Chuyên đề 4 PHÉP CHIA ĐA THỨC A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Chia đơn thức A cho đơn thức B : Chia hệ số của A cho hệ số của B ; Chia luỹ thừa của từng biến trong A cho luỹ thừa của cùng biến đó trong B ; Nhân các kết quả với nhau. 2. Chia đa thức cho đơn thức : (A + B) : C = A : C + B : C 3. Chia đa thức A cho đa thức B. Cho A và B là hai đa thức tuỳ ý của cùng một biến (B 0), khi đó tồn tại duy nhất một cặp đa thức Q và R sao cho A = B.Q + R, trong đó R = 0 hoặc bậc của R nhỏ hơn bậc của B. Q gọi là đa thức thương và R gọi là dư trong phép chia A cho B. Nếu R = 0 thì phép chia A cho B là phép chia hết. KIẾN THỨC BỔ SUNG 1. Có thể dùng hằng đẳng thức để rút gọn phép chia : Ví dụ :
Chuyên đề PHÉP CHIA ĐA THỨC A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Chia đơn thức A cho đơn thức B : - Chia hệ số A cho hệ số B ; - Chia luỹ thừa biến A cho luỹ thừa biến B ; - Nhân kết với Chia đa thức cho đơn thức : (A + B) : C = A : C + B : C Chia đa thức A cho đa thức B Cho A B hai đa thức tuỳ ý biến (B 0), tồn cặp đa thức Q R cho A = B.Q + R, R = bậc R nhỏ bậc B Q gọi đa thức thương R gọi dư phép chia A cho B Nếu R = phép chia A cho B phép chia hết KIẾN THỨC BỔ SUNG Có thể dùng đẳng thức để rút gọn phép chia : Ví dụ : A + B3 : A + B = A - AB + B2 A - B3 : A - B = A + AB + B2 A - B2 : A + B = A - B Định lí Bê - du* : Số dư phép chia đa thức f(x) cho (x - a) f(a) Ví dụ : Nếu f x = 3x - 5x + thì; - Số dư phép chia f(x) cho (x - 2) f(2) = 1.0 - Số dư phép chia f(x) cho (x - 1) f(1) = 0, nghĩa f(x) chia hết cho (x - 1)., Hệ định lí Bê-đu : Nếu a nghiệm đa thức f(x) f(x) chia hết cho (x - a) Người ta chứng minh : Nếu đa thức f(x) nhận n số nguyên khác a1 , a , , a n làm nghiệm f(x) chia hết cho (x - a1 )(x - a ) (x - a n ) Áp dụng hệ định lí Bê-du vào việc phân tích đa thức thành nhân tử Nếu đa thức f(x) có nghiệm x = a phân tích f(x) thành nhân tử, tích chứa nhân tử (x - a), nghĩa f(x) = (x - a).q(x) Mở rộng : Nếu f(x) nhận n số nguyên khác a1 , a , , a n làm nghiệm phân tích f(x) thành nhân tử, tích chứa nhân (x - a1 )(x - a ) (x - a n ) nghĩa f(x) = (x - a1 )(x - a ) (x - a n ).q(x) B MỘT SỐ VÍ DỤ n n+1 n-1 Ví dụ 22 Cho A = 8x y - 12x y ; B= 24x y Xác định giá trị n N* để A B Giải 5 n n A B n n n {3, 4, 5, 6} n n Ví dụ 23 Xác định giá trị a để đa thức A = 2x - 54x + a chia hết cho đa thức B = x + 3 Giải Cách 1: Thực phép chia buộc đa thức dư đa thức Cách 2: Phương pháp đồng hệ số : Vì 2x : x = 2x nên thương đa thức bậc có dạng 2x + b Ta có 2x - 54x + a = x + 6x + 2x + b với x 2x - 54x + a = 2x + bx + 12x + 18x + 6bx + 9b với x 2x - 54x + a = 2x + b + 12 x + 6b + 18 x + 9b với x b + 12 = b = -12 Suy ra: 6b + 18 = -54 a = -108 a = 9b Cách : Phương pháp xét giá trị riêng biến 2x - 54x + a chia hết cho x + 2 nên 2x - 54x + a = x + Q với x Vì đẳng thức với x nên ta cho x = -3, -54 + 162 + a = Vì đẳng thức với x nên ta cho x = -3, -54 + 162 + a = a = 54 - 162 = -108 Khi 2x - 54x - 108 = x + 2x - 12 nên A B Vậy với a = -108 A B Nhận xét Trong cách giải thứ ba ta cho x = -3 mà khơng cho x lấy giá trị khác ? Đó x= -3 vế phải 0, vế trái tính dễ dàng, từ tìm a Vì phương pháp gọi phương pháp xét giá trị riêng biến Ví dụ 24 Tìm giá trị nguyên x để giá trị đa thúc A = 12 x - x - 14 x + 14 chia hết cho giá trị đa thức B = 4x - Giải Vậy đa thức A không chia hết cho đa thức B Muốn cho giá trị đa thức A chia hết cho giá trị đa thức B phải chia hết cho giá trị 4x - Suy 4x - Ư(9) Suy 4x - {1 ; -1 ; ; -3 ; ; -9} 4x - -1 -3 -9 4x 14 -4 x 1,5 0,5 3,5 -1 Các giá trị 1,5 ; 0,5 ; 3,5 bị loại khơng phải số nguyên Do x {1 ; ; -1} Ví dụ 25 Xác định hệ số a b để đa thức A = x + 5x + ax + ba chia cho x - dư ; chia cho x + dư -5 Giải Vì A chia cho x - dư nên x + 5x + ax + b = x - Q1 + (1) Vì A chia cho x + dư -5 nên x + 5x + ax + b = x + Q2 - (2) Thay x = vào (1) thay x = -2 vào (2), ta : 8 + 20 + 2a + b = b + 2a = -25 a = -2 -8 + 20 - 2a + b = -5 b - 2a = -17 a = -21 Ví dụ 26 Tìm đa thức dư phép chia sau : x 105 + x 90 + x 75 + + x15 + 1 : x - 1 Giải Đa thức chia có bậc hai nên đa thức dư có bậc khơng q Vậy đa thức dư có bậc dạng ax + b 105 90 75 15 Ta có x + x + x + + x + 1 = x - 1 Q + ax + b 8 = a + b a = b = Cho x = x = -1 ta : 0 = -a + b Vậy dư phép chia nói 4x + Ví dụ 27. Phân tích đa thức thành nhân tử f x = x - 5x + 10x - 20x + 24 Giải. Ta có f(2) = 16 - 40 + 40 - 40 + 24 = 0. f(3) = 81 - 135 + 90 - 60 + 24 = 0. Vậy x = 2, x = 3 là nghiệm của f(x). Do đó f(x) = (x - 2)(x - 3).q(x), suy ra q x = f x : x - 5x + 6 Làm tính chia ta được x - 5x + 10x - 20x + 24 : x - 5x + 6 = x + 4 Do đó 5x + 10x - 20x + 24 = x - 2 x - 3 x + 4 C BÀI TẬP 1. Làm tính chia : 3 m m m a) -x y : -x y ; b) 21x y - 14x +2y : -7x y , với m N c) 20 x - y n+2 + 15 x - y n+1 - 10 x - y , với m N*. Tìm n N* để : a) Đơn thức C = x 2n y5 chia hết cho đơn thức D = -3x n+2 y n+1 b) Đa thức M = 9x y n+3 - 15x n+1 y n chia hết cho đơn thức N = 6x n y6 Cho biểu thức P = 3x y - 6x y3 : 3xy + 10x y5 : 5x y3 Chứng minh rằng P ln ln có giá trị dương với mọi giá tri x 0, y 0. Khơng làm tính chia, hãy tìm dư trong phép chia đa thức f x = x - 6x + 2x + 28 cho các đa thức sau : a) g1 x = x - 1 ; b) g x = x + 1 ; c) g3 x = x - 2 Làm tính chia bằng cách dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ : a) x - 12x + 48x - 64 : x - 8x + 16 ; b) x - 27 : x + 3x + 9 ; Tìm các giá trị của a để : a) Đa thức 6x + 5ax - 4 chia cho đa thức (x - 2) còn dư 10. b) Đa thức f x = x + 5x - 2x + ax + 40 chia hết cho đa thức x - 3x + 2 Khi đó giá trị nhỏ nhất của thương là bao nhiêu ? Tìm các giá trị của a và b để đa thức A = 4x + ax + bx + 5 chia hết cho đa thức B = x - x + 1 Xác định các hệ số a, b để : a) Đa thức x + 3x - 17x + ax + b chia hết cho đa thức x + 5x - 3 b) Đa thức x + 7x + ax + bx + 72 chia hết cho đa thức x - 2x + 4 Xác định các hệ số a và b để : a) Đa thức 4x + ax + b chia cho đa thức x - 1 dư 2x - 3. b) Đa thức 5x + 2x + ax + b chia cho đa thức x + 5 dư 1. Tìm a và b để đa thức f x = ax n + bx n-1 + 1 chia hết cho đa thức x - l với n e N*. 10. Tìm các giá trị nguyên của x để : a) Giá trị của đa thức A = 10x - 23x + 14x - 5 chia hết cho giá trị của đa thức B = 2x - 3. b) Giá trị của đa thức A = 3x + 17x + 4x - 4x + 7 chia hết cho giá trị của đa thức B = 3x + 2. ... Ví dụ 24 Tìm giá trị nguyên x để giá trị đa thúc A = 12 x - x - 14 x + 14 chia hết cho giá trị đa thức B = 4x - Giải Vậy đa thức A không chia hết cho đa thức B Muốn cho giá trị đa thức A chia hết... + bx + 72 chia hết cho đa thức x - 2x + 4 Xác định các hệ số a và b để : a) Đa thức 4x + ax + b chia cho đa thức x - 1 dư 2x - 3. b) Đa thức 5x + 2x + ax + b chia cho đa thức x... Tìm các giá trị của a và b để đa thức A = 4x + ax + bx + 5 chia hết cho đa thức B = x - x + 1 Xác định các hệ số a, b để : a) Đa thức x + 3x - 17x + ax + b chia hết cho đa thức x + 5x - 3 b) Đa thức