Chuyên đề 2 NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 2 2 2 A + B = A + 2AB + B (1) 2 2 2 A B = A 2AB + B (2) 2 2 A B A + B A B (3) 3 3 = A + B + 3AB A + B 3 3 2 2 3 A B = A 3A B + 3AB B (5) 3 3 = A B 3AB A B 3 3 2 2 A + B = A + B A AB + B (6) 3 3 2 2 A B = A B A + AB + B (7) KIẾN THỨC BỔ SUNG 1. Bình phương của đa thức 2 2 2 2 1 2 n 1 2 n 1 2 1 3 1 n (a + a + ... + a ) = a + a + ... + a + 2a a + 2a a + ... + 2a a 2 3 2 4 2 n n1 n + 2a a + 2a a + ... + 2a a + ... + 2a a . 3 A + B = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 (4) Đặc biệt, với n = 3 ta có : 2 2 2 2 (a + b + c) = a + b + c + 2ab + 2ac + 2bc.
Chuyên đề NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ A KIẾN THỨC CẦN NHỚ A + B = A + 2AB + B2 (1) A - B = A - 2AB + B2 (2) A - B2 - A + B A - B (3) A + B = A + 3A 2B + 3AB2 + B3 (4) = A + B3 + 3AB A + B A - B = A - 3A 2B + 3AB2 - B3 (5) = A - B3 - 3AB A - B A + B3 = A + B A - AB + B2 (6) A - B3 = A - B A + AB + B2 (7) KIẾN THỨC BỔ SUNG Bình phương đa thức (a1 + a 2 + + an )2 = a12 + a 22 + + an2 + 2a1a2 + 2a1a3 + + 2a1an + 2a2a3 + 2a2a + + 2a2an + + 2an-1an Đặc biệt, với n = 3 ta có : (a + b + c)2 = a2 + b2 + c + 2ab + 2ac + 2bc Luỹ thừa bậc n nhị thức (nhị thức Niu-tơn) (a + b)n = an + nan-1b + n(n-1) n-2 n(n-1)(n-2) n-3 a b + a b + + bn 1.2 1.2.3 Cho n các giá trị từ 0 đến 5 ta được : Với n = 0 thì a + b = 1 Với n = 1 thì a + b = a + b Với n = 2 thì a + b = a2 + 2ab + b2 Với n = 3 thì a + b = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Với n = 4 thì a + b = a + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b Với n = 5 thì a + b = a5 + 5a 4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab + b5 Ta nhận thấy khi khai triển (a+b)n ta được một đa thức có n + 1 hạng tử, hạng tử đầu là an , hạng tử cuối là bn , các hạng tử còn lại đều chứa các nhân tử a và b. Vì vậy (a+b)n = B(a) + bn = B(b) + an Bảng hệ số khai (a+b)n Với n = 0 : 1 Với n = 1 : 1 1 Với n = 2 : 1 2 1 Với n = 3 : 1 3 3 1 Với n = 4 : 1 4 6 4 1 Với n = 5 : 1 5 10 10 5 1 …………………………………………………. - Mỗi dòng đều bắt đầu bằng 1 và kết thúc bằng 1 - Mỗi số ở một dòng kể từ dòng thứ hai đều bằng số liền trên cộng với số bên trái của số liền trên. Bảng trên đây được gọi là tam giác Pa-xcan. B MỐT SỐ VÍ DỤ Ví dụ 7. Chứng minh rằng nếu một tam giác có độ dài ba cạnh là a, b, c thoả mãn : 5a - 3b + 4c 5a - 3b - 4c = 3a - 5b thì tam giác đó là tam giác vng. Giải Ta có 5a - 3b + 4c 5a - 3b - 4c = 3a - 5b 5a - 3b + 4c 5a - 3b - 4c = 3a - 5b 2 5a - 3b - 4c = 3a - 5b 2 25a - 30ab + 9b - 16c2 = 9a - 30ab + 25b 25a - 9a22 + 9b - 25b - 16c = 0 16a - 16b - 16c2 = 0 16a = 16b + 16c a = b + c Do đó tam giác có độ dài ba cạnh là a, b, c chính là một tam giác vng. Ví dụ 8. Cho x + y = -9 ; xy = 18. Khơng tính các giá trị của x và y, hãy tính giá trị của các biểu thức sau : a) M = x + y ; b) N = x + y ; c) P = x - y Giải. Đề bài cho giá trị của tổng x + y và tích xy nên muốn tính được giá trị của các biểu thức M, N, P ta phải biểu diễn các biểu thức này dưới dạng các biểu thức có (x + y) và xy. a) M = x + y = x + 2xy + y - 2xy = x + y - 2xy = -9 - 2.18 = 45 b) N = x + y = x + 2x y + y - 2x y = x + y 2 - 2 xy = 452 - 2.182 = 1377 c) Ta có x - y = x - 2xy + y = x + 2xy + y - 4xy = x + y - 4xy = -9 2 - 4.18 = 9 Suy ra x - y = ±3 2 • Nếu x - y = 3 thì P = x - y = x - y x + y = 3 -9 = -27 . • Nếu x - y = -3 thì P = x - y2 = x - y x + y = -3 -9 = 27 . Ví dụ 9. Tìm x, y, z biết: x - 6x + y + l0y + 34 = - 4z - l Giải 2 Ta có x - 6x + y + l0y + 34 = - 4z - l 2 Suy ra x - 6x + 9 + y + l0y + 25 = - 4z - l 2 x - 3 + y + 5 + 4z - l = 0 2 Ta thấy x - 3 0 ; y + 5 0 ; 4z - l 0 2 Mà x - 3 + y + 5 + 4z - l = 0 (x - 3)2 = 0 x = 3 nên (y + 5) = 0 y = -5 (4z - 1)2 = 0 z = Nhận xét: Ta gọi phương pháp giải trong ví dụ trên là phương pháp "Tổng các bình phương". Nội dung của phương pháp này dựa vào nhận xét: A 0; B2 0; C2 Nếu có A +B +C =0 thì A =B2 =C =0 . 3 Ví dụ 10. Cho a + b + c = 0, chứng minh rằng a +b +c =3abc Giải. Từ a + b + c = 0, suy ra a + b = -c. Lập phương hai vế ta được (a + b)3 (-c)3 Suy ra a + b3 +3ab(a + b) = - c3 Thay a + b = -c vào đẳng thức trên ta được a + b3 + 3ab -c = -c3 Do đó a + b + c = 3abc Lưu ý • Nên nhớ kết quả của ví dụ này để vận dụng giải nhiều bài tốn khác. 3 • Trong q trình giải ví dụ trên ta đã khai triển (a+b)3 thành a + b 3ab(a + b) (1) tiện lợi hơn là khai triển thành a + 3a b + 3ab + b3 (2) vì trong khai triển (1) có sẵn (a + b) để thay bằng - c ra kết quả được nhanh chóng. 1000 Ví dụ 11. Số a = 83 - 1 là số ngun tố hay hợp số ? 1000 n Giải. Ta có 31000 nên ta đặt = 3 (n N*) Do đó a = 83n - 1(8n )3 - 13 = (8n - 1)(82n + 8n + 1) Số a là tích cửa hai số tự nhiên lớn hơn 1 nên a là hợp số. Ví dụ 12. Chứng minh đẳng thức a5 - b5 - a - b = 5ab a - b a - ab + b Giải • Xét vế trái T : T = a - b - a - b = a - b5 - a - 5a b + 10a b - 10a b + 5ab - b5 = a - b - a + 5a b - 10a b + 10a b - 5ab + b = 5a b - 10a b + 10a b3 - 5ab • Xét vế phải P : 2 2 P = 5ab a - b a - ab + b = 5ab a - 2a b + 2ab - b = 5a b - 10a b + 10a b - 5ab Vậy T = P. Ví dụ 13. Cho a + b + c = 3 ab + bc + ca Chứng minh rằng a = b = c. Giải. Ta có a + b + c = 3 ab + bc + ca a + b + c + 2 ab + bc + ca = 3 ab + bc + ca a + b + c - ab - bc - ca = 0 a - 2ab + b + b - 2bc + c + c - 2ca + a = 0 2 2 a - b + b - c + c - a = 0 2 a - b = b - c = c - a 2 = 0 vì a - b 0 ; b - c 0 ; c - a 0 a - b = 0 b - c = 0 c - a = 0 a = b = c. C BÀI TẬP 1. Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến: a) 5 x + 4 + 4 x - 5 - 9 4 + x x - 4 ; 2 b) x + 2y + 2x - y - 5 x + y x - y - 10 y + 3 y - 3 2. Tính giá trị của biểu thức bằng cách hợp lí: a) 413(413 - 26) + 169; b) (6252 + 3)(254 - 3) - 516 + 10; c) 412 + 392 + 82.39 412 - 392 Tìm x biết: a) (5x - 1)2 - (5x - 4)(5x + 4) = 7; b) (4x - 1)2 - (2x + 3)2 + 5(x + 2)2 + 3(x - 2)(x + 2) = 500 Cho biểu thức A = (x +x+1)(x2 -x+1)(x -x2 +1) Chứng minh rằng biểu thức A ln ln có giá trị dương với mọi giá trị của biến. Tìm x biết: a) x + 4 x - 4x + 16 - x x - 5 x + 5 = 264 ; b) x - 2 - x - 2 x + 2x + 4 + 6 x - 2 x + 2 = 60 Tìm giá trị của biểu thức : a) A = x - 15x + 75x - 124 tại x = 35; b) B = x + 18x + 108x + 16 tại x = -2; y = Cho a, b, c là các số thoả mãn điều kiện a = b + c. Chứng minh rằng : a3 +b3 a+b = 3 a +c a+c 8. Thu gọn rồi tính giá trị các biểu thức sau : a) (a+b+c)2 + (a++b-c)2 - 2(a+b)2 b) (a+b+c)2 + (-a+b+c)2 + (a-b+c)2 + (a+b-c)2 với a +b +c = 10 Chứng minh đẳng thức : (x+y)4 + x + y = 2(x +xy+y )2 10 Tính: a) x + 1 ; b) x + 1 ; c) x - 1 ... 11. Số a = 83 - 1 là số nguyên tố hay hợp số ? 1000 n Giải. Ta có 31000 nên ta đặt = 3 (n N*) Do đó a = 83 n - 1(8n )3 - 13 = (8n - 1) (82 n + 8n + 1) ... Giải. Đề bài cho giá trị của tổng x + y và tích xy nên muốn tính được giá trị của các biểu thức M, N, P ta phải biểu diễn các biểu thức này dưới dạng các biểu thức có (x + y) và xy. a) M = x + y = x + 2xy + y - 2xy = x + y - 2xy = -9 - 2. 18 = 45 b) N = x... Ví dụ 8. Cho x + y = -9 ; xy = 18. Khơng tính các giá trị của x và y, hãy tính giá trị của các biểu thức sau : a) M = x + y ; b) N = x + y ; c) P = x - y Giải. Đề bài cho giá trị của tổng x + y và tích xy nên muốn tính được giá trị của