một số dạng phương trình lượng giác 11 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả cá...
Rốn luyn gii toỏn 11 - Phng trỡnh lng giỏc Biờn son: Cao Long {DT: 01236012220 } weblog: http://dcl2012.blogsport.com 1/6 Một số dạng phơng trình lợng giác khác. Dạng1. P/trình có chứa các biểu thức dạng : sin cos u u , 3.sin cos u u , 3.cos sin u u . Ta nên chú ý cách phân tích: * cos sin 2.sin 2.cos 4 4 u u u u = = . * 3cos sin 2.cos 2.sin 6 3 u u u u = = * 3.sin cos 2.sin 2.cos 6 3 u u u u = = để biến đổi nhanh về các P/trình cơ bản nếu có thể: Dấu hiệu: Trong p/trình có chứa các hệ số bằng 2 , và cos u sinu . Bài tập áp dụng: Bài 1 : Giải các phơng trình sau: a) sin cos 2.sin 7 x x x + = ; b) 2sin17 3 cos5 sin5 0 x x x + + = c) ( ) cos7 sin5 3 cos5 sin7 x x x x = ; d) ( ) 2 sin 2 3.cos2 5 cos 2 6 x x x + = . e) 3cos2 sin 2 2sin 2 2 2 6 x x x + + = e) 2 2 1 3sin .cos sin 2 x x x = ; f) 1 1 0 sin 3.cos x x = ; g) 3 3 cos2 sin 2 x x = . Dạng 2: P/trình đa đợc về PTrình bậc 2 theo một hàm số hay một biểu thức lợng giác. (Đặt ẩn số phụ để đa về PT bậc 2 đại số ). Nhận dạng: P/trình có chứa các biểu thức: * 1 a a + và 2 2 1 a a + . Trong đó a là hàm số lợng giác (sinu, cosu, tgu, cotgu). * cot tgu gu + và 2 2 cot tg u g u + . * ( ) ( ) m f u n f u + = (3) . Trong đó f(u) là một biểu thức lợng giác biến u. * sin u và cos2 u . (Ta có: 2 cos2 1 2sin u u = ). * cos u và cos2 u . (Ta có: 2 cos2 2cos 1 u u = ). PPG: Cần để ý: * 2 2 2 1 1 2. a a a a = + Nên , chỉ cần đặt 1 t a a = , ta suy ra : 2 2 2 1 2 a t a + = . * ( ) 2 2 2 cot cot 2 tgu gu tg u g u = + . Nên chỉ cần đặt cot t tgu gu = , ta suy ra: 2 2 2 cot 2 tg u g u t+ = . * Với PT dạng (3) chỉ cần quy đồng (sau khi đặt điều kiện) ta sẻ đợc Pt bậc 2 theo ẩn số t = f(u). Lu ý: + tìm khoảng xác định của t + sau khi tìm đợc t phải giải tiếp để tìm x ! PT chứa cos và sin , và có chứa hai góc gấp đôi nhau ! Rốn luyn gii toỏn 11 - Phng trỡnh lng giỏc Biờn son: Cao Long {DT: 01236012220 } weblog: http://dcl2012.blogsport.com 2/6 Bài 2 : Giải các P/trình sau: a) 2 2sin 5sin 3 0 x x = ; b) ( ) 2 4cos 2 3 1 cos 3 0 x x + + = c) ( ) 2 1 3 3 tg x tgx+ = ; d) 2 cot 4c 3 0 g x tg + = . e) cos2 9cos 5 0 x x + + = ; f) 2 2 3 sin 2 2cos 0 4 x x + = , g) 4 2 4 3 0 tg x tg x + = ; h) ( ) 2 1 2 1 2 3 cos tgx x = + . i) 2 3 9 cos tg x x + = ; j) 2 2 1 3cot 5 cos g x x + = . k) 2 2 cot 2 2cot 6 tg x g x tgx gx + + + = ; m) 2 2 1 1 cos cos cos cos x x x x + = + l) 2 2 1 1 4 sin 4 sin 7 0 sin sin x x x x + + + = , n) 2 2 1 1 cos 2 cos 1 cos cos x x x x + = + ; p) 2cos cos 1 3cos 2 2 x x x + = . Bài 3 : Cho phơng trình : ( ) 2 2 3 3 cot 1 0 sin tg x m tgx gx x + + + = (1). a) Giải P/trình (1) khi m = 1. b) Tìm m để P/trình (1) có nghiệm. Dạng 3: Phơng trình có chứa các biểu thức : * sin 2 2sin .cos u u u = và cos sin 2.cos 4 u u u = . PPG: Đặt cos sin 2.cos 4 t u u u = = . Bình phơng t , sau đó tính sin 2 2sin .cos u u u = theo t. Thay vào PT đầu ta đợc phơng trình ẩn số t ! Bài 4 : Giải các Phơng trình sau: a) ( ) 2 sin cos 6sin .cos 2 x x x x + + = ; b) cos sin 3sin2 1 0 x x x + = ; c) ( ) ( ) 1 2 1 sin cos sin 2 x x x + = ; d) ( ) 2sin 2 3 3 sin cos 8 0 x x x + + = ; e) sin 2 2.sin 1 4 x x + = ; f) ( ) ( ) ( ) 2 sin cos 2 1 sin cos 2 0 x x x x + = g) ( ) 3 3 sin cos 1 2 2 sin .cos x x x x + = + ; p) sin 2sin 2 1 cos x x x + + = ; h) ( ) ( ) 5 sin cos sin3 cos3 2 2 2 sin 2 x x x x x + + = + ; n) cot 2sin 1 gx x = i) ( ) 2 sin cos cot x x tgx gx + = + ; Rốn luyn gii toỏn 11 - Phng trỡnh lng giỏc Biờn son: Cao Long {DT: 01236012220 } weblog: http://dcl2012.blogsport.com 3/6 j ) cos2 sin cos 1 sin2 x x x x + = ; k) 3 3 sin cos 1 sin .cos x x x x = + ; m) 3 3 1 1 sin cos cos sin x x x x = . Dạng 4 : Phơng trình đa đợc về tích các thừa số. Dấu hiệu: Có chứa các số hạng sau: * 1 sin 2 ; cos2 ; 1 ; 1 cot ; sin cos . u u tgu gu u u * ( ) 2 cos ; 1 sin ; cos cot cot . sin 1 u u u gu gu u = . * ( ) 2 sin ; 1 cos ; sin . cos 1 u u u tgu tgu u = . Bài 5 : Giải các phơng trình sau: a) ( ) ( ) 2 2sin cos 1 cos sin x x x x + = ; b) ( ) 2 sin 1 cos 1 cos cos x x x x + = + + ; c) 1 2.sin 1 cot tgx x gx + = + ; d) 2 1 cos 1 sin x tg x x + = + ; e) ( ) ( ) 1 1 sin 2 1 tgx x tgx + = + ; f) 1 sin cos sin .cos 0 x x x x + + + = ; g) 3 3 sin cos cos2 x x x + = ; h) sin 2 1 2 cos cos2 x x x = + + ; i) sin 2 cos2 2 x x tgx + + = ; j ) sin cos cos2 x x x + = ; k) 1 sin 2 1 3 1 1 3 1 . 0 1 sin 2 1 1 3 1 3 x tgx x tgx + + = + + + + ; n) cos2 1 x tgx + = ; l) 2.cot 1 2 tgx gx+ = + ; m) 2 3. cot 3 1 tgx gx+ = ; o) sin cot 2 2 x x g + = ; p) cos3 cos2 sin3 x x x = Chú ý: Hai biểu thức : sin 1 ; cot cos 1 tgx x gx x + + có thừa số chung Bài 6 : Giải P/trình: a) ( ) ( ) 3 cot cos 5 sin 2 gx x tgx x = b) ( ) ( ) 5 sin 7 cot cos 2 tgx x gx x + + = Dạng 5: Dùng công thức hạ bậc (PT chứa các bình phơng, lũy thừa với số mũ chẵn,.), Bài 7 : Giải các phơng trình: a) 2 2 2 1 sin sin 2 sin 3 2 x x x + = ; b) 2 2 2 sin sin 2 sin 3 2 x x x + + = ; c) 2 2 2 2 5 sin sin 2 sin 3 sin 4 2 x x x x+ + + = ; d) 4 4 sin cos cos4 x x x + = ; e) 2 2 2 2 cos cos 2 cos 3 cos 4 2 x x x x + + + = ; f) 2 2 2 3 sin cos 2 sin 3 2 x x x+ + = ; Rốn luyn gii toỏn 11 - Phng trỡnh lng giỏc Biờn son: Cao Long {DT: 01236012220 } weblog: http://dcl2012.blogsport.com 4/6 g) 8 8 2 17 sin cos cos 2 16 x x x + = ; h) 4 6 cos cos2 2sin 0 x x x + = ; i) 6 6 15 1 sin 2 cos 2 cos4 8 2 x x x + = ; j ) 4 4 2 3 cos sin sin 2 sin 2 0 4 x x x x + + = ; k) 4 6 cos sin cos2 x x x + = ; l) ( ) ( ) 2 2 4cos 2 6 16cos 1 3 13 x x + = Bài 8 : Giải các P/trình: a) 2 3 4 2cos 1 3cos 5 5 x x + = ; b) 2 sin 3 4cos4 3 x x = + c) 2 2 cos 3 .cos2 cos 0 x x x = (ĐH Khối A 2005) *Lu ý: Với PT có chứa: 2 2 2 2 sin ; cos4 ; sin 3 ; cos ; cos 3 u u u u u ta biến đổi PT về cos2 u dùng các công thức: hạ bậc với 2 2 sin ; cos u u , Hạ bậc sau đó dùng tiếp công thức nhân ba với 2 2 sin 3 ; cos 3 u u , dùng công thức nhân đôi với cos4 u . Bài 9 : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: 4 4 1 cos sin A x x = + + Dạng 6: Phơng trình có chứa các biểu thức: * 3 3 2 2 cos ; sin ; sin .cos ; sin .cos ; sin ; cos u u u u u u u u (1) * 2 2 cos ; sin ; sin .cos u u u u . (2) PPG: * Với dạng (1 ) ta chia hai vế cho 3 cos u và chú ý đẳng thức 2 2 1 1 cos tg u u = + để đa P/trình (1) về P/trình theo ẩn số t tgu = , t R . Lu ý: Trớc khi chia cho 3 cos u cần thử xem , cos 0 2 u k k Z u = + = có phải là nghiệm của (1) không. Nếu thoả mãn thì kết luận , 2 u k k Z = + là một nghiệm. Sau đó giả sử 2 u k + , rồi chia 2 vế cho 3 cos u và làm tiếp nh trên. * Với dạng (2) ta làm tơng tự bằng cách chia 2 vế của 2 cho 2 cos u (với đ/kiện 2 u k + ). Bài 10 : Giải phơng trình: a) 3 3 2 4sin 3cos 3sin sin .cos 0 x x x x x + = (ĐH Luật 1996). b) 3 3 2 cos 4sin 3sin .cos sin 0 x x x x x + = (ĐH Ngoại Thơng 1996) c) 3 2cos sin3 x x = ( HVKTQS 1997) d) 2 4cos .sin cos sin x x x x = ; e) 3 6sin 2cos 5sin 2 .cos x x x x = ; f) 2 sin cos 4sin .cos x x x x = ; g) 3 3 cos sin sin cos x x x x + = ; h) 1 sin 3 cos cos x x x + = ; i) 3 2 3 sin 2sin .cos 3cos 0 x x x x + = Dạng 7: Các phơng trình dạng đặc biệt ! Lu ý các dạng: 1) 2 2 0 0 0 A A B B = + = = Rốn luyn gii toỏn 11 - Phng trỡnh lng giỏc Biờn son: Cao Long {DT: 01236012220 } weblog: http://dcl2012.blogsport.com 5/6 2) A A B B A B = = = 3) A A B B A B = = + = + Đặc biệt lu ý: sin 1 sin 1 sin .cos 1 cos 1 cos 1 u u u v v v = = = = = Bài 11 : Giải các phơng trình sau: a) ( ) 2 cos4 cos2 5 sin3 x x x = + ; 2 cos 1 x x = + (dạng 2) b) sin .cos2 1 x x = ; sin 4 .cos16 1 x x = (dạng đặc biệt) c) 2 2 4sin sin 3 3 4 3 sin x x x + + = ; (dạng 1) d) 2 sin cos cos 4 1 2 x x x+ + = + ; (dạng 3) e) cos6 cos4 4.cos3 4 0 x x x + + = ; f) ( ) sin cos 2 2 sin3 x x x + = ; g) 2 2 4cos 3 4 3 cos 2 3 4 0 x tg x x tgx + + + = ; h) 3 3 4 sin cos 2 sin x x x + = i) ( ) 7 sin cos 2 2 sin x x x + = ; j ) 5 5 4 sin cos 2 sin x x x + = ; k) 5 6 2sin 3cos 5 x x + = ; l) 13 14 sin cos 1 x x + = . Dạng 8 : Pt có chứa các cung liên kết đặc biệt. PPG: Cần chú ý đến công thức cộng, công thức biến đổi, mối liên hệ giữa các cung (góc) , nh: bù nhau, phụ nhau, hơn kém pi, Đặc biệt để ý góc nhân hai và nhân ba (nếu có) . Đôi khi cần đặt ẩn phụ về góc/cung để làm gọn góc/cung trong phơng trình. Bài 12 : Giải các phơng trình sau: a) 3 sin 3sin 4 2 4 2 x x + = ; b) sin cos 1 cos2 6 3 x x x + + + = + ; c) 3sin 4sin 5sin 5 0 3 6 6 x x x + + + + = ; d) 4 4 1 sin cos 4 4 x x + + = ; e) ( ) 2 sin 3 cos 5 cos 4 3 x x x + = + + ; f) 3 3 1 cos3 .sin sin3 .cos 6 6 8 x x x x + + = ; g) 4 4 sin cos 2cos 2 .cos 2 4 4 x x x x + = + ; h) 3 sin 2sin 5 5 2 x x + = ; i) 3 tan tan 4 2 x x = j) 3 3 sin 3sin 2 10 10 2 x x + = ; Rèn luyện giải toán 11 - Phương trình lượng giác Biên soạn: Đỗ Cao Long {DT: 01236012220 } weblog: http://dcl2012.blogsport.com 6/6 k) tan tan 2 4 x x π + + = − ; l) tan tan 1 6 3 x x π π + − = ; m) tan .tan .tan 1 4 4 x x x π π − + = . n) 3 2 2sin sin 4 4 2 x x π π + + − = ; o) 8sin .sin 2 6sin .cos 2 5 7cos 4 4 x x x x x π π + + − = + ; p) 2 2 3sin .cos 2cos 3 1 8 8 8 x x x π π π − − + − = + ; - - - Chúc các em ôn tập tốt ! - - - . 3 cos2 sin 2 x x = . Dạng 2: P /trình đa đợc về PTrình bậc 2 theo một hàm số hay một biểu thức lợng giác. (Đặt ẩn số phụ để đa về PT bậc 2 đại số ). Nhận dạng: P /trình có chứa các biểu thức:. toỏn 11 - Phng trỡnh lng giỏc Biờn son: Cao Long {DT: 01236012220 } weblog: http://dcl2012.blogsport.com 1/6 Một số dạng phơng trình lợng giác khác. Dạng1 . P /trình có chứa các biểu thức dạng. . Bài 3 : Cho phơng trình : ( ) 2 2 3 3 cot 1 0 sin tg x m tgx gx x + + + = (1). a) Giải P /trình (1) khi m = 1. b) Tìm m để P /trình (1) có nghiệm. Dạng 3: Phơng trình có chứa các biểu