Vậy số phải tìm là 2025 Bài 6: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng hiệu các bình phương của số đó và viết số bởi hai chữ số của số đó nhưng theo thứ tự ngược lại là một số chính phươ[r]
(1)Chuyên đề : SỐ CHÍNH PHƯƠNG A/ MỤC TIÊU : - Kiến thức : HS nắm định nghĩa , tính chất số chính phương - Kĩ : Biết chứng minh số không là số chính phương, chứng minh số là số chính phương, tìm giá trị biến để GT BT là số chính phương, tìm số chính phương thoả mãn ĐK cho trước, và các bài toán liên quan đến số chính phương - Thái độ : Cẩn thận , linh hoạt, chính xác áp dụng các phương pháp B/ NỘI DUNG BÀI DẠY : TIẾT 01+ 02 I ĐỊNH NGHĨA: Số nguyên A là số chính phương A = n2 ( với n Z ) II TÍNH CHẤT: Số chính phương có thể có chữ số tận cùng 0, 1, 4, 5, 6, Khi phân tích thừa số nguyên tố, số chính phương chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn Số chính phương a chia hết cho số nguyên tố p thì a chia hết cho p2 VD : Số chính phương chia hết cho thì chia hết cho Số chính phương chia hết cho thì chia hết cho Số chính phương chia hết cho thì chia hết cho 25 Số chính phương chia hết cho thì chia hết cho 16 (a,b)=1và ab là số chính phương a, b là số chính phương Số chính phương có thể có hai dạng 4n 4n + (n N) ( Số chính phương chia cho thì dư có thể 1; tương tự chia cho 5, cho …) Số chính phương tận cùng thì chữ số hàng chục là Số chính phương tận cùng thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn Số chính phương tận cùng thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ III MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG A DẠNG1: CHỨNG MINH MỘT SỐ KHÔNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG *CÁCH NHẬN BIẾT MỘT SỐ A KHÔNG LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG : - a p mà a p2 ( p là số nguyên tố ) - a có chữ số tận cùng là 2; 3; 7; - b2 < a < (b + 1)2 , với b Z - Phương pháp mô đun , nghĩa là xét số dư các số chính phương chia cho số nguyên nào đó * CÁC VÍ DỤ : Lop8.net (2) Nhìn chữ số tận cùng Bài toán : Chứng minh số : n = 20042 + 20032 + 20022 - 20012 không phải là số chính phương Lời giải : Dễ dàng thấy chữ số tận cùng các số 20042 + 20032 + 20022 - 20012 là ; ; ; Do đó số n có chữ số tận cùng là nên n không phải là số chính phương Chú ý : Nhiều số đã cho có chữ số tận cùng là các số ; ; ; ; ; không phải là số chính phương Khi đó các bạn phải lưu ý thêm chút : Nếu số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì phải chia hết cho p2 Bài toán : Chứng minh số 1234567890 không phải là số chính phương Lời giải : Thấy số 1234567890 chia hết cho (vì chữ số tận cùng là 0) không chia hết cho 25 (vì hai chữ số tận cùng là 90) Do đó số 1234567890 không phải là số chính phương Chú ý : Có thể lý luận 1234567890 chia hết cho (vì chữ số tận cùng là 0), không chia hết cho (vì hai chữ số tận cùng là 90) nên 1234567890 không là số chính phương Bài toán : Chứng minh số có tổng các chữ số là 2004 thì số đó không phải là số chính phương Lời giải : Ta thấy tổng các chữ số số 2004 là nên 2004 chia hết cho mà không chia hết nên số có tổng các chữ số là 2004 chia hết cho mà không chia hết cho 9, đó số này không phải là số chính phương Dùng tính chất số dư Bài toán : Chứng minh số có tổng các chữ số là 2006 không phải là số chính phương (Vì cho giả thiết tổng các chữ số nên chắn các em phải nghĩ tới phép chia cho cho 9).Chắc chắn số này chia cho phải dư Từ đó ta có lời giải Lời giải : Vì số chính phương chia cho có số dư là (tự cm) Do tổng các chữ số số đó là 2006 nên số đó chia cho dư Chứng tỏ số đã cho không phải là số chính phương Tương tự các em có thể tự giải bài toán : Bài toán : Chứng minh tổng các số tự nhiên liên tiếp từ đến 2005 không phải là số chính phương Bài toán : Chứng minh số : n = 20044 + 20043 + 20042 + 23 k0 là số ch phương Bài toán : Chứng minh số : n = 44 + 4444 + 444444 + 44444444 + 15 không là số chính phương Nhận xét : Nếu xét n chia cho 3, các em thấy số dư phép chia là 1, là không “bắt chước” cách giải các bài toán ; ; ; Nếu xét chữ số tận cùng các em thấy chữ số tận cùng n là nên không làm “tương tự” các bài toán ; Số dư phép chia n cho là dễ thấy nhất, đó chính là Một số chính phương chia cho cho số dư (tự cm) Như là giải xong bài toán “Kẹp” số hai số chính phương “liên tiếp” Dễ thấy : Nếu n là số tự nhiên và số tự nhiên k thỏa mãn n2 < k < (n + 1) thì k không là số chính phương Bài toán : Chứng minh số 4014025 không là số chính phương Lop8.net (3) Nhận xét : Số này có hai chữ số tận cùng là 25, chia cho dư 1, chia cho dư Vậy là tất các cách làm trước không vận dụng Các em có thể thấy lời giải theo hướng khác Lời giải : Ta có 20032 = 4012009 ; 20042 = 4016016 nên 20032 < 4014025 < 2004 Chứng tỏ 4014025 không là số chính phương Bài toán : Chứng minh A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) không là số chính phương với số tự nhiên n khác Nhận xét : Đối với các em đã làm quen với dạng biểu thức này thì có thể nhận A + là số chính phương (đây là bài toán quen thuộc với lớp 8) Lời giải : Ta có : A + = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + = (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) + = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) +1 = (n2 + 3n +1)2 Mặt khác : (n2 + 3n)2 < (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) = A Điều này hiển nhiên đúng vì n ≥ Chứng tỏ : (n2 + 3n)2 < A < A + = (n2 + 3n +1)2 => A không là số chính phương BÀI TẬP RÈN LUYỆN : Bài tập : Hãy tìm số tự nhiên n cho A = n4 - 2n3 + 3n2 - 2n là số chính phương Gợi ý : Nghĩ đến (n2 - n + 1)2 Bài tập : Chứng minh số 235 + 2312 + 232003 không là số chính phương Gợi ý : Nghĩ đến phép chia cho phép chia cho Bài tập : Có 1000 mảnh bìa hình chữ nhật, trên mảnh bìa ghi số các số từ đến 1001 cho không có hai mảnh nào ghi số giống Chứng minh : Không thể ghép tất các mảnh bìa này liền để số chính phương Bài tập : Chứng minh : Tổng các bình phương bốn số tự nhiên liên tiếp không thể là số chính phương Gợi ý : Nghĩ tới phép chia cho Bài tập : Chứng minh số 333333 + 555555 + 777777 không là số chính phương Gợi ý : Nghĩ đến phép chia cho … chục (?) Bài toán : Lúc đầu có hai mảnh bìa, cậu bé tinh nghịch cầm mảnh bìa lên lại xé làm bốn mảnh Cậu ta mong làm đến lúc nào đó số mảnh bìa là số chính phương Cậu ta có thực mong muốn đó không ? Chú ý : để chứng minh số tự nhiên không là số chính phương, đó là dựa vào các điều kiện cần để số là số chính phương TIẾT 03+ 04 Lop8.net (4) B DẠNG 2: CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Phương pháp : Dựa vào định nghĩa Bài toán : Chứng minh : Với số tự nhiên n thì an = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + là số chính phương Lời giải : Ta có : an = n(n + 1) (n + 2) (n + 3) + = (n2 + 3n) (n2 + 3n + 2) + = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + = (n2 + 3n + 1)2 Với n là số tự nhiên thì n2 + 3n + là số tự nhiên, theo định nghĩa, an là số chính phương Bài toán 2: Chứng minh với số nguyên x, y thì A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương Lời giải : Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 = (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y4 Đặt x2 + 5xy + 5y2 = t ( t A V ì x, y, z Z) thì = (t - y2)( t + y2) + y4 = t2 –y4 + y4 = t2 = (x2 + 5xy + 5y2)2 Z nên x2 Z, 5xy Z, 5y2 Z x2 + 5xy + 5y2 Z Vậy A là số chính phương Bài toán 3: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + k(k+1)(k+2) Chứng minh 4S + là số chính phương 1 k(k+1)(k+2).4 = k(k+1)(k+2).[(k+3) – (k-1)] 4 1 = k(k+1)(k+2)(k+3) - k(k+1)(k+2)(k-1) 4 1 1 1 S = 1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 +…+ k(k+1)(k+2)(k+3) 4 4 4 k(k+1)(k+2)(k-1) = k(k+1)(k+2)(k+3) Ta có k(k+1)(k+2) = 4S + = k(k+1)(k+2)(k+3) + Theo kết bài k(k+1)(k+2)(k+3) + là số chính ph ương Bài toán : Chứng minh số : là số chính phương Lời giải : Ta có : Lop8.net (5) Vậy : là số chính phương Bài toán 5: Cho dãy số 49; 4489; 444889; 44448889; … Dãy số trên xây dựng cách thêm số 48 vào số đứng trước nó Chứng minh tất các số dãy trên là số chính phương Ta có 44…488…89 = 44…488 + = 44…4 10n + 11…1 + n chữ số n-1 chữ số n chữ số n chữ số n chữ số n chữ số 10 n 10 n 10n + +1 9 4.10 n 4.10 n 8.10 n 4.10 n 4.10 n = = 9 n 2.10 = = Ta thấy 2.10n +1=200…01 có tổng các chữ số chia hết cho nên nó chia hết cho 2.10 n n-1 chữ số Z hay các số có dạng 44…488…89 là số chính phương Bài toán 6: Chứng minh các số sau là số chính phương: a A = 22499…9100…09 n-2 chữ số n chữ số b B = 11…155…56 n chữ số n-1 chữ số Lop8.net (6) a A = 224.102n + 99…9.10n+2 + 10n+1 + = 224.102n + ( 10n-2 – ) 10n+2 + 10n+1 + = 224.102n + 102n – 10n+2 + 10n+1 + = 225.102n – 90.10n + = ( 15.10n – ) A là số chính phương b B = 111…1555…5 + = 11…1.10n + 5.11…1 + n chữ số n chữ số = n chữ số n chữ số 10 n 10 n 10 n 10 n 5.10 n 10n + +1= 9 10 n 10 n 4.10 n = = là số chính phương ( điều phải chứng minh) Phương pháp : Dựa vào tính chất đặc biệt “(a,b)=1và ab là số chính phương a, b là số chính phương” Bài toán : Chứng minh : Nếu m, n là các số tự nhiên thỏa mãn 3m2 + m = 4n2 + n thì m - n và 4m + 4n + là số chính phương Lời giải : Ta có : 3m2 + m = 4n2 + n 4(m2 – n2) + (m - n) = m2 hay là (m - n)(4m + 4n + 1) = m2 (*) Gọi d là ước chung lớn m - n và 4m + 4n + thì (4m + 4n + 1) + 4(m - n) chia hết cho d => 8m + chia hết cho d Mặt khác, từ (*) ta có : m2 chia hết cho d2 => m chia hết cho d Từ 8m + chia hết cho d và m chia hết cho d ta có chia hết cho d => d = Vậy m - n và 4m + 4n + là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn (*) nên chúng là các số chính phương BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài tập 1: Chứng minh các số sau đây là số chính phương : A B Bài tập : Cho các số nguyên dương a, b, c đôi nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn : 1/a + 1/b = 1/c Hãy cho biết a + b có là số chính phương hay không ? Bài tập : Chứng minh rằng, với số tự nhiên n thì 3n + không là số chính phương Bài tập : Tìm số tự nhiên n để n2 + 2n + 2004 là số chính phương Lop8.net (7) Bài tập : Chứng minh : Nếu : và n là hai số tự nhiên thì a là số chính phương Bài tập : Chứng minh tổng các bình phương số tự nhiên liên tiếp không thể là số chính phương Gọi số tự nhiên liên tiếp đó là n-2, n-1, n , n+1 , n+2 (n N , n ≥2 ) Ta có ( n-2)2 + (n-1)2 + n2 + ( n+1)2 + ( n+2)2 = 5.( n2+2) Vì n2 không thể tận cùng đó n2+2 không thẻ chia hết cho 5.( n2+2) không là số chính phương hay A không là số chính phương Bài tập : Chứng minh số có dạng n6 – n4 + 2n3 + 2n2 đó n N và n>1 không phải là số chính phương n6 – n4 + 2n3 +2n2 = n2.( n4 – n2 + 2n +2 ) = n2.[ n2(n-1)(n+1) + 2(n+1) ] = n2[ (n+1)(n3 – n2 + 2) ] = n2(n+1).[ (n3+1) – (n2-1) ] = n2( n+1 )2.( n2–2n+2) Với n N, n >1 thì n2-2n+2 = (n - 1)2 + > ( n – )2 và n2 – 2n + = n2 – 2(n - 1) < n2 Vậy ( n – 1)2 < n2 – 2n + < n2 n2 – 2n + không phải là số chính phương Bài tập 8: Cho số chính phương bất kì có chữ số hàng chục khác còn chữ số hàng đơn vị là Chứng minh tổng các chữ số hàng chục số chính phương đó là số chính phương Cách 1: Ta biết số chính phương có chữ số hàng đơn vị là thì chữ số hàng chục nó là số lẻ Vì chữ số hàng chục số chính phương đã cho là 1,3,5,7,9 đó tổng chúng + + + + = 25 = 52 là số chính phương Cách 2: Nếu số chính phương M = a2 có chữ số hàng đơn vị là thì chữ số tận cùng a là a a2 Theo dấu hiệu chia hết cho thì hai chữ số tận cùng M có thể là 16, 36, 56, 76, 96 Ta có: + + + + = 25 = 52 là số chính phương Bài tập : Chứng minh tổng bình phương hai số lẻ không phải là số chính phương a và b lẻ nên a = 2k+1, b = 2m+1 (Với k, m N) a2 + b2 = (2k+1)2 + (2m+1)2 = 4k2 + 4k + + 4m2 + 4m + = 4(k2 + k + m2 + m) + = 4t + (Với t Không có số chính phương nào có dạng 4t + (t N) N) đó a2 + b2 không thể là số chính phương Bài tập 10: Chứng minh p là tích n số nguyên tố đầu tiên thì p-1 và p+1 không thể là các số chính phương Lop8.net (8) Vì p là tích n số nguyên tố đầu tiên nên p và p không chia hết cho (1) a Giả sử p+1 là số chính phương Đặt p+1 = m2 (m N) Vì p chẵn nên p+1 lẻ m2 lẻ m lẻ Đặt m = 2k+1 (k N) Ta có m2 = 4k2 + 4k + p+1 = 4k2 + 4k + p = 4k2 + 4k = 4k(k+1) mâu thuẫn với (1) p+1 là số chính phương b p = 2.3.5… là số chia hết cho p-1 có dạng 3k+2 Không có số chính phương nào có dạng 3k+2 p-1 không là số chính phương Vậy p là tích n số nguyên tố đầu tiên thì p-1 và p+1 không là số chính phương Bài tập 11: Giả sử N = 1.3.5.7…2007 Chứng minh số nguyên liên tiếp 2N-1, 2N và 2N+1 không có số nào là số chính phương a 2N-1 = 2.1.3.5.7…2007 – Có 2N 2N-1 không chia hết cho và 2N-1 = 3k+2 (k N) 2N-1 không là số chính phương b 2N = 2.1.3.5.7…2007 Vì N lẻ N không chia hết cho và 2N 2N không chia hết cho 2N chẵn nên 2N không chia cho dư 2N không là số chính phương c 2N+1 = 2.1.3.5.7…2007 + 2N+1 lẻ nên 2N+1 không chia hết cho 2N không chia hết cho nên 2N+1 không chia cho dư 2N+1 không là số chính phương Bài tập 12 : Chứng minh các số sau đây là số chính phương: A = 11…1 + 44…4 + 2n chữ số n chữ số B = 11…1 + 11…1 + 66…6 + 2n chữ số n+1 chữ số n chữ số C = 44…4 + 22…2 + 88…8 + 2n chữ số n+1 chữ số 10 n ; Kết quả: A = n chữ số 10 n B = Bài tập 13 : Cho a = 11…1 ; b = 100…05 2008 chữ số 2007 chữ số Lop8.net ; 2.10 n C = (9) ab là số tự nhiên 10 2008 Cách 1: Ta có a = 11…1 = ; b = 100…05 = 100…0 + = 102008 + Chứng minh 2008 chữ số ab+1 = ab = Ta thấy 102008 (10 2008 1)(10 2007 chữ số 2008 5) +1= (10 2008 chữ số 10 2008 ) 4.10 2008 = 2008 10 2008 10 2008 = 3 10 2008 + = 100…02 nên N hay ab là số tự nhiên 2007 chữ số Cách 2: b = 100…05 = 100…0 – + = 99…9 + = 9a +6 2007 chữ số 2008 chữ số 2008 chữ số ab+1 = a(9a +6) + = 9a2 + 6a + = (3a+1)2 ab = (3a 1) = 3a + N Lop8.net (10) TIẾT 05+ 06 C DẠNG 3: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ BIỂU THỨC LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài toán 1: Tìm số tự nhiên n cho các số sau là số chính phương: a n2 + 2n + 12 b n ( n+3 ) c 13n + d* n2 + n + 1589 Giải a Vì n2 + 2n + 12 là số chính phương nên đặt n2 + 2n + 12 = k2 (k N) (n2 + 2n + 1) + 11 = k2 k2 – (n+1)2 = 11 (k+n+1)(k-n-1) = 11 Nhận xét thấy k+n+1 > k-n-1 và chúng là số nguyên dương, nên ta có thể viết (k+n+1)(k-n-1) = 11.1 k+n+1 = 11 k–n-1=1 b Đặt n(n+3) = a2 (n k=6 n=4 N) n2 + 3n = a2 4n2 + 12n = 4a2 (4n2 + 12n + 9) – = 4a2 (2n + 3) - 4a2 = (2n + + 2a)(2n + – 2a) = Nhận xét thấy 2n + + 2a > 2n + – 2a và chúng là số nguyên dương, nên ta có thể viết (2n + + 2a)(2n + – 2a) = 9.1 c Đặt 13n + = y2 ( y N) 2n + + 2a = n=1 2n + – 2a = a=2 13(n – 1) = y2 – 16 13(n – 1) = (y + 4)(y – 4) (y + 4)(y – 4) 13 mà 13 là số nguyên tố nên y + 13 y – 13 y = 13k (Với k N) 13(n – 1) = (13k )2 – 16 = 13k.(13k 8) n = 13k2 8k + N) thì 13n + là số chính phương Đặt n2 + n + 1589 = m2 (m N) (4n2 + 1)2 + 6355 = 4m2 Vậy n = 13k2 8k + (Với k d *) (2m + 2n +1)(2m – 2n -1) = 6355 Nhận xét thấy 2m + 2n +1> 2m – 2n -1 > và chúng là số lẻ, nên ta có thể viết (2m + 2n +1)(2m – 2n -1) = 6355.1 = 1271.5 = 205.31 = 155.41 Suy n có thể có các giá trị sau: 1588; 316; 43; 28 Bài toán 2: Tìm số tự nhiên n ≥ cho tổng 1! + 2! + 3! + … + n! là số chính phương Lop8.net (11) Với n = thì 1! = = 12 là số chính phương Với n = thì 1! + 2! = không là số chính phương Với n = thì 1! + 2! + 3! = 1+1.2+1.2.3 = = 32 là số chính phương Với n ≥ ta có 1! + 2! + 3! + 4! = 1+1.2+1.2.3+1.2.3.4 = 33 còn 5!; 6!; …; n! tận cùng đó 1! + 2! + 3! + … + n! có tận cùng chữ số nên nó không phải là số chính phương Vậy có số tự nhiên n thỏa mãn đề bài là n = 1; n = Bài toán : Có hay không số tự nhiên n để 2006 + n2 là số chính phương Giả sử 2006 + n2 là số chính phương thì 2006 + n2 = m2 (m N) Từ đó suy m2 – n2 = 2006 (m + n)(m - n) = 2006 Như số m và n phải có ít số chẵn (1) Mặt khác m + n + m – n = 2m số m + n và m – n cùng tính chẵn lẻ (2) Từ (1) và (2) m + n và m – n là số chẵn (m + n)(m - n) Nhưng 2006 không chia hết cho Điều giả sử sai Vậy không tồn số tự nhiên n để 2006 + n2 là số chính phương BÀI TẬP RÈN LUYỆN : Bài 1: Tìm a để các số sau là số chính phương: a a2 + a + 43 b a2 + 81 c a2 + 31a + 1984 Kết quả: a 2; 42; 13 b 0; 12; 40 c 12; 33; 48; 97; 176; 332; 565; 1728 Bài 2: Tìm n N để các số sau là số chính phương: a n2 + 2004 ( Kết quả: 500; 164) b (23 – n)(n – 3) ( Kết quả: 3; 5; 7; 13; 19; 21; 23) c n2 + 4n + 97 d 2n + 15 Bài 3: Biết x N và x>2 Tìm x cho Đẳng thức đã cho viết lại sau: x(x-1).x(x-1) = (x-2)xx(x-1) x(x-1) = (x-2)xx(x-1) Do vế trái là số chính phương nên vế phải là số chính phương Một số chính phương có thể tận cùng các chữ số 0; 1; 4; 5; 6; nên x có thể tận cùng các chữ số 1; 2; 5; 6; 7; (1) Lop8.net (12) Do x là chữ số nên x ≤ 9, kết hợp với điều kiện đề bài ta có x N và < x ≤ (2) Từ (1) và (2) x có thể nhận các giá trị 5; 6; Bằng phép thử ta thấy có x = thỏa mãn đề bài, đó 762 = 5776 Bài 4: Tìm số tự nhiên n có chữ số biết 2n+1 và 3n+1 là các số chính phương Ta có 10 ≤ n ≤ 99 nên 21 ≤ 2n+1 ≤ 199 Tìm số chính phương lẻ khoảng trên ta 25; 49; 81; 121; 169 tương ứng với số n 12; 24; 40; 60; 84 Số 3n+1 37; 73; 121; 181; 253 Chỉ có 121 là số chính phương Vậy n = 40 Bài 5: Chứng minh n là số tự nhiên cho n+1 và 2n+1 là các số chính phương thì n là bội số 24 Vì n+1 và 2n+1 là các số chính phương nên đặt n+1 = k2 , 2n+1 = m2 (k, m N) Ta có m là số lẻ m = 2a+1 m2 = 4a (a+1) + n= 4a (a 1) m2 1 = = 2a(a+1) 2 n chẵn n+1 lẻ k lẻ Đặt k = 2b+1 (Với b N) k2 = 4b(b+1) +1 n = 4b(b+1) n (1) Ta có k2 + m2 = 3n + (mod3) Mặt khác k2 chia cho dư 1, m2 chia cho dư Nên để k2 + m2 (mod3) thì k2 (mod3) => m2 – k2 hay (2n+1) – (n+1) n m2 (mod3) (2) Mà (8; 3) = (3) Từ (1), (2), (3) n 24 Bài : Tìm tất các số tự nhiên n cho số 28 + 211 + 2n là số chính phương Giả sử 28 + 211 + 2n = a2 (a N) thì 2n = a2 – 482 = (a+48)(a-48) 2p.2q = (a+48)(a-48) a+48 = 2p Với p, q N ; p+q = n và p > q 2p – 2q = 96 2q (2p-q -1) = 25.3 a- 48 = 2q q = và p-q = p = n = 5+7 = 12 Thử lại ta có: 28 + 211 + 2n = 802 Lop8.net (13) TIẾT 07+ 08 D DẠNG 4: TÌM SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài 1: Cho A là số chính phương gồm chữ số Nếu ta thêm vào chữ số A đơn vị thì ta số chính phương B Hãy tìm các số A và B Gọi A = abcd = k2 Nếu thêm vào chữ số A đơn vị thì ta có số B = (a+1)(b+1)(c+1)(d+1) = m2 với k, m a, b, c, d Ta có N và 32 < k < m < 100 N ; ≤ a ≤ ; ≤ b, c, d ≤ A = abcd = k2 B = abcd + 1111 = m2 m2 – k2 = 1111 (m-k)(m+k) = 1111 (*) Nhận xét thấy tích (m-k)(m+k) > nên m-k và m+k là số nguyên dương Và m-k < m+k < 200 nên (*) có thể viết (m-k)(m+k) = 11.101 Do đó m – k == 11 m + k = 101 m = 56 n = 45 A = 2025 B = 3136 Bài 2: Tìm số chính phương gồm chữ số biết số gồm chữ số đầu lớn số gồm chữ số sau đơn vị Đặt abcd = k2 ta có ab – cd = và k N, 32 ≤ k < 100 Suy 101cd = k2 – 100 = (k-10)(k+10) k +10 101 k-10 101 Mà (k-10; 101) = k +10 101 Vì 32 ≤ k < 100 nên 42 ≤ k+10 < 110 k+10 = 101 k = 91 abcd = 912 = 8281 Bài 3: Tìm số chính phương có chữ số biết chữ số đầu giống nhau, chữ số cuối giống Gọi số chính phương phải tìm là aabb = n2 với a, b N, ≤ a ≤ 9; ≤ b ≤ Ta có n2 = aabb = 11.a0b = 11.(100a+b) = 11.(99a+a+b) (1) Nhận xét thấy aabb 11 a + b 11 Mà ≤ a ≤ ; ≤ b ≤ nên ≤ a+b ≤ 18 a+b = 11 Thay a+b = 11 vào (1) n2 = 112(9a+1) đó 9a+1 là số chính phương Bằng phép thử với a = 1; 2; …; ta thấy có a = thỏa mãn b = Số cần tìm là 7744 Bài 4: Tìm số có chữ số vừa là số chính phương vừa là lập phương Gọi số chính phương đó là abcd Vì abcd vừa là số chính phương vừa là lập phương nên đặt abcd = x2 = y3 Với x, y N Vì y3 = x2 nên y là số chính phương Ta có 1000 ≤ abcd ≤ 9999 10 ≤ y ≤ 21 và y chính phương y = 16 Lop8.net (14) abcd = 4096 Bài 5: Tìm số chính phương gồm chữ số cho chữ số cuối là số nguyên tố, bậc hai số đó có tổng các chữ số là số chính phương Gọi số phải tìm là abcd với a, b, c, d nguyên và ≤ a ≤ ; ≤ b,c,d ≤ abcd chính phương d { 0,1,4,5,6,9} d nguyên tố d = Đặt abcd = k2 < 10000 32 ≤ k < 100 k là số có hai chữ số mà k2 có tận cùng k tận cùng Tổng các chữ số k là số chính phương k = 45 abcd = 2025 Vậy số phải tìm là 2025 Bài 6: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết hiệu các bình phương số đó và viết số hai chữ số số đó theo thứ tự ngược lại là số chính phương Gọi số tự nhiên có hai chữ số phải tìm là Số viết theo thứ tự ngược lại ab ( a,b N, ≤ a,b ≤ ) ba Ta có ab - ba = ( 10a + b ) – ( 10b + a )2 = 99 ( a2 – b2 ) 11 a2 - b2 11 Hay ( a-b )(a+b ) 11 Vì < a - b ≤ , ≤ a+b ≤ 18 nên a+b 11 a + b = 11 2 Khi đó ab - ba = 32 112 (a - b) Để ab 2- ba là số chính phương thì a - b phải là số chính phương đó a-b = a - b = Nếu a-b = kết hợp với a+b = 11 a = 6, b = 5, ab = 65 Khi đó 652 – 562 = 1089 = 332 Nếu a - b = kết hợp với a+b = 11 a = 7,5 ( loại ) Vậy số phải tìm là 65 Bài 7: Cho số chính phương có chữ số Nếu thêm vào chữ số đó ta số chính phương Tìm số chính phương ban đầu ( Kết quả: 1156 ) Bài 8: Tìm số có chữ số mà bình phương số lập phương tổng các chữ số nó Gọi số phải tìm là ab với a,b N và ≤ a ≤ , ≤ b ≤ Theo giả thiết ta có : ab = ( a + b )3 (10a+b)2 = ( a + b )3 ab là lập phương và a+b là số chính phương Lop8.net (15) Đặt ab N ) , a + b = l ( l N ) = t3 ( t Vì 10 ≤ ab ≤ 99 ab = 27 ab = 64 Nếu ab = 27 a + b = là số chính phương Nếu ab = 64 a + b = 10 không là số chính phương loại Vậy số cần tìm là ab = 27 Bài 9: Tìm số lẻ liên tiếp mà tổng bình phương là số có chữ số giống Gọi số lẻ liên tiếp đó là 2n-1, 2n+1, 2n+3 ( n Ta có N) A= ( 2n-1 )2 + ( 2n+1)2 + ( 2n+3 )2 = 12n2 + 12n + 11 Theo đề bài ta đặt 12n2 + 12n + 11 = aaaa = 1111.a với a lẻ và ≤ a ≤ 12n( n + ) = 11(101a – ) 101a – 2a – Vì ≤ a ≤ nên ≤ 2a-1 ≤ 17 và 2a-1 lẻ nên 2a – a { 2; 5; } { 3; 9; 15 } Vì a lẻ a = n = 21 số càn tìm là 41; 43; 45 Bài 10: Tìm số có chữ số cho tích số đó với tổng các chữ số nó tổng lập phương các chữ số số đó ab (a + b ) = a3 + b3 10a + b = a2 – ab + b2 = ( a + b )2 – 3ab 3a( + b ) = ( a + b ) ( a + b – ) a + b và a + b – nguyên tố cùng đó a + b = 3a a +b–1=3+b a=4,b=8 a + b – = 3a a+b=3+b a=3,b=7 Vậy ab = 48 ab = 37 ….………………… Hết ………………………… Lop8.net (16) Chuyên đề: Bất đẳng thức TIẾT 01 +02 A- MỤC TIÊU BÀI DẠY : - Kiến thức : HS nắm định nghĩa , tính chất BĐT, biết các phương pháp chứng minh bất đẳng thức Các BT liên quan, vận dụng BĐT - Kĩ : Biết vận dụng số phương pháp chứng minh bất đẳng thức vào các bài toán liên quan, - Thái độ : Cẩn thận , linh hoạt, chính xác áp dụng các phương pháp B- NỘI DUNG PHẦN : CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý 1- Định nghĩa 2- Tính chất 3-Một số bất đẳng thức hay dùng PHẦN 2:MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 1-Phương pháp dùng định nghĩa 2- Phương pháp dùng biến đổi tương đương 3- Phương pháp dùng bất đẳng thức quen thuộc 4- Phương pháp sử dụng tính chất bắc cầu 5- Phương pháp dùng tính chất tỉ số 6- Phương pháp làm trội 7- Phương pháp dùng bất đẳng thức tam giác 8- Phương pháp đổi biến số 9- Phương pháp dùng tam thức bậc hai 10- Phương pháp quy nạp 11- Phương pháp phản chứng PHẦN I : CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý 1-ĐINHNGHĨA A B A B A B A B 2-TÍNH CHẤT + A>B B A + A>B và B >C A C + A>B A+C >B + C + A>B và C > D A+C > B + D + A>B và C > A.C > B.C + A>B và C < A.C < B.C + < A < B và < C <D < A.C < B.D + A > B > A n > B n n + A > B A n > B n với n lẻ Lop8.net (17) + A > B A n > B n với n chẵn + m > n > và A > A m > A n + m > n > và <A < A m < A n +A < B và A.B > 1 A B 3-MỘT SỐ HẰNG BẤT ĐẲNG THỨC + A với A ( dấu = xảy A = ) + An với A ( dấu = xảy A = ) + A với A (dấu = xảy A = ) Phần II : số phương pháp chứng minh bất đẳng thức Phương pháp : dùng định nghĩa KiÕn thøc : Để chứng minh A > B ta chứng minh A –B > Lưu ý dùng bất đẳng thức M với M Ví dụ x, y, z chứng minh : a) x + y + z xy+ yz + zx b) x + y + z 2xy – 2xz + 2yz c) x + y + z +3 (x + y + z) Giải: a) Ta xét hiệu x + y + z - xy – yz - zx = ( x + y + z - xy – yz – zx) = ( x y ) ( x z ) ( y z ) đúng với x;y;z R Vì (x-y)2 vớix ; y Dấu xảy x=y (x-z)2 vớix ; z Dấu xảy x=z (y-z)2 với z; y Dấu xảy z=y Vậy x + y + z xy+ yz + zx Dấu xảy x = y =z b)Ta xét hiệu x + y + z - ( 2xy – 2xz +2yz ) = x + y + z - 2xy +2xz –2yz =( x – y + z) đúng với x;y;z R Vậy x + y + z 2xy – 2xz + 2yz đúng với x;y;z R Dấu xảy x+y=z c) Ta xét hiệu x + y + z +3 – 2( x+ y +z ) = x - 2x + + y -2y +1 + z -2z +1 = (x-1) + (y-1) +(z-1) Dấu(=)xảy x=y=z=1 BT : chứng minh : Lop8.net (18) a2 b2 a b a) ;b) c) Hãy tổng quát bài toán a2 b2 c2 a b c 3 GIẢI a2 b2 a b a b a 2ab b = 4 = 2a 2b a b 2ab = a b a) Ta xét hiệu a2 b2 a b Vậy Dấu xảy a=b b)Ta xét hiệu a2 b2 c2 a b c 3 2 = a b b c c a a2 b2 c2 a b c Vậy 3 Dấu xảy a = b =c c)Tổng quát a12 a 22 a n2 a1 a a n n n Tóm lại các bước để chứng minh A B tho định nghĩa Bước 1: Ta xét hiệu H = A - B Bước 2:Biến đổi H=(C+D) H=(C+D) +….+(E+F) Bước 3:Kết luận A B BT :(chuyên Nga- Pháp 98-99) Chứng minh m,n,p,q ta có m + n + p + q +1 m(n+p+q+1) Giải: m2 m2 m2 m2 mn n mp p mq q m 1 2 2 m m m m n p q 1 (luôn đúng) 2 2 2 2 Lop8.net (19) m n 0 m p0 Dấu xảy m q 0 2 m m n m m2 p n p q m q m 22 Bài tập bổ xung BT Chứng minh a) x y z x.( xy x z 1) b) với số thực a , b, c ta có a 5b 4ab 2a 6b c) a 2b 2ab 2a 4b Giải : a) Xét hiệu H = x y z x y x xz x = x y x z x 1 H ta có điều phải chứng minh 2 b) Vế trái có thể viết H = a 2b 1 b 1 H > ta có điều phải chứng minh 2 c) vế trái có thể viết H = a b 1 b 1 H ta có điều phải chứng minh 2 a2 BT : Cho abc = và a 36 Chứng minh b2+c2> ab+bc+ac 2 a a a a2 b2+c2- ab- bc – ac = b2+c2- ab- bc – ac = ( b2+c2- ab– ac+ Ta có hiệu: 12 3 a a 36abc a 36abc a a 2bc) + 3bc =( -b- c)2 + =( -b- c)2 + >0 (vì abc=1 và a3 > 36 12 12a 12a 2 nên a >0 ) a2 b2+c2> ab+bc+ac Điều phải chứng minh Vậy : 3 Lop8.net (20) TIẾT 03 +04 phương pháp : Dùng phép biến đổi tương đương Lu ý: Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng bất đẳng thức đã chứng minh là đúng Chú ý các đẳng thức sau: A B 2 A AB B A B C 2 A B C AB AC BC A B 3 A3 A B AB B Ví dụ 1: Cho a, b, c, d,e là các số thực chứng minh b2 ab a) a b) a b ab a b c) a b c d e ab c d e b2 ab Giải: a) a 4a b 4ab 4a 4a b (bất đẳng thức này luôn đúng) 2a b b2 ab (dấu xảy 2a=b) Vậy a b) a b ab a b 2(a b 2(ab a b) a 2ab b a 2a b 2b Bất đẳng thức cuối đúng (a b) (a 1) (b 1) Vậy a b ab a b Dấu xảy a=b=1 c) a b c d e ab c d e 4 a b c d e 4ab c d e a 4ab 4b a 4ac 4c a 4ad 4d a 4ac 4c a 2b a 2c a 2d a 2c Bất đẳng thức đúng ta có điều phải chứng minh BT 5: Chứng minh rằng: a 10 b10 a b a b a b Giải: 10 10 a b a b a b a b a 12 a 10 b a b10 b12 a 12 a b a b b12 a 8b a b a 2b b a a2b2(a2-b2)(a6-b6) a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4) Bất đẳng thứccuối đúng ta có điều phải chứng minh x2 y2 BT6 : cho x.y =1 và x>y Chứng minh 2 x y Giải: x2 y2 2 vì :x y nên x- y x2+y2 2 ( x-y) x y Lop8.net (21)