Các bài giảng về phương trình lượng giác

r N guyền V ũ L n g (C hú biên) P h m V ăn H ù n g , N g u y ễn N g ọ c T h ắ n g C Á C BÀI GIÁNG VÊ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG G IÁ C NHÀ XUẤT BÁN CÍÀO DỤC 62-2005/C X B /l 9-1684/X B G D /G D M ã số: PTK B5 MỚĐẨU Trong mơn T ốn, nảng liếp thu kiến ihức vận dụng k iế n thức, thơng m inh, tính sá n s tạo học sinh dược đánh giá thống q u a việc giải tăp N h việc giài tập mà học sinh rút phương pháp giài, phép biến đổi hay nhận dạng nhanh dạng tập T u y nhiên trình nhận thức đòi hỏi nhiều thời gian phụ thuộc n h iểu vào níinỉí lực em Chính việc hệ ihống phương pháp giải, phân loại dạng tập theo nội dung kiến thức, thống k ẽ phép biến dổi việc cần thiết m ục đích củ a sách Khi dọc sách c c bạn nên đọc kĩ ví d ụ m inh hoạ đ ể hiểu rõ phương pháp tự giải tập trướe đ ọ c lời giải Trong lời giải sổ tẠp tác giã chi dẫn tới c c phương trình lượng giác bản, phán cò n lại dành cho bạn đọ c giải q u y ết tiếp Nội dung cùa sách dược c h ia thành chương sau: C h n g I M ộ t s ỏ kiên th ứ c h n phư ng t r i n h lư ợ n g giác Trong chương giới thiệu phương trình lượng giác c bản, bước giải m ột phư ng trình lượng giác phương pháp giải phương trình lượng giác C h n g II M ột s ỏ d n g p h n g tr ìn h lượng giác th n g g ậ p Trong chương n y giới thiệu m ột sơ' dạng phương trình lượng giác thường gặp q u e n thuộc Việc phân loại chi tiết d ạn g phương trình giúp bạn d ễ dàng nhận dạng phương trình với cách giãi đơn giản củ a C h n g U I S d u n g c ô n g th ứ c lư ợng giác đ ể giíii m ộ t s ò d n g p h n g t r ì n h lư ợ n g g iác Trong chương này, dựa trổn dạc điểm cúa công thức lượng giác xủy d ự n g phép biến đổi cụ thể, không thê’ thiếu giải sỏ' dạng phương trình Các dạng phương trình chương xếp v phân loại theo phép biến đổi C h n g IV S d ụ n g c c p h é p b iế n đổi đ ại s ố đ ế giải m ộ t s ô d n g p h ư n g t r ì n h lư ợ n g giác Khi giải m ộ t sơ' d ạn g phương trình ta cán có kết hợp c c cơng thức lượng giác h ằn g đảng Ihức đại sỏ' việc sử dụng hàng dẳng thức đại sô lại bước định Trong chương tác g iả phân loại sô’ dạng phương trình lượng giác theo hàng đ ản g thức hay phép biến đổi đại s ố đ ể học sinh dẻ nhận cách giải phương trình C h ư n g V S d ụ n g c c b ắ t đ ẳ n g th ứ c đ e giải m ột s ỏ (lạn g p h n g tr ìn h lư ợng giác Trong chương tác g iả sử dụng bất đảng thức đại số, lượng giác bàn đ ể giải m ột sô' d ạn g phương trình V iộc nhận cách giải dựa vào bất đẳng thức q u en thuộc (ác giả trình bày chương Trong trình biên so ạn q u y ến sách c h ú n g tỏi dã nhận nhiều dộng viên khích lộ củ a đồng nghiệp thuộc khối C huyên T oán Tin, Ban chủ nhiệm K hoa Toán - Cơ - T in học, lãnh đạo T rường Đ H K H T ự nhiên - Đ H Q G H N ội, Ô n g Trần Xuân Thuận, T g iám đốc liên hiệp khoa học sản xuất c ô n g nghộ phán m é m (CSE) chị Đ ạn g Thị Minh Thu, N hà xuất bàn G iáo dục, người biên tập quyổn sách Nhủn dịp ch o phép ch ú n g nói lời cảm ơn chân thành tới tập thể cá nhân nói trẽn Tuy cơ' gáng song chác chắn sách vản cò n khiếm khuyết, m ong s ự góp ý độc giả đẽ’ sách có nơi d u n g hoàn hảo Xin chân thành cảm ơn T hư góp ý xin gửi về: K hối phổ thơng chun Tốn - T in - T rường Đại học Khoa học T ự nhiên - Đại học Q uốc gia H Nội, 334 Đ ường N guyẻn Trãi, Q uận Thanh X uân, H Nội Các tác giá Mục Lục C hương Một s ố kiến thứ c c bán vể phương trình lượng g iác 1.1 Phương trình lượns giác b ả n 1.1.1 P hư ơng trình sin X = a 1.1.2 Phương trình c o s x = a 12 1.1.3 Phương trình t g x = a 17 1.1.4 Phương trình c o tg X = a 20 1.1.5 C ác bước giải c m ội phương trình lượng giác 22 1.2 C ác phương pháp giải phương trình lượng g i c 33 1.2.1 Phươnẹ pháp biến đổi đảng thức 1.2.2 Phương pháp s o sánh 33 35 1.2.3 Phương pháp xét biến t h i ê n 36 C hương Một s ố d n g p h n g trình lượng giác thường g ặ p 41 2.1 Sử dụng c ô n g thức s in a + cos a = giải m ột sơ' dạng phương trình lượng g i c 41 2.2 M ột sô' phép đảt ẩn p hụ 54 2.2.1 P h ép đ ặt ẩn phụ t = sin X cos X = - sin x 2.2.2 54 Phép đặt ẩn phụ t = c o s x , (|í| < ) 56 2.2.3 Phép đặt ẩn phụ t = t g x hoạc t = c o t g i 56 2.3 2.2.4 Phép đặt ẩn phụ t = s i n x + c o s x , (ịí| < \ / ) 2.2.5 Phép đạt ẩn phụ t = t g x + c o t g i , (|í| > M ột sơ’ dạng phương trình dơn giản thườne gập 59 2) 61 68 2.3.1 Phương trình dạng A tg n x + B c o t g m x + c — -TỊ— + D — Ịj— + E = 68 co s^x s itr X 2-3.2 P hư ơng trình dạng A cos x + B cos 2x + c cos X + D cos X + E c o s £ + F = 70 2.3.3 Phương trình dạng / l ( s i n x + c o s x ) + B ( sin x + c o s x ) + C s i n x c o s x + D = 71 2.3.4 P hư ơng trình dạng A sin + B cos x + c s i n X cos x + D = .7 73 2.3.5 P hư ơng trình giải nh cơng thức biến tổ n g thành t í c h 75 2.3.6 Phương trình giải n hờ cỏng thức biến tích th àn h t ổ n g .76 2.3.7 2.4 P hư ơng trình giải nh công thức cộng c u n g J 77 Phương trình bậc sin X cos X 88 2.4.1 N ế u \A\ = \ c \ h oặc | ỡ | = \ c \ 88 2.4.2 N ếu \A\ IC ị; |i?| í \c\ 89 2.4.3 M ộ t s ố phương trình đưa vể dạng sin X+ / i cos X = c 92 2.4.4 G iá trị lớn giá trị nhỏ cù a hàm số y = a sin X + c o s X + c 2.4.5 Đ iểu kiên tổn nghiệm cùa phương trình a sin X + b cos X = c 2.4.6 Sử d ụ n g bấl đẳng thức - V a + b2 < a s i n i + b c o s x < \Já2 + b2 để giải phương trình hệ phương trình lượng giác 99 2.5 Một sơ' d n g hệ phương trình lượng g i c .106 2.5.1 H ệ phương trình đưa vẻ hệ bàn 2.5.2 H ộ phương trình đưa vé hệ đại sô' đơn giàn 108 2.5.3 H ệ c ó thể k ẩn nh cơng thức Py-ta-go 2.5.4 H ệ phương trình giải nhờ bất đảng thức 1 2.5.5 106 111 H ệ phương trình giải nh tính chất đơn điệu c ù a hàm sổ’ lượng giác k h o ả n g 114 * C hương s ứ d ụ n g công th ứ c lượng giác đ ể giải s ố d n g phư ng trình lư ợng g iác 121 3.1 Biểu thức C ôsin áp d ụ n g 121 3.2 Biểu thức đối xứng áp dụna giải số phương trình lượng giác .130 3.3 Biểu thức bậc - c ủ a sin X, cos X ứng d ụ n g 138 3.4 Sừ d ụ n g tính chất đặc trưng cõng thức lượng giác giải m ột s ố dạng phương t r ì n h 145 3.5 G iải m ột s ố phương trình lượng giác cách sử dụng c ô n g thức c ộ n e c u n g 153 3.6 Sử d ụ n g c c công thức cộng cune với điều kiện giải số phương t r ì n h 172 3.7 Sử d ụ n g công thức lượng giác hàm s ố vòng với c u n g n x , n € z giải m ột số dạng phưưiig trình lượng g i c 182 3.8 Giải m ột số dạng phương trình lượng giác nhờ cơng thức tính tổniỊ hữu hạn hàm lượng g i c 196 C hương S d ụ n g p h é p biến đổi đại s ố để giải m ộ t s ố dạng phương trìn h lượng g iác Biến đổi phươnc trìn h thành phương trình tích nh đẳng thức u - 4.2 V2 = {u - v ) ( u + v) 4.5 240 Biến đổi phương trình thành phươntí trình tích biết cặp nghiệm đ ặ c b i ệ t 245 Đạt ẩn phụ để d a phương trình lượng giác phương trình đại s ố bàn 4.6 (u — b)(v - a) = 228 Biến đổi phương trình phương trình tích nhờ định lý Viét 4.4 215 Biến đổi phương trình thành phương trình tích nh đẳng thức a u + bv = ab + u v 4.3 215 251 Giải m ơt s ố phương trình, hệ phươna trình đại sơ' phương pháp lượniỉ g i c 260 C hương s d ụ n g b ấ t đ ăn g th ứ c đẽ’ giải s ố d n g phương trình lư ợng giác 269 5.1 Sử dụng m ột số bất d ẳn g thức đơn giản giải m ộ t sơ dạng phương trình lượng g i c 269 5.2 Sừ d ụ n g điều kiộn tổn nghiệm củ a phương trình bâc hai đ ể giải phương trình lượng giác hai ẩn 286 5.3 Các bất đẳng thức sử dụng đạo hàm bậc cao áp dụng 292 Chương Một sơ kiến thức phương trình lượng giác 1 P h n g t r ì n h lư ợ n g g iá c c b ả n 1 P h n g tr ìn h sin X = a a Nếu | a | > phư ng trình vơ nghiệm |s i n x | < b Nếu ịaị < 1, ta lấy mội điểm A trục sin ch o O A = a T A ta kè đư n g th ả n g vuổng góc với trục sin cầt vòng tròn lượng giác B , (h 1) Các điểm B , điếm cùa cung a 7T - a , ta có c c H 1.1 sin a = sin(7T - a ) = a v y nghiêm củ a phương trình dã cho X = n — a + k tt (*€Z) y/2 y/3 c N ếu a c c giá trị đặc biệt ± , ± ~ , ± — , ± — bạn giải n h ẩm đường tròn đơn vị ví dụ sau 283 C ác giảng vẻ phưim g trình lượniị giác Ta có f ' ( t ) = a i ° - - a = a ( í ° _ l - 1) Lập bảng xét dấu /(/.) T d ó suy / ( t ) < / ( ) = (đ p cm ) [D j Với a , b > 0, chứiig m in h rảng -h ^ a + ò^v^ Chiừig minh Bất đàng thức cho tư n g đương với o / ( = / ^ + ( l - t y ^ > 1~ '/ ỉ với < í = - - r < a + b f'{t) = - >/2(1 - o ^ “ = í = 284 N guyền V ũ Lương, P hạm Văn H ùng, Nguyền N gọc Thắng l\'/ĩ (dpcm) (l+ ' ) ( l + V sin £ / \ » cos )=25 £ / Hướng dẫn Á p dụng bất đảng thức (1 + a ) ( l + b) > (1 + y/ãb)2 ta thu (l + —V ) ( l V s in X ) \ + ~ ) cos4 X / ^ ( l + — T ^ — r Ỵ > { l + ) ỉ‘ = S V s in X c o s J X / sin X = cos2 = ' Dấu đắng thức xảy o Ví d ụ 32 Giải phương trình (,+ V sin X ) ( i + * y = s \ / V cos / Hướng dán Áp dụng bất đắnị; thức (1 + a ) ( l + ò ) ( l + c) > ^1 + \/ã b c j ta thu + (sin2 x ) ) + ( ic o s x )3) ~ + sin cos2 cos2 X ) > (1 + 27)3 = Dấu đảng thức xảy chì ~ cuo u- sin2 z ' + cos2 x = 2•2A => cos X = - ; sin X = - Ví d ụ 33 Giải phương trình sin X cos6 X -ĩ— + « 2~ + « cos2 cos X sin X x = 1• V C ác giáng v é p hư ng trinh lượng giác 285 Hưởììịị dán Áp dụng bất đ ản g thức ( với a, 6, c > 0) a3 b3 c3 + ^ + —2 > a + b + c 02 c2 a2 dấu đảng thức xảy a = b = c ta thu cos6 x + - cos X + cos4 X sin X _ ( s in x ) ( |c o s 2x )3 (± co s2 x )3 s in ! ( | cos2 x ) "** ( | cos2 i ) + (s in ! ) > s in X + cos2 X + - cos2 X = Vậy phương trình s i n X = ^ cos2 X sin X = ị ; cos2 X = - 3 Ví d ụ G iải phưcmg Irình ( s i n z ) s i n ỉ I ( c o s x ) cub3 z = Hướng dẫn Áp dụng bất đ ản g thức với a , > ; a , / > ; a + / ? = ] a u + p b > íi**^ dấu đ ẳ n g thức xáy a = b Ta suy = s in 2X ■ —i - h cos2 x sin 2X cos2 X > (sin'j x ) 8il|íl (cos2 x) c a X (s in x ) “ na* - ( c o s z ) ° " a* > ị Dấu đảng thức xảy s i n X — cos2 X = Ví d ụ 35 Giải phương trình ( s i n x ) 2^ + ( c o s i ) 2^ = 1- ^ ta có Nguyễn V ũ Lương, P hạm Văn H ùng, N guyễn N gọc Thắng 286 Hưởng dần a s/2 + b V ĩ với a b > d ấu đáng Ap dụng bất đẳng thức - ' - > thức xảy ch! a = b ta thu s in X -f c o s ( s i n x ) v/5 + ( c o s T j v /Ỉ > ( x \ Sĩ ) S d ụ n g đ i ể u k iệ n t ổ n t i n g h iệ m c ủ a p h n g t r ì n h b ậ c h a i đ ể g iả i p h n g t r ì n h lư ợ n g g iá c h a i ẩ n Đế giải phương trình dạng c h ú n g ta thường làm sau: Bước I : Chi biến đổi hai số hạng (lioậc hai thừa số) bàng cách sử d ụ n g c ô n g thức tích thành tổng hay tổ n g thành tích xây dựng d n g bậc hai Bước 2: T tồn đảng thức bậc ( lón nghiẻm củ a phương trình bạc ) ch ú n g ta thu dược hệ phương trình r Ị/ Ví d ụ G iải phươne trình c o s X + cos y — c o s ( x + y ) = ^ Hướng dân Phương trình d ã ch o tư ơng dương với o + y c o s CI r, cos x—+-—y Phương trình bậc hai dối với A ' = cos2 Vì co s — ~ c o s - + y , ta có - > < nên đ ế phươĩig tr ìn h c ó n g h iệ m c o s ’ — — — = 287 Các giảng v ề phương trình lượng giác V ạy phương trình d ã ch o tư ơng dương với x - y = cos x + y cos — - — = co X-y s - , - = X + y cos Ví d ụ Giải phương trình sin X + sin y + c o s(x + y) = ^ Hướng dần Phưcmg trình ch o tương đư n g với X + y X - s in - , I ô2 sin + cos V -— „ , I + Ị/ + - sin y „ ' ~ X - y X + y c o s — — — • s i n — f ^ = 2 Khi A ' = cos2 Vì cos2 ^ - > < nẽn đế phương trình có nghiệm c o s Phương trinh dã ch o tưcTng đưcmg với cos x -y = x + y s in ——— = 2 x - y c o s - : - = —1 x + y sin — -— Vi d ụ G iải phưưng trìn h x - y = 288 N guyền V ũ Lương, P hạm Ván Hùng, N guyễn N gọc Thắng Hướng dảtĩ Phương trình đ ã cho (ương đương với cos2x + cos2y - - + sin (x + y ) = l 1 - c o s(x + y ) co s(x - y) + - cos2( i + < / ) = c.os2(x + y ) + c o s (x — y ) cos(x + y) + - = Khi A = c o s2( i - y ) - > Vì cos2(x — y ) < nén để phương trình có nghiệm cos2(x - y ) = Phương trình đ ã cho tương đương với c o s ( z — y) = co s(x — -y) = c o s2(x + -y) + c o s (x + y) + ^ = c o s (x + y) o c o s (x - y) = - c o s (x - y) c o s2(x + y ) - co s(x + y ) + ị = co s(x + y ) Ví d ụ G iải phương trình cos2 X + cos2 y + s i n 2( z + Hướng dản Phương trình cho tương đương với ? /) = - -1 289 C ác ý ã n g v ề phương trình lượng giác Tương tự suy phư ng trình tương đương c o s (x - y) = 1 c o s (x + y) = ị cos(x - y) = - c o s ( x + y) = -JVí d u G iải phương trình s i n X ■s i n y ■c o s ( x + y ) = Hướng dẫn Phưcmg trình c h o tương đương với c o s ( x + y ) Ị c o s ( i - ý ) — cos(x + y )j = cos2 ( i + y ) — c o s(x — y) co s(x + -y) + l = Khi A ' = cos2( x - y ) - > Vì cos2(x — y ) < nên đê’ phương trình có nghiệm c o s2(x - y ) = ' Suy phương trình đ ã cho tương đương co s(x - y ) = c o s (z + y) = ị o c o s(x — y) = — c o s ( z + y) = - ị V í d u G iải phương trình HướníỊ dán Phươnẹ trình dã ch o tương đương với c o s ( z + y) cos(x + y) + cos(x - y ) j = — 4 c o s2( x + ụ) + c o s(x — y) cos(x + y) + = 0- 290 Nquyển V ũ LươriiỊ, P hạm Ván Hùng, Nguyền N gọc ThấnÍỊ Khi A ' = cos2( z - y ) - > Vì cos2(a: - y ) < nên để phương trình c ó nghiêm cos2( i - v ) = Phương trình đ ã cho tương đương với c o s ịx - y) = c o s (x + y) c o s ( z - y) c o s(x + y) -1 Ví d ụ Giải phương trình - c o s (x + y ) = ị - cos ( z - f ) + cos Hướng dần Phương trình ch o tương dương với cos ( x + y , + 1/ , + y X — 2ụ X + ụ 2 o cos ——- — ‘2 cos — — ^- • cos ——- + ^ = Khi dó A ' = cos2 — ~- 2y - > ■ X — 2ụ Vì cos — — nén d ế phươnii trình c ó nghiệm th ìc o s — Phương (rình ch o tương đương với x -2 y cos — — = - x + y _ cos 2 Ví d ụ G iải phương trình cos cos X - 2y _Ị = u , X — 2y = Các bời giáng vé phương trình lượng giác 291 Hướng dẫn Phương trình c h o lương đương với + y) c o s ( x + y ) — c:os(2y - x ) j = — c o s ( t 4 c o s2(x + y) — cos(2 y - x ) • c o s Ụr + ?/) + ! : Khi A ' = cos2(2 y - x ) - > Vì cos2(2 y - ì ) < nơn phải có cos2(2 y — x ) = Suy phương trình tương đương cos(2 y — x ) = c o s (x + y) = ị cos(2 y — x ) = —1 co s(x + {/) = - Ví d ụ G iải phương trình c o s X + c o s y + c n s(2 x - y ) + c o s ( y - x ) = + c o s ( i + y ) Hướng dán Phương trình đ ã c h o tương đương với Ị c o s(2 x — y ) + cos y o '2 cos X ■ co.s(;r < = > '2 c o s ( x - - y) + + co s(2 y — x ) + cos X cos ỉ/co s(x y) = + co s(x + y) y ) ( c o s I + c o s y) = + cos(x + y) c o s ( i - y ) ■cos —^ - • cos c o s2 - = + c o s ( i + y) - = + 2 cos2 —^ - - l l - c o s ịx - y ) cos — - - • cos — + = Khi A ' = cos2(x - y) cos2 — 2: - y - - > Vì c o s 2( i - y ) c o s — —- < n ê n đê p h n c trình có n g h iỗ m Nguyễn V ũ Lương, P hạm Vãn Hùng, N guyễn N gọc Thắng 292 Ta có 2í ^ \ y co s (x - y ) cos —- — = •í=>c:os2( x - (/) + cos3( x - y) = c o s ( x - y ) = c o s ( x — y) = < X + ú I c o s2 — —- = ^ 2 Phưưng trình tưcTna đưcmg với C c b ấ t đ ă n g th ứ c s d ụ n g đ o h m b ậ c c a o v p dụng Ta c ó bất đảng thức sau Với X > ta có: sin X3 X > X — —; u X3 X5 s i n K x - i + i ; cosx > — — ; z! C O S K l - | r + ^- X2 X2 rr4 ChứỉìỊỊ minh Ta có X3 X5 / ( x ) = sin i - x + 7- - 7 < ( ) 3! 5! /'( * ) = c o s a r- + ĩ ! f"{x) = - s i n 2' + X - lị-, fW(x) = - c o s x + - ^ /(x ) = s i n x - x / (5)(x ) = c o s x - < X > X > 293 C ác giáng v é phương trình lượng giác S u y n d iẽ u g iảm X > / « ( * ) < / 4(0 ) = •£> / / 3(x ) < / 3(0) = / (2)(x ) đ n điệu giảm X > / 2( z ) < / 2(0) = •£> f {ì)( x ) đơn điộu giảm X > f ' ( x ) < / ' ( ) = «=> f ( x ) đ n đ i ê u g i ả m k h i X > f ( x ) < f ( ) = đpcm Các bất đảng thức 1, 3, 4, chứng m inh tương tự Ví d ụ Giải phương trình X3 sinx = X - — G iả i Phương trình d ã cho tương dương với X3 f { x ) = s i n i - x + ^ ị - = Với X > ta c ó f ( x ) > 0, d o phương trình vỏ nghiêm H àm số f ( x ) hàm lẻ nẽn X < phương trình vơ nghiệm , v y X = n g h i ệ m d u y n h ấ t c ù a p h n g trìn h Ví d ụ Giải phương trình - cos X + cos x = - 5x2 — G iả i Phương trình đ ã c h o tương d n e với f ( x ) = c o sx + c o s i —2 + 5x2 = Với X > ta có X2 cos X > — —, cos x > — x í» Suy / ( x ) > d o đ ó phương trình vơ nghiộm H àm sò y = f { x ) hàm chẩn nên I < phương trình vô nghiệm Vậy X = n g h iệm củ a phương trình N guyền V ũ Lương, P hạm Ván Hùng, N guyễn N gọc Tháng 294 Bài sô Giải phương trình I X4 COS a: + X sin £ = + — -— • G iải Phương trình ch o tương đương với f ( x ) = X sin X + cos X - Với - X1 X4 — + — D X2 X > ta c ó cosx > - — I sin X > X — X2 Suy = X4 X sin X > I — X4 x s i n x + cosa; — - — + — > , đ ó phương trình vô nghiệm f ( x ) h m c h ẩ n n ó n p h n g tr ìn h c ũ n g v ô n g h iê m k h i X < Vây X = nghiệm phương trình Ví d ụ Giải phương trình X + sin x = s i n X + x COS X G iải Phương trình đ ã ch o tương đương với ( s i n x — i ) ( c o s x - 1) = = ± - + 2kn a cosx = ^ b s in r = X X = ( k € Z) Ví d ụ Giải phương trình 7T X + COS X = — 295 C ú c qiảng phương trình lượng ỳ c G iả i Phương trình đ ã c h o tương đương với 7r • ín n _\ c o s X =- — — X s i n ( — — X ) = — — X n Suy - - x n = ()!=- ¿0 Ví d ụ G iải phương trình (n — 2x)2 + s i n x = G iả i Phương trình đ ã c h o tương đương VỚI (§ - x ) 7T 7T 2 BÀI TẬP 3x3 G iải phương trình sin X + sin x = x - — £t Hướng dẩn Sử d ụ n g bất đảng thức Khi X Suy > sin sin + sin x > x — X _ 8x3 — z— s i n x > x — , 6 có X > X3 X 3x G iải phương trình X '2 + cos X = Hướng dẫn cos2 X = — x l + cos x = — x cos x = \ — x X2 4x2 , Ta c ó c o s X > l — — => c o s x > l — —— = l - x 2 G iải p h n g t r ì n h (n — x ) + c o s x = l Hướng dẩn Phưỡn« trình ch o tương đương với c o s ( ĩ t —2 t ) = l — 2(7T—x ) Ta c ó : c o s x > l - — => r o x > l — x c o s ( í r - 2x) > l — (7 T — ì ) , s u y r a X = 7T l n g h i ệ m d u y n h ấ t Chịu trách nhiệm x u ấ t bán: Chú tịch H Đ Q T kiêm T G iá m đốc NGỔTRẨN ÁI Phó Tổng G iám đố c kiêm T biên tập NGUYẾN QUÝ TI 1AO Biên tập nội dung: Đ Ặ N G TI II M I N H T H U Trình bày bìa: BÙI Q U A N G T U Ấ N C h ế : KHỐI C H UYÊN T O Á N DẠI H Ọ C K H O A H Ọ C T N H IÊ N ! ÍÀ NỘI C Á C BÀI C IẪ N C VE PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNC g i c M ã số: PTK 64B5 In 3000 bản, khố 17 X 24 cm , tai Nhà in Dai học Q uốc gia Hà Nội Sỏ xuất -2005/C X B /19- 1684/XBGD In xong n ộ p lưu chiểu tháng 11 nãm 2005 Chịu trách nhiệm xu ấ t bán: C hủ tịch H Đ Q T kiêm Tổng G iám đốc NGƠTRẨN ẢI Phó Tổng G iám đốc kiêm Tổng biên tập NGUYỄN QUÝ THAO Biên tập nội duniị: ĐẬNGTI 1Ị MI NHTHU Trình bày bìa: BÙI QUANGTUẤN C h ế bán: KHỐI CHUYÊN TOÁN DẠI HỌC KHOA HỌC T NHIÊN HÀ NÔI CÁC BÀI C l À INC VẺ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC M ã số: PTK 64B ỉn 3000 bán, khố 17 X 24 cm , Nhà in Đại học Quốc gia Hà Nội Sô xuất -2 0 /C X B /1 -1684/XBCìD ỉn xong nộp lưu chiểu tháng 1 nãm 2005 ... g giác Trong chương giới thiệu phương trình lượng giác c bản, bước giải m ột phư ng trình lượng giác phương pháp giải phương trình lượng giác C h n g II M ột s ỏ d n g p h n g tr ìn h lượng giác. .. d a phương trình lượng giác phương trình đại s ố bàn 4.6 (u — b)(v - a) = 228 Biến đổi phương trình phương trình tích nhờ định lý Viét 4.4 215 Biến đổi phương trình thành phương trình. .. vể phương trình lượng g iác 1.1 Phương trình lượns giác b ả n 1.1.1 P hư ơng trình sin X = a 1.1.2 Phương trình c o s x = a 12 1.1.3 Phương trình t g x = a 17 1.1.4 Phương