Trong chuyên đề này tôi đã tổng hợp tất cả các phương pháp tìm GTNN và GTLN của toán 8. Chuyên dề khá chi tiết, lời giải đầy đủ. Đây là tài liệu Gv có thể sử dụng để bồi dưỡng HSG lớp 8 mà không cần phải soạn lại.
Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán CHUYÊN ĐỀ: TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC MỤC LỤC I LÝ THUYẾT II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN Phương pháp Sử dụng phép biến đổi đồng Dạng Tìm GTNN GTLN đa thức bậc hai đơn giản .3 Dạng Tìm GTNN GTLN đa thức bậc bốn đơn giản 10 Dạng Tìm GTNN GTLN biểu thức dạng Dạng Tìm Min, Max biểu thức có điều kiện biến 31 Dạng Sử dụng bất đẳng thức bản: 41 Dạng Tìm Min, Max cách sử dụng bất đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối .44 A 14 B Phương pháp Phương pháp chọn điểm rơi 47 Phương pháp Sử dụng phương pháp đặt biến phụ 54 Phương pháp Sử dụng biểu thức phụ 56 Phương pháp Phương pháp miền giá trị .59 Phương pháp Phương pháp xét khoảng giá trị 61 Phương pháp Phương pháp hình học 64 Biên soạn: Trần Đình Hoàng tdhoangclassic@gmail.com Chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán I LÝ THUYẾT Định nghĩa M gọi GTLN f(x,y, ) miền xác định D điều kiện sau đồng thời thoả mãn : f(x,y, ) M (x,y, ) D (x0, y0, ) D cho f(x0, y0 ) = M Ký hiệu : M = Max f(x,y, ) = fmax với (x,y, ) D M gọi GTNN f(x,y, ) miền D đến điều kiện sau đồng thời thoả mãn : f(x,y, ) M (x,y, ) D (x0, y0, ) D cho f(x0, y0 ) = M Ký hiệu : M = Min f(x,y, ) = fmin với (x,y, ) D Các kiến thức thường dùng 2.1 Luỹ thừa: a) x2 x R x2k x R, k z x2k Tổng quát : f (x)2k x R, k z f (x)2k Từ suy : f (x)2k + m m x R, k z M f (x)2k M b) x x ( x )2k x 0; k z Tổng quát : ( A )2k A (A biểu thức) 2.2 Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: a) |x| xR b) |x + y| |x| + |y| ; "=" xảy x.y c) |x y| |x| |y| ; "=" xảy x.y |x| |y| 2.3 Bất đẳng thức côsi: ai ; i = 1, n : a1 a a n n a1 a .a n n nN, n dấu "=" xảy a1 = a2 = = an 2.4 Bất đẳng thức Bunhiacôpxki : Với n cặp số a1, a2, , an ; b1, b2, ,bn ta có : 2 2 2 (a1b1 + a2b2 + + anbn)2 ( a1 a a n ).(b1 b2 bn ) Dấu "=" xảy a1 a a n Const = Const b1 b bn Nếu bi = xem = 2.5 Bất đẳng thức Bernonlly : Với a : (1 + a)n + na n N Biên soạn: Trần Đình Hoàng tdhoangclassic@gmail.com Chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán Dấu "=" xảy a = II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN Phương pháp Sử dụng phép biến đổi đồng Bằng cách nhóm, thêm, bớt, tách hạng tử cách hợp lý, ta biến đổi biểu thức cho tổng biểu thức không âm (hoặc không dương) số Từ : Để tìm Max f(x,y, ) miền D ta : f (x, y ) �M � cho f(x0,y0, ) = M � (x , y ) �� � Để tìm Min f(x,y, ) miền D ta : f (x, y ) �m � cho f(x0,y0, ) = m � (x , y ) �� � Phương pháp giải tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức đại số cách đưa dạng A(x) �0 { A(x) �0 } Để tìm giá trị nhỏ biểu thức A(x) ta cần: + Chứng minh A(x) �k với k số + Chỉ dấu "=" xảy Để tìm giá trị lớn biểu thức A(x) ta cần: + Chứng minh A(x) �k với k số + Chỉ dấu "=" xảy Dạng Tìm GTNN GTLN đa thức bậc hai đơn giản Phương pháp: Áp dụng đẳng thức bình phương tổng hiệu Bài Tìm giá trị nhỏ đa thức sau: a) A = x2 + 4x + b) R = 3x2 – 5x + c) M x2 x d) A = x2 + 2x + y2 + e) A(x) x 4x 24 f) B(x) 2x 8x g) C(x) 3x x h) A 2x 1 3x x 11 i) P x x2 k) N = x - 4x +1 l) D 3x 6x m) K = x - 2x + y - 4y + n) B = x2 + y2 + 2xy + o) Q 4x 3x p) M = 5x2 – |6x – 1| – q) A 9x 6x 3x j) Q = 4x + 4x +11 r) B x 1 x x 3 2 2 HD: 2 2 q) Đặt 3x t � t 9x 6x � A t 4t (t 2) �1 x 1 � Dấu “=” xảy t = 3x � � � x � Bài Tìm giá trị lớn đa thức sau Biên soạn: Trần Đình Hoàng tdhoangclassic@gmail.com Chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán a) A = – x2 + 6x – 15 b) B = 5x2 4x + c) C = – x2 + 4x – < d) D = 4x – 10 – x2 e) E x x2 f) F 5x 4x g) G 3x x h) H x 4x i) K 5x 7x j) L x x k) M x 2x l) N x x Bài Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: a) B 2x 2y 5y b) D(x) 2x 3y 4z 2(x y z) c) A x 4y 4x 32y 2018 d) A 3x y 4x y e) A x 2x 4y 4y f) B 4x y 12x 4y 15 g) C 5x y z 4xy 2xz h) D x 17 4y 8x 4y i) E 16x 8x 4y y j) F x y 2x 6y k) I x 4xy 5y 6y 11 l) M x 2xy 2y 2y m) R x 2y 2xy 2y n) A 4x 5y 4xy 16y 32 o) B x 5y 5z 4xy 4yz 4z 12 p) C 5x 12xy 9y 4x q) E x 5y 4xy 2y r) Q x 4y z 2x 8y 6z 15 s) A 2x y 2xy 2x t) B 2x y 2xy 8x 2028 Bài Tìm giá trị lớn biểu thức sau: a) B 5x y 4xy 2x b) A 4x 5y 8xy 10y 12 c) A x y z (x 2y 4z ) d) B 3x 16y 8xy 5x e) N x 4y 6x 8y f) P 3x 5y 2x 7y 23 g) R 7x 4y 8xy 18x h) Q = xy + yz + zx x2 y2 z2 HD: h) Ta có : Q = xy + yz + zx x2 y2 z2 = (2x2 + 2y2 + 2z2 2xy 2yz 2xz) Q = [(x y)2 + (y z)2 + (z x)2] x,y,z MaxQ = x = y = z Vậy: MaxQ = x = y = z Bài Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau cách đưa HĐT a �b ; a �b �c a) A x 2xy 2y 2x 10y 17 b) B x xy y 2x 2y c) C x xy y 3x 3y d) D x 2xy 6y 12x 2y 45 e) E x xy 3y 2x 10y 20 f) K x y xy 3x 3y 20 g) N x 2xy 2y x h) A x 2xy 3y 2x 1997 Biên soạn: Trần Đình Hoàng tdhoangclassic@gmail.com Chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán i) Q x 2y 2xy 2x 10y 2 j) G x xy y x y k) H(x) x y xy x y l) D 2x 2xy 5y 8x 22y m) E 2x 9y 6xy 6x 12y 2004 n) Q a ab b 3a 3b o) A x 6y 14z 8yz 6zx 4xy p) B(x) x xy y 3x 3y q) C(x) 2x 3y 4xy 8x 2y 18 r) E(x) 2x 8xy 11y 4x 2y s) C = a2 + ab + b2 – 3x – 3b + 1989 u) A = x2 + 2y2 + 2xy + 2x – 4y + 2013 t) A = 3x + 4y2 + 4xy + 2x – 4y + 26 v) A = 5x2 + 9y2 – 12xy + 24x – 48y + 82 w) B x 2y 3z 2xy 2xz 2x 2y 8z 2000 x) G x ay x ay x 16y 8ay 2x 8y 10 2 2 2 2 2 y) F = 2x + 6y + 5z – 6xy + 8yz – 2xz + 2y + 4z + z) B = 3x + 3y + z + 5xy – 3yz – 3xz – 2x – 2y + aa) B = 2x + 2y + z + 2xy – 2xz – 2yz – 2x – 4y HD: a) A x 2xy 2y 2x 10y 17 2 2y2 10y 17 y 1 � A x2 2x y 1 2y2 10y 17 x2 2x y 1 y 1 � � � A x y 1 y2 8y 16 x y 1 y 4 2 b) B x xy y 2x 2y �2 y y2 4y 4� y2 B x x y 2 y 2y � x 2.x � y 2y y 4 � � 2 4B x y 2 4y2 8y y2 4y x y 2 3y2 12y 2 x y 2 y2 4y x y 2 3 y 2 15 �15 �B � 2 15 c) C x xy y 3x 3y �2 y y2 6y 9� y2 6y C x2 x y 3 y2 3y � x 2.x y 3y � 4 � � 4C x y 3 � 4y2 12y y2 6y 9� � � d) D x 2xy 6y 12x 2y 45 D x2 2x(y 6) 6y2 2y 45 x2 2x.(y 6) (y 6)2 6y2 2y 45 (y2 12y 36) Biên soạn: Trần Đình Hoàng tdhoangclassic@gmail.com Chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán (x y 6)2 5y2 10y (x y 6)2 5(y 1)2 �4 e) E x xy 3y 2x 10y 20 E x2 x y 2 3y2 10y 20 x2 2x y y2 4y y2 4y 3y2 10y 20 4 4E x y 2 12y2 40y 80 y2 4y x y 2 11y2 36y 76 2 f) K x y xy 3x 3y 20 2 4K 4x2 4y2 4xy 12x 12y 80 � 4x2 4x y 3 y 3 � � 4y2 12y 80 y 3 � �� � � 4K 2x y 3 3y2 18y 71 g) N x 2xy 2y x 2y 1 2y 2y 1 N x x 2y 1 2y x 2x 2y2 4 2 2 4N x 2y 1 8y2 4y2 4y h) A x 2xy 3y 2x 1997 A x2 2x y 1 3y2 1997 x2 2x y 1 y 1 3y2 1997 y2 2y i) Q x 2y 2xy 2x 10y Q x2 2x y 1 2y2 10y x2 2x y 1 y 1 2y2 10y y2 2y 2 j) G x xy y x y 4G 4x2 4xy 4y2 12x 12y 12 4G 4x2 4x y 3 y 3 4y2 12y 12 y2 6y 4G 2x y 3 3y2 6y 2x y 3 3 y 1 �0 2 k) H(x) x y xy x y H(x) x y xy x y � 4H(x) (2x) 2.2x.y y 3y 4x 4y (2x y) 2(2x y) 3y 2y (2x y 1) 3(y y 1) 8 (2x y 1) 3(y )2 � 3 � Min4H(x) 1 � x ;y � MinH(x) 3 3 l) D 2x 2xy 5y 8x 22y Biên soạn: Trần Đình Hoàng tdhoangclassic@gmail.com Chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 2D 4x2 4xy 10y2 16x 44y 4x2 4x y 4 10y2 44y 2D 4x2 2.2x y 4 y 4 10y2 44y y2 8y 16 m) E 2x 9y 6xy 6x 12y 2004 2E 4x2 18y2 12xy 12x 24y 4008 2E 4x2 12x y 1 9 y 1 18y2 24y 4008 y2 2y 2E 2x y 1 9y2 42y 3999 n) Q a2 ab b2 3a 3b 4Q a2 2ab b2 a2 b2 2ab 4a 4b a b 3 a b 2 �0 2 o) A x 6y 14z 8yz 6zx 4xy A x2 2x 2y 3z 6y2 14z2 A x2 2x 2y 3z 2y 3z 6y2 14z2 4y2 12yz 9z2 A x 2y 3z 2y2 12yz 23z2 p) B(x) x xy y 3x 3y B(x) (x 2x 1) (y 2y 1) x(y 1) (y 1) (x 1) (y 1) (x 1)(y 1) y 1 y 1 (x 1) 2(x 1) .(y 1) ( ) ( ) (y 1) 2 2 y 1� y 2y � � x 1 y 2y � � � q) C(x) 2x 3y 4xy 8x 2y 18 C(x) 2x 4xy 2y y 8x 2y 18 � (x y) 2(x y)2 � � � (y 6y 9) 2(x y 2) (y 3) �1 � A � y 3; x r) E(x) 2x 8xy 11y 4x 2y E(x) 2(x 4xy 4y ) 3y 4x 2y � 2(x 2y) 4(x 2y) � � � 3y 6y x3 �x 2y � 2(x 2y 1) 3(y 1) �1 � � �� �y �y 1 s) C a ab b 3x 3b 1989 b b 3 b 3 C a a b 3 b 3b 1989 a 2.a b 3b 1989 4 2 2 4C 4a 4ab 4b 12a 12b 7956 2 � 4a 4a b 3 b � 4b 12b 7956 b � � 2a b 3 3b 6b 7947 Biên soạn: Trần Đình Hoaøng tdhoangclassic@gmail.com Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 2 t) A 4y 4xy 4y 3x 2x 26 2 � 4y 2.2y x 1 x 1 � 3x 2x 26 x 1 � � A 2y x 1 2x 4x 25 x 2y 1 x 2x 1 23 �23 2 u) A x 2y 2xy 2x 4y 2013 A x 2y 2xy 2x 4y 2013 x 2x(y 1) (y 1) (y 3) 2003 �2003 � x 4; y v) A 5x 9y 12xy 24x 48y 82 A 5x 9y 12xy 24x 48y 82 9y 12y(x 4) 4(x 4) 4(x 4) 5x 24x 82 16 3y 2(x 4) (x 4) �2x, y �R � x 4; y 2 w) B x 2y 3z 2xy 2xz 2x 2y 8z 2000 B x2 2x y z 1 2y2 3z2 2y 8z 2000 x2 2x y z 1 y z 1 2y2 3z2 2y 2z 2000 y2 z2 1 2yz 2z 2y x y z 1 y2 2z2 4y 2yz 1999 2 x y z 1 � y2 2y z 2 z 2 � 2z2 z2 4z 1999 � � x y z 1 y z 2 z2 4z 1995 2 x) G x ay x ay x 16y 8ay 2x 8y 10 G� x2 2x 16y2 8ay 8y �x ay 6 x ay 9� � G x ay 3 x 1 16y2 8y a 1 a 1 a 1 2 G x ay 3 x 1 4y a 1 a 1 � a 1 2 2 2 y) F(x) 2x 6y 5z 6xy 8yz 2xz 2y 4z F(x) 2x 6y 5z 6xy 8yz 2xz 2y 4z 3y z 3y z F(x) 2x 2x(3y z) 2( ) 6y 5z 8yz ( ) 2y 4z 2 3y z 10 25 2(x ) (y yz z ) z 2y 4z 2 3y z � 5 2� 2(x ) � (y z) 2(y z) � ( z z ) 2 3 3� 3 � Biên soạn: Trần Đình Hoàng tdhoangclassic@gmail.com Chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán � 3y z �x �x � 2 � � 2( ) (y z ) (x 1) �1 � �y z � �y � A 3 3 � �z 1 � �z � � 2 z) B 3x 3y z 5xy 3yz 3xz 2x 2y y � � B� z (x y) � (x ) (y 2) �1 3 � � aa) G(x) 2x 2y z 2xy 2xz 2yz 2x 4y G(x) 2x 2y z 2xy 2xz 2yz 2x 4y (x 1) (y 2) (x y z) �5 � x 1; y 2; z Bài Tìm giá trị lớn biểu thức sau cách đưa HĐT a�b ; a�b �c 2 a) H x xy y 2x 4y 11 b) D x y xy 2x 2y c) A 2x 4y 4xy 8x 12y d) A 2x 4y 4xy 8x 12y e) F = – x2 + 2xy – 4y2 + 2x + 10y – HD: f) E x y xy 2x 2y a) H x xy y 2x 4y 11 H x2 xy y2 2x 4y 11 x2 x y 2 y2 4y 11 y 2 y y2 4y H x 2x y 4y 11 4 2 � 4H x y 2 4y2 16y 44 y2 4y b) D x y xy 2x 2y D x2 y2 xy 2x 2y x2 x y 2 y2 2y y y 2 y2 4y D x 2x y 2y 4 2 c) A 2x 4y 4xy 8x 12y A 2x 4y 4xy 8x 12y 2x 4x y 4y 12y 2 2� x2 2x y 2 y 2 � 4y2 12y 5 2 y 2 � � d) A x y xy 2x 2y Biên soạn: Trần Đình Hoàng tdhoangclassic@gmail.com Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán A x2 y2 xy 2x 2y x2 xy 2x y2 2y x2 x y 2 y2 2y �2 �y 4y � � y � �3y � y y 4y � A� x 2x y 2y � � 3y 1� � � �x � � �4 � � � �� � �2x y � � � A� � �y 4y � � � 4� � e) F x 2xy 4y 2x 10y F x 2xy 4y 2x 10y x 2x y 1 4y 10y F x 2x y 1 y 1 4y 10y y 1 2 f) E x y xy 2x 2y E x y xy 2x 2y � 4E 4x 4y 4xy 8x 8y E 4x 4x(y 2) (y 2) (y 2) 4y 8y (2x y 2) 3(y 4y) (2x y 2) 3(y 2) 16 �16 �� E �2x y � �y �x � �y Dạng Tìm GTNN GTLN đa thức bậc bốn đơn giản Phương pháp: a) Phân tích thành biểu thức tương đồng để đặt ẩn phụ b) Sử dụng phương pháp nhóm hợp lý làm xuất nhân tử để đặt ẩn phụ c) Sử dụng đẳng thức a �b , a b c 2 Dạng 2.1 Biểu thức có dạng ax4 + bx3 + cx2 + dx + e Bài Tìm GTNN biểu thức sau: a) C(x) x 4x 9x 20x 22 b) D(x) x 6x 11x 12x 20 c) A(x) x 6x 10x 6x d) B(x) x 10x 26x 10x 30 e) C(x) x 2x 3x 4x 2017 f) A(x) a 2a 4a g) D(x) = x4 – x2 + 2x + HD: a) Biến đổi biểu thức dạng a �b C(x) x 4x 4x x 4x x x x �2 2 2 2 b) D(x) x 6x 11x 12x 20 x x 6x 2x 12x 20 x (x 3) 2(x 6x 9) x (x 3) 2(x 3) �2 Biên soạn: Trần Đình Hoàng tdhoangclassic@gmail.com Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán với a �10 a + Tìm giá trị nhỏ P2 = b + với b �100 b + Tìm giá trị nhỏ P3 = c + với c �1000 c 99 � 99 1 �a a � �� 10 10 Áp dụng BĐT Cô - si ta có P1 = 100 100 a � 100 100 10 � Suy minP1 = 10 + , đạt a = 10 10 Tương tự minP2 = 100 + , đạt b = 100 100 minP3 = 1000 + , đạt c = 1000 1000 111 Do Min P = P1 + P2 + P3 = 1110 , đạt đựơc a = 10, 1000 b = 100, c = 1000 + Tìm giá trị nhỏ P1 = a + x 4x với x �0 x 2 Bài Tìm GTNN biểu thức A Bài Cho số thực a 6 Tìm GTNN biểu thức A a 18 a Phân tích Ta có: A x x (x x 4) ( x 2) 1 x 2 x 2 x2 x2 x 2 + Sai lầm: Phân tích đến ta vội vàng dẫn đến sai làm sau: A x 2 1 �2 ( x 2) � 2 x 2 x 2 + Nguyên nhân Dấu “=” xảy x 2 � ( x 2) � x � x 1 (vô lý) x 2 + Lời giải đúng: Đặt t = x � t �2 � At (Như ta biến đổi A dạng Bài toán 1) t Lúc ta dễ dàng nhận thấy điểm rơi đạt t = cho cặp số kt � kt 1 � Dấu “=” xảy � t � 2k � k � �t Biên soạn: Trần Đình Hoàng tdhoangclassic@gmail.com t Chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán �t � 3t Như A t � � �2 � t �4 t � 2 Vậy MinA = t = x = 2 Tìm GTNN biểu thức B x Bài x 2 Phương pháp Sử dụng phương pháp đặt biến phụ I Phương pháp Bằng cách đặt biến phụ sử dụng phép biến đối tương đương Sử dụng bất đẳng thức ta chuyển biến thức cho biểu thức đơn giản hơn, dễ xác định cực trị II Bài tập vận dụng Bài Tìm GTNN C1 = x4 + 6x3 + 13x2 + 12x + 12 HD: C1 = x4 + 6x3 + 13x2 + 12x + 12 C1 = ( x4 + 6x3 + 19x2 + 30x + 25) (x2 + 3x + 5) + 17 C1 = (x2 + 3x + 5)2 (x2 + 3x + 5) + 17 Đặt : x2 + 3x + = a C1 = a2 6a + 17 = a2 + 6a + + C1 = (a 3)2 + (a 3)2 a x y C1min = a – = a = x2 + 3x + = x y Vậy : C1min = x2 y2 Bài Tìm GTNN C2 = x2 y x y với x, y > y x HD: y x y2 x2 Đặt : = a = a2 y x y x C2 = 2.( a2 2) 5a + = 2a2 5a + Ta thấy : a C2 = 2a2 5a + C2min = a = x = y > Vậy : C2min = x = y > Bài Tìm GTNN C3 = y x y x + 2004 với x, y > y x y x HD: Đặt : x y =a2 y x Biên soạn: Trần Đình Hoàng tdhoangclassic@gmail.com Chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán y x = a2 y x C3 = (a2 2) 3a + 2004 C3 = a2 3a + 2004 = a2 3a + + 2002 C3 = (a 1)(a 2) + 2000 Do ta có : a a > ; a (a 1) (a 2) Khi : C3 = (a 1) (a 2) + 2000 2000 C3 = 2000 a = x = y ; xy > Vậy C3 = 2000 x = y xy > Bài Cho x, y, z > Tìm GTNN C4 = x y z y x z z x y HD: Đặt : a = y z ; b= x z ; c= x y a bc a bc a bc a b c x ; y ; z 2 a bc a bc a b c Khi : C4 = 2 1 a b b c a c C4 = ( ) ( ) ( ) 3 2 b a c b c a x y z = Theo Cơsi với a,b,c >0 ta có : a b 2 ; b a a c 2 ; c a (2 3) 2 C4min = a = b = c x = y = z > b c 2 c b C4 Bài Tìm GTLN, GTNN C5 = Vậy C4min = x = y = z > ( x y )(1 x y ) (1 x ) (1 y ) HD: ( a b) ( a b) ab (2) a.b (1) a, b 4 x2 y2 1 x2 y2 a b Đặt : (1 x )(1 y ) (1 x )(1 y ) Ta có : Khi : C5 = a.b ( a b) ( a b) Theo (1) (2) ta có : C5 = ab 4 x2 y2 1 x2 y2 x y 1 x y C (1 x )(1 y ) (1 x )(1 y ) Biên soạn: Trần Đình Hoaøng tdhoangclassic@gmail.com a, b Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán ( x 1)(1 y ) ( x 1)(1 y ) C (1 x )(1 y ) (1 x )(1 y ) x2 1 1 y2 C5 x 1 1 y2 2 2 x2 1 Ta có : x 1 ; 1 y2 1 1 y 2 1 x2 1 1 y2 Do : C5 4 x 1 1 y C5min = (x2 1)2 = (x2 + 1)2 x = C5max = (1 y2)2 = (1 + y2)2 y = Vậy : C5min = x = C5max = y = III Bài tập tự luyện Tìm GTNN A = x2 + - x + x x 1 50 a 2a 50 3a với a ; 2 1 Cho a - ; b - ; c - a+ b + c = 2 Tìm GTLN C = 2a 2b 2c Tìm GTLN B = x y y2 x2 Cho x,y > Tìm GTNN D = 3 y x y x Phương pháp Sử dụng biểu thức phụ I Phương pháp Để tìm cực trị biểu thức đó, đơi người ta xét cực trị biểu thức khác so sánh với nó, biểu thức phụ dễ tìm cực trị Ví dụ : Để tìm cực trị biểu thức A với A > 0, ta xét cực trị biểu thức : , A, kA, A k + A, |A| , A2 (k số) II Bài tập vận dụng x2 x4 x2 1 Bài Tìm GTLN A = HD: a) Xét x = A = giá trị khơng phải GTLN A với x ta có A > b) Xét x đặt P = Amax Pmin A Biên soạn: Trần Đình Hoàng tdhoangclassic@gmail.com Chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán với cách đặt ta có : P = ta có : x2 + x4 x2 1 x x x 1 2 x 2 (theo côsi) x x P + = Pmin = x = 1 x=1 x Bài Tìm GTNN B = với x > ( x 2002) Do : Amax = HD: Đặt P1 = B P1max Mmin Ta có : P1 = Đặt P2 = x với x > P > ( x 2002) > với x > P2 Min P1 Max P1 P2 = ( x 2002) x 2.x.2002 2002 x x P2 = x 2.x.2002 2002 4.x.2002 x P2 = (do ( x 2002) 4.2002 4.2002 8008 x ( x 2002) x > 0) x P2 Min = 8008 x = 2002 x = 2002 8008 BMin = x = 2002 8008 P1 Max = Vậy BMin = 8008 x = 2002 Bài Cho a,b, c dương a + b + c = 5a 4b 5b 4c 5c 4a Tìm GTLN C = HD: Do a, b, c > C > Đặt : P = C2 PMax CMax Ta có : P = ( 5a 4b 5b 4c 5c 4a )2 P (12 + 12 + 12) (5a + 4b + 5b + 4c + 5c + 4a) theo Bunhiacôpxki P 3.9(a + b + c) = 81 a + b + c = PMax = 81 a = b = c = C Max = 81 a = b = c = CMax = a = b = c = Biên soạn: Trần Đình Hoàng tdhoangclassic@gmail.com Chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi tốn Vậy CMax = a = b = c = Bài Cho x, y, z, t > Tìm GTNN D = y t y xy x tx t y t x tx y xy t HD: Đặt P = 2D ta có : 2y 2(t x) 2( x y ) x 2( y t ) 2t P= y t x tx y xy t 2x y t 2y x y 3 y t t x x t t x 2t 2x t x 2y x y 2t x y t y t P = 2x y t 2y x y 3 y t t x x y t x 2t 2x t x 2y x y 2t x x y y t t y t P = P + + + 6 P 15 PMin = 15 x = y = t > DMin = 15 x = y = t Vậy DMin = Bài Cho x, y > 7x + 9y = 63 HD: Đặt : P = 63.E ta có : 15 x=y=t Tìm GTLN E = x.y 7x y (theo côsi) P = 63xy = 7x.9y 3969 63 PMax = 2 P = Dấu "=" xảy 7x = 9y = EMax = 3969 �x 4,5 63 � �y 3,5 x 4,5 3969 63 : 63 = 4 y 3,5 Bài Cho x2 + y2 = 52 Tìm GTLN F = 2x + 3y HD: Xét : P1 = |F| P1 = |2x + 3y| Đặt : P2 = P P2 = (2x + 3y)2 Theo Bunhiacôpxky : P2 (4 + 9) (x2 + y2) = 13.13.4 x 4 x y 6 y P2 Max = 13.13.4 x 4 y 6 P1 Max = 26 Do F |F| = P FMax = 26 x 4 y 6 Vậy FMax = 26 Biên soạn: Trần Đình Hoàng tdhoangclassic@gmail.com (theo côsi) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán y x4 y4 x2 y2 x Bài Cho x, y > Tìm GTNN G = y x y x y x HD: Đặt : P = G ta có : P = y x4 y4 x2 y2 x -2 y x y x y x x4 y4 x2 x2 y2 x y y2 x P= 2 x4 y2 y x x y y y x 2 y x x2 y2 x y ( x y) 0 P = 1 1 xy y x y x PMin = x = y > Vậy GMin = x = y > III Bài tập vận dụng Cho x,y, z > x2 + y2 + z2 = Tìm GTNN A Cho x Tìm GTNN B = xy yz zx z x y x8 x 1 x4 x8 Cho x Tìm GTLN C = 16 x x8 1 Cho a2 + b2 + c2 = Tìm GTLN D = a + 2b + 3c 1 a b a b bc cd d a Cho a, b, c, d > Tìm GTNN F = bc d c d a d a b a bc Cho a,b > a + b = Tìm GTNN E = 1 Cho a,b |R Tìm GTNN G = a (1 b) b (1 a ) Phương pháp Phương pháp miền giá trị I Phương pháp Trong số trường hợp đặc biệt, biểu thức đại số cho có hai biến số đưa dạng tam thức bậc ta sử dụng kiến thức miền già trị hàm số để giải thấy hiệu Đường lối chung : Giải sử ta phải tìm cực trị hàm số f(x) có miền giá trị D Gọi y giá trị f(x) với x D Điều có nghĩa điều kiện để phương trình f(x) = y có nghiệm Sau giải điều kiện để phương trình f(x) = y có nghiệm (x biến, coi y tham số) Thường đưa đến biểu thức sau : m y M Từ Min f(x) = m Max f(x) = M II Bài tập vận dụng với x D với x D Bài Tìm GTNN f(x) = x2 + 4x + Biên soạn: Trần Đình Hoàng tdhoangclassic@gmail.com Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán HD: Gọi y giá trị f(x) Ta có :y = x2 + 4x + x2 + 4x + y = (có nghiệm) ' = + y y1 Vậy f(x) Min = x = Bài Tìm GTLN f(x) = x2 + 2x HD: Gọi y giá trị f(x) Ta có : y = x2 + 2x x2 2x + y + (có nghiệm) ' = y y Vậy f(x)Max = x = x 4x Bài Tìm GTLN, GTNN f(x) = x 2x HD: Gọi y giá trị f(x) x 4x Ta có : y = yx2 + 2yx + 3y x2 4x = x 2x (y 1)x2 + (y 2).x + 3y = (có nghiệm) * Nếu y = x = * Nếu y ' = (y 2)2 + (3y 6)(1 y) y2 4y + 3y2 + 3y + 6y 2y2 + 5y + y 2 Ta thấy : Do :