BD HSG TOÁN 8 Chuyên đề tìm GTNN và GTLN

Trong chuyên đề này tôi đã tổng hợp tất cả các phương pháp tìm GTNN và GTLN của toán 8. Chuyên dề khá chi tiết, lời giải đầy đủ. Đây là tài liệu Gv có thể sử dụng để bồi dưỡng HSG lớp 8 mà không cần phải soạn lại.

Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán CHUYÊN ĐỀ: TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC MỤC LỤC I LÝ THUYẾT II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN Phương pháp Sử dụng phép biến đổi đồng Dạng Tìm GTNN GTLN đa thức bậc hai đơn giản .3 Dạng Tìm GTNN GTLN đa thức bậc bốn đơn giản 10 Dạng Tìm GTNN GTLN biểu thức dạng Dạng Tìm Min, Max biểu thức có điều kiện biến 31 Dạng Sử dụng bất đẳng thức bản: 41 Dạng Tìm Min, Max cách sử dụng bất đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối .44 A 14 B Phương pháp Phương pháp chọn điểm rơi 47 Phương pháp Sử dụng phương pháp đặt biến phụ 54 Phương pháp Sử dụng biểu thức phụ 56 Phương pháp Phương pháp miền giá trị .59 Phương pháp Phương pháp xét khoảng giá trị 61 Phương pháp Phương pháp hình học 64 Biên soạn: Trần Đình Hoàng tdhoangclassic@gmail.com Chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán I LÝ THUYẾT Định nghĩa  M gọi GTLN f(x,y, ) miền xác định D điều kiện sau đồng thời thoả mãn : f(x,y, )  M (x,y, )  D  (x0, y0, )  D cho f(x0, y0 ) = M Ký hiệu : M = Max f(x,y, ) = fmax với (x,y, )  D  M gọi GTNN f(x,y, ) miền D đến điều kiện sau đồng thời thoả mãn : f(x,y, )  M (x,y, )  D  (x0, y0, )  D cho f(x0, y0 ) = M Ký hiệu : M = Min f(x,y, ) = fmin với (x,y, )  D Các kiến thức thường dùng 2.1 Luỹ thừa: a) x2  x  R  x2k  x  R, k  z   x2k  Tổng quát : f (x)2k  x  R, k  z   f (x)2k  Từ suy : f (x)2k + m  m x  R, k  z M  f (x)2k  M b) x  x   ( x )2k  x  0; k z Tổng quát : ( A )2k   A  (A biểu thức) 2.2 Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: a) |x|   xR b) |x + y|  |x| + |y| ; "=" xảy  x.y  c) |x  y|  |x|  |y| ; "=" xảy  x.y  |x|  |y| 2.3 Bất đẳng thức côsi: ai  ; i = 1, n : a1  a   a n  n a1 a .a n n nN, n  dấu "=" xảy  a1 = a2 = = an 2.4 Bất đẳng thức Bunhiacôpxki : Với n cặp số a1, a2, , an ; b1, b2, ,bn ta có : 2 2 2 (a1b1 + a2b2 + + anbn)2  ( a1  a   a n ).(b1  b2   bn ) Dấu "=" xảy  a1 a a    n  Const = Const b1 b bn Nếu bi = xem = 2.5 Bất đẳng thức Bernonlly : Với a  : (1 + a)n  + na n N Biên soạn: Trần Đình Hoàng tdhoangclassic@gmail.com Chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán Dấu "=" xảy  a = II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN Phương pháp Sử dụng phép biến đổi đồng Bằng cách nhóm, thêm, bớt, tách hạng tử cách hợp lý, ta biến đổi biểu thức cho tổng biểu thức không âm (hoặc không dương) số Từ : Để tìm Max f(x,y, ) miền D ta : f (x, y ) �M � cho f(x0,y0, ) = M �  (x , y ) �� � Để tìm Min f(x,y, ) miền D ta : f (x, y ) �m � cho f(x0,y0, ) = m �  (x , y ) �� �  Phương pháp giải tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức đại số cách đưa dạng A(x) �0 { A(x) �0 }  Để tìm giá trị nhỏ biểu thức A(x) ta cần: + Chứng minh A(x) �k với k số + Chỉ dấu "=" xảy  Để tìm giá trị lớn biểu thức A(x) ta cần: + Chứng minh A(x) �k với k số + Chỉ dấu "=" xảy Dạng Tìm GTNN GTLN đa thức bậc hai đơn giản Phương pháp: Áp dụng đẳng thức bình phương tổng hiệu Bài Tìm giá trị nhỏ đa thức sau: a) A = x2 + 4x + b) R = 3x2 – 5x + c) M  x2  x  d) A = x2 + 2x + y2 + e) A(x)  x  4x  24 f) B(x)  2x  8x  g) C(x)  3x  x  h) A   2x  1   3x    x  11 i) P   x  x2 k) N = x - 4x +1 l) D  3x  6x  m) K = x - 2x + y - 4y + n) B = x2 + y2 + 2xy + o) Q  4x  3x  p) M = 5x2 – |6x – 1| – q) A  9x  6x  3x   j) Q = 4x + 4x +11 r) B   x  1   x     x  3 2 2 HD: 2 2 q) Đặt 3x   t � t  9x  6x  � A  t  4t   (t  2)  �1 x 1 � Dấu “=” xảy t =  3x   � � � x � Bài Tìm giá trị lớn đa thức sau Biên soạn: Trần Đình Hoàng tdhoangclassic@gmail.com Chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán a) A = – x2 + 6x – 15 b) B =  5x2  4x + c) C = – x2 + 4x – < d) D = 4x – 10 – x2 e) E   x  x2 f) F  5x  4x  g) G  3x  x  h) H   x  4x  i) K  5x  7x  j) L   x  x  k) M   x  2x  l) N   x  x  Bài Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: a) B  2x  2y  5y  b) D(x)  2x  3y  4z  2(x  y  z)  c) A  x  4y  4x  32y  2018 d) A  3x  y  4x  y e) A  x  2x   4y  4y f) B  4x  y  12x  4y  15 g) C  5x  y  z  4xy  2xz h) D  x  17  4y  8x  4y i) E  16x   8x  4y  y j) F  x  y  2x  6y  k) I  x  4xy  5y  6y  11 l) M  x  2xy  2y  2y  m) R  x  2y  2xy  2y n) A  4x  5y  4xy  16y  32 o) B  x  5y  5z  4xy  4yz  4z  12 p) C  5x  12xy  9y  4x  q) E  x  5y  4xy  2y  r) Q  x  4y  z  2x  8y  6z  15  s) A  2x  y  2xy  2x  t) B  2x  y  2xy  8x  2028 Bài Tìm giá trị lớn biểu thức sau: a) B   5x  y  4xy  2x b) A  4x  5y 8xy  10y  12 c) A  x  y  z  (x  2y  4z ) d) B  3x  16y  8xy  5x  e) N   x  4y  6x  8y  f) P  3x  5y  2x  7y  23 g) R  7x  4y  8xy  18x  h) Q = xy + yz + zx  x2  y2  z2 HD: h) Ta có : Q = xy + yz + zx  x2  y2  z2 =  (2x2 + 2y2 + 2z2  2xy  2yz  2xz) Q =  [(x  y)2 + (y  z)2 + (z  x)2]  x,y,z  MaxQ =  x = y = z Vậy: MaxQ =  x = y = z Bài Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau cách đưa HĐT  a �b ;  a �b �c a) A  x  2xy  2y  2x  10y  17 b) B  x  xy  y  2x  2y c) C  x  xy  y  3x  3y d) D  x  2xy  6y  12x  2y  45 e) E  x  xy  3y  2x  10y  20 f) K  x  y  xy  3x  3y  20 g) N  x  2xy  2y  x h) A  x  2xy  3y  2x  1997 Biên soạn: Trần Đình Hoàng tdhoangclassic@gmail.com Chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán i) Q  x  2y  2xy  2x  10y 2 j) G  x  xy  y   x  y   k) H(x)  x  y  xy  x  y  l) D  2x  2xy  5y  8x  22y m) E  2x  9y  6xy  6x  12y  2004 n) Q  a  ab  b  3a  3b  o) A  x  6y  14z  8yz  6zx  4xy p) B(x)  x  xy  y  3x  3y q) C(x)  2x  3y  4xy  8x  2y  18 r) E(x)  2x  8xy  11y  4x  2y  s) C = a2 + ab + b2 – 3x – 3b + 1989 u) A = x2 + 2y2 + 2xy + 2x – 4y + 2013 t) A = 3x + 4y2 + 4xy + 2x – 4y + 26 v) A = 5x2 + 9y2 – 12xy + 24x – 48y + 82 w) B  x  2y  3z  2xy  2xz  2x  2y  8z  2000 x) G   x  ay    x  ay   x  16y  8ay  2x  8y  10 2 2 2 2 2 y) F = 2x + 6y + 5z – 6xy + 8yz – 2xz + 2y + 4z + z) B = 3x + 3y + z + 5xy – 3yz – 3xz – 2x – 2y + aa) B = 2x + 2y + z + 2xy – 2xz – 2yz – 2x – 4y HD: a) A  x  2xy  2y  2x  10y  17 2 2y2  10y  17  y  1 � A  x2  2x  y  1  2y2  10y  17  x2  2x y  1   y  1  � � �   A   x  y  1  y2  8y  16   x  y  1   y  4 2 b) B  x  xy  y  2x  2y �2 y  y2  4y  4� y2 B  x  x y  2  y  2y  � x  2.x  � y  2y   y  4 � � 2 4B   x  y  2  4y2  8y  y2  4y    x  y  2  3y2  12y  2     x  y  2  y2  4y    x  y  2  3 y  2  15 �15 �B � 2 15 c) C  x  xy  y  3x  3y �2 y  y2  6y  9� y2  6y  C  x2  x y  3  y2  3y  � x  2.x   y  3y  � 4 � � 4C   x  y  3  � 4y2  12y  y2  6y  9� � � d) D  x  2xy  6y  12x  2y  45 D  x2  2x(y  6)  6y2  2y  45  x2  2x.(y  6)  (y  6)2  6y2  2y  45 (y2  12y  36) Biên soạn: Trần Đình Hoàng tdhoangclassic@gmail.com Chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán  (x  y  6)2  5y2  10y   (x  y  6)2  5(y  1)2  �4 e) E  x  xy  3y  2x  10y  20 E  x2  x y  2  3y2  10y  20  x2  2x y  y2  4y  y2  4y    3y2  10y  20  4       4E   x  y  2  12y2  40y  80  y2  4y    x  y  2  11y2  36y  76 2 f) K  x  y  xy  3x  3y  20 2 4K  4x2  4y2  4xy  12x  12y  80  � 4x2  4x  y  3   y  3 � � 4y2  12y  80  y  3 � �� � � 4K   2x  y  3  3y2  18y  71 g) N  x  2xy  2y  x  2y  1 2y   2y  1 N  x  x 2y  1  2y  x  2x   2y2  4 2 2   4N   x  2y  1  8y2  4y2  4y  h) A  x  2xy  3y  2x  1997   A  x2  2x y  1  3y2  1997  x2  2x y  1   y  1  3y2  1997 y2  2y  i) Q  x  2y  2xy  2x  10y   Q  x2  2x y  1  2y2  10y  x2  2x  y  1   y  1  2y2  10y  y2  2y  2 j) G  x  xy  y   x  y   4G  4x2  4xy  4y2  12x  12y  12     4G  4x2  4x y  3   y  3  4y2  12y  12  y2  6y  4G   2x  y  3  3y2  6y    2x  y  3  3 y  1 �0 2 k) H(x)  x  y  xy  x  y  H(x)  x  y  xy  x  y  � 4H(x)  (2x)  2.2x.y  y  3y  4x  4y   (2x  y)  2(2x  y)  3y  2y    (2x  y  1)  3(y  y  1) 8  (2x  y  1)  3(y  )2  � 3 � Min4H(x)  1 � x  ;y  � MinH(x)  3 3 l) D  2x  2xy  5y  8x  22y Biên soạn: Trần Đình Hoàng tdhoangclassic@gmail.com Chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 2D  4x2  4xy  10y2  16x  44y  4x2  4x y  4  10y2  44y 2D  4x2  2.2x y  4   y  4  10y2  44y  y2  8y  16 m) E  2x  9y  6xy  6x  12y  2004 2E  4x2  18y2  12xy  12x  24y  4008   2E  4x2  12x y  1  9 y  1  18y2  24y  4008 y2  2y  2E   2x  y  1  9y2  42y  3999 n) Q  a2  ab  b2  3a  3b    4Q  a2  2ab  b2  a2  b2   2ab  4a 4b   a  b  3 a  b  2 �0 2 o) A  x  6y  14z  8yz  6zx  4xy A  x2  2x 2y  3z  6y2  14z2  A  x2  2x 2y  3z   2y  3z  6y2  14z2  4y2  12yz  9z2  A   x  2y  3z  2y2  12yz  23z2 p) B(x)  x  xy  y  3x  3y B(x)  (x  2x  1)  (y  2y  1)  x(y  1)  (y  1)   (x  1)  (y  1)  (x  1)(y  1)  y 1 y 1  (x  1)  2(x  1) .(y  1)  ( ) ( )  (y  1)  2 2 y  1� y  2y  � � x 1   y  2y   � � � q) C(x)  2x  3y  4xy  8x  2y  18 C(x)  2x  4xy  2y  y  8x  2y  18  � (x  y)  2(x  y)2  � � � (y  6y  9)   2(x  y  2)  (y  3)  �1 � A  � y  3; x  r) E(x)  2x  8xy  11y  4x  2y  E(x)  2(x  4xy  4y )  3y  4x  2y   � 2(x  2y)  4(x  2y)  � � � 3y  6y  x3 �x  2y   �  2(x  2y  1)  3(y  1)  �1 � � �� �y   �y  1 s) C  a  ab  b  3x  3b  1989 b   b  3  b  3 C  a  a  b  3  b  3b  1989  a  2.a   b  3b  1989  4 2 2 4C  4a  4ab  4b  12a  12b  7956 2 � 4a  4a  b  3   b   � 4b  12b  7956   b   � �   2a  b  3  3b  6b  7947 Biên soạn: Trần Đình Hoaøng tdhoangclassic@gmail.com Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 2 t) A  4y   4xy  4y   3x  2x  26 2 � 4y  2.2y  x  1   x  1 � 3x  2x  26   x  1 � � A   2y  x  1  2x  4x  25   x  2y  1   x  2x  1  23 �23 2 u) A  x 2y  2xy  2x  4y  2013 A  x 2y  2xy  2x  4y  2013  x  2x(y  1)  (y  1)  (y  3)  2003 �2003 � x  4; y  v) A  5x  9y 12xy  24x  48y  82 A  5x  9y 12xy  24x  48y  82  9y  12y(x  4)  4(x  4)  4(x  4)  5x  24x  82 16   3y  2(x  4)   (x  4)  �2x, y �R � x  4; y  2 w) B  x  2y  3z  2xy  2xz  2x  2y  8z  2000 B  x2  2x y  z  1  2y2  3z2  2y  8z  2000    x2  2x y  z  1   y  z  1  2y2  3z2  2y  2z  2000  y2  z2  1 2yz  2z  2y     x  y  z  1  y2  2z2  4y  2yz  1999   2   x  y  z  1  � y2  2y z  2   z  2 � 2z2  z2  4z   1999 � �     x  y  z  1   y  z  2  z2  4z  1995 2 x) G   x  ay    x  ay   x  16y  8ay  2x  8y  10   G�  x2  2x   16y2  8ay  8y �x  ay  6 x  ay  9� � G   x  ay  3   x  1  16y2  8y a 1   a  1   a  1 2 G   x  ay  3   x  1   4y  a 1   a 1 �  a 1 2 2 2 y) F(x)  2x  6y  5z  6xy  8yz  2xz  2y  4z  F(x)  2x  6y  5z  6xy  8yz  2xz  2y  4z  3y  z 3y  z F(x)  2x  2x(3y  z)  2( )  6y  5z  8yz  ( )  2y  4z  2 3y  z 10 25  2(x  )  (y  yz  z )  z  2y  4z  2 3y  z � 5 2�  2(x  )  � (y  z)  2(y  z)  � ( z  z  )  2 3 3� 3 � Biên soạn: Trần Đình Hoàng tdhoangclassic@gmail.com Chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán � 3y  z �x   �x  � 2 � �  2( )  (y  z  )  (x  1)  �1 � �y  z   � �y  � A  3 3 � �z  1 � �z   � � 2 z) B  3x  3y  z  5xy  3yz  3xz  2x  2y  y � � B� z  (x  y) � (x   )  (y  2)  �1 3 � � aa) G(x)  2x  2y  z  2xy  2xz  2yz  2x  4y G(x)  2x  2y  z  2xy  2xz  2yz  2x  4y  (x  1)  (y  2)  (x  y  z)  �5 � x  1; y  2; z  Bài Tìm giá trị lớn biểu thức sau cách đưa HĐT  a�b ;  a�b �c 2 a) H  x  xy  y  2x  4y  11 b) D  x  y  xy  2x  2y c) A   2x  4y  4xy  8x  12y d) A   2x  4y  4xy  8x  12y e) F = – x2 + 2xy – 4y2 + 2x + 10y – HD: f) E   x  y  xy  2x  2y a) H  x  xy  y  2x  4y  11 H  x2  xy  y2  2x  4y  11 x2  x y  2  y2  4y  11  y  2 y  y2  4y  H  x  2x   y  4y  11 4 2   �  4H   x  y  2  4y2  16y  44  y2  4y  b) D   x  y  xy  2x  2y D  x2  y2  xy  2x  2y  x2  x y  2  y2  2y y   y  2 y2  4y  D  x  2x   y  2y  4 2 c) A   2x  4y  4xy  8x  12y A  2x  4y  4xy  8x  12y   2x  4x  y    4y  12y  2  2� x2  2x y  2   y  2 � 4y2  12y  5 2 y  2 � � d) A   x  y  xy  2x  2y Biên soạn: Trần Đình Hoàng tdhoangclassic@gmail.com Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán  A  x2  y2  xy  2x  2y  x2   xy  2x  y2  2y  x2  x  y  2  y2  2y  �2 �y  4y  � � y  � �3y � y  y  4y  � A� x  2x   y  2y  � �  3y  1� � � �x  � � �4 � � � �� � �2x  y  � � � A� � �y  4y    � � � 4� � e) F   x  2xy  4y  2x  10y  F  x  2xy  4y  2x  10y   x  2x  y  1  4y  10y  F  x  2x  y  1   y  1  4y  10y    y  1 2 f) E   x  y  xy  2x  2y E   x  y  xy  2x  2y � 4E  4x  4y  4xy  8x  8y E  4x  4x(y  2)  (y  2)  (y  2)  4y  8y  (2x  y  2)  3(y  4y)   (2x  y  2)  3(y  2)  16 �16 �� E �2x  y   � �y   �x  � �y  Dạng Tìm GTNN GTLN đa thức bậc bốn đơn giản Phương pháp: a) Phân tích thành biểu thức tương đồng để đặt ẩn phụ b) Sử dụng phương pháp nhóm hợp lý làm xuất nhân tử để đặt ẩn phụ c) Sử dụng đẳng thức  a �b , a  b  c 2 Dạng 2.1 Biểu thức có dạng ax4 + bx3 + cx2 + dx + e Bài Tìm GTNN biểu thức sau: a) C(x)  x  4x  9x  20x  22 b) D(x)  x  6x  11x  12x  20 c) A(x)  x  6x  10x  6x  d) B(x)  x  10x  26x  10x  30 e) C(x)  x  2x  3x  4x  2017 f) A(x)  a  2a  4a  g) D(x) = x4 – x2 + 2x + HD: a) Biến đổi biểu thức dạng  a �b C(x)   x  4x  4x    x  4x     x  x     x    �2 2 2 2 b) D(x)  x  6x  11x  12x  20  x  x  6x    2x  12x  20  x (x  3)  2(x  6x  9)   x (x  3)  2(x  3)  �2 Biên soạn: Trần Đình Hoàng tdhoangclassic@gmail.com Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán với a �10 a + Tìm giá trị nhỏ P2 = b + với b �100 b + Tìm giá trị nhỏ P3 = c + với c �1000 c 99 � 99 1 �a a  �  �� 10   10  Áp dụng BĐT Cô - si ta có P1 = 100 100 a � 100 100 10 � Suy minP1 = 10 + , đạt a = 10 10 Tương tự minP2 = 100 + , đạt b = 100 100 minP3 = 1000 + , đạt c = 1000 1000 111 Do Min P = P1 + P2 + P3 = 1110 , đạt đựơc a = 10, 1000 b = 100, c = 1000 + Tìm giá trị nhỏ P1 = a + x  4x  với x �0 x 2 Bài Tìm GTNN biểu thức A  Bài Cho số thực a 6 Tìm GTNN biểu thức A  a  18 a Phân tích Ta có: A  x  x  (x  x  4)  ( x  2)  1    x 2 x 2 x2 x2 x 2 + Sai lầm: Phân tích đến ta vội vàng dẫn đến sai làm sau: A  x 2 1 �2 ( x  2) � 2 x 2 x 2 + Nguyên nhân Dấu “=” xảy x 2 � ( x  2)  � x   � x  1 (vô lý) x 2 + Lời giải đúng: Đặt t = x  � t �2 � At (Như ta biến đổi A dạng Bài toán 1) t Lúc ta dễ dàng nhận thấy điểm rơi đạt t = cho cặp số kt � kt  1 � Dấu “=” xảy  � t � 2k  � k  � �t  Biên soạn: Trần Đình Hoàng tdhoangclassic@gmail.com t Chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán �t � 3t Như A  t   �  � �2 �   t �4 t � 2 Vậy MinA = t =  x = 2 Tìm GTNN biểu thức B  x  Bài x 2 Phương pháp Sử dụng phương pháp đặt biến phụ I Phương pháp Bằng cách đặt biến phụ sử dụng phép biến đối tương đương Sử dụng bất đẳng thức ta chuyển biến thức cho biểu thức đơn giản hơn, dễ xác định cực trị II Bài tập vận dụng Bài Tìm GTNN C1 = x4 + 6x3 + 13x2 + 12x + 12 HD: C1 = x4 + 6x3 + 13x2 + 12x + 12 C1 = ( x4 + 6x3 + 19x2 + 30x + 25)  (x2 + 3x + 5) + 17 C1 = (x2 + 3x + 5)2  (x2 + 3x + 5) + 17 Đặt : x2 + 3x + = a C1 = a2  6a + 17 = a2 + 6a + + C1 = (a  3)2 +  (a  3)2  a  x   y   C1min =  a – =  a =  x2 + 3x + =    x   y  Vậy : C1min =    x2 y2   Bài Tìm GTNN C2 =  x2 y   x y       với x, y >  y x  HD: y x y2 x2  Đặt : = a    = a2  y x y x  C2 = 2.( a2  2)  5a + = 2a2  5a + Ta thấy : a   C2 = 2a2  5a +   C2min =  a =  x = y > Vậy : C2min =  x = y > Bài Tìm GTNN C3 = y x y x    + 2004 với x, y > y x y x HD: Đặt : x y  =a2 y x Biên soạn: Trần Đình Hoàng tdhoangclassic@gmail.com Chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán  y x  = a2  y x C3 = (a2  2)  3a + 2004 C3 = a2  3a + 2004 = a2  3a + + 2002 C3 = (a  1)(a  2) + 2000 Do ta có : a   a  > ; a    (a  1) (a  2)  Khi :  C3 = (a  1) (a  2) + 2000  2000  C3 = 2000  a =  x = y ; xy > Vậy C3 = 2000  x = y xy > Bài Cho x, y, z > Tìm GTNN C4 = x y z y  x z  z x y HD: Đặt : a = y  z ; b= x  z ; c= x  y a bc  a bc a bc a b c  x ; y ; z 2  a bc a  bc a b c   Khi : C4 = 2 1 a b b c a c  C4 = (  )  (  )  (  )  3 2 b a c b c a   x  y z = Theo Cơsi với a,b,c >0 ta có : a b  2 ; b a a c  2 ; c a (2    3)  2  C4min =  a = b = c  x = y = z > b c  2 c b  C4  Bài Tìm GTLN, GTNN C5 = Vậy C4min =  x = y = z > ( x  y )(1  x y ) (1  x ) (1  y ) HD: ( a  b)  ( a  b)  ab (2)  a.b (1) a, b 4 x2  y2 1 x2 y2  a b Đặt : (1  x )(1  y ) (1  x )(1  y ) Ta có : Khi : C5 = a.b ( a  b) ( a  b) Theo (1) (2) ta có :   C5 = ab  4  x2  y2  1 x2 y2   x  y 1  x y   C        (1  x )(1  y )   (1  x )(1  y )  Biên soạn: Trần Đình Hoaøng tdhoangclassic@gmail.com a, b Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán  ( x  1)(1  y )   ( x  1)(1  y )   C        (1  x )(1  y )   (1  x )(1  y )   x2  1 1 y2   C5       x  1 1 y2    2 2  x2  1   Ta có :    x 1 ; 1 y2   1    1 y  2 1  x2  1 1 y2     Do :     C5    4  x 1 1 y   C5min =   (x2  1)2 = (x2 + 1)2  x = C5max =  (1  y2)2 = (1 + y2)2  y = Vậy : C5min =   x = C5max =  y = III Bài tập tự luyện Tìm GTNN A = x2 + - x + x  x 1  50  a   2a   50  3a với a  ;  2  1 Cho a  - ; b  - ; c  - a+ b + c = 2 Tìm GTLN C = 2a   2b   2c  Tìm GTLN B =  x y y2 x2 Cho x,y > Tìm GTNN D =   3    y x  y x Phương pháp Sử dụng biểu thức phụ I Phương pháp Để tìm cực trị biểu thức đó, đơi người ta xét cực trị biểu thức khác so sánh với nó, biểu thức phụ dễ tìm cực trị Ví dụ : Để tìm cực trị biểu thức A với A > 0, ta xét cực trị biểu thức : ,  A, kA, A k + A, |A| , A2 (k số) II Bài tập vận dụng x2 x4  x2 1 Bài Tìm GTLN A = HD: a) Xét x =  A = giá trị khơng phải GTLN A với x  ta có A > b) Xét x  đặt P = Amax  Pmin A Biên soạn: Trần Đình Hoàng tdhoangclassic@gmail.com Chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán với cách đặt ta có : P = ta có : x2 + x4  x2 1 x   x x 1 2 x 2 (theo côsi) x x  P  + =  Pmin =  x = 1  x=1  x Bài Tìm GTNN B = với x > ( x  2002) Do : Amax = HD: Đặt P1 =  B P1max  Mmin Ta có : P1 = Đặt P2 = x với x >  P > ( x  2002) > với x > P2 Min  P1 Max P1 P2 = ( x  2002) x  2.x.2002  2002  x x P2 = x  2.x.2002  2002  4.x.2002 x P2 = (do ( x  2002)  4.2002 4.2002 8008 x ( x  2002)  x > 0) x  P2 Min = 8008  x = 2002  x = 2002 8008  BMin =   x = 2002 8008  P1 Max = Vậy BMin =  8008  x = 2002 Bài Cho a,b, c dương a + b + c = 5a  4b  5b  4c  5c  4a Tìm GTLN C = HD: Do a, b, c >  C > Đặt : P = C2 PMax  CMax Ta có : P = ( 5a  4b  5b  4c  5c  4a )2  P  (12 + 12 + 12) (5a + 4b + 5b + 4c + 5c + 4a) theo Bunhiacôpxki P  3.9(a + b + c) = 81 a + b + c =  PMax = 81  a = b = c =  C Max = 81  a = b = c =  CMax =   a = b = c = Biên soạn: Trần Đình Hoàng tdhoangclassic@gmail.com Chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi tốn Vậy CMax =   a = b = c = Bài Cho x, y, z, t > Tìm GTNN D = y t y xy x tx t      y t x tx y xy t HD: Đặt P = 2D ta có : 2y 2(t  x) 2( x  y ) x 2( y  t ) 2t      P= y t x tx y xy t  2x y  t   2y x  y 3 y t t  x x t t  x   2t               2x   t  x 2y   x  y 2t   x y t   y t P =   2x y  t   2y x y 3 y t t x x y t  x   2t                  2x   t  x 2y   x  y 2t   x x y y t t   y t P =  P + + + 6 P  15  PMin = 15  x = y = t >  DMin = 15  x = y = t Vậy DMin = Bài Cho x, y > 7x + 9y = 63 HD: Đặt : P = 63.E ta có : 15 x=y=t Tìm GTLN E = x.y  7x  y   (theo côsi)   P = 63xy = 7x.9y   3969  63   PMax  =  2 P  = Dấu "=" xảy  7x = 9y =  EMax = 3969 �x  4,5 63 � �y  3,5  x 4,5 3969 63 : 63 =  4  y 3,5 Bài Cho x2 + y2 = 52 Tìm GTLN F = 2x + 3y HD: Xét : P1 = |F| P1 = |2x + 3y| Đặt : P2 = P P2 = (2x + 3y)2 Theo Bunhiacôpxky : P2  (4 + 9) (x2 + y2) = 13.13.4  x 4  x    y 6  y   P2 Max = 13.13.4    x 4  y 6  P1 Max = 26 Do F  |F| = P  FMax = 26    x 4  y 6 Vậy FMax = 26   Biên soạn: Trần Đình Hoàng tdhoangclassic@gmail.com (theo côsi) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán y x4 y4 x2 y2 x  Bài Cho x, y > Tìm GTNN G =     y x y x y x HD: Đặt : P = G  ta có : P = y x4 y4 x2 y2 x      -2 y x y x y x  x4   y4   x2 x2 y2 x y y2   x                   P=  2   x4   y2 y x x  y y y x      2 y  x   x2   y2   x y ( x  y) 0 P =   1    1      xy  y x y  x   PMin =  x = y > Vậy GMin =  x = y > III Bài tập vận dụng Cho x,y, z > x2 + y2 + z2 = Tìm GTNN A  Cho x  Tìm GTNN B = xy yz zx   z x y x8  x 1 x4 x8 Cho x  Tìm GTLN C = 16 x  x8 1 Cho a2 + b2 + c2 = Tìm GTLN D = a + 2b + 3c   1   a  b  a b bc cd d a    Cho a, b, c, d > Tìm GTNN F = bc d c d a d a b a bc   Cho a,b > a + b = Tìm GTNN E = 1  Cho a,b  |R Tìm GTNN G = a  (1  b)  b  (1  a ) Phương pháp Phương pháp miền giá trị I Phương pháp Trong số trường hợp đặc biệt, biểu thức đại số cho có hai biến số đưa dạng tam thức bậc ta sử dụng kiến thức miền già trị hàm số để giải thấy hiệu  Đường lối chung : Giải sử ta phải tìm cực trị hàm số f(x) có miền giá trị D Gọi y giá trị f(x) với x  D Điều có nghĩa điều kiện để phương trình f(x) = y có nghiệm Sau giải điều kiện để phương trình f(x) = y có nghiệm (x biến, coi y tham số) Thường đưa đến biểu thức sau : m  y  M Từ  Min f(x) = m  Max f(x) = M II Bài tập vận dụng với x  D với x  D Bài Tìm GTNN f(x) = x2 + 4x + Biên soạn: Trần Đình Hoàng tdhoangclassic@gmail.com Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán HD: Gọi y giá trị f(x) Ta có :y = x2 + 4x +  x2 + 4x +  y = (có nghiệm)  ' =  + y   y1 Vậy f(x) Min =  x =  Bài Tìm GTLN f(x) =  x2 + 2x  HD: Gọi y giá trị f(x) Ta có : y =  x2 + 2x   x2  2x + y + (có nghiệm)  ' =  y    y  Vậy f(x)Max =   x = x  4x  Bài Tìm GTLN, GTNN f(x) = x  2x  HD: Gọi y giá trị f(x) x  4x  Ta có : y =  yx2 + 2yx + 3y  x2  4x  = x  2x   (y  1)x2 + (y  2).x + 3y  = (có nghiệm) * Nếu y =  x =  * Nếu y   ' = (y  2)2 + (3y  6)(1  y)   y2  4y +  3y2 + 3y + 6y     2y2 + 5y +    y  2 Ta thấy : Do :