Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh , nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo vi[r]
(1)ĐẠI SỐ – NĂM HỌC 2019
Chuyên đề: NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ
2 2
A + B = A + 2AB + B (1)
2 2
A - B = A - 2AB + B (2)
2
A - B - A + B A - B (3)
3 3 2 2 3
A + B = A + 3A B + 3AB + B (4)
= A + B + 3AB A + B3
3 3 2 2 3
A - B = A - 3A B + 3AB - B (5)
= A - B - 3AB A - B3
3 2
A + B = A + B A - AB + B (6)
3 2
A - B = A - B A + AB + B (7)
KIẾN THỨC BỔ SUNG 1 Bình phương đa thức
2 2
1 n n n
(a + a + + a ) = a + a + + a + 2a a + 2a a + + 2a a
+ 2a a + 2a a + + 2a a + + 2a a n n-1 n
Đặc biệt, với n = ta có :
2 2
(a + b + c) = a + b + c + 2ab + 2ac + 2bc
(2)n n n-1 n(n-1) n-2 n(n-1)(n-2) n-3 n
(a + b) = a + na b + a b + a b + + b
1.2 1.2.3
Cho n giá trị từ đến ta :
Với n = a + b = 10 Với n = a + b = a + b1
Với n = a + b2 = a + 2ab + b2
Với n = a + b3 = a + 3a b + 3ab + b3 2
Với n = 4 2
a + b = a + 4a b + 6a b + 4ab + b
Với n = 5 2
a + b = a + 5a b + 10a b + 10a b + 5ab + b
Ta nhận thấy khai triển (a+b)n ta đa thức có n + hạng tử, hạng tử đầu an, hạng
tử cuối n
b , hạng tử lại chứa nhân tử a b
Vì n n n
(a+b) = B(a) + b = B(b) + a
3 Bảng hệ số khai n (a+b)
Với n = :
Với n = :
Với n = :
(3)- Mỗi số dòng kể từ dòng thứ hai số liền cộng với số bên trái số liền
Bảng gọi tam giác Pa-xcan
B MỐT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 7 Chứng minh tam giác có độ dài ba cạnh a, b, c thoả mãn :
2
5a - 3b + 4c 5a - 3b - 4c = 3a - 5b
thì tam giác tam giác vng
Giải
2
2 2
2 2 2
2 2 2
Ta có 5a - 3b + 4c 5a - 3b - 4c = 3a - 5b <=> 5a - 3b + 4c 5a - 3b - 4c = 3a - 5b
<=> 5a - 3b - 4c = 3a - 5b
<=> 25a - 30ab + 9b - 16c = 9a - 30ab + 25b <=> 25a - 9a2 + 9b - 25b - 16c
2 2
2 2 2
= <=> 16a - 16b - 16c =
<=> 16a = 16b + 16c <=> a = b + c
Do tam giác có độ dài ba cạnh a, b, c tam giác vng
Ví dụ 8. Cho x + y = -9 ; xy = 18 Khơng tính giá trị x y, tính giá trị biểu thức sau :
2 4 2
a M = x + y ; b N = x +) ) y ; c P = x - y )
Giải Đề cho giá trị tổng x + y tích xy nên muốn tính giá trị biểu thức M,
(4)
2
2 2
2
2
4 4 2 2 2
2
2 2 2 2 2
a M = x + y = x + 2xy + y - 2xy = x + y - 2xy = -9 - 2.18 = 45
b) N = x + y = x + 2x y + y - 2x y = x + y - xy = 45 - 2.18 = 1377
c Ta có x - y = x - 2xy + y = x + 2xy + y )
) - 4x
2
y = x + y - 4xy = -9 - 4.18 =
Suy x - y = ±3
• Nếu x - y = P = x - y = x - y x + y = -9 = -27.2
• Nếu x - y = -3 2
P = x - y = x - y x + y = -3 -9 = 27
Ví dụ 9. Tìm x, y, z biết:
2
2
x - 6x + y + l0y + 34 = - 4z - l
Giải
Ta có x - 6x + y + l0y + 34 = - 4z - l2 2
Suy x - 6x + + y + l0y + 25 = - 4z - l2 2
x - 32 + y + 5 2 + 4z - l2 =
(5)Nội dung phương pháp dựa vào nhận xét:
2 2
A 0; B 0; C 0
Nếu có A +B +C =02 2 A =B =C =0.2 2
Ví dụ 10 Cho a + b + c = 0, chứng minh a +b +c =3abc.3 3
Giải. Từ a + b + c = 0, suy a + b = -c
Lập phương hai vế ta 3
(a + b) (-c)
Suy a + b +3ab(a + b) = - c 3
Thay a + b = -c vào đẳng thức ta a + b + 3ab -c = -c 3
Do 3
a + b + c = 3abc.
Lưu ý
• Nên nhớ kết ví dụ để vận dụng giải nhiều tốn khác • Trong q trình giải ví dụ ta khai triển
(a+b) thành a + b 3 3ab(a + b) (1) tiện lợi
hơn khai triển thành 2
a + 3a b + 3ab + b (2) khai triển (1) có
sẵn (a + b) để thay - c kết nhanh chóng
Ví dụ 11 Số a = 831000 - 1là số nguyên tố hay hợp số ?
Giải. Ta có 31000 nên ta đặt 31000 = (n n N*).
Do 3n n 3
a = - 1(8 ) -
= (8 - 1)(8 + + 1).n 2n n
Số a tích cửa hai số tự nhiên lớn nên a hợp số
(6) 5 2 2
a5 - b5 - a - b = 5ab a - b a - ab + b
Giải
• Xét vế trái T : 5 5
T = a - b - a - b
= a - b - a - 5a b + 10a b - 10a b + 5ab - b5 2 5
= a - b - a + 5a b - 10a b + 10a b - 5ab + b5 5 2
= 5a b - 10a b + 10a b - 5ab 2
• Xét vế phải P :
P = 5ab a - b a - ab + b 2 = 5ab a - 2a b + 2ab - b 2 3 = 5a b - 10a b + 10a b - 5ab 2
Vậy T = P
Ví dụ 13. Cho a + b + c2 = ab + bc + ca Chứng minh a = b = c
Giải. Ta có a + b + c2 = ab + bc + ca
2 2
2 2
2 2 2
2 2
2
<=> a + b + c + ab + bc + ca = ab + bc + ca <=> a + b + c - ab - bc - ca =
<=> a - 2ab + b + b - 2bc + c + c - 2ca + a = <=> a - b + b - c + c - a =
<=> a - b = b - c = c - a
2
(7)BÀI TẬP
1. Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến:
2
a x + + x - 5) - + x x - ;
2 2
b x + 2y) + 2x - y - x + y x - y - 10 y + y -
2. Tính giá trị biểu thức cách hợp lí:
a) 413(413 - 26) + 169;
2 16
b) (625 + 3)(25 - 3) - + 10;
2
2
41 + 39 + 82.39
c)
41 - 39 Tìm x biết:
2
a) (5x - 1) - (5x - 4)(5x + 4) = 7;
2 2
b) (4x - 1) - (2x + 3) + 5(x + 2) + 3(x - 2)(x + 2) = 500
Cho biểu thức 2
A = (x +x+1)(x -x+1)(x -x +1)
Chứng minh biểu thức A luôn có giá trị dương với giá trị biến
Tìm x biết:
a x + x - 4x + 16 - x x - x + = ) 264 ;
3 2
b x - - x - x + 2x + + x - x + ) = 60
Tìm giá trị biểu thức :
3
a A = x - 15x + 75x) - 124 x = 35;
3
(8)3 3
a +b a+b
=
a +c a+c
8. Thu gọn tính giá trị biểu thức sau :
2 2
a) (a+b+c) + (a++b-c) - 2(a+b)
2 2
b) (a+b+c) + (-a+b+c) + (a-b+c) + (a+b-c) với a +b +c = 10.2 2
Chứng minh đẳng thức :
4 4 2
(x+y) + x + y = 2(x +xy+y )
10 Tính:
5 6 4
(9)Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng
I. Luyện Thi Online
- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học
- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn.
II. Khoá Học Nâng Cao HSG
- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG
- Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp
dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III. Kênh học tập miễn phí
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động
- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi
Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai
Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online Chuyên Gia