Công thức lượng giác và phương trình lượng giác đầy đủ nhất ôn thi đại học 2016 ôn thi thpt quốc gia 2016

Tổng hợp cơng thức lượng giác & phương trình lượng giác GV: Lê Nam CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC TỔNG HỢP & CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN I Các cơng thức biến đổi 1) Cơng thức cộng: cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb tan(a - b) = sin(a - b) = sina.cosb - cosa.sinb tan(a + b) = sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb 2) Cơng thức nhân đơi :  sin2x = 2sinxcosx  cos2x = cos2x – sin2x = 2cos2x - = – 2sin2x  tan2x =  cot2x = 2tanx − tan x cot x − 2cotx 3) Cơng thức nhân 3: sin x − sin x  sin3x =  cos3x = 4cos3x – 3cosx  tan3x = 3tanx − tan3 x − 3tan x 4) Cơng thức hạ bậc: + cos x cos x =   − cos2 x sin x = 5) Cơng thức tích thành tổng 6) Cơng thức tổng(hiệu) thành tích:  x+ y  x− y 2sin  ÷cos  ÷       sinx + siny = sinx – siny =  cosxcosy= [ cos( x + y) + cos( x − y)]  cosx + cosy =  sinxcosy= [ Sin( x + y) + Sin ( x − y)]  sinxsiny= − [ cos ( x + y ) − cos ( x − y )]  cosx – cosy =  tanx + tany =  tanx – tany =  cotx + coty =  cotx – coty =  x+ y  x− y 2cos  ÷sin  ÷      x+ y  x− y cos  ÷cos  ÷      x+ y  x− y −2sin  ÷sin  ÷     sin( x + y) cos xcosy sin( x − y ) cos xcosy sin( x + y) sin xsiny sin( y − x) sin xsiny Biên soạn: Gv Lê Văn Nam – Lớp học BDVH Ngọc Nam Thái Ngun– 0981.929.363Page II Giá trị lượng giác góc(hay cung) có liên quan đặc biệt 1) Cung đối nhau:     2) Cung bù nhau: cos(–x) = cosx sin(–x) = – sinx tan(–x) = – tanx cot(–x) = – cotx  sin    (π − x) =  sin (  cos (  tan (  cot π − x) π − x) π − x) = cosx  cosx = sin (900 – x ) = sinx  sinx = cos (90 – x ) = cotx  cotx = tan (90 – x )  cot  π sin( + x) = cosx  cos  tan ( = tanx  tanx = cotx (900 – x ) sinx π ,(x ≠ + kπ) cosx cosx ,(x ≠ kπ) sinx sin x + cos2 x = π = + tan x,(x ≠ + kπ) cos x sin x  tan ( t anx=  cos ( Cơng thức lượng giác (π + x) = − (π + x) = − (π + x) = (π + x) = sinx cosx tanx cotx 5) Cung III c otx=  sin sinx (π − x ) = − cos cosx (π − x) = − tan tanx (π − x) = − cot cotx 4) Cung phụ π ( − x) 3) Cung kém: = + cot x,(x ≠ kπ) t anx.cotx=1,(x ≠ kπ )  cot π + x) π + x) π + x) = = =  cosx = sin (900 + x ) − sinx −cotx −tanx  - sinx = cos (900 + x )  - cotx = tan (900 + x )  - tanx = cotx (900 + x ) sin x + cos3 x = (sinx + cos x)(1 − sinx.cos x) sin x − cos3 x = (sinx − cos x )(1 + sinx.cos x) sin x + cos x = − sin 2 x sin x + cos x = − sin 2 x ± sin x = ( sin x ± cos x ) π π   sin x + cos x = sin  x + ÷ = 2cos  x − ÷ 4 4   π π   sin x − cos x = sin  x − ÷ = − 2cos  x + ÷ 4 4   IV Kiến thức y = sinx y = cosx y = tanx π y = cotx Tập xác định D=R D=R Tập giá trị Chu Kỳ Tính chẵn lẻ T = [– ; ] T = [– ; ] R R T = 2π T = 2π T=π T=π Lẻ Chẵn Lẻ Lẻ Đồng biến trên:  π  π  − + k2π ; + k2π ÷   Đồng biến trên: ( −π + k2π ; k2π ) Đồng biến khoảng:  π  π  − + kπ ; + kπ ÷   Nghòch biến ( kπ ; π + kπ ) khoảng: Sự biến thiên Nghòch biến trên: π  3π + k2π ÷  + k2π ; 2  x D=R\{ Nghòch biến trên: ( k2π ; π + k2π ) − –π π x − π + kπ} D = R \ {kπ} π +∞ y = sinx y = tanx –1 Bảng biến thiên x –π y =cosx –∞ x π y = cotx –1 a +∞ –∞ a Đồ thị y = sinx ……………………………………………………………………………… y = cosx y = tanx …………………………………………………………………………………… y = cotx V Các dạng phương trình lượng giác Phương trìng lượng giác bản: * sinx=sin α * tanx =tan  α  x = α + k 2π ; k ∈ Z  x = π − α + k 2π  ⇔ x= * cosx = cos α  ( k ∈ Z) α +kπ ; * cotx =cot  x = α + k 2π ; k ∈ Z  x = −α + k 2π  α ⇔ x= α ( k ∈ Z) +kπ Phương trìng lượng giác đặc biệt : * sinx =0  x = kπ ⇔x= * sinx =1 π + k 2π ⇔x=− * sinx = -1 π + k 2π ⇔x= *cosx =0 *cosx =1 ⇔ x = k 2π *cosx =-1 với k ∈Z ⇔ x = π + k 2π  x = arcsin a+k 2π sin x = a ⇔  , k∈∈Z¢ x = π − arc sin a + k π  k  x = arc cosa +k 2π cosx = a ⇔  , k ∈ ¢k∈ Z π arc sin a +k 2π  x = -− arc cosa + k2 π + kπ ∈¢ Z tanx = a ⇔ x = arc tana +kπ , k ∈ k Z cotx = a ⇔ cotx = cotα ⇔ x = α +kπ , k∈∈¢ π k cotx =−1 ⇔x =− +kπ, k ∈¢ π +k π, k ∈¢ ∈ Z k π cotx =1 ⇔x = +kπ, k ∈¢ cotx =0 ⇔ x = π + k π , k ∈¢ ∈ Z k tanx = ⇔ x = kπ , k ∈k¢∈ Z tanx = −1 ⇔ x = − tanx =1 ⇔ x =  π + kπ , k ∈¢∈ Z k k k ∈Z ∈Z BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG ĐẶC BIỆT x rad -π - - độ -180o -90o -60o - - π - -45o -30o - - 1 - - - -1 30o 45o 60o 90o 120o 135o 150o 180o sin -1 cos -1 tan || - -1 - || - -1 - cot || - -1 - || - -1 - || Chú ý: Cơng thức chuyển đổi từ độ sang rađian ngược lại: π ( x ) =  x ÷rad  180  ; π = 90 o  180  x(rad ) =  x ÷  π  o π = 180 ;  Một số phương trình lượng giác thường gặp Phương trình bậc nhất, bậc hai hàm số lượng giác: a Phương trình bậc hàm số lượng giác: để giải phương trình ta dùng cơng thức LG để đưa phương trình phương trình LG b Phương trình bậc hai hàm số lượng giác: phương trình có dạng a.sin2x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos2x+b.cosx+c=0, a.tan2x+b.tanx+c=0, a.cot2x+b.cotx+c=0) để giải phương trình ta đặt t hàm số LG (Chú ý điều kiện t đặt t=sinx t=cosx) Phương trình bậc sinx cosx: Dạng: asinx+bcosx=c Điều kiện để phương trình có nghiệm a + b2 ≥ c2 a Cách giải : Chia hai vế phương trình cho a Đặt: a2 + b2 = cos β ; cos β sin x + sin β cos x = b a + b2 a +b sin x + a + b2 , ta được: b a + b2 = sin β Khi phương trình tương đương: c a + b2 sin ( x + β ) = hay c a + b2 = sin ϕ Phương trình bậc hai sinx cosx: Dạng: asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0 (*) cos x = c a + b2 x= Cách giải : + Kiểm tra nghiệm với π + kπ + Giả sử cosx¹0: chia hai vế phương trình cho cos2x ta được: atan2x+btanx+c=0 Chú ý: π   = tan x +  x ≠ + k π ÷ 2 cos x   Phương trình đối xứng sinx cosx: Dạng: a(sinx ± cosx)+ bsinxcosx=c Cách giải: Đặt t= sinx ± cosx Điều kiện | t | ≤ ... hàm số lượng giác: a Phương trình bậc hàm số lượng giác: để giải phương trình ta dùng cơng thức LG để đưa phương trình phương trình LG b Phương trình bậc hai hàm số lượng giác: phương trình có... thức chuyển đổi từ độ sang rađian ngược lại: π ( x ) =  x ÷rad  180  ; π = 90 o  180  x(rad ) =  x ÷  π  o π = 180 ;  Một số phương trình lượng gia c thường gặp Phương trình bậc nhất, ... ……………………………………………………………………………… y = cosx y = tanx …………………………………………………………………………………… y = cotx V Các dạng phương trình lượng giác Phương trìng lượng gia c bản: * sinx=sin α * tanx =tan  α  x = α + k 2π ; k ∈ Z  x = π − α