Công thức lượng giác và phương trình lượng giác đầy đủ nhất ôn thi đại học 2016 ôn thi thpt quốc gia 2016

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC TỔNG HỢP & CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁCCƠ BẢN I.. Các công thức biến đổi.. Giá trị lượng giác của các góchay cung có liên quan đặc biệt... Công thức lượng giác c

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC TỔNG HỢP & CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

CƠ BẢN

I Các công thức biến đổi.

1) Công thức cộng:

 cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb

 cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb

 tan(a - b) =

 sin(a - b) = sina.cosb - cosa.sinb

 tan(a + b) =

 sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb

2) Công thức nhân đôi :

 sin2x = 2sinxcosx

 cos2x = cos 2 x – sin 2 x

= 2cos 2 x - 1

= 1 – 2sin 2 x

 tan2x = 2

2

1

tanx tan x



 cot2x =

2 1 2

cot x

cotx



3) Công thức nhân 3 :

 sin3x = 3 sin x−4 sin3x

 cos3x = 4cos 3 x – 3cosx

 tan3x =

3 2

3

1 3

tanx tan x

tan x





4) Công thức hạ bậc:



os

2

cos x

c x 



2 1 os2 sin

2

x 

5) Công thức tích thành tổng.

 cosxcosy=

1

2 cos x y cos x y

 sinxcosy=

1

2[Sin( x+ y )+Sin( x− y)]

 sinxsiny=

1

2 cos x y cos x y

6) Công thức tổng(hiệu) thành tích:

 sinx + siny =

2sin

cos

 sinx – siny =

2 os

c   sin  

 cosx + cosy =

2cos

cos

 cosx – cosy =

2sin

sin

 tanx + tany =

cos

sin x y xcosy



 tanx – tany =

cos

sin x y xcosy



 cotx + coty =

sin

sin x y xsiny



 cotx – coty =

sin

sin y x xsiny



II Giá trị lượng giác của các góc(hay cung) có liên quan đặc biệt.

1) Cung đối nhau:

 cos(–x) = cosx

 sin(–x) = – sinx

 tan(–x) = – tanx

 cot(–x) = – cotx

2) Cung bù nhau:

 sin (π−x)= sinx

 cos (π−x)=− cosx

 tan (π−x)=− tanx

 cot (π−x)=− cotx

3) Cung hơn kém:

 sin (π + x)=− sinx

 cos (π + x)=− cosx

 tan (π+ x)= tanx

 cot (π+ x)= cotx

4) Cung phụ nhau.

 sin (

π

2−x) = cosx  cosx = sin (900 – x )

 cos (

π

2−x) = sinx  sinx = cos (900 – x )

 tan (

π

2−x) = cotx  cotx = tan (900 – x )

5) Cung hơn kém.



sin( )

2 x cosx



 cosx = sin (900 + x )

 cos (

π

2+x) = sinx - sinx = cos (900 + x )

 tan (

π

2+x) = cotx  - cotx = tan (900 + x

 cot = tanx  tanx = cotx (90 – x )  cot = tanx - tanx = cotx (90 + x

)

III Công thức lượng giác cơ bản.



sinx

t anx= ,(x k )

cosx 2



  



cosx

cotx= ,(x k )

 sin x cos x 12  2 



2 2

1

1 tan x,(x k )

2 cos x





2 2

1

1 cot x,(x k )



k

t anx.cotx=1,(x )

2







sin x c  os x  (sinx cos )(1 sinx.cos )  x  x



sin x c  os x  (sinx cos )(1 sinx.cos )  x  x



2



4

 1 sin 2  x   sin x  cos x 2



x x sin x   cos x   



x x sin x    cos x  

IV Kiến thức cơ bản

Tập xác

D = R \ {

π

2 + k} D = R \ {k}

Tập giá

Tính

Sự biến

thiên

Đồng biến trên:

Nghịch biến trên:

3

Đồng biến trên:

  k2 ; k2 

Nghịch biến trên:

k2 ;    k2 

Đồng biến trên mỗi khoảng:

Nghịch biến trên mỗi khoảng:k ;   k 

Bảng

biến

thiên

2



2





y = sinx 0

–1

y =cosx

– 1

1

– 1

a

x

2





2



y = tanx

–¥

+¥

y = cotx

+¥

–¥

a

Đồ thị

y = sinx

………

y = cosx

y = tanx

………

y = cotx

V Các dạng phương trình lượng giác cơ bản.

1. Phương trìng lượng giác cơ bản:

* sinx=sin α 

* tanx =tan α Û x = α +k ; k Z * cotx =cot α Û x= α +k k Z

2. Phương trìng lượng giác cơ bản đặc biệt :

* sinx =0  x=kπ *cosx =0 ⇔x=

π

2+kπ

* sinx =1 ⇔x=

π

2+k 2 π *cosx =1 ⇔ x=k 2 π với kZ

* sinx = -1 ⇔x=−

π

2+k 2 π *cosx =-1 ⇔ x=π +k 2 π

arcsin + 2

sin + 2







 





arc os + 2

sin + 2















4





kZ tan x a  Û x  arc tan + a k k  , k Z

kZ c xot  Ûa c x cot  ot Û x +kk,k Z

- arc cosa + k2

π

4

2













kZ

kZ

kZ

kZ

x rad - - - - - 0 

Chú ý: Công thức chuyển đổi từ độ sang rađian và ngược lại:

 x 180.x rad





;

180

x rad x





 Một số phương trình lượng giác thường gặp

1 Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác:

a Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các công

thức LG để đưa phương trình về phương trình LG cơ bản

b Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: là những phương trình có dạng

a.sin2x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos2x+b.cosx+c=0, a.tan2x+b.tanx+c=0, a.cot2x+b.cotx+c=0) để giải các phương

trình này ta đặt t bằng hàm số LG (Chú ý điều kiện của t khi đặt t=sinx hoặc t=cosx)

2 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:

Dạng: asinx+bcosx=c Điều kiện để phương trình có nghiệm là a2b2 c2

C

ách giải : Chia hai vế phương trình cho a2b2 , ta được: 2 2 2 2 2 2

a b  a b  a b

a b   a b   Khi đó phương trình tương đương:

cos sinx sin cosx c

a b

 hay   2 2

a b

π=1800

;

π

0

Cách giải : + Kiểm tra nghiệm với x 2 k





 

+ Giả sử cosx0: chia hai vế phương trình cho cos2x ta được: atan2x+btanx+c=0.

Chú ý:

2 2

1

2





4 Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx:

Dạng: a(sinx ± cosx)+ bsinxcosx=c Cách giải: Đặt t= sinx ± cosx Điều kiện | t | 2