Chuyên đề đã dạt giải trong hội thi GVDG cấp TP Trong chuyên đề tôi đã viết đầy đủ phàn lý thuyết của chương hệ phương trình cũng như phương pháp giải bài tập của từng dạng bài tập từ cơ bản đến nang cao, có nhiều ví dụ minh họa có đáp án. Có hai đề thi vào lớp 10.
CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN MỤC LỤC Biên Soạn: Trần Đình Hồng CHUN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN CHUYÊN ĐỀ: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN A KIẾN THỨC CƠ BẢN: Khái niệm phương trình bậc hai ẩn số • Phương trình bậc hai ẩn số x y hệ thức dạng ax + by = c Trong a, b, c số biết ( a ≠ b ≠ 0) • Nếu x = x0 , y = y0 mà vế phương trình nhận giá trị cặp số (x 0; y0) gọi nghiệm phương trình Tập nghiệm phương trình bậc ẩn số • PT bậc ẩn ax + by = c ln có vơ số nghiệm Tập nghiệm biểu diễn đường thẳng ax + by = c (d) − a≠0 a c x+ b b b ≠ đường thẳng (d) đồ thị hàm số y c a • Nếu a ≠ b = phương trình trở thành ax = c hay x = , đường thẳng (d) song song trùng với trục tung c b • Nếu a = b ≠ phương trình trở thành by = c hay y = , đường thẳng (d) song song trùng với trục hoành Khái niệm hệ hai phương trình bậc hai ẩn: ax + by = c (1) (I) a ' x + b ' y = c ' (2) • Hệ hai phương trình bậc hai ẩn có dạng : • Nếu hai phương trình có nghiệm chung (x0;y0) (x0;y0) gọi nghiệm hệ • Nếu (I) Minh hoạ hình học tập nghiệm hệ phương trình bậc hai ẩn • Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi (d1) đường thẳng ax + by = c (d2) đường thẳng ax + by = c điểm chung có hai đường thẳng có tọa độ nghiệm chung hai phương trình hệ • Đối với hệ (I) ta có: ax + by = c (1) (I) a ' x + b ' y = c ' (2) Biên Soạn: Trần Đình Hồng CHUN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN a b ≠ a ' b' + Nếu (d1) cắt (d2) hệ (I) có nghiệm ab' = a'b a b c = ≠ ⇔ a' b' c' ac' ≠ a'c (hoaë cbc' ≠ b'c) + Nếu (d1) // (d2) hệ (I) vô nghiệm ab' = a'b a b c = = ⇔ a' b' c' ac' = a'c (hoaë cbc' = b'c) ≡ + Nếu (d1) (d2) hệ (I) có VSN Hệ phương trình tương đương • Hai hệ phương trình gọi tương đương chúng có tập nghiệm B CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN Dạng Giải hệ phương trình phương pháp Phương pháp chung: • Từ phương trình rút ẩn theo ẩn kia, vào phương trình cịn lại ta phương trình ẩn + Chú ý: Có trường hợp, từ phương trình ta biểu diễn biểu thức theo ẩn vào phương trình cịn lại Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: x − y = 1.(1) 3x + y = 3.( 2) Lời giải Từ phương trình (1) ta biểu diễn x theo y (gọi rút x) ta có: Thay x = + y.(*) Thế phương trình Giải hệ: vào phương trình (2) ta được: (**) x = + y.(*) 3(1 + y ) + y = 3.(**) vào phương trình hai hệ ta có: x = + y 3(1 + y ) + y = x = + y x = + y x = + y x =1 ⇔ ⇔ ⇔ 3(1 + y ) + y = 3 + y + y = y = y =0 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x = 1; y = 0) Biên Soạn: Trần Đình Hồng CHUN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 4x − 2y = (1) 6x − 3y = (2) Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: Lời giải: 4x − y= (*) Từ phương trình (1) ta biểu diễn y theo x ta có: 4x − 4x − 6x ì y= (*) ữ = (**) Thay vào phương trình (2) ta được: 4x − y = 6x 3ì 4x ữ = Thế phương trình vào phương trình hai hệ ta có: (**) 4x − 4x − 4x − y = y = y = ⇔ ⇔ 2 4x − 6x − 3× = 12x − 3(4x − 3) = 10 0x = 1(Vô nghiệ m) ÷ Giải hệ: Vậy hệ phương trình vơ nghiệm Dạng Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số Phương pháp chung • Phương pháp cộng đại số giúp tạo phương trình chứa ẩn phương trình đơn giản để thấy liên hệ đơn giản ẩn + Bước 1: Cộng hay trừ vế hai phương trình hệ hệ phương trình cho để phương trình + Bước 2: Dùng phương trình thay cho hai phương trình hệ (và giữ nguyên phương trình kia) Lưu ý: • Khi hệ số ẩn đối ta cộng vế theo vế hệ • Khi hệ số ẩn ta trừ vế theo vế hệ • Khi hệ số ẩn không khơng đối ta chọn nhân với số thích hợp để đưa hệ số ẩn đối (hoặc nhau) Các ví dụ Ví dụ 1: Giải hệ pt: 3x + y = 2 x − y = Biên Soạn: Trần Đình Hồng CHUN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Lời giải Nhận thấy: hệ số ẩn y đối Cộng vế theo vế hai phương trình hệ phương trình chứa ẩn x 3 x + y = 3 x + y = y = −3 ⇔ ⇔ 3 x + y = 5 x = 10 x = x = x − y = Ta có: Vậy hệ phương trình có nghiệm là: (x = ; y = -3) Ví dụ 2: Giải hệ pt: 2 x + y = 2 x − y = Lời giải Nhận thấy: hệ số ẩn x Trừ vế theo vế hai phương trình hệ phương trình chứa ẩn y 2 x + y = 2 x − y = 2 x + y = 2 x + y = x = ⇔ ⇔ 2 x − y = 8 y = y = Vậy hệ phương trình có nghiệm là: (x = ; y =1) (1) −5 x + y = (2) 6 x − y = −7 Ví dụ 3: Giải hệ pt: Lời giải Nhận thấy: hệ số ẩn x hệ số ẩn y không Cách 1: (Cân hệ số ẩn x) Nhân vế phương trình (1) với 6, nhân hai vế phương trình (2) với Được hệ có hệ số ẩn x đối x = −5 x + y = −30 x + 12 y = 24 −30 x + 12 y = 24 ⇔ ⇔ ⇔ 11 30 x − 15 y = − 35 − y = − 11 11 y= y = Hệ Cách 1: (Cân hệ số ẩn y) Nhân hai vế phương trình (1) với 3, nhân hai vế phương trình (2) với Được hệ có hệ số ẩn x đối Biên Soạn: Trần Đình Hồng CHUN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 11 y= −5 x + y = −15 x + y = 12 −15 x + y = 12 ⇔ ⇔ ⇔ 12 x − y = −14 −3 x = −2 x = x = Hệ 11 3 Vậy hệ phương trình có nghiệm là: (x = ;y= ) Bài tập vận dụng Bài Giải hệ phương trình sau phương pháp thế: − x + y = −10 3 x + y = 5 x + y = −7 1) 2) 3) x − y = 16 2 x − y = −12 3 x − y = −8 2 x + y = 2 x + y = 3 x + y − = 4) 5) 6) − x + y = 10 2 x + y − = 9 x + y − = x − + y − = x − + 3y = (1) (2) Bài Giải hệ phương trình sau: Gợi ý: Từ (2) rút |x – 1| = – 3y Rồi thay vào (1) phương trình ẩn y chứa giá trị tuyệt đối x − + y − = x + y − = −1 (1) (2) Bài Giải hệ phương trình sau: Gợi ý: Từ (2) rút |y – 1| = –1 – x Rồi thay vào (1) phương trình ẩn x chứa giá trị tuyệt đối x − + y − = y = + x − (1) (2) Bài Giải hệ phương trình sau: Gợi ý: Thay biểu thức (2) vào phương trình (1) ta có: x − + + x − − = ⇔ x − = Từ ta tìm x Việc tìm giá trị y khơng có khó khăn x + y3 = 5 2 x + y = x + y (1) (2) Bài Giải hệ phương trình sau: Gợi ý: x5 + y5 = (x3 + y3)(x2 + y2) – x2y2(x + y) Thay (1) vào (2) ta x2y2(x + y) = Từ tìm x, y Biên Soạn: Trần Đình Hồng CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN (1) x + y = 3 2 x + y = x + y (2) Bài Giải hệ phương trình sau: Gợi ý: x3 + y3 = (x + y)(x2 + y2) – xy(x + y) Thế (1) vào (2) ta xy(x + y) = Từ tìm x, y Bài Giải hệ phương trình sau phương pháp cộng đại số: 1) − x + y = −10 x − y = 16 2) 3x + y = 2 x − y = −12 3) 2 x + y = 2 x + y − = 4) 2 x + y = − x + y = 10 5) 2 x + y = x + y = 6) x − y = 2 x − y = 7) 3x − y = −18 x + y = 8) 5 x + y = −7 3 x − y = −8 9) 3 x + y − = 9 x + y − = 10) x + y = −6 2 x − y = 16 11) − x + y = − 3 x + y = 10 12) 2 x − y = 4 x − y − = 13) 2 x − y = x + y + 3x − y = 14) x + y = x + y = 15) x + y = 2 x + y = 18 16) 2 x − y = − x + y = 17) x − y = −5 3 x + y = −5 18) − x + y = −3 x + y = 19) x + y = −2( x − 1) 7 x + y = x + y + 20) 3x − y = 12 4 x + y = 21) x − y = 2 x + y = −5 22) 2 x + y = − ( x + y ) 6 x + y = y − 10 23) 2 x − y = 10 5 x + y = 24) 2 x + y = x − y = 25) 3 x + y = −2 − x − y = 26) 5 x − y = 10 5 x − y = 27) − x + y = x + y = 28) 2 x + y = x − y = −1 29) 3x + y = 4 x − y = −12 30) x − y = 3x − y = 31) − x + y = −10 2 x + y = −1 32) 2 x + y = −3 x − 20 4 x + y = x − y − 12 33) 3x + y = 6 x + y = 34) x + y = −2 3 x − y = −3 35) 5 x − y = 10 x − y = 36) 2 x − y = 4 x − y = 12 Biên Soạn: Trần Đình Hồng 37) CHUN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 2 x − y = 3x + y = − x 3x + y = 38) 39) 3x + y = 5( x + y ) = −3 x + y − 2 x − y = 40) 2 x + y = − x + y = −5 41) 2 x − y = 4 x − 10 y = 42) x + y = −2 2 x − y = 43) x − y = −5 3x + y = 44) 2 x + y = x − y = 45) 2 x + y = 3 x − y = 15 46) 3 x − y = 12 x + y = −1 47) − x + y = −4( x − 1) 5 x + y = −( x + y ) + 48) 3x + y = 5 x + y = 12 49) − x + y = 22 3x + y = 22 50) x + y = −1 3 x − y = −8 51) 2 x + y = 2 x + y = 52) 3 x + y = x + y = 53) 0 x + y = x − y = −4 54) 2 x − y = 4 x − y = 10 Bài Giải hệ phương trình sau: x − xy = 28 (1) y − xy = 28 (2) a) b) x + xy = x y + xy = y (1) (2) Gợi ý: Trừ đại số triệt tiêu xy có phưng trình tích Bài Giải hệ phương trình sau: y x − y = x y − 3x = x y (1) (2) Gợi ý: Nhân x, y lên vế trái Trừ đại số triệt tiêu 3xy có phưng trình tích Bài 10 Giải hệ phương trình sau: x − y = x + y 2 y − x = y + x (1) (2) Gợi ý: Trừ đại số phương trình tích Bài 11 Giải hệ phương trình sau: x + y = (1) 2 x y + xy = (2) Gợi ý: Trừ đại số, khai triển đẳng thức, đặt nhân tử chung đưa phương trình tích Biên Soạn: Trần Đình Hồng CHUN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 2y (1) x = − y y = 2x (2) − x2 Bài 12 Giải hệ phương trình sau: Gợi ý: Nhân mẫu sang vế trái phương trình Sau Trừ đại số, đặt nhân tử chung đưa phương trình tích Dạng Giải hệ phương trình phương pháp đặt ẩn phụ Phương pháp chung • Việc đặt ẩn phụ giúp tạo hệ phương trình đơn giản phương trình cho, đưa hệ cho dạng hệ phương trình bậc hai ẩn • Sau giải hệ tìm ẩn phụ, ta thay ẩn phụ vào bước đặt ẩn để giải tìm ẩn cho Các ví dụ Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau: 1 x + y = − = −1 x y Hướng dẫn 1 u = ;v = x y Đặt Theo đề ta có hệ phương trình: v = − u u + v = 5u = u = ⇔ ⇔ ⇔ 3u − 2v = −1 3u − ( − u ) = −1 v = − u v = x= Từ suy ra: 1 = 1; y = = u v Vậy hệ phương trình có nghiệm là: (x = ; y = y x − x +1 y −1 = x + y = −1 x + y − Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau: Hướng dẫn Biên Soạn: Trần Đình Hồng ) CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN x y u= ;v = x +1 y −1 Đặt Theo ta có hệ phương trình: u − v = u = + v u = + v u = ⇔ ⇔ ⇔ u + 3v = −1 3 + v + 3v = −1 4v = −4 v = −1 x x = −2 x + = x = 2x + ⇔ ⇔ y y = − y y = = −1 y − Từ suy ra: −2 Vậy hệ phương trình có nghiệm là: (x = ;y= 2x −1 + x − y = 2 x − − = x− y Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau: Hướng dẫn a = x − b = x − y x ≥ ,x− y >0 Điều kiện Đặt Ta có hệ phương trình 2x −1 = a + b = a = x = ⇒ ⇔ ⇔ =1 a − b = b = y = x− y x = 1; y = ) Vậy hệ có nghiệm Bài tập vận dụng Bài Giải hệ phương trình sau cách đặt ẩn phụ 1) 1 x − y =1 2 + = x y 2) x + y + x − y = − =1 x + y x − y 10 Biên Soạn: Trần Đình Hồng 3) 1 x − y − = 3 + =1 x y − CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN { 1; − 1; ; − 3} ∈ Để x, y số nguyên m + Ư(3) = ± ± Vậy: m + = 1, m = –1; –3; 1; –5 x + y = 3m x − y = −3 Ví dụ 4: Số ngun m để hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) thỏa mãn điều kiện x + xy = 30 ? A m = – B m = C m = – m = D Đáp án khác Đáp án: C mx + y = 10 − m x + my = Ví dụ 5: Cho hệ phương trình (m tham số) Giá trị sau m hệ có nghiệm (x;y) với x, y số nguyên dương? A m = – B m = C m = D m = – m = Đáp D Dạng Chứng tỏ nghiệm (x ; y) hệ nằm đường thẳng cố định Phương pháp chung • Từ hệ, phương pháp thế, cộng trừ đại số tạo phương trình f(x,y) = khơng phụ thuộc vào m Phương trình biểu thị mối liên hệ (x ; y) đường thẳng cố định cần tìm Các ví dụ mx − y = 2m x − my = m + Ví dụ 1: Cho hệ phương trình Chứng tỏ điểm M(x ; y) (với (x ; y) nghiệm hệ cho) nằm đường thẳng cố định Lời giải m ≠ ±1 Điều kiện: 2m + x = m + mx − y = 2m mx − y = 2m ⇔ ⇔ 2 x − my = m + mx − m y = m + m y = −m m +1 Hệ 2m + − m 2m + − m x+ y = + = = ⇔ y = −x +1 m +1 m +1 m +1 Ta có: Vậy M(x ; y) ln nằm đường thẳng cố định y = – x + 18 Biên Soạn: Trần Đình Hồng CHUN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN mx + y = 2m x + my = m + Ví dụ 2: Cho hệ phương trình ẩn x, y sau: a) Giả sử (x ; y) nghiệm hệ Tìm hệ thức liên hệ x, y độc lập với m b) Chứng tỏ (x ; y) nằm đường thẳng cố định (với (x ; y) nghiệm hệ phương trình) Lời giải mx + y = 2m mx − 2m = − y m( x − 2) = − y (1) ⇔ ⇔ x + my = m + x + my = m + x + my = m + (2) a) Rút m từ phương trình thứ vào phương trình thứ hai ta hệ thức y(y – 1) = (x – 1)(x – 2), hệ thức độc lập với m 2m + x= 2 2 m x + my = 2m (m − 1) x = 2m − m − mx + y = 2m m +1 ⇔ ⇔ ⇔ x + my = m + x + my = m + x + my = m + y = m m +1 b) Hệ 2m + m − =1 ⇔ m +1 m +1 Ta có: x – y = y=x–1 Vậy (x ; y) nằm đường thẳng cố định y = x – mx + 2my = m + x + (m + 1) y = Ví dụ 3: Cho hệ phương trình m −1 ; ÷ m m Hệ có nghiệm (x ; y) = Vậy (x ; y) nằm đường thẳng cố định sau đây? A y = x + B y = – x + C x = y – D x = y + Đáp án: B mx + y = x + my = m+ Ví dụ 4: Cho hệ phương trình với hai ẩn x y sau: Điểm M(x ; y) nằm đường thẳng cố định nào? A y = x + B y = x – C y = x + D y = x – Đáp án: C BÀI TẬP 19 Biên Soạn: Trần Đình Hồng CHUN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN (m − 3) x + y = mx + y = Bài Cho hệ phương trình: Tìm m để hệ có nghiệm nguyên Lời giải Từ (1) ta có y = – (m – 3).x y = – mx + 3x Thay vào (2) ta có: mx + 2.(2 – mx + 3x) = – mx + 6x = ≠ x.(6- m) = (m 6) 24 − 6m x= y= 6−m 6−m Thay vào y = – (m – 3).x ta có: ∈¢ { 1; − 1; 2; − 2; 4; − 4} x∈¢ 6− m ∈ Để 6–m Ư(4) = • 6–m=1 m=5 • – m = – 1 m = • 6–m =2 m=4 • 6–m =–2m=8 • 6–m =4m=2 • – m = – m = 10 24 − 6m y= 6−m Thay m = vào ta y = – (thỏa mãn) 24 − 6m y= 6−m Thay m = vào ta y = 18 (thỏa mãn) 24 − 6m y= 6−m Thay m = vào ta y = (thỏa mãn) 24 − 6m y= 6−m Thay m = vào ta y = 17 (thỏa mãn) 24 − 6m y= 6−m Thay m = vào ta y = (thỏa mãn) 24 − 6m y= 6−m Thay m = 10 vào ta y = (thỏa mãn) ∈ { 2; 4; 5; 7; 8; 10 } Kết luận: Để hệ có nghiệm ngun m 20 Biên Soạn: Trần Đình Hồng CHUN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN mx + y = (1) 2mx + y = (2) Bài Cho hệ phương trình: (I) Tìm m để hệ có nghiệm thoả mãn: (2m – 1)x + (m + 1)y = m (3) Lời giải m ≠ ⇔ 3m ≠ 2m ⇔ m ≠ 2m Điều kiện để hệ có nghiệm nhất: Từ (1) y = – mx Thay vào (2) ta có: x= m ≠ 2mx + 3(5 – mx) = (m 0) 9m x= y = 5− =4 m m Thay vào y = – mx ta có: x= m ≠ Vậy với m hệ (I) có nghiệm ;y=–4 x= m Thay ; y = – vào phương trình (2m – 1)x + (m + 1)y = m ta ( 2m – 1) + ( m + 1) ( – 4) = m m 5m2 – 14m + = m= ≠ (m – 1).(5m – 9) = m = (thoả mãn m 0) m= Vậy với m = hệ (I) có nghiệm thoả mãn (2m – 1)x + (m + 1)y = m (m − 1) x + y = m x + (m − 1) y = Bài Cho hệ phương trình: có nghiệm (x ; y) a) Giải hệ phương trình m = b) Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m Lời giải (m − 1) x + y = m x + (m − 1) y = a) Thay m = vào hệ phương trình ta có hệ phương trình trở thành 21 Biên Soạn: Trần Đình Hồng CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN x = 2 x + y = ⇔ x + y = y = ( x ; y ) = Vậy với m = hệ phương trình có nghiệm b) Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m (m − 1) x + y = m (1) x + (m − 1) y = (2) Xét hệ phương trình Từ phương trình x + my – y = my = – x + y 2− x+ y m= y 2− x+ y m= y Thay vào phương trình (1) ta có phương trình: 2− x+ y 2− x+ y − ÷+ y = ⇔ x − y − 3x + y + = y y 1 ; ÷ 3 x − y − 3x + y + = Vậy đẳng thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m mx + y = x + my = Bài Cho hệ phương trình: a) Giải hệ phương trình m = b) Giải biện luận hệ phương trình theo tham số m c) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thoả mãn x – y = d) Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m Lời giải mx + y = x + my = a) Thay m = vào hệ phương trình ta có hệ phương trình trở thành 2 x + y = y = − 2x y = 1− 2x y =1 ⇔ ⇔ ⇔ x + y = x + 2.(1 − x ) = −3 x = x = Vậy với m = hệ phương trình có nghiệm ( x ; y) = ( ; 1) b) Giải hệ phương trình theo tham số m 22 Biên Soạn: Trần Đình Hồng CHUN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN y = − mx y = − mx mx + y = ⇔ ⇔ 2 x + my = x + m − m x = (1 − m ) x = − m (*) Ta có hệ phương trình ±1 - Trường hợp 1: m2 = m = x + y = x + y = • Nếu m = 1, thay vào hệ phương trình ta có: hệ phương trình vơ nghiệm 1 = ≠ 1 − x + y = x − y = −1 ⇔ x − y = x − y = • Nếu m = – 1, thay vào hệ phương trình ta có: hệ −1 −1 = ≠ −1 vơ nghiệm ≠ ≠ ±1 • Trường hợp 2: m2 1 m 2−m x= y = − mx − m2 ⇔ (1 − m ) x = − m y = − m − m ÷ 1− m Hệ phương trình 2−m 2−m x = x = − m − m2 ⇔ ⇔ y = − 2m − m y = − 2m − m2 − m2 Vậy với m Tóm lại: ≠ ±1 Nếu m = ±1 − m − 2m ; 2 ÷ 1− m 1− m ( x, y ) = hệ phương trình có nghiệm hệ phương trình vơ nghiệm ≠ ±1 Nếu m hệ phương trình có nghiệm c) Để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thoả mãn x – y = 23 Biên Soạn: Trần Đình Hồng − m − 2m ; 2 ÷ 1− m 1− m ( x, y ) = CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN − m − 2m ⇔ − = ⇔ − m − (1 − 2m) = − m ⇔ m + m = 2 1− m 1− m m = ⇔ m(m + 1) = ⇔ m = −1 Với m = – (loại) m = (nhận) Vậy với m = hệ phương trình có nghiệm thoả mãn điều kiện: x – y = d) Tìm hệ thức liên hệ x y khơng phụ thuộc vào m mx + y = (1) x + my = (2) Xét hệ phương trình 1− y m= x Từ phương trình (1) 1− y m= x Thay vào phương trình (2) ta có phương trình ( − y ) y = ⇔ x + y − y = ⇔ x2 + y − y = x x+ x x ⇔ x2 + y − y2 − 2x = đẳng thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m 3mx − y = 6m − m − (1) (2) 5 x + my = m + 12m Bài Cho hệ phương trình: Tìm m để biểu thức: A = 2y2 – x2 nhận GTLN Tìm giá trị Lời giải Từ (1) ta có: y = 3mx - 6m2 + m + Thay vào (2) ta được: 5x + m.( 3mx - 6m2 + m + 2) = m2 +12m ≠ x.(5 + 3m2) = 6m3 + 10m (5 + 3m2 với m) 6m3 + 10m x= = 2m 3m + Thay x = 2m vào y = 3mx - 6m2 + m + ta đợc y = m + Thay x = 2m ; y = m + vào A ta được: A = 2(m + 2)2 – (2m)2 = – 2(m2 – 4m – 4) A = – 2(m2 – 4m + – 8) = – 2(m2 – 4m + 4) +16 −2(m − 2) + 16 ≤ 16 −2(m − 2)2 ≤ ∀m = Do 24 Biên Soạn: Trần Đình Hồng CHUN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Vậy MaxA = 16 m = Dạng Giải toán cách lập hệ phương trình Phương pháp chung Bước 1: Lập hệ phương trình - Chọn hai ẩn đặt điều kiện thích hợp cho chúng - Biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn đại lượng biết - Lập hai phương trình biểu diễn mối quan hệ đại lượng Bước 2: Giải hệ hai phương trình nói Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem nghiệm hệ phương trình, nghiệm thích hợp với vài tốn kết luận Các ví dụ Ví dụ 1: Từ hai địa điểm A B cách 126 km người xe máy người xe đạp khởi hành lúc Nếu ngược chiều họ gặp sau Nếu chiều 11 xe máy đuổi kịp xe đạp Tính vận tốc người xe máy người xe đạp Phân tích đề Thời gian (h) Quãng đường (km) km / h Vận tốc x Ngược chiều Xe máy 3x Cùng chiều Xe đạp y Xe đạp x Xe máy y 3y 63 = 11 11 63 x 11 63 11 63 y 11 Lời giải Gọi vận tốc xe máy xe đạp x ( x > y > 0) y km/h km/h Nếu ngược chiều quãng đường xe máy xe đạp phương trình: x + y = 126 ⇔ x + y = 42 (1) 25 Biên Soạn: Trần Đình Hồng 3x 3y km km, ta có CHUN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 63 63 x y 11 11 Nếu chiều quãng đường xe máy xe đạp km km, ta 63 63 x− y = 126 ⇔ x − y = 22 (2) 11 11 có phương trình: x + y = 42 x − y = 22 Do ta có hệ phương trình: Giải hệ tìm x = 32, y = 10 (thỏa mãn đk x > y > 0) 32 10 Vậy vận tốc người xe máy km/h; vận tốc người xe đạp km/h 108 63 Ví dụ 2: Một ca nơ chạy sơng giờ, xi dịng km ngược dịng km Một lần 81 84 khác, ca nơ chạy giờ, xi dịng km ngược dịng km Tính vận tốc riêng ca nô vận tốc dịng nước y x Phân tích đề Gọi vận tốc riêng ca nơ vận tốc dịng nước km/h ( x > y > 0) km/h km / h Quãng đường (km) Thời gian (h) Vận tốc Lần Xi dịng 108 x+ y 108 x+ y Ngược dịng Lần Xi dòng Ngược dòng 63 x− y 63 x− y 81 x+ y 81 x+ y 84 x− y 84 x− y Lời giải Gọi vận tốc riêng ca nô vận tốc dòng nước chảy ( x > y > 0) x y km/h ( x + y) Khi vận tốc xi dịng ca nơ Biên Soạn: Trần Đình Hồng ( x − y) km/h ngược dòng 26 km/h km/h CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Khi xi dịng 108 63 108 x+ y km ngược dịng km, ca nơ phải 108 63 + =7 x+ y x− y Ta có phương trình: (1) 81 84 x+ y x− y 81 84 Khi xi dịng km ngược dịng km, ca nơ phải 81 84 + =7 x+ y x− y Ta có phương trình: (2) 63 108 x+ y + x− y = 81 + 84 = x + y x − y Do ta có hệ phương trình: 1 = u; =v x+ y x− y Giải hệ phương trình trên, cách đặt đưa hệ u = 27 108u + 63v = ⇔ 81u + 84v = v = 21 x + y = 27 x = 24 ⇔ x> y>0 x − y = 21 y = Do (thỏa mãn điều kiện ) 24 Vậy vận tốc riêng ca nơ km/h, vận tốc dịng nước chảy km/h Ví dụ 3: Một ơtơ từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc xác định Nếu vận tốc tăng thêm 20km/h thời gian giảm 1h, vận tốc giảm bớt 10km/h thời gian tăng thêm 1h Tính vận tốc thời gian ơtơ Nếu gọi x(km/h) y(h) vận tốc thời gian theo dự định điều kiện x y là: ≥ ≥ ≥ ≥ A x > 10, y > B x > 20, y > C x 10, y D x 20, y Đáp án: A x > 10, y > Ví dụ 4: Hai địa điểm A B cách 200km Cùng lúc xe máy từ A ôtô từ B Xe máy ôtô cặp điểm C cách A 120km Nếu xe máy khởi hành sau ơtơ 1h gặp điểm D cách C 24km Khi vận tốc xe máy ô tô là: A 60 km/h 40 km/h B 40 km/h 60 km/h D 50 km/h 60km/h D 50 km/h 40 km/h 63 x− y 27 Biên Soạn: Trần Đình Hồng CHUN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Đáp án: A 60 km/h 40 km/h BÀI TẬP Bài Một ôtô từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc xác định Nếu vận tốc tăng thêm 20km/h thời gian giảm 1h, vận tốc giảm bớt 10km/h thời gian tăng thêm 1h Tính vận tốc thời gian ơtơ Lời giải x > 10; y > Điều kiện: Dự định Vận tốc x Thời gian y Quãng đường xy x+ 20 y− ( x + 20) ( y− 1) x− 10 y+ ( x − 10) ( y + 1) Thực tế ( x + 20) ( y − 1) = xy x = 40( km/ h) ⇔ ( x − 10) ( y + 1) = xy y = 3( h) Hệ PT: ĐS: 40km/h 3h Bài Một canô chạy sơng 7h, xi dịng 108km ngược dịng 63km Một lần khác, canô chạy 7h, xuôi dịng 81km ngược dịng 84km Tính vận tốc dịng nước chảy vận tốc thật canô (vận tốc thật canô không thay đổi) Lời giải x( km/ h) Vận tốc thật cano y( km/ h) Vận tốc dòng nước chảy x + y( km/ h) Vận tốc xi dịng x − y( km/ h) Vận tốc ngược dòng x> y Điều kiện: Vận tốc Xi dịng Lần đầu Ngược dịng x+ y Thời gian 108 x+ y x− y 63 x− y 28 Biên Soạn: Trần Đình Hồng Qng đường 108 63 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 81 x+ y Xi dịng x+ y Lần sau Ngược dịng 108 x+ y + 81 + x + y x− y 84 x− y 81 84 63 =7 x = 24 x− y ⇔ 84 y= =7 x− y Hệ PT: ĐS: 24km/h 3km/h Bài Hai địa điểm A B cách 200km Cùng lúc xe máy từ A ôtô từ B Xe máy ôtô cặp điểm C cách A 120km Nếu xe máy khởi hành sau ôtô 1h gặp điểm D cách C 24km Tính vận tốc ơtơ xe máy Lời giải Vận tốc Xe máy Lần đầu Ơ tơ Xe máy Lần sau Ơ tơ x Thời gian 120 x y 80 y x 144 x y 56 y 120 80 x − y = x = 60( km/ h) ⇔ 144 − 56 = y = 40( km/ h) x y Quãng đường 120 200 − 120 = 80 144 200 − 144 = 56 Hệ PT: ĐS: Vận tốc xe máy 60 (km/h) Vận tốc xe máy 40 (km/h) Bài Một ca nô chạy sông giờ, xi dịng 81 km ngược dịng 105km Một lần khác dịng sơng đó, ca nơ chạy giờ, xi dịng 54 km ngược dịng 42 km Hãy tính vận tốc xi dịng vận tốc ngược dịng ca nơ, biết vận tốc dòng nước vận tốc riêng ca nô không đổi Lời giải 29 Biên Soạn: Trần Đình Hồng CHUN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN x( km/ h) Vận tốc thật cano y( km/ h) Vận tốc dòng nước chảy x + y( km/ h) Vận tốc xi dịng x − y( km/ h) Vận tốc ngược dòng x> y Điều kiện: Vận tốc Xi dịng Lần đầu Ngược dịng Xi dịng Lần sau Ngược dịng 81 x+ y + 54 + x + y x+ y Thời gian 81 x+ y Quãng đường x− y 105 x− y 105 x+ y 54 x+ y 54 x− y 42 x− y 42 81 105 =8 x− y x = 24( km/ h) ⇔ 42 y = 3( km/ h) = x− y Hệ PT: Vận tốc ca nô xi dịng là: 24(km/h) Bài Hai đội xây dựng làm chung công việc dự định làm xong 12 ngày Họ làm với ngày đội I điều động làm việc khác, đội II tiếp tục làm Do cải tiến kĩ thuật, suất tăng gấp đôi nên đội II làm xong phần cơng việc cịn lại ngày rưỡi Hỏi đội làm sau ngày làm xong cơng việc nói (với suất bình thường)? Lời giải Gọi x (ngày), y (ngày) thời gian đội I đội II làm xong cơng việc ( x > 0, y > 0) 1 y x Phần việc đội I đội II làm 1h là: (cv) (cv) 30 Biên Soạn: Trần Đình Hồng CHUN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 12 Phần việc hai đội làm chung 1h theo dự định là: (cv) 1 y x 12 Ta có phương trình thứ nhất: + = (1) 8 x y Phần việc hai đội làm chung ngày là: + (cv) y Phần việc đội II làm 3,5 ngày cuối là: 8 y x y Ta có phương trình thứ hai: + + = (2) 1 1 x + y = 12 8 + + =1 x y y Từ (1) (2) ta có hệ phương trình Giải hệ phương trình ta được: x = 28 y = 21 ĐS: 28 ngày 21 ngày 31 Biên Soạn: Trần Đình Hồng CHUN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Lời cam đoan: • Nhận xét, đánh giá Tác giả viết chuyên đề Ký tên đóng dấu HT/PHT nhà trường 32 Biên Soạn: Trần Đình Hồng ...CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN CHUYÊN ĐỀ: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN A KIẾN THỨC CƠ BẢN: Khái niệm phương trình bậc hai ẩn số • Phương trình bậc hai ẩn số x y hệ thức... Cách 1: (Cân hệ số ẩn y) Nhân hai vế phương trình (1) với 3, nhân hai vế phương trình (2) với Được hệ có hệ số ẩn x đối Biên Soạn: Trần Đình Hồng CHUN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 11 y=... hai phương trình hệ hệ phương trình cho để phương trình + Bước 2: Dùng phương trình thay cho hai phương trình hệ (và giữ nguyên phương trình kia) Lưu ý: • Khi hệ số ẩn đối ta cộng vế theo vế hệ