Toán 8 Chuyên đề Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Chuyên đề 2 NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ     2 2 2 A + B  = A  + 2AB + B                                             (1)      2 2 2 A  B  = A   2AB + B                                               (2)            2 2 A  B    A + B A  B                                                 (3)                        3 3 = A  + B  + 3AB A + B      3 3 2 2 3 A  B  = A   3A B + 3AB   B                                   (5)                              3 3 = A   B   3AB A  B        3 3 2 2 A  + B  =  A + B A   AB + B                                   (6)       3 3 2 2 A   B  =  A  B A  + AB + B                                    (7)  KIẾN THỨC BỔ SUNG 1. Bình phương của đa thức   2 2 2 2 1 2  n 1 2 n 1 2 1 3 1 n (a  + a + ... + a )  = a  + a  + ... + a  + 2a a  + 2a a  + ... + 2a a                                    2 3 2 4 2 n n1 n + 2a a  + 2a a  + ... + 2a a  + ... + 2a a .  3 A + B  = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3                               (4)  Đặc biệt, với n = 3 ta có :  2 2 2 2 (a + b + c)  = a  + b  + c  + 2ab + 2ac + 2bc. 

Chuyên đề NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ A KIẾN THỨC CẦN NHỚ    A + B   = A  + 2AB + B2                                             (1)     A - B   = A  - 2AB + B2                                               (2)         A - B2  -   A + B  A - B                                                  (3)     A + B   = A  + 3A 2B + 3AB2  + B3                                (4)                  = A  + B3  + 3AB  A + B       A - B   = A  - 3A 2B + 3AB2  - B3                                   (5)                            = A  - B3  - 3AB  A - B      A  + B3  =   A + B   A  - AB + B2                                    (6)    A  - B3  =   A - B   A  + AB + B2                                     (7)  KIẾN THỨC BỔ SUNG Bình phương đa thức   (a1  + a 2  +   + an )2  = a12  + a 22  +   + an2  + 2a1a2  + 2a1a3  +   + 2a1an                                    + 2a2a3  + 2a2a  +   + 2a2an  +   + 2an-1an   Đặc biệt, với n = 3 ta có :  (a + b + c)2  = a2  + b2  + c  + 2ab + 2ac + 2bc   Luỹ thừa bậc n nhị thức (nhị thức Niu-tơn) (a + b)n  = an  + nan-1b +  n(n-1) n-2 n(n-1)(n-2) n-3 a b  +  a b  +   + bn 1.2 1.2.3 Cho n các giá trị từ 0 đến 5 ta được :          Với n = 0     thì        a + b  = 1          Với n = 1     thì        a + b   = a + b           Với n = 2     thì        a + b   = a2  + 2ab + b2           Với n = 3     thì        a + b   = a3  + 3a2b + 3ab2  + b3           Với n = 4     thì        a + b   = a  + 4a3b + 6a2b2  + 4ab3  + b           Với n = 5     thì        a + b   = a5  + 5a 4b + 10a3b2  + 10a2b3  + 5ab  + b5     Ta nhận thấy khi khai triển  (a+b)n  ta được một đa thức có n + 1 hạng tử, hạng tử  đầu là  an , hạng tử cuối là  bn , các hạng tử còn lại đều chứa các nhân tử a và b.  Vì vậy  (a+b)n  = B(a) + bn  = B(b) + an   Bảng hệ số khai (a+b)n Với n = 0   : 1      Với n = 1   : 1     1  Với n = 2   : 1     2     1  Với n = 3   : 1     3     3            1  Với n = 4   : 1     4     6            4    1  Với n = 5   : 1     5     10   10   5    1  ………………………………………………….  - Mỗi dòng đều bắt đầu bằng 1 và kết thúc bằng 1  - Mỗi số ở một dòng kể từ dòng thứ hai đều bằng số liền trên cộng với số bên trái  của số liền trên.  Bảng trên đây được gọi là tam giác Pa-xcan.  B MỐT SỐ VÍ DỤ Ví dụ 7. Chứng minh rằng nếu một tam giác có độ dài ba cạnh là a, b, c thoả mãn :    5a - 3b + 4c  5a - 3b - 4c   =   3a - 5b    thì tam giác đó là tam giác vng.  Giải Ta có  5a - 3b + 4c 5a - 3b - 4c  =  3a - 5b    5a - 3b  + 4c   5a - 3b  - 4c   =  3a - 5b 2    5a - 3b   -   4c   =   3a - 5b  2  25a  - 30ab + 9b  - 16c2  = 9a  - 30ab + 25b  25a  - 9a22  + 9b  - 25b  - 16c  = 0  16a  - 16b  - 16c2  = 0   16a  = 16b  + 16c   a  = b  + c Do đó tam giác có độ dài ba cạnh là a, b, c chính là một tam giác vng.  Ví dụ 8. Cho x + y = -9 ; xy = 18. Khơng tính các giá trị của x và y, hãy tính giá trị  của các biểu thức sau :  a) M = x  + y  ;        b) N = x  + y  ;         c) P =  x  - y   Giải. Đề bài cho giá trị của tổng x + y và tích xy nên muốn tính được giá trị của  các biểu thức M, N, P ta phải biểu diễn các biểu thức này dưới  dạng các biểu thức  có (x + y) và xy.  a) M = x  + y  = x  + 2xy + y  - 2xy =   x + y   - 2xy =   -9   - 2.18 = 45 b) N = x  + y  = x  + 2x y  + y  - 2x y  =   x  + y  2 - 2  xy  = 452  - 2.182  = 1377 c) Ta có   x - y   = x  - 2xy + y  = x  + 2xy + y  - 4xy =   x + y   - 4xy =   -9  2 - 4.18 = 9 Suy ra x - y = ±3 2 • Nếu x - y = 3 thì  P = x  - y  =   x - y  x + y   = 3  -9   = -27 .  • Nếu x - y = -3 thì  P = x  - y2  =   x - y  x + y   =   -3  -9   = 27 .  Ví dụ 9. Tìm x, y, z biết:  x  - 6x + y  + l0y + 34 = -  4z - l    Giải 2 Ta có    x  - 6x + y  + l0y + 34 = -  4z - l      2 Suy ra    x  - 6x + 9   +   y  + l0y + 25   = -  4z - l    2                x - 3   +   y + 5  +   4z - l   = 0   2 Ta thấy     x - 3     0 ;   y + 5      0 ;   4z - l      0     2 Mà   x - 3   +   y + 5   +   4z - l   = 0    (x - 3)2  = 0  x = 3   nên  (y + 5)  = 0  y = -5   (4z - 1)2  = 0   z =   Nhận xét: Ta gọi phương pháp giải trong ví dụ trên là phương pháp "Tổng các  bình phương". Nội dung của phương pháp này dựa vào nhận xét:  A    0; B2    0; C2    Nếu có  A +B +C =0  thì  A =B2 =C =0 .  3 Ví dụ 10. Cho a + b + c = 0, chứng minh rằng  a +b +c =3abc     Giải. Từ a + b + c = 0, suy ra a + b = -c.  Lập phương hai vế ta được  (a + b)3  (-c)3   Suy ra  a  + b3  +3ab(a + b) = - c3     Thay a + b = -c vào đẳng thức trên ta được   a  + b3  + 3ab  -c   = -c3   Do đó   a  + b  + c  = 3abc   Lưu ý • Nên nhớ kết quả của ví dụ này để vận dụng giải nhiều bài tốn khác.  3 • Trong q trình giải ví dụ trên ta đã khai triển  (a+b)3  thành  a  + b     3ab(a + b)    (1) tiện lợi hơn là khai triển thành  a  + 3a b + 3ab  + b3  (2) vì trong khai triển (1) có  sẵn (a + b) để thay bằng - c ra kết quả được nhanh chóng.  1000 Ví dụ 11. Số  a = 83  - 1 là số ngun tố hay hợp số ?  1000 n Giải. Ta có  31000   nên ta đặt   = 3  (n   N*)   Do đó  a = 83n  - 1(8n )3  - 13                      = (8n  - 1)(82n  + 8n  + 1)   Số a là tích cửa hai số tự nhiên lớn hơn 1 nên a là hợp số.  Ví dụ 12. Chứng minh đẳng thức  a5 - b5 -   a - b   = 5ab  a - b   a  - ab + b    Giải • Xét vế trái T :  T = a  - b  -   a - b                                           = a  - b5  -   a  - 5a b + 10a b  - 10a b  + 5ab  - b5                                           = a  - b  - a  + 5a b - 10a b  + 10a b  - 5ab  + b                                          = 5a b - 10a b  + 10a b3  - 5ab   • Xét vế phải P :  2 2                           P = 5ab  a - b   a  - ab + b   = 5ab  a  - 2a b + 2ab  - b                                   = 5a b - 10a b  + 10a b  - 5ab   Vậy T = P.  Ví dụ 13. Cho   a + b + c   = 3  ab + bc + ca  Chứng minh rằng a = b = c.  Giải. Ta có   a + b + c   = 3  ab + bc + ca     a  + b  + c  + 2  ab + bc + ca   = 3  ab + bc + ca   a  + b  + c  - ab - bc - ca = 0    a  - 2ab + b   +   b  - 2bc + c   +   c  - 2ca + a    = 0 2 2    a - b   +   b - c   +   c - a   = 0  2     a - b   =   b - c   =   c - a  2 = 0  vì   a - b      0 ;   b - c      0 ;   c - a      0 a - b = 0    b - c = 0 c - a = 0   a = b = c.  C BÀI TẬP 1. Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của  biến:    a) 5  x + 4   + 4  x - 5   - 9  4 + x  x - 4  ;   2 b)   x + 2y   +   2x - y   - 5  x + y  x - y   - 10  y + 3  y - 3    2. Tính giá trị của biểu thức bằng cách hợp lí:  a) 413(413 - 26) + 169;  b) (6252  + 3)(254  - 3) - 516  + 10;   c)  412  + 392  + 82.39   412  - 392 Tìm x biết:    a) (5x - 1)2  - (5x - 4)(5x + 4) = 7;   b) (4x - 1)2  - (2x + 3)2  + 5(x + 2)2  + 3(x - 2)(x + 2) = 500   Cho biểu thức  A = (x +x+1)(x2 -x+1)(x -x2 +1)   Chứng minh rằng biểu thức A ln ln có giá trị dương với mọi giá trị của biến.  Tìm x biết:    a)  x + 4  x  - 4x + 16  - x  x - 5  x + 5   = 264 ;     b)  x - 2  -   x - 2 x  + 2x + 4  + 6  x - 2 x + 2   = 60   Tìm giá trị của biểu thức :  a) A = x  - 15x  + 75x - 124  tại x = 35;  b) B = x  + 18x  + 108x + 16  tại x = -2;  y =    Cho a, b, c là các số thoả mãn điều kiện a = b + c. Chứng minh rằng :  a3 +b3 a+b  =    3 a +c a+c 8. Thu gọn rồi tính giá trị các biểu thức sau :    a) (a+b+c)2  + (a++b-c)2  - 2(a+b)2   b) (a+b+c)2  + (-a+b+c)2  + (a-b+c)2  + (a+b-c)2  với  a +b +c  = 10   Chứng minh đẳng thức :  (x+y)4  + x  + y  = 2(x +xy+y )2   10 Tính:  a)  x + 1 ;         b)  x + 1 ;       c)  x - 1    ... 11. Số  a = 83  - 1 là số nguyên tố hay hợp số ?  1000 n Giải. Ta có  31000   nên ta đặt   = 3  (n   N*)   Do đó  a = 83 n  - 1(8n )3  - 13                      = (8n  - 1) (82 n  + 8n  + 1)  ... Giải. Đề bài cho giá trị của tổng x + y và tích xy nên muốn tính được giá trị của  các biểu thức M, N, P ta phải biểu diễn các biểu thức này dưới  dạng các biểu thức có (x + y) và xy.  a) M = x  + y  = x  + 2xy + y  - 2xy =   x + y   - 2xy =   -9   - 2. 18 = 45 b) N = x... Ví dụ 8.  Cho x + y = -9 ; xy =  18.  Khơng tính các giá trị của x và y, hãy tính giá trị  của các biểu thức sau :  a) M = x  + y  ;        b) N = x  + y  ;         c) P =  x  - y   Giải. Đề bài cho giá trị của tổng x + y và tích xy nên muốn tính được giá trị của