Đang tải... (xem toàn văn)
Chuyên đề đã đạt giai trong họi thi GVDG cấp TP Thể hiện đủ phần lý thuyết của hàm số bậc hai và phương trình bậc hai cũng như phương pháp giải các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao. và có vi dụ minh họa có đáp án. Có hai đề thi vào lớp 10 và đáp án cụ thể
CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI MỤC LỤC PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN A KIẾN THỨC CƠ BẢN: Hàm số y = ax2 (a �0) Phương trình bậc hai một ẩn: .3 Hệ thức Vi-ét ứng dụng: B CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN Dạng Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = ax2 (a ≠ 0) .5 Dạng Giải phương trình bậc hai một ẩn Dạng Giải phương trình quy phương trình bậc hai .9 Dạng Tìm hai số biết tổng tích chúng 10 Dạng Tìm điều kiện tham số m để phương trình ax bx c có nghiệm, có nghiệm kép, vơ nghiệm .11 Dạng Tìm tham số m biết dấu nghiệm (hai nghiệm trái dấu, dấu, dương âm, hai nghiệm đối nhau, hai nghiệm nghịch đảo nhau) .13 Dạng Vận dụng định lý Viet để tính giá trị biểu thức đối xứng 14 Dạng Tìm m để phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện (T) cho trước: 16 Dạng Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình bậc hai không phụ thuộc tham số 18 Dạng 10.Tìm giao điểm xác định số giao điểm hai đồ thị (P):y = ax2 (a �0) (D): y = ax + b .19 Dạng 11 Giải toán cách lập phương trình 20 C BÀI TẬP VẬN DỤNG 22 BÀI TẬP TỰ LUẬN .22 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 24 HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP ÁN .25 D ĐỀ MINH HỌA THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT .32 CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI Danh sách kí hiệu sử dụng Ký hiệu � � � Đọc Khác Thuộc Tương đương Danh sách tài liệu tham khảo + Sách giáo khoa Toán tập + Nâng cao phát triển Toán + Bài tập câu hỏi trắc nghiệm Toán + Bồi dưỡng lực tự học Toán Max Min Suy Giá trị lớn Giá trị nhỏ - NXB GD Vũ Hữu Bình Phan Lưu Biên PGS – TS Đặng Đức Trọng CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI HÀM SỐ y = ax2 (a �0) PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN A KIẾN THỨC CƠ BẢN: Hàm số y = ax2 (a �0) a) Tính chất Hàm số y = ax2 (a �0) xác định vói giá trị x �� a > Hàm số đồng biến x > 0; nghịch biến x < y = giá trị nhỏ hàm số, đạt x = a < Hàm số đồng biến x < 0; nghịch biến x > y = giá trị lớn hàm số, đạt x = b) Đồ thị Đồ thị hàm số y = ax2 (a �0) mợt parapol có đỉnh góc tọa đợ O(0 ; 0) nhận trục tung làm tục đối xứng Là một Parabol (P) với đỉnh gốc tọa độ nhận trục Oy làm trục đối xứng Nếu a > thì đồ thị nằm phía trục hoành điểm thấp đồ thị Nếu a < thì đồ thị nằm phía trục hoành điểm cao đồ thị Vẽ đồ thị hàm số y = ax2 (a �0): + Lập bảng giá trị tương ứng (P) x y = ax2 (a �0 x y2 x1 y1 0 x1 y1 x2 y2 + Dựa bảng giá trị � vẽ (P) Phương trình bậc hai một ẩn: a) Định nghĩa: Phương trình bậc hai một ẩn phương trình có dạng: ax + bx + c = x ẩn số ; a , b , c số cho trước gọi hệ số ( a �0) CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI b) Cách giải: ( a �0) Công thức nghiệm tổng quát phương trình bậc hai: ax + bx + c = D = b - 4ac D > : Phương trình có hai nghiệm phân biệt: D = : Phương trình có nghiệm kép: D < : Phương trình vô nghiệm x1 = x1 = x2 = - b+ D - b- D x2 = 2a 2a , -b 2a ( a �0) Công thức nghiệm thu gọn phương trình bậc hai: ax + bx + c = D = b - 4ac > : Phương trình có hai nghiệm phân biệt: D� x1 = - b� + D� - b� - D� x2 = 2a 2a = : Phương trình có nghiệm kép: D� < : Phương trình vô nghiệm D� x1 = x2 = - b� 2a Hệ thức Vi-ét ứng dụng: Hệ thức Vi-ét: Nếu phương trình ax bx c có hai nghiệm x1 x2 thì: b � S x x � � a � c �P x x � a Hệ thức Vi-ét thường áp dụng để tính nhẩm nghiệm, xét dấu nghiệm hay tìm hai số biết tổng tích chúng dựa vào kết sau đây: a Kết 1: Cho phương trình ax bx c ( a �0) c Nếu a + b + c = thì phương trình có hai nghiệm x1 = 1, x2 = a Nếu a b + c = thì phương trình có hai nghiệm x1 = 1, x2 = b Kết 2: Cho phương trình ax bx c (a �0) b c S P a a có b 4ac �0 với c a Điều kiện Dấu nghiệm P < hay a.c < x1 < < x2 Phương trình có hai nghiệm trái dấu P > 0, S > 0 < x1 �x2 Phương trình có hai nghiệm dương P > 0, S < x1 �x2 < Phương trình có hai nghiệm âm Mơ tả CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI c Kết 3: Nếu hai số a b có a + b = S a.b = P thì a b nghiệm phương trình: x Sx P (Điều kiện để có a b : S 4P �0 ) A CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN Dạng Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = ax2 (a ≠ 0) Phương pháp chung: Thực hiện theo bước sau: a) Hàm số y = ax2 (a ≠ 0) xác định x R Tính biến thiên: phụ thuộc vào a > (hoặc a < 0) c) Bảng giá trị: tính tọa đợ điểm, có tọa đợ điểm thấp (a > 0) điểm cao (a < 0) d) Vẽ đồ thị nhận xét: đồ thị hàm số y = ax 2(a ≠ 0) một đường cong parabol (như phần II) b) Các ví dụ: 2 Ví dụ 1: Xác định m để đồ thị hàm số (P) y (m 2)x a) Đồng biến x > nghich biến x < b) Đi qua điểm A(1;2) Hãy khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với m vừa tìm Lời giải: a) Đề hàm số đồng biến x > nghịch biến x < thì m2 � m m � m m 2 b) Đồ thị hàm số y (m 2)x qua điểm A(1;2) nên tọa độ điểm A thỏa mãn phương trình (m2 2).12 � m2 � m2 � m �2 00Với m = ta được: (P) y = 2x2 Hàm số y = 2x2 xác định x R Tính biến thiên: Hàm số y = 2x2 có a = >0 nên hàm số: + Đồng biến x > + Nghịch biến x < Bảng giá trị: x … -1 … y = 2x … Vẽ đồ thị: (như hình trên) Nhận xét: … -2 Đồ thị hàm số y = 2x2 một đường cong parabol (P): + Đi qua gốc tọa độ + Nhận trục tung làm trục đối xứng + Nằm phía trục hồnh + Có đỉnh O điểm thấp CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI Với m = -2 ta được: (P) y = -2x2 Hàm số y = -2x2 xác định x R Tính biến thiên: Hàm số y = 2x2 có a = -2 Bảng giá trị: x … -2 -1 … y = -2x2 … -8 -2 Vẽ đồ thị: (như hình trên) Nhận xét: -2 -8 … Đồ thị hàm số y = -2x2 một đường cong parabol (P): + Đi qua gốc tọa độ + Nhận trục tung làm trục đối xứng + Nằm phía trục hồnh + Có đỉnh O điểm cao Ví dụ 2: a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = ax2, biết đồ thị qua điểm A(2; 1) b) Các điểm sau thuộc đồ thị hàm số: M(–8 ; –16) N(–6 ; 9) c) Xác định tọa độ điểm R, Q thuộc đồ thị hàm số biết điểm R có hồnh đợ , điểm Q có tung đợ Lời giải a) Gọi (P) đồ thị hàm số y = ax2 1 a.2 � K � a y a.x A A(2; 1) (P): y = ax A y x2 Vậy (P) đồ thị hàm số: y x2 Khảo sát biến thiên vẽ (P): y x2 Hàm số xác định x R 1 y x2 a 0 4 Tính biến thiên: Hàm số có nên hàm số: - Đồng biến x > - Nghịch biến x < Bảng giá trị: x … –4 –3 –2 … CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI y x … 1 4 … Vẽ đồ thị: (như hình trên) y Nhận xét: Đồ thị hàm số x một đường cong parabol (P): - Đi qua gốc tọa độ - Nhận trục tung làm trục đối xứng - Nằm phía trục hồnh - Có đỉnh O điểm thấp b) Các điểm sau thuộc đồ thị hàm số: M(–8; –16) N(–6;9) Với điểm M(–8; –16): y Giả sử M(–8; –16) (P): x yM xM2 4 16 ( 8 )2 � 16 16 (sai) Vậy M(–8; –16) (P) Với điểm N(–6;9): Giả sử N(–6;9) (P): y x y N xN2 4 ( 6 )2 � 36 36 (đúng) Vậy N(–6;9) (P) c) Xác định tọa độ điểm R, Q thuộc đồ thị hàm số biết điểm R có hồnh đợ , điểm Q có tung đợ 3: R( 2; y R ) �( P ) � y R 1 xR � YR ( )2 � y R 4 R( 2; ) Vậy Q( xQ ;3 ) �( P ) � yQ � xQ xQ � xQ2 � x 12 Q 4 xQ Vậy có điểm Q thỏa đề bài: Q1 ( 2 3;3 ), Q2 ( 3;3 ) � 1� �m � �x2 đồng biến x > nếu: Ví dụ 3: Hàm số y = � A m < B m > C m > D m = Đáp án: B Ví dụ 4: Trong mặt phẳng xOy, đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng? A y = 2x + B y = x C y = x D x = y2 CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI Đáp án: C Dạng Giải phương trình bậc hai một ẩn 1) Phương pháp chung ( a �0) Công thức nghiệm tổng quát phương trình bậc hai: ax + bx + c = D = b - 4ac D > : Phương trình có hai nghiệm phân biệt: D = : Phương trình có nghiệm kép: D < : Phương trình vô nghiệm x1 = x1 = x2 = - b+ D - b- D x2 = 2a 2a , -b 2a ( a �0) Công thức nghiệm thu gọn phương trình bậc hai: ax + bx + c = D = b - 4ac > : Phương trình có hai nghiệm phân biệt: D� x1 = - b� + D� - b� - D� x2 = 2a 2a = : Phương trình có nghiệm kép: D� < : Phương trình vô nghiệm D� x1 = x2 = 2) Các ví dụ Ví dụ 1: Giải phương trình sau: a) 4x2 – 8x + = b) x2 – 6x + 14 = c) x2 – 4x + = Lời giải a) 4x2 – 8x + = Ta có: ' (4) 4.3 � > x1 Phương trình có hai nghiệm phân biệt: b) x2 – 6x + 14 = Ta có: ' (3) 14.1 5 Phương trình vô nghiệm c) x2 – 4x + = Ta có: ' (2) ; x1 2 x x 2 Phương trình có nghiệm kép: 1 Ví dụ 2: Giải phương trình sau cách nhẩm nghiệm a) 7x2 – 9x + = - b� 2a CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI b) 23x2 – 9x – 32 = c) ( )x2 + x – (2 + 3) = Lời giải a) 7x2 – 9x + = Ta có: a + b + c = + (– 9) + = phương trình có hai nghiệm: x = ; x2 = b) 23x2 – 9x – 32 = Ta có: a – b + c = 23 – (–9) + (–32) = 23 + – 32 = 32 phương trình có hai nghiệm: x1 = phương trình có hai nghiệm: x1 = –1 ; x2 = 23 c) ( )x2 + x – (2 + ) = Ta có: a + b + c = + – (2 + ) = + – – = (2 3) (7 3) phương trình có hai nghiệm: x1 = –1 ; x2 = Ví dụ 3: Giá tị x sau nghiệm phương trình: x x 43 43 37 37 x1 ; x2 x1 ; x2 2 2 A B B x1 52 52 ; x2 2 D x1 46 46 ; x2 2 Đáp án: B Ví dụ 3: x = nghiệm phương trình say đây: 2 A x x B x 14 x C x x D x 14 x Đáp án: A Dạng Giải phương trình quy phương trình bậc hai 1) Phương pháp chung: a) Phương trình trùng phương : ax bx c (a �0) Đặt t = x2( t �0 ) đưa dạng : at bt c Thay gí tri t �0 vừa tìm suy x b) Phương trình chứa ẩn mẫu : Bước Tìm điều kiện xác định phương trình Bước Quy đồng mẫu thức hai vế khử mẫu Bước Giải phương trình vừa nhận Bước Trong giá trị tìm ẩn, loại giá trị không thỏa mãn điều kiện xác định, giá trị thỏa mãn điều kiện xác định nghiệm phương trình cho c) Phương trình tích Đưa phương trình dạng tích áp dụng tính chất: A.B = A = B = CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI Giải hai phương trình A = B = suy nghiệm 2) Các ví dụ Ví dụ 1: Giải phương trình sau a) x3 + 3x2 – 2x – = b) 5x4 + 2x2 – 16 = 10 – x2 Lời giải a) Giải phương trình x3 + 3x2 – 2x – = (1) (1) (x2 – 2)(x + 3) = (x + )(x – )(x + 3) = x=– 2;x= ; x = –3 Vậy phương trình (1) có nghiệm x = – ; x = ; x = – b) Giải phương trình 5x4 + 2x2 -16 = 10 – x2 (3) Ta có: (3) 5x4 – 3x2 – 26 = Đặt x2 = t (t 0) thì (3) 5t2 – 3t – 26 = Xét = (–3)2 – 4.5.( –26) = 529.> = 23 ( 3) 23 13 2.5 (thoả mãn t 0) ; Nên: t1 = ( 3) 23 2.5 t2 = (loại) 13 13 13 Với t = x2 = x = 13 ; x2 = Vậy phương trình (3) có nghiệm x1 = 13 Ví dụ 2: Giải phương trình sau 2x x2 x a) x ( x 1)( x 4) b) (x2+ x) – (x2+ x) – = Lời giải 2x x2 x a) Giải phương trình x ( x 1)( x 4) (2) Với ĐK: x ≠ – 1; x ≠ thì (2) 2x(x –`4) = x2 – x + x2 – 7x – = (*) Do a – b + c = 1– (–7) + (–8) = phương trình (*) có nghiệm x1 = –1(không thoả mãn ĐK) ; x2 = (thoả mãn ĐK) Vậy phương trình (2) có nghiệm x = b) Giải phương trình 3(x2 + x) – (x2+ x) – = (4) Đặt x2 + x = t Khi (4) 3t2 – 2t – = Do a + b + c = + (– 2) + (– 1) = Nên t1 = 1; t2 = t1 = 1 x2+x = 1 x2 + x – = 10 CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI 1 c) Để đường thẳng y = 2x + m tiếp xúc với đồ thị hàm số y = x2 thì hệ phương trình hồnh đợ 1 giao điểm: x2 = 2x + m có nghiệm kép � x2 + 2x + m = có nghiệm kép � = � m = Gọi M (x; y) tiếp điểm cần tìm : �y x m �y x �x 2 � � � 1 � � 1 � � x y x �y 2 �y � � Thay m = vào hệ � y x2 đường thẳng (d): y mx 2m TL 4.4 Cho parabol (P) : Lời giải a) Gọi A(x0 ; y0) điểm cố định cần tìm, ta có � � x 2 x 2 � � m � � � �0 3 y0 � y0 3 (x0 2)m 3 y0 0, � với Do (d) qua điểm cố định A(2 ; 3) với m b) Phương trình hồnh đợ giao điểm (P) (d) là: x2 mx 2m � x2 2mx 4m (*) ' m2 (4m 6) m2 4m m 2 0, v� � i m Ta có: Vậy phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt với m, tức (d) cắt (P) hai điểm I(x;y) phân biệt M , N Đặt M(x1;y1), N(x2;y2 ) va� trung điểm MN, với x1 , x2 hai � x1 x2 x m � � � y y m(x1 x2 ) 4m � y � 2 nghiệm (*) Khi đó, kết hợp với hệ thức Vi-ét ta suy ra: � �x m �� �y (m 2m 3) hay y x 2x Vậy tập hợp trung điểm I (x ; y) đoạn thẳng MN m thay đổi điểm mặt phẳng Oxy có tọa đợ thỏa mãn hệ thức: y x 2x TL 5.1 Hướng dẫn: Đổi 24 phút = (giờ) S (km) Dự định V (km/h) 120 x 33 T (h) 120 x CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI Thực tế 40 x Thực tế 80 x + 10 40 x 80 x 10 40 80 Thời gian xe lăn bánh x x 10 120 �40 80 � 2 � � � x 10x 2000 x �x x 10 � Phương trình: Giải phương trình ta được: x = 40 ; x = –50 (loại) Vậy vận tốc dự định xe máy : 40km/h TL 5.2 Hướng dẫn: Đổi 30 phút = (giờ) S (km) Lúc V (km/h) 90 x 90 x+9 Nghỉ B Lúc T (h) 90 x 90 x9 90 90 � x 31x 180 x x 9 Phương trình: Giải phương trình ta được: x = 36 ; x = – (loại) Vậy vận tốc xe máy 36 (km/h) TL 5.3 Hướng dẫn: Đổi đơn vị: 18 phút = 10 Điều kiện: x Vận tốc Dự định Thời gian 36 x 18 x 18 x x x Thực tế x PT: 36 � 18 18 � � � x 10 km/ h � x �x x � 10 34 Quãng đường 36 18 18 CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI Vậy vận tốc ban đầu 10 km/ h 18 18 3.3 h Thời gian xe lăn bánh đường 10 12 TL 5.4 Hướng dẫn: Điều kiện: x > Vận tốc x Dự định x Thực tế x Thời gian 120 x 120 x x Quãng đường Thời gian 120 x 80 x 40 x 10 Quãng đường 120 120 x 120 x 120 � 120 x � � 1 � � x 48 km/ h x � x � PT: Vậy vận tốc ô tô 48 (km/h) TL 5.5 Đổi đơn vị: 12 phút = Điều kiện: x Vận tốc x Dự định Thực tế x x 10 80 40 120 �80 40 � � � � x 40 km/ h x x x 10 � � PT: Vậy vân tốc người xe máy là: 40 (km/h) TRẮC NGHIỆM 1.1 B 1.2 D 2.1 D 3.1 B 3.2 C 4.1 B 4.2 A 5.1 B 5.2 C 6.1 A Hướng dẫn cách chọn TN 1.1 Vì –m2 – < m �� nên với x < thì hàm số đồng biến với m �� chọn B TN 1.2 Vì m2 +3 > m �� nên với x > thì hàm số đồng biến với m �� chọn D TN 2.1 Ta có: – (a + 1) + a = phương trình có hai nghiệm x = ; x = a chọn D TN 3.1 Áp dụng lý thuyết: Nếu hai số a b có a + b = S a.b = P thì a b nghiệm phương trình: x Sx P chọn B TN 3.2 Thay x = vào phương trình ta tìm m = chọn C 35 CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI TN 4.1 Lập ' m , cho ' m � m Chọn B 2 2 TN 4.2 Lập (3a) 4(2a a 1) a a ( a 2) �0 Vậy phương trình ln có nghiệm với a Chọn A TN 5.1 Ta tính tổng tích hai nghiệm phương trình Ta thấy phương trình 2x2 – 3x + = có S > P > nên có hai nghiệm dương chọn B TN 5.2 Tính S P Cho S > P > tìm m Với phương trình cho ta có S = m P = m – chọn C TN 6.1 Phân tích x12 x22 ( x1 x2 )2 x1 x2 thay x1 x2 5 ; x1 x2 4 ta kết 33 chọn A C ĐỀ MINH HỌA THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT MA TRẬN Cấp độ Nhận biết Nội dung Căn bậc hai bậc ba Số câu hỏi Số điểm Hàm số bậc Số câu hỏi Số điểm Hệ hai phương trình bậc hai ẩn Số câu hỏi Số điểm Hàm số y = ax2( a �0 ) Phương TN Vận dụng Thông hiểu TL TN TL Nhận biết điều kiện để căm thức có nghĩa 0,15 Nhận biết hàm số đồng biến, nghịch biến, nhận biết điểm thuộc đường thẳng 0,15 Nhận biết tổng hai nghiệm tích hai nghiệm Cao TN TL Thực hiện phép biến đổi thức để rút gọn biểu thức mợt số tốn liên quan 1,5 TN TL Vận dụng kiến thức để chứng minh đẳng thức 0,15 1,8 (18%) Hiểu tìm giá trị tham số m để đường thẳng điểm cho trước 2 0,45 (45%) 0,15 0,15 Nhận biết điểm thuộc hay không thuộc đồ Cộng Thấp Hiểu tìm hệ số a biết đồ thị hàm 36 Tìm giá trị tham số để hẹ có nghiệm nhất, vô nghiệm 0,15 Giải phương trình bậc hai, vận 0,3(3%) Tìm giá trị m để phương trình có CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI trình bậc hai một ẩn Số câu hỏi thị hàm số, nhận biết giá trị m để hàm số đông biến, nghịch biết, nhận biết nghiệm phương trình Số điểm 0,3 Hệ thức lượng tam giác vuông Số câu hỏi Số điểm Đường trịn Góc với đường tròn Số câu hỏi Số điểm Tổng số câu hỏi Tổng số điểm 0,75(7,5%) số qua điểm cho trước 0,3 dụng định lý Vi-et để tính tổng hai nghiệm phương trình nghiệm, vơ nghiệm vận dụng định lý Viet để giải tốn liên quan 0,5 Hiểu tính giá trị lượng giác mợt góc Đợ dài đường cao tam giác vuông 0,15 Nắm cơng thức tính diện tích hình quạt trịn Nắm dấu hiệu nhận biết tứ giác nợi tiếp đường trịn 1 0,15 1,0 2.25(22%) 0,3 1,0 0,15 1,0 10 3,55 (35.5%) Vận dụng tỉ số lượng giác để tính góc 0,3 Vận dụng lý thuyết để tính khoảng cách từ tâm đến dây đường trịn giải mợt số tốn liên quan 0,15 2,0 5.4(39%) 0,45 (4.5%) 1.3(13%) 2,8 (2.8%) 28 10,0 ĐỀ SÔ Phần I PHẦN TRẮC NGHIỆM: (3,0 điểm) Hãy khoanh tròn vào chữ trước câu trả lời Câu Cho hàm số y = (m – 2)x + (biến x) Với giá trị m hàm số đồng biến: A m < B m > C m > – D m Câu Cho hàm số y = – \f(1,4 x2 Điểm sau thuộc đồ thị hàm số: A Q(2; 1) B N(–2; 1) C P(1; – \f(1,4 ) D M(1; \f(1,4 ) Câu Điều kiện xác định biểu thức x là: A x B x R C x D x < Câu Diện tích hình quạt trịn có số đo cung 900, bán kính R là: A \f(,4 B \f(,5 C \f(,6 \f(,3 37 D CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI Câu Cho tam giác ABC vng A, có AB = 3cm, BC = 6cm Khi cosB bằng: A B \f(,2 C \f(,3 D \f(1,2 Câu Giả sử x1, x2 hai nghiệm phương trình x + 2x – = Khi tổng nghiệm là: A x1 + x2 = –2B x1 + x2 = C x1 + x2 = D x1 + x2 = –5 Câu Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 8cm, BC = 10cm Khi bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC là: A 6cm B 5cm C 4cm D 3cm Câu Diện tích tam giác có ba cạnh a (cm) là: A \f(a2,4 (cm2) B \f(a2,3 (cm2) C \f(a2,2 (cm2) D \f(a2,4 (cm2) Câu Cho phương trình : x x có tập nghiệm là: 1� � � 1� 1; � 1; � � � 1 2 � � A B C D � Câu 10 Đồ thị hàm số y = f(x) = ax2 qua điểm A(-2; 4) có hệ số a bằng: A -1 C B D � 1� �m � Câu 11 Hàm số y = � �x2 đồng biến x > nếu: 1 B m > C m > D m = �2 x y � x y có nghiệm (x ; y) Tổng x + y bằng: Câu 12 Hệ phương trình � A m < A.0 B C a x y 1 � � ax y � D Câu 13 Với giá trị a thì hệ phường trình vô nghiệm A a = B a = C a = D a = Câu 14 Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 8cm, BC = 10cm Khi đường cao AH có đợ dài: A 4,8cm B 5,8cm C 7,5cm D 6,8cm d : y x d : y x ; d3 : y mx m Để ba đường Câu 15 Cho ba đường thẳng: ; thẳng đồng quy thì m phải thoả điều kiện: A m 1 B m C m P : y ax Câu 16 Cho parabol điểm A a Câu 17 Cho phương trình A m �1 Để P qua A thì a phải thoả điều kiện: A 2;1 B a 2 m 1 x D m C a 2 2mx m B m �1 có nghiệm m thoả điều kiện: D Với giá trị C m �1 38 D 2 CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI Câu 18 Mợt tháp cao 50, có bóng mặt đất dài 15m Góc mà tia sáng mặt trời tạo với mặt đất (làm trịn đến đợ) là: A 71 B 73 C 75 D 80 Câu 19 Cho đường trịn tâm O, bán kính R 5a Hai dây AB CD song song C, D thuộc 0 0 � AB 8a; CD 6a , khoảng cách hai dây bằng: cung nhỏ AB Biết 3a 5a A 1a B.2a C D Câu 20 Nếu a b c ab bc ca (a, b, c ba số thực dương) thì: A a b c B a 2b 3c C 2a b 2c D Không số Phần II TỰ LUẬN: (7,0 điểm) x x 3x A x 3 x x , với x x Câu 1: (1,5 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A A b) Tìm giá trị x để Câu 2: (2,5 điểm) Cho phương trình: x2 – 2(n – 1)x + 2n – = (1) n tham số a) Giải phương trình n = b) Chứng minh phương trình (1) có nghiệm với n c) Gọi x1, x2 ngiệm phương trình (1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x12 + x22 Câu 3: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có góc nhọn nợi tiếp đường tròn tâm O Kẻ đường cao BB’ CC’ (B’ cạnh AC, C’ cạnh AB) Đường thẳng B’C’ cắt đường tròn tâm O hai điểm M N ( theo thứ tự N, C’, B’, M) a) Chứng minh tứ giác BC’B’C tứ giác nội tiếp b) Chứng minh AM = AN c) AM2 = AC’.AB ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Phần I: TRẮC NGHIỆM (3,0 điểm) Câu 1 1 Đáp án B C A A D A B D C B B B B A D D D A A A Phần II: TỰ LUÂN (7,0 điểm) Câu Nội dung 39 Điểm 1,5đ CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI x x 3x x ( x 3) x ( x 3) 3x x x 3 x 9 x 9 x 9 a) A = x = x x x x 3x x 3( x 3) x 3 x9 x9 x9 x x x x = 36 b) A = 0,5 0,5 0,5 2,5đ a Với n = phương trình trở thành: x2 – 4x + = Phương trình có dạng: a + b + c = nên có nghiệm: x1 = 1; x2 = b Ta có ’ = (n – 1)2 – 2n + = (n – 2)2 ≥ với n R Vậy phương trinh (1) có nghiệm với n R �x1 x2 n 1 � x x 2n c Theo Vi-ét ta có: �1 2 P x12 x2 x1 x2 x1 x2 n 1 4n 4n 12n 10 2n 3 = �1 0,5 0,5 0,5 0,25 Vậy: Giá trị nhỏ P là: P = 2n – = n = 0,5 0,25 3,0đ Học sinh vẽ hình giải đến câu b 0,5 a) Chứng minh tứ giác BC’B’C tứ giác nội tiếp � � Ta có BC'C = BB'C = 900 (gt) Hay B’ ; C’ nhìn BC mợt góc 900 BC’B’C nợi tiếp đường trịn đường kính BC b) Chứng minh AM = AN � � � � = s�(AN � + NB) � AC'M = s�(AM + NB) ACB 2 Ta có: ; � � � Mà BC’B’C nội tiếp AC'M = B'CB = ACB � � � � s� (AM + NB) s� (AN + NB) 2 = 40 0,5 0,25 0,5 CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI � � AM = AN AM = AN 0,25 c) AM2 = AC’.AB Xét D ANC’ D ABN có: � � � � = AN AM ts ANC' = ABN (góc nợi tiếp chắn cung nhau); � Và NAB : chung AN AC' = D ANC’ D ABN AB AN AN2 = AC’.AB hay AM2 = AC’.AB 0,5 0,5 ĐỀ SỐ Phần I: TRẮC NGHIỆM (3,0 điểm) Chọn phương án cho câu cách khoanh tròn vào chữ A, B, C ,D Câu Giá trị biểu thức P = A B là: C – D – 2 Giá trị x thức x có nghĩa: A x �2 B x �2 C x ��2 D 2 �x �2 Câu Giá trị m để hàm số y = ( – m)x2 đồng biến x < là: A.m = B m> C m < D m �R Câu Câu Đồ thị hàm số y = f(x) = ax2 qua điểm A(-2; 4) có hệ số a bằng: A -1 C B D Câu Biết phương trình x2 – kx + k + = có một nghiệm - Giá trị k là: 13 13 10 10 A - 10 B 10 C 13 D.- 13 Câu Hai số + - nghiệm phương trình bậc sau: A x2 + x – = B x2 - x – = C x2 + 4x – = D x2 - 4x – = Câu Phương trình x2 – 3x + m – = ( ẩn x) có hai nghiệm trái dấu : A m < B m < C m > D m > x y � � x y có nghiệm là: Câu Hệ phương trình � �x �x �x 2 �x � � � � A �y B �y C �y D �y ax y 4 � � x y có nghiệm Câu Với giá trị m để hệ � A a �4 B a �4 C a 4 D a �4 41 Câu 10 CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI � � Tam giác ABC cân A nội tiếp đường trịn (O) có A 60 , số đo AOB bằng: A 600 B.1200 C.1300 D.1350 Câu 11 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Đẳng thức sau sai? A AH2 = BH.HC 1 2 BH CH C AH Câu 12 Với x = B AB2 = BH.BC D AHB CAB 1 thì biểu thức Q = x x có giá trị là: A B -2 C D.-2 Câu 13 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,đường thẳng (d) : y = mx + m2 – qua gốc tọa độ O khi: A m = B m = C m = m = D m = m = - Câu 14 Phương trình đường thẳng qua hai điểm A( -1; 2) B(4; 2) là: A y = – 3x B y = - x C y = - x + D y – = Câu 15 AB AC , đường cao AH 30cm Độ dài Cho tam giác ABC vuông A Biết BH tính cm là: A.18 B.20 Câu 16 A Câu 17 C.25 D.36 a ab a : a a ab : Cho số thực a > 0; b > 0.Biểu thức M = B a – 4b C a b D a b Nếu thể tích mợt hình cầu 972 (cm3) thì diện tích mặt cầu là: A 324 (cm2) B 182 (cm2) C 287 (cm2) D 456 ( cm2) Câu 18 Nếu hình trụ có diện tích xung quanh 314(cm2) có chiều cao bán kính đường trịn đáy thì thể tích bằng: 157 C 157 (cm3) 157 A (cm3) 157 D (cm3) Câu 19 41 A B 157. (cm3) Phương trình bậc hai : x2 - x + = có hai nghiệm x1 ; x2 thì x12 + x22 : 49 45 57 B C D Câu 20 Gọi d đường thẳng qua điểm N(2 ; 6)và vuông góc với đường thẳng d’ có phương trình y = x + Đường thẳng d cắt đường thẳng d’ điểm có tọa đợ : 13 13 � � �3 13 � �6 � � ; � �; � � ; 6� 10 � � � � A B C (1;6) D �2 � Phần II: TỰ LUÂN (7,0 điểm) Bài ( 1,5 điểm ) a) Giải phương trình: x x 42 CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI 5x y � � b) Giải hệ phương trình: �2 x y A 2 1 c) Tính giá trị biểu thức Bài ( 1,5 điểm ) Cho phương trình bậc hai: x2 – 2(m +2)x + 2m + = ( m tham số) a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với m b) Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình Chứng minh rằng: x1(2 – x2) + x2(2 – x1) = Bài (3,0 điểm) Cho ABC có ba góc nhọn nợi tiếp đường trịn tâm O Gọi M mợt điểm cung nhỏ AC Gọi E F chân đường vng góc kẻ từ M đến BC AC P trung điểm AB; Q trung điểm FE a) C/m MFEC nội tiếp b) C/m BM.EF = BA.EM c) C/m AMP #�FMQ Bài (1 điểm) Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn 4xy = x y 12 xy x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = 43 CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Phần I: TRẮC NGHIỆM (3,0 điểm) Câu 1 1 Đáp án B D B B A D A B B B C C D D C B A C A D Phần II: TỰ LUÂN (7,0 điểm) Bài Nội dung Điểm 1,5 0,25 0,25 a) x x Ta có: Δ’ = 12– (–1) =2 > Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = + ; x2 = – x y �5 x y � � x 18 �x �� �� �� � x y 10 x y �y � � b) �2 x y ( 1) = c) A = – ’ = 2 1 a) Cho phương trình bậc hai: x2 – 2(m +2)x + 2m + =0 ( m tham số) Ta có Δ’ = (m + 2)2 – (2m + 3) = m2 + 4m + – 2m – = m2 + 2m +1 = (m + 1)2 ≥ với m Vậy phương trình cho ln có nghiệm với m b) Theo Vi et: x1 + x2 = 2(m + 2) x1.x2 = 2m +3 Ta có x1(2 – x2) + x2(2 – x1) x1 – x1.x2 + x2 – x1.x2 = 2(x1 + x2) – x1.x2 = 2(x1 + x2) – x1.x2 = 2(m + 2) – (2m +3) = 4m + – 4m – = 0,5 0,5 1,5 0,5 0,25 0,25 0,5 Học sinh vẽ hình giải đến câu b 0,5 a) C/m MFEC nội tiếp 44 CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI Tứ giác MFEC có hai đỉnh E F nhìn cạnh MC mợt góc vng nên nợi tiếp đường trịn b) C/m BM.EF = BA.EM � � � Do MFEC nội tiếp nên ACM FEM (Cùng chắn FM ) � � ABM FEM (1) � � Ta lại có AMB ACB (Cùng chắn cung AB) � � � Do MFEC nội tiếp nên FME FCE (Cùng chắn FE ) � � AMB FME (2) Từ (1) (2) suy : FEM # ABM (g-g) EM BM � MB.EF BA.EM EF BA 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 c) C/m AMP # FMQ AB AM Ta có FEM # ABM (cmt) FE MF 2AP AM AP AM � 2FQ MF FQ FM mà AM = 2AP ; FE = 2FQ (gt) � � PAM MFQ (suy từ FEM # ABM) Vậy: AMP # FMQ 45 0,25 0,5 0,25 CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI Ta có ( x y) xy � x y 3.4 xy x y � � � 2.( x y) xy x y x y x y x y A= ( x y ) 1� 2.( x y ) 2.( x y ) 2.( x y ) 2 � � � x y x y x y x y 0,25 � 2( x y ) 2 � 2( x y ) 2� ( x y) x y x y x y� � � ( x y) x y Xét 0,25 1 Áp dụng Cosi cho số (x+y) ( x y ) ta có: (x+y) + ( x y ) ≥ ) x y ( x y = � � 2� ( x y) x y� �≥ Do đó: A = � Vậy Min A = (x+y) = ( x y ) (x+y)2 =1 x + y = ±1 1 Kết hợp với điều kiện 4xy = ta x = y = - ; x = y = Lời cam đoan: Nhận xét, đánh giá Tác giả viết chuyên đề Ký tên đóng dấu HT/PHT nhà trường 46 0,25 0,25 CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI 47 ... CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI HÀM SỐ y = ax2 (a �0) PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN A KIẾN THỨC CƠ BẢN: Hàm số y = ax2 (a �0) a) Tính chất Hàm số y = ax2 (a �0) xác định vói giá trị x �� a > Hàm số. .. Nhận biết Nội dung Căn bậc hai bậc ba Số câu hỏi Số điểm Hàm số bậc Số câu hỏi Số điểm Hệ hai phương trình bậc hai ẩn Số câu hỏi Số điểm Hàm số y = ax2( a �0 ) Phương TN Vận dụng Thông... 0,15 Giải phương trình bậc hai, vận 0,3(3%) Tìm giá trị m để phương trình có CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI trình bậc hai một ẩn Số câu hỏi thị hàm số, nhận biết giá trị m để hàm số đông biến,
