Một số chuyên đề Toán 8 - Chuyên đề1: Phép nhân đa thức và các hằng đẳng thức đáng nhớ

Phương pháp chứng minh a chứng minh một số là số chính phương - biểu diễn một biểu thức được dưới dạng bình phương của một số - Hai số nguyên tố cùng nhau a và b có tích là số chính phươ[r]

Một số chuyên đề toán Chuyên đề 1: Phép nhân đa thức và các đẳng thức đáng nhớ I Nh©n ®a thøc Khái niệm nhân đơn thức với đa thức Kh¸i niÖm nh©n ®a thøc víi ®a thøc Khái niệm đa thức đồng nhât P(x) và Q(x) P(x) và Q(x) gọi là đồng P(x)=Q(x) với giá trị x, Kí hiệu P(x)  Q(x) VÝ dô: P(x) = (x+5)(ax2+bx+25) vµ Q(x)=x3+125 a) Viết đa thức P(x) dạng đa thức thu gọn theo luỹ thừa giảm dần x b) víi gi¸ trÞ nµo cña a vµ b th× P(x)=Q(x) víi mäi gi¸ trÞ cña x Gi¶i a)P(x)=(x+5)(ax2+bx+25) = + + 25x + 5ax2 + 5bx + 125 = ax3 + (b+5a)x2 + (25 + 5b)x + 125 b) P = Q víi mäi x <=> ax3 + (b+5a)x2 + (25 + 5b)x + 125 = x3+125 víi mäi x a  <=> b  5a  <=> 5b  25   ax3 bx2 a   b  5 Phương pháp: Hai đa thức P(x) và Q(x) đồng và hệ số các đơn thức đồng dạng chứa hai đa thức VÝ dô 2: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A = x4 - 17x3 + 17x2 – 17x + 20 t¹i x = 16 Gi¶i: C¸ch 1: A= x3(x – 16) – x2(x-16) +x(x-16) – (x – 16) + = ( v× x = 16 nªn x – 16 = 0) C¸ch 2: thay 16 = x vµo A ta cã: A = x4 – (x+1)x3 + (x + 1)x2 – ( x + 1)x + x + = x4 – x4 – x3 + x3 + x2 – x2- x + x + =4 Bµi tËp D¹ng 1: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc hîp lÝ Bµi Dạng 2: Tìm các hệ số đồng thất thức Page Lop8.net Một số chuyên đề toán II Các Hằng đẳng thức đáng nhớ ( a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 ( a – b)2 = a2 – 2ab + b2 = a3 - b3 - 3ab(a - b) (a + b)(a – b) = a2 – b2 a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) = a3 + b3 + 3ab(a + b) N©ng cao: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a) an – bn = (a – b)(an-1 + an-2b + ….+ bn-1) an + bn = (a + b)(an-1 – an – 2b + an-3b2 - … - abn-2 + bn-1) ( víi n lÎ) Dạng 1: Chứng minh đẳng thức VÝ dô Chøng minh r»ng a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca th× a = b = c Lêi Gi¶i 2 2 a + b + c = ab + bc + ca < = > 2a + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ca =  (a2 - 2ab + b2) + (a2 - 2ac + c2) + (b2 - 2bc + c2) =  (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2 = => a = b = c (®pcm) VÝ dô 2: cho a + b + c = Chøng minh r»ng a3 + b3 + c3 = 3abc Lêi gi¶i: Ta cã: (a + b)3 = (- c)3  a3 + 3ab(a + b) + b3 = -c3  a3 - 3abc + b3 + c3 = < = > a3 + b3 + c3 = 3abc (®pcm) Bµi tËp Bµi Chøng minh r»ng (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 víi x, y kh¸c th× a b = x y Bµi cho a2 – b2 = 4c2 Chøng minh r»ng: (5a - 3b + 8c)(5a - 3b - 8c) = (3a - 5b)2 Bµi Chøng minh r»ng nÕu (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2 víi x, y, z kh¸c th× a b c = = x y z Bµi Chøng minh r»ng: a) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) b)a3 + b3 + c3- 3abc = (a + b +c)(a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc) Lêi gi¶i 3 3 a) Ta cã (a + b + c) – a – b – c = a3 + (b + c)3 + 3a(b + c)(a + b + c) - a3 – b3 – c3 = 3bc(b + c) + 3a(b + c)(a + b + c) = 3(b + c)(bc + a2 + ab + ac) = 3(a + b)(b + c)(c + a) b) Ta cã a3 + b3 + c3- 3abc = (a + b)3 + c3 – 3ab(a + b) – 3abc = (a + b + c)3 – 3(a + b)c(a + b + c) – 3ab(a + b + c) = (a + b + c)(a2 + b2 + c – ab – ac – bc) Page Lop8.net Một số chuyên đề toán Bµi Cho ax + by +cz = 0; bx + cy + az = 0; cx + ay +bz = 0; víi x, y, z ≠ Chøng minh r»ng: a3 + b3 + c3 = 3abc Gi¶i Tõ ax + by +cz = 0; bx + cy + az = 0; cx + ay +bz = ta cã: (a + b + c)(x + y + z) = => a + b + c = => a3 + b3 + c3 = 3abc Bµi Chøng minh r»ng: a3 + b3 + c3 = 3abc Th× a + b +c = hoÆc a = b =c Gi¶i Ta cã: a3 + b3 + c3 = 3abc  (a + b + c)[(a – b)2 + (b – c)2 + (c– a)2] = = > a + b + c = hoÆc a = b =c Bµi Cho 1 1 + + = Chứng minh có ít cặp số đối a b c a+ b+ c Gi¶i => a = -b hoÆc b = -c hoÆc c = -a 1 1 1 1 + + = Chøng minh r»ng n + n + n = n n n Víi n lÎ a b c a+ b+ c a b c a +b +c 3 3 3 Bµi Cho a + b + c = (a + b + c) (hoÆc a  b  c  a  b  c hoÆc Bµi Cho 1 1 1 + + =  + +  ) Chøng minh r»ng an + bn + cn = (a + b + c)n v¬id n lÎ a b c3  a b c  Bµi Cho x + y + z = a + b + c; x2 + y2 + z2 = a2 + b2 + c2; x3 + y3 + z3 = a3 + b3 + c3 Chøng minh r»ng: xn + yn + zn = an + bn + cn; D¹ng 2: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc Vi dô Cho x + y = a vµ xy = b TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau theo a vµ b a) x2 + y2 b) x3 + y3 Lêi gi¶i 2 2 a) x + y = (x + y) – 2xy = a – 2b b) x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) = a3 – 3ab Bµi Cho a3 + b3 + c3 = 3abc TÝnh A = 1+  1+  1+  b c a a  b  c   D¹ng 3: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, lín nhÊt VÝ dô 1: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña x2 + 2x + Lêi gi¶i: x2 + 2x + = x2 + 2x + + = (x + 1)2 + ≥ dÊu “=” x¶y x = -2 VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ x = - VÝ dô 2: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc –x2 – 5x + Lêi gi¶i: –x2 – 5x + = - (x2 + 5x – 5) = -(x2 + x + D¹ng 4: T×m x VÝ dô: T×m x biÕt: x2 – 3x – = Lêi gi¶i: Page Lop8.net 25 25 - 5) = 4 Một số chuyên đề toán x2 – x + 9 25 - - =  (x - )2 =  (x – 4)(x + 1) = 4 => x = hoÆc x = -1; Chuyên đề Phân tích đa thức thành nhân tử Phương pháp: §Æt nh©n tö chung Sử dụng phương pháp này các hạng tử có nhân tử chung Sử dụng đẳng thức: Khi biểu thức có dạng đẳng thức đáng nhớ Nhãm c¸c h¹ng tö thÝch hîp lµm xuÊt hiÖn nh©n tö chung hoÆc đẳng thức Thªm bít mét h¹ng tö VÝ dô 1:Ph©n tÝch ®a thøc 4x4 + 81 thµnh nh©n tö Gi¶i: 4x4 + 81 = 4x4 +36x2 + 81 - 36x2 = (2x2 + 9)2 – (6x)2 = (2x2 + – 6x)(2x2 + + 6x) VÝ dô 2: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö 64x4 + y4 Gi¶i: 64x4 + 16x2y2 + y4 - 16x2y2 = (8x2 + y)2 – (4xy)2 = (8x2 + y -4xy)(8x2 + y +4xy) VÝ dô 3: Ph©n tÝch ®a thøc x + x + thµnh nh©n tö x4 + x + = x + x3 + x – x3 + = x2(x2 + x +1) – (x – 1)(x2 + x + 1) =(x2 + x + 1)(x2 – x + 1) Bµi TËp Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: b) x3 + y3 + z3 – 3xyz Bµi a) x4 + 5x3 + 10x – Thªm bít 3xy(x + y) Thªm bít 2x2 vµo biÓu thøc x3 + y3 + z3 – 3xyz x + 2x + 5x + 10x - - 2x = x3 + y3 + 3xy(x + y)+ z3 – 3xyz - 3xy(x + =x2(x2 + 2) + 5x(x2 + 2) – 2(x2 + y) 2) 2 = (x + y)3 + z3 – 3xy( x + y + z) =(x + 2)(x + 5x– 2) = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 + 2xy - xz - yz) – 3xy(x + y + z) = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - xz – yz) b) x8 + x + Bµi a) x7 + x2 + Thªm bít x2 vµo biÓu thøc Thªm bít x vµo biÓu thøc Page Lop8.net Một số chuyên đề toán x7 + x + = x – x + x + x + x8 + x + = x8 - x2+ x2 + x + = x(x6 – 1) + (x2 + x + 1) = x2(x6-1) + (x2 + x + 1) =x(x3+1)(x-1)(x2 + x + 1) +( x2 + x =(x2 + x + 1)[x2(x3 +1)(x-1) + 1] + 1) =(x2 + x + 1)[x(x3+1)(x-1) + 1] b) x10 + x5 + Bµi a) x5 + x4 + Thªm bít x2 + x vµo biÓu thøc Thªm bít x3 vµo biÓu thøc x5 + x4 + = x5 + x4 + x3 – x3 + x10 + x5 + = x10 – x + x5 – x2 + x2 + x +1 =x(x3 + 1)(x-1)(x2 + x +1) + x2(x – 1)( x2 + = x3(x2 + x + 1) – (x -1)(x2 + x + x +1) + ( x2 + x + 1) 1) = ( x2 + x +1)[x(x3 + 1)(x-1) + x2(x – 1) + 1] =(x2 + x + 1)(x3 – x + 1) Bµi chøng minh r»ng: x200 + x100 +1  x4 + x2 + Ta cã: x200 + x100 +1 = (x200 – x2 ) + (x100 – x4) + (x4 +x2 + 1) = x2( x198 -1) + x4(x96 - 1) + (x4 +x2 + 1) = x4[(x6)33 - 1] + x2[(x6)16- 1] + (x4 +x2 + 1) = x4(x6 - 1)A(x) + x2(x6 - 1)B(x) + (x4 +x2 + 1) = x4(x2 – 1)(x4 + x2 + 1)A(x) + x2(x2 – 1)(x4 + x2 + 1)B(x) + (x4 +x2 + 1) = (x4 + x2 + 1)[x4(x2 – 1)A(x) + x2(x2 – 1)B(x) + 1]  x4 + x2 + ( ®pcm) b) x4 + 324 (Thªm bít 81x2) Bµi 5.a) 4x4 + (Thªm bít 4x2) d) x8 + x7 + (Thªm bít x2 + x) c) x5 + x + (Thªm bít x2) e) x5 - x4 – (Thªm bít x2) f) x7 + x5 + (Thªm bít x2 + x) g) x8 + x4 + (Thªm bít x2) g) x3 + 3xy + y3 – (Thªm bít 3xy(x + y)) Bµi Ph©n tÝch biÓu thøc sau thµnh nh©n tö a) + + + …+ n b) 12 + 22 + 32 + …+n2 c)13 + 23 + 33 + …+n3 d) 14 + 24 + 34 + …+n4 e) 12 + 32 + 52 +…+ (2n+1)2 e) 22 + 42 + 62 +…+ (2n)2 g) 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n(n + 1) h) 1.2.3 + 2.3.4 + … + n(n+1)(n+2) 2 2 Hướng dẫn:b) + + + …+n Ta cã: (n + 1)3= n3 + 3n2 + 3n + n3 = (n-1)3+ 3(n-1)2 + 3(n-1) + …………………………… …………………………… 23 = 13 + 3.12 + 3.1 + Ta cã : (n + 1)3 + n3 +…+ 23=(n + (n-1)3 +…+ 13) + 3(12 + 22 + 32 + …+n2) +3(1 + + + …+ n) + n 3(12 + 22 + 32 + …+n2) = (n + 1)3 –(1 +n) – 12 + 22 + 32 + …+n2 (n+1)n =(n+1)(2n2 + n):2 = n(n + 1)(2n + 1):2 = n(n + 1)(2n + 1):6 Chú ý: Các đa thức dạng: x3m + 1+ x3n + + chứa nhân tử x2 + x + x2n+ xn+ chøa nh©n tö x2 + x + nÕu n kh«ng chia hÕt cho Page Lop8.net Một số chuyên đề toán T¸ch mét h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng tö Mét sè c¸ch ph©n tÝch ®a thøc ax2 + bx + c thµnh nh©n tö C¸ch 1: t¸ch h¹ng tö thø 2: b = b1 + b2 cho b1b2 = ac Cách 2: tách hạng tử thứ 1,3 làm xuất đẳng thức, nhân tö chung VÝ dô 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö 3x2 – 8x + C¸ch 1: T¸ch h¹ng tö thø 3x2 – 8x + = 3x2 - 2x – 6x + = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2) C¸ch 2: T¸ch h¹ng tö thø nhÊt 3x2 – 8x + = 4x2 – 8x + – x2 = (2x – 2)2 – x2 = (x – 2)( 3x – 2) VÝ dô 2: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: 4x2 – 4x – C¸ch 1: T¸ch h¹ng tö thø 2: 4x2 – 4x – = 4x2 +2x – 6x -3 = 2x(2x + 1) – 3(2x + 1) = (2x + 1)( 2x – 3) C¸ch 2: T¸ch h¹ng tö thø ba:4x2 – 4x – = 4x2 – 4x + – = (2x -1)2 - 22 = (2x + 1)( 2x – 3) Trong tam thøc bËc 2: c¸ch ph©n tÝch tæng qu¸t lµ sö dông c¸ch t¸ch h¹ng tö thứ làm xuất đẳng thức Ph©n tÝch ®a thøc bËc n thµnh nh©n tö ( Phương pháp dễ dàng áp dụng đa thức có nghiệm nguyên hoặcphân số) F(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + …… + an -NÕu x = a lµ nghiÖm nguyªn cña ®a thøc f(x) th× + f(x) cã nh©n tö chung lµ x – a + a lµ ­íc cña an VÝ dô 3: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö F(x) = x3 – x2 – Gi¶i: XÐt c¸c ­íc cña -4 lµ 1, 2, 4, -1, -2, -4 thÊy f(2) = vËy x – lµ mét nh©n tö cña f(x) x3 – x2 – = x3 - 2x2 + x2 – = x2 ( x -2) + (x – 2)(x + 2) = (x – 2)(x2 + x + 2) - NÕu x = p lµ nghiÖm cña F(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + …… + an th× f(x) cã nh©n q tö chung lµ qx – p( q lµ ­¬c cña a0, p lµ ­íc cña an) VÝ dô 4: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö 3x3 - 7x2 + 17x – Page Lop8.net Một số chuyên đề toán Dùng phương pháp nhẩm nghiệm thấy 1, -1, 5, -5 không phải là nghiệm đa thức trªn xÐt ±1 ±5 , ta thÊy lµ nghiÖm cña ®a thøc dã 3x – lµ mét nh©n tö chung: ±3 ±3 3x3 - 7x2 + 17x – = (3x3 – x2) – (6x2 – 2x) + (15x – 5) = x2(3x – 1) – 2x(3x – 1) + 5x(3x – 1) = (3x – 1)( x2 – 2x + 5) Bµi tËp Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö b) 2x2 + 3x – 27 Bµi a) 6x2 – 11x + b) x3 + 7x – Bµi a) x3 + 2x – d) x3 – 9x2 + 6x + 16 e) x3 – x2 – x – e) 6x2 + 7xy + 2y2 Bµi a) x3 – 7x – b) 27x3 – 27x2 + 18x f) 9x2 – 9xy – 4y2 –4 g) x2 – y2 + 10x - 6y + 16 c) 2x3 - x2 + 5x + 2 d) (x – 3) + 16 h) x3y3 + x2y2 + c) 2x2 – 5xy +- 3y2 c) x3 + 5x2 + 8x + f) x3 + x2 – x + i) x3 + 3x2y – 9xy2 + 5y3 j) x4 + x3 + 6x2 + 5x + k)x4– x3 – 2x2 +12x + 36 l)x8y8 + x4y4 + m)3x4 + 11x3 – 7x2 – 2x + m) x4 + y4 + (x + y)4 ( Thªm bít 2x2y2) Phương pháp đổi biến Mét sè d¹ng quen thuéc D¹ng 1: (x + a)(x + b)(x + c)(x +d) + q cã a + b = c + d ViÕt [x2 + (a + b)x + ab][x2 + (c +d)x + cd) + q = [x2 + (a + b)x + ab][x2 + (a +b)x + cd) + q đặt x + a + b  x + ab+cd =y VÝ dô: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö (x + 2)(x +3)(x + 4)(x + 5) - 24 Gi¶i: (x + 2)(x + 5)(x + 3)(x + 4) – 23 = (x2 + 7x + 10)(x2 + 7x + 12) – 24 §Æt y = x2 + 7x + 11 ta cã: (x2 + 7x + 10)(x2 + 7x + 12) – 12 = (t – 1)(t + 1) – 24 = t2 – 25 = (t – 5)(t + 5) =(x2 + 7x + 6)(x2 + 7x + 16) Dạng 2: Đa thức bậc bốn có hệ số đối xứng F(x) = ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = x2(ax2 + bx + c + b/x + a/x2) =x2 [a(x2 +1/x2) + b(x + 1/x) + c] = x2[a(x + 1/x)2 + b(x + 1/x) +c -2a] đặt y = x + 1/x và phân tích a(x + 1/x)2 + b(x + 1/x) +c -2a = ay2 + by + c – 2a Thµnh nh©n tö VÝ dô: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + Gi¶i: x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + = x2(x2 + 6x + + 6/x + 1/x2) = x2[(x +1/x)2 + 6(x + 1/x) + 5] đặt y = x + 1/x ta có x4 + 6x2 + 7x2 + 6x +1 = x2(y2 + 6x + 5) = x2(y + 1)(y + 5) Page Lop8.net Một số chuyên đề toán = x2(x + 1/x + 1)( x + 1/x + 5) = ( x2 + x +1)(x2 + 5x + 1) Bµi tËp Bµi 1: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö a) x2 – 2xy + y2 + 3x – 3y - b) (12x2 – 12xy + 3y2) – 10(2x – 3y) Gi¶i: x2 – 2xy + y2 + 3x – 3y – +8 = (x – y) + 3(x – y) – =3(2x – y)2 – 10(2x – y) + đặt t = x – y ta có : §Æt t = 2x – y ta cã: 2 (x – y) + 3(x – y) – = t + 3t – 3(2x – y)2 – 10(2x – y) + =3t2 – 10t + = (t – 1)( t + 4) =(x – y – 1)(x – y + =(3t2 – 4t) – (6t – 8) = t(3t – 4) – 4) 2(3t – 4) =(3t – 4)(t – 2) = (6x – 3y – 4)(2x – y –2 3 Bµi 2: a) (a – b) + (b – c) + (c – a) c) B = (a + b –2c)3 + (a + c –2b)3 + (b + §Æt x = a – b; y = b – c; z = c – a c – 2a)3 3 Ta cã: (a – b) + (b – c) + (c – a) = §Æt x = (a + b –2c)3; y = (a + c –2b)3 ; x3 + y3 + z3 vµ x + y + z = z =(b + c – 2a)3 ta cã: x + y +z = VËy x3 + y3 + z3 = 3xyz B = 3(a + b –2c)(a + c –2b)(b + c – 2a) Bµi Chøng minh r»ng: a)(x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 = 3(x + y)(y + z)(z + x) Biến đổi vế trái: (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 = (x + y)3 + z3 + 3(x + y)z(x + y + z) – x3 – y3 – z3 = x3 + y3 + z3 + 3xy(x + y) 3(x + y)z(x + y + z) – x3 – y3 – z3 =3(x + y)(xy + xz + yz + z2) = 3(x + y)(x + z)(y + z) b)Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö A = (a + b + c)3 + (a – b - c)3+ (b – c – a)3 + (c – a – b)3 §Æt x = a – b – c; y = b – c – a; z =c – a – b ta cã : x + y + z = -(a + b + c) A = -(x + y + z )3 + x3 + y3 + z3 áp dụng tương tự phần a) A = -3(x + y)(y + z)(z + x) Bµi a) (x2 – 2x)(x2 – 2x – 1) – b)(x2 + 4x -3)2 – 5x(x2 + 4x -3) +6x2 (đặt y = x2 + 4x -3) c)(x2 + x + 4)2 + 8x(x2 + x + 4) + 15x2 d) x4 – 6x3 + 11x2 – 6x + Bµi 2(x2 – 6x + 1) + 5(x2 – 6x + 1)(x2 + 1) + (x2 + 1)2 Bµi Chøng minh r»ng: M = 4(x – 2)(x – 1)(x + 4)(x + 8) + 25x2 Kh«ng ©m M = 4(x2 + 2x – 8)(x2 + 7x – 8) + 25x2 = §Æt a = x2 + 2x – ta cã: M = 4a(a + 5x) + 25x2 = (2a + 5x)2 ≥0 (®pcm) Phương pháp hệ số bất định(Phương pháp đồng hệ số) Đây là phương pháp thường áp dụng cho số đa thức đưa đa thức bậc bèn cã c¸c hÖ sè nguyªn VÝ dô: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö Page Lop8.net Một số chuyên đề toán x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + Lêi Gi¶i: ThÊy ± 1, ±3 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña ®a thøc §a thøc trªn ph©n tÝch ®­îc thµnh nh©n tö cã d¹ng (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x2 + (ac + b + d)x2 + (bc + da)x + bd a + c = -6 ac + b + d=12   Ta cã: bc + ad= - 14 lÊy b =1, d =3 =>c =-2, a = -    bd = VËy x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + = (x2 – 4x + 1)(x2 – 2x + 3) Bµi TËp Phân tích đa thức sau thành nhân tử theo phương pháp đồng hệ số: A = 3x4 + 11x3 – 7x2 – 2x + B = x4 – 6x3 + 11x2 – 6x + C = x4 – x3 + 2x2 – 11x – D = 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + Phương pháp xét giá trị riêng Phương pháp xét giá trị riêng là phương pháp xét giá trị biến làm cho giá trị biểu thức Từ đó xác định các nhân tử chung cách thay các giá trị bất kì vào đẳng thức xác định dựa vào đó để tách, thêm bớt nhóm thích hợp VÝ dô: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) ta thÊy víi y = z hoÆc x = y hoÆc x = z th× x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = vËy ta cã y –z, x – y, z - x lµ nh©n tö chung cña biÓu thøc trªn x2(y – z) + y2z – y2x + z2x – z2y = K.(x – y)(y – z)(z –x) v× (x – y)(y – z)(z –x) lµ ®a thøc bËc nªn K lµ h»ng sè thay x= 0, y = 1, z =2 vào đẳng thức trên ta được: -2 = K.2 => K = -1 VËy x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = - (x – y)(y – z)(z –x) =(x – y)(y – z)(x - z) Ví dụ 2: Xác định a, b cho x4 + ax + b = x2 – C1: Thùc hiÖn phÐp chia råi cho sè d­ = C2: viÕt x4 + ax + b = (x2 – 1).q(x) T¹i x = -1, x =1 ta cã: + a + b = vµ – a + b = => b = - 1, a = Bµi TËp Bµi Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö M = xy(x + y) + yz(y + z) + xz(x + z) + 2xyz Bµi M = a(b + c – a)2 +b(c + a – b)2 + c(a + b – c)2 + (a + b – c)(b + c –a)(c + Page Lop8.net Một số chuyên đề toán a – b) (xÐt a = 0) Bµi (x + y + z)(xy + yz + zx) – xyz (xÐt x = - y, ) Chuyên đề Xác định đa thức Chuyên đề Số chính Phương I Tính chất Số chính phương Số chính phương chia cho 3, dư dư số chính phương chia hết cho p2k+1 thì chia hết cho p2k+2( Với p là số nguyên tố) Giữa hai số chính phương liên tiếp không tồn số chính phương Chữ số tận cùng số chính phương không thể là 2,3,7,8 II Phương pháp chứng minh a) chứng minh số là số chính phương - biểu diễn biểu thức dạng bình phương số - Hai số nguyên tố cùng a và b có tích là số chính phương thì a và b là số chính phương b) Chứng minh số không là số chính phương: - Chứng minh số đó nằm hai số chính phương liên tiếp - Chøng minh sù ph©n tÝch cã chøa luü thõa lÎ cña mét sè nguyªn tè - XÐt sè d­ cña nã chia cho 3,4,5 - Chøng minh ch÷ sè tËn cïng cña nã lµ 2,3,7,8 c) Tìm điều kiện để biểu thức là số chính phương III Mét sè bµi to¸n Dạng Chứng minh biểu thức là số chính phương Bµi Cho A = 111   888   là số chính phương 2n n Lêi gi¶i: n A = 111  7.111   888    111 1.10    2n n n §Æt a = 111  => 9a + = n 10n n A = a(9a + 1) - 7a + = 9a2 - 6a + =(3a + 1)2 ( ®pcm) Dạng 2: Tìm điều kiện để biểu thức là số chính phương PageLop8.net 10 Một số chuyên đề toán Ví dụ: Tìm điều kiện để a(a + 3) là số chính phương Lêi gi¶i: Để a(a + 3) là số chính phương thì a(a + 3) = k2  a2 + 3a = k2  4a2 + 12a = 4k2 < = > (2a + 3)2 = 4k2 + < = > (2a + – k)(2a + + k) =  2a  - 2k  a    2a   2k  k   2a  - k  a    2a   k  k  Dạng 3: Chứng minh biểu thức không thể là số chính phương theo điều kiÖn Bµi Cho sè tù nhiªn n thuéc N*, d lµ ­íc cña 2n2 Chøng minh r»ng n2 + d Kh«ng thể là số chính phương Lêi gi¶i C¸ch 1: gi¶ sö n2 + d =m2 < = >n2 + 2n = m2 < = >kn2 + 2n = km2 K C¸ch 2: ta cã 2n2 + 2d Chuyên đề Bất đẳng thức Chuyên đề Giải phương trình nghiệm nguyên Chuyên đề Số nguyên tố Chuyên đề Đồng dư thức H×nh Häc Chuyên đề 1: Định lí talet - Tam giác đồng dạng Chuyên đề 2: Phương pháp diện tích Page 11 Lop8.net Một số chuyên đề toán PageLop8.net 12