Đang tải... (xem toàn văn)
Chuyên đề 4 BIẾN ĐỔI CÁC BIỂU THỨC HỮU TỈ A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Nhờ các quy tắc của các phép toán cộng, trừ, nhân, chia các phân thức ta có thể biến đổi một biểu thức hữu tỉ thành một phân thức. 2. Khi làm tính trên các phân thức ta chỉ việc thực hiện theo các quy tắc của các phép toán, không cần quan tâm đến giá trị của biến. Nhưng khi giải những bài toán liên quan đến giá trị của phân thức ta phải tìm điều kiện để giá trị của phân thức được xác định, đó là điều kiện của biến để giá trị tương ứng của mẫu thức khác 0. B. MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ 17. Rút gọn biểu thức: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x y y xy ( + + ). . y x xy xy xyy x xy+y Giải. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x y y xy ( + + ). . y x xy xy xyy x xy+y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x y y xy ( + + ). y x xy xy xyy x xy+y 2 x x y y xy = + + . y x(xy) xy y(xy) x xy+y 2 (x+y)(x xy+y ) 1 2 x+y 2xxy xy = . = = = y xy x xy+y y xy xy xy Ví dụ 18. Rút gọn rồi tính giá tị của biếu thức A với 1 1 x = ; y = . 2 3 Giải. ĐKXĐ: y0; x±y; x2y; x3y.
Chuyên đề BIẾN ĐỔI CÁC BIỂU THỨC HỮU TỈ A KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Nhờ các quy tắc của các phép tốn cộng, trừ, nhân, chia các phân thức ta có thể biến đổi một biểu thức hữu tỉ thành một phân thức. 2. Khi làm tính trên các phân thức ta chỉ việc thực hiện theo các quy tắc của các phép tốn, khơng cần quan tâm đến giá trị của biến. Nhưng khi giải những bài tốn liên quan đến giá trị của phân thức ta phải tìm điều kiện để giá trị của phân thức được xác định, đó là điều kiện của biến để giá trị tương ứng của mẫu thức khác 0. B MỘT SỐ VÍ DỤ x2 x -y y2 x-y - ( + + ) Ví dụ 17. Rút gọn biểu thức: y x -xy xy xy-y x -xy+y 2 x2 x -y y2 x-y + + ) Giải - ( 2 y x -xy xy xy-y x -xy+y 2 x2 x -y y2 x-y - ( + + ) y x -xy xy xy-y x -xy+y 2 x2 x -y y2 x-y = - [ + + ] y x(x-y) xy y(x-y) x -xy+y 2 (x+y)(x -xy+y ) x+y 2x-x-y x-y = - = - = = y xy x -xy+y y xy xy xy 1 Ví dụ 18. Rút gọn rồi tính giá tị của biếu thức A với x = ; y = Giải ĐKXĐ: y 0; x ±y; x 2y; x 3y. A = 4y - x - y y x - y y y - x x - 3y + x x - 2y - 2 x - xy x - 2y : y x + y x - 2y 2y + x - y 2y - x + y y y - x x - 2xy - 2x + 2xy x -2y = + y x - y x - 3y x - 2y y(x+y) -x 2(x-2y) (x+y)(3y-x).y(x-y) + = 2(x-2y)(x+y) y x - y (3y-x) = x + y - y x2 (x+y) -x 2xy+y y(2x+y) 2x+y = = = = y(x+y) y(x+y) y(x+y) y(x+y) x+y 1 Vì x = ; y = thỏa mãn ĐKXĐ, khi đó giá trị của biếu thức A là 1 2.(- )+ -1+ = =4 A = 1 1 - + - + 3 x -x 1 - ( - ) Ví dụ 19. Cho biểu thức : B = x+1 x +1 x +2x+1 x -1 a) Rút gọn B ; b) Với giá trị nào của x thì B = 1 ? Giải. ĐKXĐ : x ± 1. a) B = x(x-1)(x+1) (x-1)-(x+1) -2x - = - x+1 x +1 (x+1) (x-1) x+1 (x +1)(x+1) x +1+2x (x+1) x+1 = = = (x -1)(x+1) (x +1)(x+1) x +1 Vậy khi x = 0 thì B = 1. Ví dụ 20 Cho biểu thức P = [(x - 8) : x + 2x + 4 x - 4 x - 8 - ] : (x - 1) x + 2 x + 2x + 4 x + 2 a) Rút gọn P; b) Tìm x Z để P có giá trị ngun. Giải a) ĐKXĐ: x -2; x 1. (x - 2)(x + 2x + 4).(x + 2) (x - 2)(x + 2) (x -2)(x + 2x + 4) = [ - ] x + 2x + 4 x + 2x + 4 x + 2 x-1 2 x -4 - x + 4x - 4 4x - 8 = [(xP - 4) - (x - 2)2 ] = = x - 1 x - 1 x - 1 4 4x - 4 - 4 4(x - 1) - = 4 - b) P = = x - 1 x - 1 x - 1 x - 1 P có giá trị nguyên có giá trị nguyên x 1 x 1Ư(4) ={ 1; 2; 4} x - 1 -1 1 2 -2 4 -4 x 0 2 3 -1 5 -3 Vậy khi x {-3; -1; 0; 2; 3; 5} thì P có giá trị ngun. 1 - (x + y ) 1 + 1](1 + ):(1 - ) Ví dụ 21 Cho biểu thức Q= [ 2xy x - y x - y a) Rút gọn Q ; b) Chứng minh x y trái dấu thoả mãn điều kiện x y + giá trị biểu thức Q luôn không âm Giải - x - y + 2xy x - y +1 x- y - 1 - (x - y) x - y +1 x - y a) Q = : = 2xy x-y x-y 2xy x-y x-y-1 = (1 - x + y )(1 + x - y) x - y + (x - y + 1) = 2xy x-y-1 2xy b) Vì x y hai số trái dấu nên giá trị mẫu thwusc 2xy, x – y khác Mặt khác x y + nên giá trị mẫu thức xx – y -1 Ta có -(x - y +1) ; 2xy < nên Q C BÀI TẬP Cho biểu thức A= 1 1 1 ( ) + ( + ) + ( - ) (x-y)3 x y3 (x-y) x y (x-y)5 x y Chứng minh A lập phương biểu thức hữu tỉ Chứng minh với giá trị thích hợp biến biểu thức sau có giá trị số: a) A = ( x y x+y ):( - 2 ); x-y x+y x-y x -y (x+y) x x 5x-3y b) B = [ - 2] x (x+y) x -y y-x Chứng minh với giá trị thích hợp biến biểu thức sau có giá trị nhau: x x3 x3 ( +1) 1- +1 y y y3 M= : ; x y x2 x x y + +1 + -1 y x y2 y y x N=( x x+6 2x+6 x - ): x -36 x -6x x -6x x+6 Chứng minh đẳng thức sau: x +xy+y x -xy+y2 y2 2x a) ( + ) : (x + y + )= ; x+y x-y x-y x+y x+2 4(y+1) x (y+1) y (x+2) b) [ ]:[ ]= x+1 y+2 x+1 y+2 y-x Cho biểu thức y - yz + z x2 3yz 2xy + 2xz A=( + ) + (x + y + z) , x y+z y+z x+y+z x, y, z Z, x 0; y + z x + y + z Chứng minh A y -yz+z x2 3yz 2xy+2xz + ) + (x+y+z) , Cho biểu thức B = ( x y+z y+z x+y+z xyz x + y + z Chứng minh biểu thức B có giá trị khơng âm Cho biểu thức 4x -8xy+4y M=[ + 2(x-y) - 1] : (2x - 2y ) 1+2x-2y 2x-2y+1 x, y Z Chứng minh giá trị M số chẵn với x, y là, cho M có nghĩa 8 Cho biểu thức x-1 (x-1)4 +2 N=( ):( - x + 1) , x số nguyên (x-1)2 +x x-2 (x-1)3 -1 Chứng minh với giá trị thích hợp x giá trị N ln số nguyên x x +16 ( + 8) + 9 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x+4 x 10 Tìm giá trị lớn biểu thức x +8 4x +8x+16 4x -16 Q=( ): x -8 x -4 x-2 x -6x +12x -8x ... trị mẫu thức xx – y -1 Ta có -(x - y +1) ; 2xy < nên Q C BÀI TẬP Cho biểu thức A= 1 1 1 ( ) + ( + ) + ( - ) (x-y)3 x y3 (x-y) x y (x-y)5 x y Chứng minh A lập phương biểu thức hữu tỉ Chứng... -yz+z x2 3yz 2xy+2xz + ) + (x+y+z) , Cho biểu thức B = ( x y+z y+z x+y+z xyz x + y + z Chứng minh biểu thức B có giá trị khơng âm Cho biểu thức 4x -8xy+4y M=[ + 2(x-y) - 1] : (2x - 2y ) 1+2x-2y... trị thích hợp biến biểu thức sau có giá trị số: a) A = ( x y x+y ):( - 2 ); x-y x+y x-y x -y (x+y) x x 5x-3y b) B = [ - 2] x (x+y) x -y y-x Chứng minh với giá trị thích hợp biến biểu thức sau có