c

- Giải phương trình (2) tìm t Sau đó kiểm tra điều kiện đối với t , chọn t thích hợp

- Cuối cùng giải : sin osx= 2 sin 0

4

x c x t

III MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG : Bài 1 Giải các phương trình sau :

Trang 4

a sinx+sin2x c os3x0 b 3 3 3

sin os 1 sin 2

2

x c x  x

c 2 sinx+cosx  t anx+cotx d 3 cot x c osx 5 t anx-sinx 2

2

3 1+sinx

x x

c x



2sin x sinx=2cos x c osx+cos2x

c sinxsin2xsin3xsin4x c osx+cos2x c os3x c os4x

a tan2 x1 sin 3xcos3x1 0 b 2sinx cotx 2sin 2x 1

c Cho phương trình : msinx+cosx+1  1 sin 2x

Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn 0;

2



 

 

 

Bài 4 Cho phương trình : cos3xsin3x m sin cosx x

a Giải phương trình khi m= 2

b Tìm m để phương trình có nghiệm

Bài 5 Cho phương trình : sinx+cosx 1 1 t anx+cotx+ 1 1 0

m

c

a Giải phương trình với m=1/2

b Tìm m để phương trình có nghiệm trên khoảng 0;

2



 

 

 

Bài 6 Cho f(x)=cos 22 x2 sinx+cosx 3 3sin 2x m

a Giải phương trình f(x)=0 khi m=-3

b Tìm GTLN và GTNN của f(x) theo m Tìm m để  f x( )2 36 x R

Bài 7 Giải các phương trình :

a cos 2x 5 2 2  cosx sinx-cosx   b 3 3

os sin os2x

c x x c

3tan x4 tanx4cotx3cot x 2 0

tanxcotxtan xcot xtan xcot x6

Bài 8 Cho phương trình : 3 3

cos x sin x m

a Giải phương trình với m=1

b Tìm m sao cho phương trình có đúng hai nghiệm thuộc đoạn ;

4 4

 



Bài 9 Cho phương trình :

2cos 2xsin xcosxsinxcos x m sinx+cosx

b Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 0;

2



 

 

 

2

1 cot t anx+cotx 2 0

2

Trang 5

a sin3x c os3xsinx-cosx b sin 2 2 sin 1

4

x x  

c sin2x-12(sinx-cosx)+12=0 d sinx+cosx 1

sin 2x1 

a

3 3

1 os2x 1 os

1 os2x 1 sin



  b 5 sinx+cosx sin 3x c os3x=2 2 2 sin 2  x

c sin2 xcosx c os2x+sinx=cos sin2x x c osx

d 4sin3 x1 3sin x 3 os3xc

2

3 3tan t anx+cotx 1

VI PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI -BẬC BA ĐỐI VỚI SINX,COSX

1 Nhận dạng :

* Là phương trình có dạng :

a.sin sin cos sin cos cos 0

a x b x c x x d





2 Cách giải :

- Nhận xét : cosx=0 có là nghiệm hay không Nếu là nghiệm , giải viết nghiệm

- Khi cosx Ta chia hai vế của phương trình cho cosx (với lũy thừa bạc cao nhất)

- Chuyển phương trình đã cho thành phương trình chứa một hàm số lượng giác tanx Sau đó đặt t=tanx

- Phương trình đã cho trở thành dạng f(t)=0 ( Bậc hai , bậc ba đối với t)

3 Một số bài tập áp dụng : Bài 1 Giải các phương trình sau :

a sin3x 3 osc 3xs inxcos2x 3 sin2xcosx

b sin2xt anx+1 3sinx c osx-sinx3

a 8cos3 os3x

3

x  c

  b sinx c osx-4sin3x0

c cos2x 3 sin 2x 1 sin2x d cos3x 4sin3x 3cos sinx 2 xs inx=0

a 3cos4x 4sin2xcos2xsin4 x0 b sin sin 2x xsin 3x6cos3x

Trang 6

c os2x 2 1

c

x   x x d sin3x +cos3x +2cosx=0

a 3 5sin 4 osx

6sin 2cos

2cos 2

x c

x

  b sinx-4sin3x c osx=0

c tan sinx 2 x 2sin2x3 os2x+sinxcosxc 

Bài 5 Cho phương trình :

4 6 msin3x3 2 m1 sinx+2 m-2 sin   2xcosx 4m 3 osx=0c

b Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất thuộc đoạn 0;

4



 

 

 

a cos3xsinx-3sin cos2x x0 b 1 t anx=2 2 sinx

sin x c os xsinx-cosx b 2    

sin x 1 t anx 3sinx cosx-sinx 3

sin x sin xcosx 3sin cosx x3cos x0

3tan x4 tanx4cotx3cot x 2 0

V PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC

A TỔNG CÁC HẠNG TỬ KHÔNG ÂM

1

( ) 0 ( ) ( ) 0

( ) 0

( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0

( ) 0

n n

n

f x

a f x b g x

g x

f x













BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1 Giải các phương trình sau :

4sin x 2 3 t anx+3tan x 4sinx 2 0 b 2 2 2

tan xtan 2xcot 3x1

c.4cos2x3tan2x 4 3 osx+2 3 t anx+4=0c d 2 2 2  9

sin sin sin

4

x y x y 

sin sin 3 sinx.sin 3

4

b 3cot2x4cos2 x 2 3 cotx 4cosx 2 0

c 8cos 4 os 2x c 2 x 1 cos3x 1 0 

sin os3xsin sin 3 cos sinxsin 3

3sin 4

x

B PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ HAI VẾ

Trang 7

I.NHẬN DẠNG : ( ) ( ) ( )

f x M g x f x M

f x g x x D g x M

II MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG :

1 Dạng 1.

a cos3x+ 2-cos 32 x 2 1 sin 2  2 x b sin3x c os3x 2 sin4 x

b 3 cosx cosx+1 2 d tan2 cot2 2sin5

4

x x x 

a.cos13xsin14x1 b 2 2cos x 2 sinx x x 2 0

2 Dạng 2.

a 4cosx 2 cos 2x c os4x=1 b tan 2 tan 3 1 0

sinxcos2xcos3x

c cos 3 cos 22 x x c os2x0 d cos4x-cos2x2  5 sin 3x

Bài 4 Giải các phương trình sau "

a sinx c osx= 2 2 sin 3  x b tanx+tan2x=-sin3xcos2x

4

x 

a

b

c

MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC Bài 1 Giải các phương trình lượng giác sau:

4

3 cos

2

1 2

sin

cos

x x x

x x







c) 1  sinx 1  sinx  2 cosx

a) sin cos 4 sin 2 2 4 sin 2 4 2 27















x x

2

5 cos

2 tan

2

1







x x

c) ( 4 6 ) sin 3 3 ( 2 1 ) sin 2 ( 2 ) sin 2 cos ( 4 3 ) cos 0











a) 1 tan 2 x 2 tanxtan 2x





x

c) 8 cos 4 cos 4 1



x



Trang 8

a)

2

3 4 sin

2

c) tanx 3 cotx 4 (sinx 3 cosx) d) sin 3x cos 3 x cos 2x





a) sin 4x tanx b) sin 4x 4 sinx (cos 4x 4 cosx)  1

c) 3 (cotx cosx)  5 (tanx sinx)  2 d) cos 7x 3 sin 7x  2

a) tanx 2 2 sinx 1 b) 2 cos 3x sin 3x



sin 1

cos 1

tan 2





6

5 cos

x x

4 cos 4

tan 4

tan

2 cos 2



































1 4

tan 4

tan

cos



































x x



c) cos 2 sin 2 2 cos 1 0





x

Bài 8 Giải các phương trình lượng giác sau:

x

2 sin 1 tan

1

tan

1









sin

1 cos

1 4

sin 2















c) 9 sinx 6 cosx 3 sin 2x cos 2x 8 d) (cos 2x cos 4x) 2 6 2 sin 3x







sin

5

sin



x

c) Cho phương trình :

) 10 5 , 10 sin(

6 cos

4

Tìm các nghiệm thuộc khoảng 









 2

;

4

5 ) cos (sin

2 cos







c) sin 2 sin 2 2 sin 2 3 23





cos

1 cos

sin

a) cot 2 tan 2 2 tan 2  1



c) sin 2x 2 cos 2x 1  sinx 4 cosx d) sin 2x 2 tanx 3

2

1 2 cos ) cos cos

1

1 cot

) sin (cos 2 2

cot tan

1





x x x

x

4

sin 3



















d) 8 2 cos 6 2 2 sin 3 sin 3 6 2 cos 4 1 0





x

a) cos 3x sin 3x sin 2x sinx cosx b) 3 4 cos 2 sin ( 2 sin 1 )





c) 4 3 sinxcosxcos 2x sin 8x d) tan 2xcot 2 2xcot 3x tan 2 x cot 2 2x cot 3x







tan

1

cos

3

4

cos

2





x



























x

4 sin 2 sin 4 3

Trang 9

c) sinx cosx cos 2x

a) 9 cot 3 cot 2 0









x

c) sin 3x 2 cos 2x 2  0 d) sin 3x sinx sin 2x 0

a) cos 2x 3 cosx 2  0 b) 3 cos 4 2 cos 2 3 1



x

c) 1  3 cosx cos 2x cos 3x 2 sinxsin 2x d) tanx tan 2x  sin 3xcos 2x

a)

x

x x

cos

cos 1

2

3 2 cos 2 sin

c) tanx cotx 2 (sin 2x cos 2x) d) 2 2 (sinx cosx) cosx 3  cos 2x

4 ( sin ) 4 ( sin







sin 1

2 sin





x x

c) cos 3x sinx 3 sin 2xcosx 0 d) 2 sin 3x cos 2x sinx

a) 3  cosx 1  cosx 2 b) sinxcosx 2 sinx 2 cosx 2

c) cosxcos 2xcos 4xcos 8x161 d) sin 2 x sin 2 3x cos 2 2x cos 2 4x







a) sin 3x(cosx 2 sin 3x)  cos 3x( 1  sinx 2 cos 3x)  0

2 4 cos 8 cos

) sin 1 ( 3 tan

tan

2 3



















x

x x

a) 2 cos 3 x sin 3x

c) cos 2x cos 2x 1 tanx







Bài 22 Giải các phương trình sau:

cos

1 cos

2 2 2 cos 2

sin

















x x

c) 2 cos 2x sin 2 xcosx sinxcos 2x 2 (sinx cosx)

a) tanxsin 2x 2 sin 2x 3 (cos 2x sinxcosx) b) sin 2x(cotx tan 2x)  4 cos 2x

sin

2 cos

1

x





c) cos 3 cos 2 2 sin 2 0







a) cos 3 2 cos 2 3 2 ( 1 sin 2 2 )

x x

x    b) sinx sin 2x sin 3x 0

c) cotx tanx sinx cosx d) sin 3x cos 2x 1  2 sinxcos 2x

cos

1 7 cos 8

2

cos

c) 9 sinx 6 cosx 3 sin 2x cos 2x 8 d) sin 3xcos 3x cos 3xsin 3x sin 3 4x





a) sinx sin 2x sin 3x sin 4x cosx cos 2x cos 3x cos 4x

Trang 10

b) 2 sin 2x sinxcosx cos 2 x  1 c) 0

cos sin

1 2 cos 2







x x

a) 2 sin 3x cos 2x cosx 0 b) 1  cos 3x sin 3x sin 2x

c) 1  cosx cos 2x cos 3x 0 d) cosx cos 2x cos 3x cos 4x 0

e) cos 2x sin 3x cosx 0 f) cosxsinx | cosx sinx|  1

a) 2  cos 2x  5 sinx b) sin 3x cos 3x 2 (sin 5x cos 5x)

c) sin 2x cos 2 2x cos 2 3x d) x cos 3x

3 cos















a) | sinx cosx|  | sinx cosx|  2 b) 2 sinx cotx 2 sin 2x 1

8

13 sin

a) sin 3x cosxcos 2x(tan 2 x tan 2x) b) 9 sin2 9 cos2 10



x c) 4 cos 3x 3 2 sin 2x 8 cosx



2

1  2 

4

sin 3















f )

5

5 sin 3

3



HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Bài 1 Giải các hệ phương trình lượng giác sau:

a)

3

1 tan

tan









y

x

y

x

b)

y x

tan tan

3

4

1 cos sin



c)

6 tan tan

3 tan tan





z y

y x

z y

d) cossin sincos 22









y x

e)

y x x

sin sin cos

cos cos sin

2 2



f) costan2y ytan3xcos tan2x xtan1y 1

g)





































4 sin 2 cot

tan

4 sin 2 cot

tan



x y

y

y x

x

h)

4

5 sin cos

2

3 cos

sin

2 2









y x

MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP KHÁC Bài 1 Tìm tất cả các nghiệm của phương trình 1  5 sinx 2 cos 2 x 0 thoả mãn cos x 0

Bài 2 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y sinx cosx cosx sinx

Bài 3 Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc thoả mãn:sin2A sin2B sin2Cm Nếu m = 2 thì tam giác ABC vuông, m > thì ba góc A, B, C đều nhọn và nếu m < 2 thì tam giác có góc tù

2

sin 2 sin 2 sin sin

Chứng minh rằng số đo của góc C là 120o

Trang 11

Bài 5 Hai góc của tam giác ABC thoả mãn điều kiện: 1

2

tan 2

A

Chứng minh rằng:

1

2

tan

4

3



Bài 6 Biện luận theo tham số a về số nghiệm của PT: 2 2 sin 2 2 cos | 1 | | 1 |









Bài 7 Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác ABC đều là có hệ thức:

3 ) cot cot

(cot sin

1 sin

1









C B

A

Bài 8 Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn điều kiện: cos 2A cos 2B cos 2C 1  0thì tam giác đó là tam giác vuông

Bài 9 Chứng minh rằng trong tam giác có: ( 2 2 ) sin( ) ( 2 2 ) sin( )

B C b

c B C c

đó vuông hoặc cân

Bài 10 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: y  5 cosx cos 5x trên  

4

; 4



Bài 11 Cho phương trình:

x m

x m x m

x m

sin 2

2 cos cos

2

2 sin







a) Giải phương trình khi m = 1

b) Khi m 0 và m  2, phương trình có bao nhiêu nghiệm nằm trong đoạn [ 20  , 30  ]

2

cot 2 cot

c a

2

tan 2

A tan

Chứng minh rằng: 3c  2 (ab)

Bài 14 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: ( ) 2 sin 2 4 sin cos 5



x

Bài 15 Tìm các giá trị x ( 0 , 2  ) sao cho cosx sinx cos 2x 0

Bài 16 Tìm t để phương trình sau có đúng 2 nghiệm x [ 0 ,  ]: t

x





 2 sin

1 sin 2

Bài 17 Cho tam giác ABC Chứng minh:

S

c b a C B A

4 cot

cot cot

2 2 2







Bài 18 Chứng minh với

2

3 tan sin

2 x x  x

Bài 19 Cho tam giác ABC thoả mãn: cos cos cos 21



c b a

C c B b A a

Chứng minh tam giác ABC đều

Bài 20 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: (cos 4 cos 8 )

2

1 ) 4 cos 2 sin 1 (

Bài 21 Giải phương trình sau: 9 cot 3 cot 2 0





Bài 22 Cho tam giác ABC thoả mãn: cosb Bcosc C sinB asinC Chứng minh tam giác ABC vuông

Bài 23 Cho tam giác ABC, chứng minh ta luôn luôn có: cosA cosB cosC 1

Bài 24 Chứng minh rằng tam giác ABC vuông hoặc cân khi và chỉ khi

B b A a A b

B

acos  cos  sin  sin

Bài 25 Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có: tanA tanB 2 cotC2 thì tam giác ABC cân

Bài 26 Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số trên đoạn:

2

1 cos

Định dạng
Số trang	14
Dung lượng	876,5 KB