HÀM số LƯỢNG GIÁC và PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất...
Đại Số 11 TOÙM TAÉT LYÙ THUYEÁT Chöông I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1. Các công thức lượng giác a. Đường tròn lượng giác y 3π 5π 4 π 2π π 2 3 3 6 π 4 π 6 x π O 7π 6 11π 5π 7π 6 4 4π 3 3π 2 5π 4 3 0 1p ( rad ) = 180 b. Công thức lượng giác cơ bản sin 2 a + cos2 a = 1 t an a = Þ cos2 a = 1 - sin 2 a ; sin 2 a = 1 - cos2 a cos a cot a = sin a 1 p + k p, k Î ¢ 1 + t an 2 a = 2 , a ¹ 2 cos a sin a cos a 1 kp , a ¹Î ,k ¢ t an a 2 1 1 + cot 2 a = 2 , a ¹Î k p, k sin a cot a = ¢. c. Công thức cộng ( ) sin ( a - b) = sin a cosb - cos a - b = cosa cosb + sin a sin b ( ) t an a + b = cosa sin b t ana + t an b 1 - t an a.t anb ( ) sin ( a + b) = sin a cosb + cosa sin b cos a + b = cosa cosb - sin a sin b ( ) t an a - b = t ana - t an b 1 + t an a.t anb d. Công thức nhân đôi cos2a = cos2a - sin 2 a = 2cos2a - 1 = 1 - 2 sin 2 a sin2α = 2sinαcosα t an 2a = 2 t an a 1 - t an 2 a e. Công thức nhân ba sin 3x = 3 sin x - 4 sin 3 x cos 3x = 4 cos 3 x - 3 cos x f. Công thức hạ bậc 2 cos a = 1 + cos2a 2 2 sin a = Chương I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1 - cos2a 2 1 Đại Số 11 g. Công thức biến đổi tích thành tổng 1é ù êcos ( a + b) + cos ( a - b) ú û 2ë 1 sin a + b) + sin ( a - b) ù sin a cosb = é ú ë ( û 2ê cosa cosb = sin a sin b = cosa sin b = 1é ù êcos ( a + b) - cos ( a - b) ú û 2ë 1é sin a + b) - sin ( a - b) ù ú ë ( û 2ê h. Công thức biến đổi tổng thành tích cos x + cos y = 2cos x+y x- y .cos 2 2 cos x - cos y = - 2 sin sin x + sin y = 2 sin x+y x- y .cos 2 2 sin x - sin y = 2cos x+y x- y . sin 2 2 x+y x- y . sin 2 2 2. Công thức nghiệm của các phương trình lượng giác a. Phương trình sin x = a . + Nếu a > 1 thì phương trình vô nghiệm éx = arcsin a + k 2p ê a £ 1 sin x = a ÛÎ + Nếu thì: êx = p - arcsin a + k 2p ( k ¢ ) ê ë éx = a + k 2p ê (k ¢ ) sin x = sin a ÛÎ ê x = p - a + k 2p ê ë éf ( x ) = g ( x ) + k 2p ê é ù é ù sin f x = sin g x ÛÎ ê ê ë ( )ú û ë ( )ú û ê x = p - g ( x ) + k 2p ê ë éx = b0 + k 3600 Chú ý: Nếu tính bằng độ thì sin x = sin b ÛÎ ê êx = 1800 - b0 + k 3600 ê ë 0 (k ¢) (k ¢) b. Phương trình cos x = a . + Nếu a > 1 thì phương trình vô nghiệm éx = arc cos a + k 2p + Nếu a £ 1 thì: cos x = a ÛÎ ê êx = - arc cos a + k 2p ê ë éx = a + k 2p ê cos x = cos a ÛÎ ê êx = - a + k 2p ë éf ( x ) ù= cos ég ( x ) ùÛÎ cos ë ê ú ê û ú û ë éx Chú ý: Nếu tính bằng độ thì cos x = cos b ÛÎ ê êx ê ë 0 (k (k ¢) ¢) éf ( x ) = g ( x ) + k 2p ê êx = - g x + k 2p ( ) ê ë = b0 + k 1800 (k = - b0 + k 1800 (k ¢) ¢) Đặc biệt: sin x = 0 Û x = k p (k Î ¢ ) p + k 2p ( k Î ¢ ) 2 p + k 2p ( k Î ¢ ) sin x = - 1 Û x = 2 sin x = 1 Û x = cos x = 0 Û x = p + kp 2 cos x = 1 Û x = k 2p (k Î ¢ ) (k Î ¢ ) cos x = - 1 Û x = p + k 2p Chương I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC (k Î ¢ ) 2 Đại Số 11 c. Phương trình t an x = a (k Î ¢) t an x = t an a Û x = a + k p ( k Î ¢ ) t an é f x ù= t an é g x ùÛ f ( x ) = g ( x ) + k p ( k Î ¢ ) ê ê ë ( )ú û ë ( )ú û t an x = a Û x = arct an a + k p 0 0 0 Chú ý: Nếu tính bằng độ thì t an x = t an b Û x = b + k 180 (k Î ¢) d. Phương trình cot x = a (k Î ¢ ) cot x = cot a Û x = a + k p ( k Î ¢ ) cot é f x ù= cot é g x ùÛ f ( x ) = g ( x ) + k p ( k Î ¢ ) ê ê ë ( )ú û ë ( )ú û cot x = a Û x = arc cot a + k p 0 0 0 Chú ý: Nếu tính bằng độ thì cot x = cot b Û x = b + k 180 (k Î ¢ ) e. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác Dạng: at + b = 0 ( a ¹ 0) , t là một hàm số lượng giác Cách giải: Chuyển vế rồi chia hai vế cho a, đưa về phương trình lượng giác cơ bản. f. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác 2 Dạng: at + bt + c = 0 ( a ¹ 0) , t là một hàm số lượng giác Cách giải: giải phương trình bậc hai, đưa về giải phương trình lượng giác cơ bản. g. Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x Dạng: a sin x + b cos x = c Điều kiện để phương trình có nghiệm: a 2 + b2 ³ c 2 Cách giải: Chia hai vế cho a 2 + b2 æ çx + Đặc biệt: sin x + cos x = 2 sin ç ç ç è æ sin x - cos x = sin ç çx ç è æ cos x - sin x = cos ç x+ ç ç è æ pö pö ÷ ÷ ç ÷ ÷ = cos ç ÷ ÷ çx - 4 ø ÷ ÷ 4ø è pö ÷ ÷ ÷ ÷ 4ø pö ÷ ÷ ÷ ÷ 4ø 3. Bảng giá trị lượng giác của các góc (cung) đặc biệt Góc GTLG 0 0 0 rad 300 p 450 p 600 p 900 p 6 1 2 4 3 2 2 2 1 sin 0 cos 1 3 2 2 2 3 2 1 2 tan 0 3 3 1 3 || cot || 3 1 3 3 0 0 Chương I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 3 Đại Số 11 4. Giá trị lượng giác của các góc (cung) có liên quan đặc biệt cos đối, sin bù, phụ chéo, khác pi tang và côtang khác pi trên 2 chéo sin Hai góc (cung) đối nhau: a và - a Hai góc (cung) bù nhau: a và p - a sin ( - a ) = - sin a sin ( p - a ) = sin a cos ( - a ) = cos a cos ( p - a ) = - cos a t an ( - a ) = - t an a t an ( p - a ) = - t an a cot ( - a ) = - cot a cot ( p - a ) = - cot a p Hai góc (cung) phụ nhau: a và - a 2 æ p sin ç ç ç è2 æ p cos ç ç ç è2 æ p t an ç ç ç è2 æ p cot ç ç ç è2 ö ÷ a÷ = cos a ÷ ÷ ø ö ÷ a÷ = sin a ÷ ÷ ø ö ÷ a÷ ÷= cot a ÷ ø ö ÷ a÷ = t an a ÷ ÷ ø Hai góc (cung) hơn kém nhau p : a và p + a sin ( p + a ) = - sin a Hai góc (cung) hơn kém p a p : và + a 2 2 æ ö p ÷ ÷ sin ç + a = cos a ç ÷ ç ÷ è2 ø æ ö p ÷ cos ç = - sin a ç + a÷ ÷ ÷ ç è2 ø æ ö p ÷ ÷ t an ç + a ç ÷= - cot a ç ÷ è2 ø æ ö p ÷ cot ç + a÷ = - t an a ç ÷ ç ÷ 2 è ø cos ( p + a ) = - cos a t an ( p + a ) = t an a cot ( p + a ) = cot a Chương I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 4