TOÁN 8 CHUYÊN ĐỀ 4 PHÉP CHIA ĐA THỨC

Chuyên đề 4 PHÉP CHIA ĐA THỨC A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Chia đơn thức A cho đơn thức B : Chia hệ số của A cho hệ số của B ; Chia luỹ thừa của từng biến trong A cho luỹ thừa của cùng biến đó trong B ; Nhân các kết quả với nhau. 2. Chia đa thức cho đơn thức : (A + B) : C = A : C + B : C 3. Chia đa thức A cho đa thức B. Cho A và B là hai đa thức tuỳ ý của cùng một biến (B  0), khi đó tồn tại duy nhất một cặp đa thức Q và R sao cho A = B.Q + R, trong đó R = 0 hoặc bậc của R nhỏ hơn bậc của B. Q gọi là đa thức thương và R gọi là dư trong phép chia A cho B. Nếu R = 0 thì phép chia A cho B là phép chia hết. KIẾN THỨC BỔ SUNG 1. Có thể dùng hằng đẳng thức để rút gọn phép chia : Ví dụ :

Chuyên đề PHÉP CHIA ĐA THỨC A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Chia đơn thức A cho đơn thức B : - Chia hệ số A cho hệ số B ; - Chia luỹ thừa biến A cho luỹ thừa biến B ; - Nhân kết với Chia đa thức cho đơn thức : (A + B) : C = A : C + B : C Chia đa thức A cho đa thức B Cho A B hai đa thức tuỳ ý biến (B  0), tồn cặp đa thức Q R cho A = B.Q + R, R = bậc R nhỏ bậc B Q gọi đa thức thương R gọi dư phép chia A cho B Nếu R = phép chia A cho B phép chia hết KIẾN THỨC BỔ SUNG Có thể dùng đẳng thức để rút gọn phép chia : Ví dụ :  A + B3  :  A + B  = A - AB + B2  A - B3  :  A - B  = A + AB + B2  A - B2  :  A + B  = A - B Định lí Bê - du* : Số dư phép chia đa thức f(x) cho (x - a) f(a) Ví dụ : Nếu f  x  = 3x - 5x + thì; - Số dư phép chia f(x) cho (x - 2) f(2) = 1.0 - Số dư phép chia f(x) cho (x - 1) f(1) = 0, nghĩa f(x) chia hết cho (x - 1)., Hệ định lí Bê-đu : Nếu a nghiệm đa thức f(x) f(x) chia hết cho (x - a) Người ta chứng minh : Nếu đa thức f(x) nhận n số nguyên khác a1 , a , , a n làm nghiệm f(x) chia hết cho (x - a1 )(x - a ) (x - a n ) Áp dụng hệ định lí Bê-du vào việc phân tích đa thức thành nhân tử Nếu đa thức f(x) có nghiệm x = a phân tích f(x) thành nhân tử, tích chứa nhân tử (x - a), nghĩa f(x) = (x - a).q(x) Mở rộng : Nếu f(x) nhận n số nguyên khác a1 , a , , a n làm nghiệm phân tích f(x) thành nhân tử, tích chứa nhân (x - a1 )(x - a ) (x - a n ) nghĩa f(x) = (x - a1 )(x - a ) (x - a n ).q(x) B MỘT SỐ VÍ DỤ n n+1 n-1 Ví dụ 22 Cho A = 8x y - 12x y ; B= 24x y Xác định giá trị n  N* để A  B Giải 5  n  n   A  B  n   n     n  {3, 4, 5, 6} n   n   Ví dụ 23 Xác định giá trị a để đa thức A = 2x - 54x + a chia hết cho đa thức B =  x + 3 Giải  Cách 1: Thực phép chia buộc đa thức dư đa thức  Cách 2: Phương pháp đồng hệ số : Vì 2x : x = 2x nên thương đa thức bậc có dạng 2x + b   Ta có 2x - 54x + a = x + 6x +  2x + b  với x 2x - 54x + a = 2x + bx + 12x + 18x + 6bx + 9b với x 2x - 54x + a = 2x +  b + 12  x +  6b + 18  x + 9b với x  b + 12 = b = -12  Suy ra: 6b + 18 = -54 a = -108  a = 9b   Cách : Phương pháp xét giá trị riêng biến 2x - 54x + a chia hết cho  x +  2 nên 2x - 54x + a =  x +  Q với x Vì đẳng thức với x nên ta cho x = -3, -54 + 162 + a = Vì đẳng thức với x nên ta cho x = -3, -54 + 162 + a = a = 54 - 162 = -108 Khi 2x - 54x - 108 =  x +   2x - 12  nên A  B Vậy với a = -108 A  B Nhận xét Trong cách giải thứ ba ta cho x = -3 mà khơng cho x lấy giá trị khác ? Đó x= -3 vế phải 0, vế trái tính dễ dàng, từ tìm a Vì phương pháp gọi phương pháp xét giá trị riêng biến Ví dụ 24 Tìm giá trị nguyên x để giá trị đa thúc A = 12 x - x - 14 x + 14 chia hết cho giá trị đa thức B = 4x - Giải Vậy đa thức A không chia hết cho đa thức B Muốn cho giá trị đa thức A chia hết cho giá trị đa thức B phải chia hết cho giá trị 4x - Suy 4x -  Ư(9) Suy 4x -  {1 ; -1 ; ; -3 ; ; -9} 4x - -1 -3 -9 4x 14 -4 x 1,5 0,5 3,5 -1 Các giá trị 1,5 ; 0,5 ; 3,5 bị loại khơng phải số nguyên Do x  {1 ; ; -1} Ví dụ 25 Xác định hệ số a b để đa thức A = x + 5x + ax + ba chia cho x - dư ; chia cho x + dư -5 Giải Vì A chia cho x - dư nên x + 5x + ax + b =  x -  Q1 + (1) Vì A chia cho x + dư -5 nên x + 5x + ax + b =  x +  Q2 - (2) Thay x = vào (1) thay x = -2 vào (2), ta : 8 + 20 + 2a + b = b + 2a = -25 a = -2    -8 + 20 - 2a + b = -5 b - 2a = -17 a = -21 Ví dụ 26 Tìm đa thức dư phép chia sau : x 105 + x 90 + x 75 + + x15 + 1 :  x - 1 Giải Đa thức chia có bậc hai nên đa thức dư có bậc khơng q Vậy đa thức dư có bậc dạng ax + b 105 90 75 15 Ta có  x + x + x + + x + 1 =  x - 1 Q + ax + b 8 = a + b a = b = Cho x = x = -1 ta :  0 = -a + b Vậy dư phép chia nói 4x + Ví dụ 27. Phân tích đa thức thành nhân tử  f  x   = x  - 5x  + 10x  - 20x + 24   Giải. Ta có f(2) = 16 - 40 + 40 - 40 + 24 = 0.                     f(3) = 81 - 135 + 90 - 60 + 24 = 0.  Vậy x = 2, x = 3 là nghiệm của f(x).    Do đó f(x) = (x - 2)(x - 3).q(x), suy ra  q  x   = f  x   :  x  - 5x + 6   Làm tính chia ta được                    x  - 5x  + 10x  - 20x + 24   :   x  - 5x + 6   = x  + 4   Do đó   5x  + 10x  - 20x + 24 =   x - 2  x - 3  x  + 4    C BÀI TẬP 1. Làm tính chia :         3 m m m a)  -x y  : -x y ;                    b)  21x y  - 14x +2y  :  -7x y , với m    N  c)   20  x - y  n+2  + 15  x - y  n+1  - 10  x - y   , với m    N*.   Tìm n    N* để :  a) Đơn thức  C =  x 2n y5  chia hết cho đơn thức  D = -3x n+2 y n+1   b) Đa thức  M = 9x y n+3  - 15x n+1 y n  chia hết cho đơn thức  N = 6x n y6   Cho biểu thức  P =   3x y  - 6x y3   : 3xy  + 10x y5  : 5x y3 Chứng minh rằng P ln  ln có giá trị dương với mọi giá tri x    0, y    0.  Khơng làm tính chia, hãy tìm dư trong phép chia đa thức   f  x   = x  - 6x  + 2x + 28   cho các đa thức sau :  a) g1  x   = x - 1 ;         b) g  x   = x + 1 ;         c) g3  x   = x - 2   Làm tính chia bằng cách dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ :  a)   x  - 12x  + 48x - 64   :   x  - 8x + 16  ;        b)   x  - 27  :   x  + 3x + 9  ;   Tìm các giá trị của a để :  a) Đa thức  6x  + 5ax - 4  chia cho đa thức (x - 2) còn dư 10.  b) Đa thức  f  x   = x  + 5x  - 2x  + ax + 40  chia hết cho đa thức  x  - 3x + 2  Khi  đó giá trị nhỏ nhất của thương là bao nhiêu ?  Tìm các giá trị của a và b để đa thức  A = 4x  + ax  + bx + 5 chia hết cho đa thức   B = x  - x + 1   Xác định các hệ số a, b để :  a) Đa thức  x  + 3x  - 17x  + ax + b chia hết cho đa thức  x  + 5x - 3   b) Đa thức  x  + 7x  + ax  + bx + 72 chia hết cho đa thức  x  - 2x  + 4   Xác định các hệ số a và b để :  a) Đa thức  4x  + ax + b  chia cho đa thức  x  - 1 dư 2x - 3.  b) Đa thức  5x  + 2x  + ax + b chia cho đa thức  x  + 5 dư 1.  Tìm a và b để đa thức  f  x   = ax n  + bx n-1  + 1  chia hết cho đa thức   x - l   với n e  N*.  10. Tìm các giá trị nguyên của x để : a) Giá trị của đa thức  A = 10x  - 23x  + 14x - 5 chia hết cho giá trị của đa thức   B = 2x - 3.  b) Giá trị của đa thức  A = 3x  + 17x  + 4x  - 4x + 7 chia hết cho giá trị của đa thức   B = 3x + 2.  ... Ví dụ 24 Tìm giá trị nguyên x để giá trị đa thúc A = 12 x - x - 14 x + 14 chia hết cho giá trị đa thức B = 4x - Giải Vậy đa thức A không chia hết cho đa thức B Muốn cho giá trị đa thức A chia hết...  + bx + 72 chia hết cho đa thức x  - 2x  + 4   Xác định các hệ số a và b để :  a) Đa thức 4x  + ax + b chia cho đa thức x  - 1 dư 2x - 3.  b) Đa thức 5x  + 2x  + ax + b chia cho đa thức x... Tìm các giá trị của a và b để đa thức A = 4x  + ax  + bx + 5 chia hết cho đa thức   B = x  - x + 1   Xác định các hệ số a, b để :  a) Đa thức x  + 3x  - 17x  + ax + b chia hết cho đa thức x  + 5x - 3   b) Đa thức