Chuyên đề 2 PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức. 2. Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được. 3. Phép cộng các phân thức có các tính chất giao hoán, kết hợp 4. Muốn trừ phân thức A B cho phân thức C D , ta cộng A B với phân thức đối của C D B D B D B. MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ 7. Thực hiện phép tính 2 2 2 3 2 1 x 3 + . x 1 x +x x x Giải. 2 2 2 3 2 1 x 3 + . x 1 x +x x x 2 2 2 1 x 3 2x(x1)+x 3 = + = (x1)(x+1) x(x+1) x(x1)(x+1) x(x1)(x+1) 2 x +x2 (x1)(x+2) x+2 = = = . x(x1)(x+1) x(x1)(x+1) x(x+1) Ví dụ 8. Cho biểu thức A
Chuyên đề PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức, ta cộng tử thức với giữ nguyên mẫu thức Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức cộng phân thức có mẫu thức vừa tìm Phép cộng phân thức có tính chất giao hốn, kết hợp Muốn trừ phân thức A C A C cho phân thức , ta cộng với phân thức đối B D B D A C A C = + (- ) B D B D B MỘT SỐ VÍ DỤ x -3 Ví dụ Thực phép tính - + x -1 x +x x -x Giải x -3 + x -1 x +x x -x = x -3 2x-(x-1)+x -3 + = (x-1)(x+1) x(x+1) x(x-1)(x+1) x(x-1)(x+1) = x +x-2 (x-1)(x+2) x+2 = = x(x-1)(x+1) x(x-1)(x+1) x(x+1) Ví dụ Cho biểu thức a) Rút gọn P; b) Tìm x Z để 2x-1 x +6x+2 + + x-1 x +x+1 1-x 2(x +x+1)+(2x-1)(x-1)+x +6x+2 = (x-1)(x +x+1) P= = 2x +2x+2+2x -2x-x+1+x +6x+2 (x-1)(x +x+1) = 5x +5x+5 5(x +x+1) = = 2 (x-1)(x +x+1) (x-1)(x +x+1) x-1 b) P có giá trị nguyên có giá trị nguyên x 1 (x - 1) Ư(5) = {± ; ± 5} x-1 x -1 -5 -4 Vậy x {-4 ; ; ; 6} P có giá trị nguyên Ví dụ Cho n Z Chứng minh biểu thức A= 125n 25n 5n + + có giá trị nguyên Giải 125n +75n +10n 5n(25n +15n+2) = Ta có A = 6 = 5n(5n+1)(5n+2) Ta thấy tích 5n(5n + 1)(5n + 2) tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6.k = k (k Z) Do A = Ví dụ 10 Rút gọn biểu thức sau : 1 + + ; (x-y)(x-z) (y-z)(y-x) (z-x)(z-y) yz zx xy b) B = + + (x-y)(x-z) (y-z)(y-x) (z-x)(z-y) a) A = Giải 1 + + (x-y)(x-z) (y-z)(y-x) (z-x)(z-y) (z-y)+(x-z)+(y-x) = = (x-y)(y-z)(z-x) yz zx xy b) B = + + (x-y)(x-z) (y-z)(y-x) (z-x)(z-y) yz(z-y) + zx(x-z) + xy(y-x) = (x-y)(y-z)(z-x) yz(z-y) + zx(x-z) - xy[(z-y) + (x-z)] = (x-y)(y-z)(z-x) y(z-y)(z-x) + x(x-z)(z-y) (z-y)(z-x)(y-x) = = =1 (x-y)(y-z)(z-x) (x-y)(y-z)(z-x) a) A = Lưu ý: Nên ghi hớ kết toán ví dụ để áp dụng vào giải số tốn khác nhanh chóng Ví dụ 11 Cho a, b, c x, y, z số khác thỏa mãn điều kiện a b c x y2 z2 + + = k Tính tổng S = + + x y z a b c a b c + + =0 x y z Giải Từ điều kiện ayz+bxz+cxy a b c = + + = , suy x y z xyz hay ayz bxz+cxy a b c x y2 z2 xy yz zx Từ điều kiện + + = k suy + + +2( + + ) = k x y z a b c ab bc ca x y2 z2 cxy+ayz+bzx = k2 hay + + +2 a b c abc x y2 z2 Nhưng cxy+ayz+bzx = nên + + = k a b c 10x -6x+2 Ví dụ 12 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x +1 Giải 10x -6x+2 9x -6x+1+(x +1) (3x-1)2 = = + Ta có P = x +1 x +1 x +1 (3x-1)2 (dấu “=” xảy x ) nên P Ta có x +1 Do P = x C BÀI TẬP Cộng, trừ phân thức khơng có điều kiện ràng buộc biến Làm phép tính: a) x y ; xy-y x -xy b) x-y x +3y + 2x+2y 2y -2x 2 Tính cách hợp lí: a) x -xy y2 +xy 2xy + + ; x -2xy+y2 x +2xy+y2 y2 -x b) x -(x-1) x -(x -1) x (x-1) -1 + + (x +1) -x x (x+1) -12 x -(x+1) Cho n Z, chứng minh biểu thức sau có giá trị nguyên: a) A= n3 n n + ; b) = n n3 n n + 12 12 Tính tổng: P= 1 + (y-z)(x +xz-y -yz) (z-x)(y +xy-z -xz) + (x-y)(z +yz-x -xy) Tìm x Z để biểu thức sau có giá trị nguyên: 2x -5x+3 a) A = ; 2x-5 3x +9x -x-5 b) B = x+3 Cộng trừ phân thức có điều kiện ràng buộc biến Tính giá trị biểu thức sau: a) A = 5a-b 3b-2a 7 + với a ; b ; 2a – b = 3a+7 2b-7 b) B = 1 8a+5b 3a+b + với a ; b ; 3a + 5b = -1 5a-1 4b+1 Tính tổng: a) P = x y z + -xy+x+1 yz-y+1 xz+z-1 với xyz = mẫu thức khác b) Q = x y 2z + + xy+x+2 yz+y+1 xz+2z+2 với xyz = mẫu thức khác Cho x, y, z đôi khác khác thỏa mãn điều kiện : xy + yz + zx = Tìm giá trị tổng A = x2 y2 z2 + + x +2yz y +2zx z +3xy Cho x, y, z khác xy + yz + zx = Chứng minh x y z 4xyz + + = 2 2 1-x 1-y 1-z (1-x )(1-y )(1-z ) 10 Cho xyz x + y + z = Tính: A= x2 y2 z2 + + y +z -x z +x -y x +y2 -z ... 2x-5 3x +9x -x-5 b) B = x+3 Cộng trừ phân thức có điều kiện ràng buộc biến Tính giá trị biểu thức sau: a) A = 5a-b 3b-2a 7 + với a ; b ; 2a – b = 3a+7 2b-7 b) B = 1 8a+5b 3a+b + với a ; b... trị nhỏ biểu thức P = x +1 Giải 10x -6x+2 9x -6x+1+(x +1) (3x-1)2 = = + Ta có P = x +1 x +1 x +1 (3x-1)2 (dấu “=” xảy x ) nên P Ta có x +1 Do P = x C BÀI TẬP Cộng, trừ phân thức khơng... (x-y)(y-z)(z-x) a) A = Lưu ý: Nên ghi hớ kết tốn ví dụ để áp dụng vào giải số tốn khác nhanh chóng Ví dụ 11 Cho a, b, c x, y, z số khác thỏa mãn điều kiện a b c x y2 z2 + + = k Tính tổng S = +