Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ trong cấu trúc đề thi THPT quốc gia

1 MỞ ĐẦU: 1.1 Lý chọn đề tài: - Thực chủ trương, đường lối Đảng, sách pháp luật Nhà nước Căn vào phương hướng, nhiệm vụ kế hoạch chuyên môn trường THPT Thạch Thành năm học 2015-2016 - Năm học 2015-2016, phân công trực tiếp giảng dạy lớp 10 Đa số học sinh nhận thức chậm, giáo viên cần có phương pháp cụ thể cho dạng toán để học sinh nắm tốt - Trong chương trình toán THPT, mà cụ thể phân môn Đại số 10, em học sinh tiếp cận với phương trình chứa ẩn dấu tiếp cận với vài cách giải thông thường toán đơn giản Tuy nhiên thực tế toán giải phương trình chứa ẩn dấu phong phú đa dạng đặc biệt đề thi THPT quốc gia năm gần đây, em gặp lớp toán phương trình vô tỉ (câu câu lấy điểm điểm câu trúc đề thi) mà có số em biết phương pháp giải trình bày lủng củng chưa gọn gàng, sáng sủa chí mắc số sai lầm không đáng có trình bày Tại lại vậy? - Lý là: Trong chương trình SGK Đại số lớp 10 hành trình bày phần đầu chương III (giữa học kỳ I) hạn hẹp có tiết lý thuyết sách giáo khoa, giới thiệu sơ lược ví dụ đưa cách giải rườm rà khó hiểu dễ mắc sai lầm, phần tập đưa sau học hạn chế Mặt khác số tiết phân phối chương trình cho phần nên trình giảng dạy, giáo viên đưa nhiều tập cho nhiều dạng để hình thành kỹ giải cho học sinh Nhưng thực tế, để biến đổi giải xác phương trình chứa ẩn dấu đòi hỏi học sinh phải nắm vững nhiều kiến thức, phải có tư mức độ cao phải có lực biến đổi toán học nhanh nhẹn thục 1.2 Mục đích nghiên cứu: - Từ lý chọn đề tài, từ sở thực tiễn giảng dạy khối lớp 10 trường THPT, với kinh nghiệm thời gian giảng dạy Tôi tổng hợp, khai thác hệ thống hoá lại kiến thức thành: “Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ cấu trúc đề thi THPT quốc gia’’ - Qua nội dung đề tài mong muốn cung cấp cho học sinh số phương pháp tổng quát số kỹ phát đâu điều kiện cần đủ Học sinh thông hiểu trình bày toán trình tự, logic, không mắc sai lầm biến đổi Hy vọng đề tài nhỏ đời giúp bạn đồng nghiệp em học sinh có nhìn toàn diện phương pháp giải số toán giải phương trình vô tỉ 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Đề tài nhằm giúp học sinh vận dụng tìm phương pháp giải phương trình chứa ẩn dấu 1.4 Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp: - Nghiên cứu lý luận chung - Khảo sát điều tra từ thực tế dạy học - Tổng hợp so sánh , đúc rút kinh nghiệm Cách thực hiện: - Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên môn - Liên hệ thực tế nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua trình giảng dạy - Thông qua việc giảng dạy trực tiếp lớp khối 10 năm học từ 2008 đến 2016 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm: - Nhiệm vụ trung tâm trường học THPT hoạt động dạy thầy hoạt động học trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo Giúp học sinh củng cố kiến thức phổ thông đặc biệt môn toán học cần thiết thiếu đời sống người Môn Toán môn học tự nhiên quan trọng khó với kiến thức rộng, đa phần em ngại học môn - Muốn học tốt môn toán em phải nắm vững tri thức khoa học môn toán cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào dạng tập Điều thể việc học đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư logic cách biến đổi Giáo viên cần định hướng cho học sinh học nghiên cứu môn toán học cách có hệ thống chương trình học phổ thông, vận dụng lý thuyết vào làm tập, phân dạng tập tổng hợp cách giải - Do vậy, mạnh dạn đưa sáng kiến kinh nghiệm với mục đính giúp cho học sinh THPT vận dụng tìm phương pháp giải gặp toán giải phương trình chứa ẩn dấu Trong sách giáo khoa Đại số 10 nêu phương trình dạng f(x) = g(x) trình bày phương pháp giải cách biến đổi hệ quả, trước giải đặt điều kiện f(x) ≥ Nhưng nên để ý điều kiện đủ để thực phép biến đổi trình giải học sinh dễ mắc sai lầm lấy nghiệm loại bỏ nghiệm ngoại lai nhầm tưởng điều kiện f(x) ≥ điều kiện cần đủ phương trình Tuy nhiên gặp toán giải phương trình vô tỉ, có nhiều toán đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng kết hợp nhiều kiến thức kĩ phân tích biến đổi để đưa phương trình từ dạng phức tạp dạng đơn giản Trong giới hạn SKKN hướng dẫn học sinh hai dạng phương trình thường gặp số toán vận dụng biến đổi số dạng toán thường gặp kì thi THPT quốc gia 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Học sinh trường THPT Thạch Thành nói riêng số học sinh trường miền núi nói chung, đa số học sinh vùng nông thôn, khu vực đặc biệt khó khăn, thiếu thốn mặt nên kiến thức THCS non yếu, tiếp thu chậm, chưa tự hệ thống kiến thức Khi gặp toán phương trình vô tỉ chưa phân loại định hình cách giải, lúng túng đặt điều kiện biến đổi, phương trình loại có nhiều dạng Nhưng bên cạnh chương trình Đại số 10 không nêu cách giải tổng quát cho dạng, thời lượng dành cho phần ít.Trong năm lại gần cấu trúc đề thi THPT quốc gia câu giải phương trình câu lấy điểm điểm đòi hỏi mức độ tư cao học học sinh Qua việc khảo sát kiểm tra định kỳ việc học tập, làm tập hàng ngày nhận thấy học sinh thường bỏ qua không giải trình bày cách giải đặt điều kiện lấy nghiệm sai phần 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề: Một số dạng phương pháp giải: Qua nghiên cứu trao đổi đúc rút kinh nghiệm từ thực tế ý kiến đồng nghiệp mạnh dạn đưa hướng gải vấn đề học sinh với số dạng phương pháp giải cụ thể dạng: * Dạng 1: phương trình f (x) = g(x) (1) Điều kiện g(x) ≥ điều kiện cần đủ phương trình (1), sau giải phương trình f(x) = g2(x) cần g(x) ≥ để kết luận nghiệm mà không cần phải thay vào phương trình ban đầu để thử để lấy nghiệm * Dạng 2: phương trình f ( x) = g ( x) (2)  f ( x) ≥  f ( x ) = g ( x) Phương trình (2) ⇔  Điều kiện f(x) ≥ điều kiện cần đủ phương trình (2) Chú ý không thiết phải đặt điều kiện đồng thời f(x) g(x) không âm f(x)=g(x) Hai dạng hai dạng mà hầu hết em học sinh nắm vững sau giáo viên hướng dẫn *Dạng 3: Sử dụng lượng liên hợp để đưa phương trình phương trình tích a) Biểu thức liên hợp xuất phương trình Lưu ý: a ± b = a+b ( a, b > 0, a ≠ b ) ; am b a±3b=3 a±b a m3 ab + b 2 Ví dụ 1: Giải phương trình: 10 x + + 3x − = x − + x − Phân tích: 10x-1-(9x+4)=3x-5-(2x-2) nên ta có lời giải sau 10 x + − x + + x − − x − =0 Lời gải: Điều kiện: x ≥ Pt ⇔ ( ) ( ) x−3 x−3 + =0 10 x + + x − 3x − + x − 1   ⇔ ( x − 3)  + ÷=0 3x − + x −   10 + + x + ⇔ x = (thỏa mãn đk) ⇔ Vậy pt có nghiệm x=3 Ví dụ 2: Giải phương trình: ( x + − 3x − ) = x + (đề thi thử thpt quốc gia thạch thành 2-2015) Lời giải: Đk: x ≥ x+3  ÷ = x + ⇔ = x + + x − ,bình phương vế  x + + 3x −   Pt ⇔  ta có nghiệm x=6 Ví dụ 3: Giải phương trình: x + = 6x − x2 + +2 2− x Phân tích: Quan sát phương trình ta thấy 2x+4-4(2-x)=6x-4.Đây sở tốt để ta nhóm Lời giải: Đk −2 ≤ x ≤ , pt ⇔ x + − 2 − x = ⇔x= 6x − x2 + x + + 2 − x = x + ( ∗ ) Bình phương hai vế ( ∗) ta có nghiệm x= Vậy pt có nghiệm x=3/2 x Ví dụ 4: Giải phương trình sau: 3x − − x + = x − x − Phân tích : Khi ghép biểu thức ta thấy: ( 3x − ) − ( x + 1)  = x − phân tích biểu thức lại x − x − = ( 2x − 3) ( x + 1) xuất nhân tử chung Lời giải: Đk x ≥ Pt 2x − 3   = ( 2x − 3) ( x + 1) ⇔ ( 2x − )  − ( x + 1)  = ⇔ x = 3x − + x +  3x − + x +  = ( x + 1) (vô nghiệm VT1) 3x − + x + ⇔ b)Tìm nghiệm, thêm, bớt để làm xuất biểu thức liên hợp Ví dụ 5: Giải phương trình: 3x − − − x + x − 14x − = ( 1) (ĐHKB_2010) Phân tích : ta nhẩm nghiệm dùng chức CALC máy tính bỏ   túi ta tìm nghiệm x=5 ta tìm số x  − ≤ x ≤ ÷sao cho 3x+1   6-x số phương thỏa mãn phương trình Dễ thấy x=5 thỏa mãn (1) Vì ta đưa pt dạng (x-5)f(x)=0, ta cần làm xuất nhân tử chung x-5 từ vế trái phương trình phương pháp liên hợp Lời giải: Đk: − ≤ x ≤ Pt (1) ⇔ ( ) ( ) 3x+1 − + − − x + x − 14x − = ⇔ 3x − x −5 + + ( x − ) ( 3x + 1) = 3x + + + − x x − = ⇔ 1  + + ( 3x −1) = ( ∗)  x + + + − x  ⇔ x = pt (*) vô nghiệm với đk Vậy x=5 nghiệm Ví dụ 6: Giải phương trình: x − + − x = x + 3x − (Hsg k12 HN2012) Phân tích: Tương tự ta thấy x=1 nghiệm, cách làm ta làm nhanh sau: Thay x=1 vào x − ta 2,vào − x ta ta tách sau Lời giải: Đk x ≥ Biến đổi phương trình ⇔ ( ⇔ ) ( 5x − − + ( x −1) x −1 + x =  ⇔ =  5x −1 +  ) − x − = x + 3x − 1− x + ( − x) +2 − x +4 3 ( − x) + − x + = ( x −1) ( 2x + ) + ( 2x + ) ( ∗) Phương trình (*) vô nghiệm VT ⇒ x − x + 12 = t + 10 Khi phương trình trở thành: t = 2 t + 10 = 6t ⇔ t − 12t + 20 = ⇔  t = 10 Với t = ⇒ x − x = ⇔ x = ;x=2 Với t = 10 ⇒ x − x − 48 = ⇔ x = −6; x = Vậy phương trình có nghiệm : x=8; x=2 x=-6 Đôi có toán dạng trên, đưa phương trình bậc hai Điều phụ thuộc vào linh hoạt giải toán học sinh Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 3: Giải phương trình: x − x + − 2 x − x − = (Đề dự bị KB2013) Giải: Đk: x − 5x − ≥ Đặt: t = x − x − ≥ đó: x − x + = t + Phương trình trở thành: t − = + 2t  t ≥ − ⇔ ⇔ t =1 3t + 4t − =   x = −1 Với t = ⇒ x + x − = ⇔ x − x − = ⇔  x=  2 hai nghiệm thỏa mãn Đk Vậy phương trình cho có nghiệm là: x=-1;x=7/2 Hoàn toàn tương tự bạn giải tập sau đây: x + 3x + + x + 3x + = ( ĐH Thương mại – 1998) 2 x − + x − − x − = ( ĐH Khối D – 2005) 15 x − x − = x − 15 x + 11 b Dạng Phương trình: aP ( x) + bQ( x) + c P ( x ).Q( x) = (abc ≠ 0) Cách giải: • Xét Q( x) = ⇒ P( x) = • Xét Q( x) ≠ , chia hai vế phương trình cho Q( x) đặt: t= P ( x) , chuyển phương trình cho dạng: at + ct + b = Q( x) Lưu ý: Từ cách đặt P ( x) ⇒ f ( x, t ) = ( x ẩn) từ suy điều kiện t Q( x) t= Ví dụ 1: Giải phương trình: x + x − = x3 − (1) Giải: ĐK: x ≥ Ta có: (1) ⇔ 2( x + x + 1) + 3( x − 1) = ( x − 1)( x + x + 1) (2) Vì x =1 nghiệm (2) nên chia hai vế (2) cho x-1 ta được: x2 + x + x2 + x + +3= x −1 x −1 (3) Đặt: x2 + x + 2 ≥ ⇒ x + (1 − t ) x + + t = có: ∆ x = t − 6t − x −1 t= Nên có điều kiện t là: t ≥ ⇔ t ≥ 3+  ∆ x ≥ (4) Khi (3) trở thành: t = 2t − 7t + = ⇔  t=  Kết hợp với điều kiện t ta có: t = Với t = ta có: x − x + 10 = ⇔ x = ± thoả mãn điều kiện x Vậy phương trình có nghiệm: x = ± Chú ý: • Hoàn toàn bình đẳng, ta thực phép chia cho P( x) P ( x ).Q( x) • Ta giải toán cách đặt: P( x) = t Q( x) ngược lại Phân tích: - Chúng ta không cần tìm điều kiện t (4) phép biến đổi phép biến đổi hệ thiết phải thay giá trị t vừa tìm để tìm x Còn tìm điều kiện t ta không cần phải thay giá trị: t=1/2 ngược trở lại - Bằng cách phân tích xây dựng nên phương trình cách đơn giản: 2( x − x + 1) − ( x + x + 1) = ( x − x + 1)( x + x + 1) ta phương trình: x − x + = x + x + Chú ý đẳng thức sau để sáng tạo toán dạng này: • x + x + = ( x + x + 1) − x = ( x − x + 1)( x + x + 1) 2 • x + = ( x − x + 1)( x + x + 1) • x + = (2 x − x + 1)(2 x + x + 1) Ví dụ 2: Giải phương trình: x + 14 x + − x − x − 20 = x + (1) Giải: Ta có (1) ⇔ x + 14 x + = x − x − 20 + x + 2  x − x − 20 ≥  ⇔ x +1 ≥  2 5 x + 14 x + = x − x − 20 + 25( x + 1) + 10 ( x − x − 20)( x + 1) (2)  x ≥ ⇔ 2 x − x + = ( x + 4)( x − 5)( x + 1) (3) (2) ⇔ 3( x + 4) + 2( x − x − 5) = ( x + 4)( x − x − 5) (4) Dễ thấy x = −4 nghiệm (4) Đặt x + = t x − x − (t > 0) , Khi (3) trở thành: t = ( x − x − 5)(3t − 5t + 2) = ⇔ 3t − 5t + = ⇔  t =  2 Với t =1 ta có: x + = x2 − 4x − ⇔ x = ± 61 Kết hợp với (2) (3) ta có: x = + 61 x = Với t =2/3 ta có: x + = ( x − x − 5) ⇔  x=−  Kết hợp với (2) (3) ta có: x =8 Vậy phương trình có hai nghiệm: x = + 61 x = Chú ý: Nếu phương trình: aP ( x) + bQ( x) + c P ( x ).Q( x) = (abc ≠ 0) thoả mãn: P( x).Q( x) = k toán trở nên đơn giản nhiều Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 3: Giải phương trình: 1+ x − x + =2 2− x 1+ x Giải: Đk : −1≤ x ≤ 2( ∗) : Đặt: 1+ x = t > đó: 2− x 2− x = Phương trình trở thành: 1+ x t t + = ⇔ t =1 t Với t = ⇒ + x = − x ⇔ x = thoả mãn (*) Vậy phương trình có nghiệm x=1/2 Bài tập áp dụng: Giải phương trình: a 2( x + 1) = x3 + b x − 2 x + = x + c x − 3x + = − x + x2 + c Dạng Phương trình: a [ P ( x ) + Q( x) ] + b  P( x) ± Q ( x)  ± 2a P( x).Q ( x) + c = ( a + b > ) Cách giải: Đặt P( x) ± Q( x) = t ⇒ t = P( x) + Q( x) ± P( x)Q ( x) Chuyển phương trình cho phương trình bậc ẩn t Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 1: Giải phương trình: x + − x − = x − − x + (1) Giải: Đk : x ≥ 2( ∗) Đặt: t = x + − x − > ⇒ t = x − x − Khi (1) trở thành: t + t − = ⇔ t = 17 ( thoả mãn (*) 17 Vậy phương trình có nghiệm x = Hay: x + − x − = ⇔ x = Ví dụ 2: Giải phương trình: x3 + (1 − x )3 = x 2(1 − x ) Giải: ĐK: −1 ≤ x ≤ Đặt: t = x + − x ; t ≤ (theoBunhiacopxki) ⇒ t = + x − x t −1 ⇒ t = x + (1 − x ) + 3t 3 Phương trình cho trở thành: t + 2t − 3t − = t = ⇔ (t − 2)(t + + 1)(t + − 1) = ⇔  t = − 0 < x ≤ 2 ⇔ x= Với t = ⇒ x − x = ⇔  2 (2 x − 1) = 10 −1 < x < t = − ⇒ x − x = − ⇔ Với   x − x + − 2 = ⇔x= 2(1 + − 11) Hoàn toàn tương tự ta giải tập sau đây: 1 + =2 x − x2 x 35 = x + x − 11 12 + x − = x + − x + − x + x − x = 3( x − − x ) x + + x + = 3x + x + x + − 16 d Dạng phương trình: (a1x + b1 ) n = c n (a2 x + b2 ) + dx + e ( x ẩn số, a1 , b1 , a2 , b2 , c, d, e số ca1a ≠ , n = 2, 3) Thông thường để có phương trình dạng người ta thường từ hệ phương trình đối xứng hai ẩn hệ phương trình đối xứng gần hai ẩn ( hệ có nghiệm x = y) Và phương pháp giải đặt ẩn phụ để đưa giải hệ phương trình Ví dụ 1: Giải phương trình: x + − 13x + 3x + = Phân tích : Nếu nhóm phương trình trước: 13  33   x − ÷ = 3x + − 4  13 Đặt y − = 3x + không thu hệ phương trình mà giải Vì đặt: α y + β = 3x + , chọn α , β cho hệ giải Ta có hệ : ( α y + β ) = 3x + 2 α y + 2αβ y − 3x + β − = (1) ⇔ (*)   x − 13 x + α y + + β = (2) 4 x − 13 x + = −α y − β  Để giải hệ ta lấy (1) nhân với k cộng với (2): mong muốn có nghiệm x=y Nên ta phải có: α 2αβ − β − = = α − 13 5+ β ta chọn α = −2; β = Ta có lời giải sau 11 Lời giải:Điều kiện: x ≥ − Đặt 3 x + = −(2 y − 3), ( y ≤ ) Ta có hệ phương trình sau: (2 x − 3) = y + x + ⇒ ( x − y )(2 x + y − 5) =  (2 y − 3) = x + 15 − 97 Với x = y ⇒ x = 11 + 73 Với x + y − = ⇒ x = Kết luận: tập nghiệm phương trình là: 15 − 97 11 + 73  S = ;  8   -Khi làm quen, tìm α ; β cách viết lại phương trình Ta viết lại phương trình sau: (2 x − 3)2 = − x + + x + Khi đặt 3x + = −2 y + , đặt y − = 3x + không thu hệ mong muốn, ta thấy dấu α dấu với dấu trước Một cách tổng quát ta có cách đặt ẩn phụ sau đây: • Đặt n a ' x + b ' = ay + b pa ' > • Đặt n a ' x + b ' = −(ay + b) pa ' < Một số phương trình xây dựng từ hệ Giải phương trình sau 1) x − 13 x + + x + = 2) 81x − = x3 − x + x − 3) x + = x − x − e Phương trình dạng: A( a.x + b + b'− a.x ) + B ( a.x + b)(b'−a.x) = C Trong A,B,C hệ số có chứa tham số m thường có câu hỏi sau : (1) Giải phương trình m=k (với k số ) Phương pháp : Đặt t = ax + b + b ' − ax , với đk t0 ≤ t ≤ ( b + b ' )  b'   −b  to = t  ÷ to = t  ÷  a  a t ≤ ( b + b ' ) (do áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki) 12 Ví dụ 1: a Giải phương trình x − + − x + ( x − 1)(3 − x) = (1) Lời giải: a) Đk ≤ x ≤ Đặt t= x − + − x đk ≤ t ≤ (2) ⇒ ( x − 1)(3 − x ) = t2 − 2 Khi phương trình (1) trở thành t2+t-2- =0 (3) Giải phương trình (3) so sánh với đk (2) ta có t= x = x = trở ẩn x ta có ( x − 1)(3 − x) = ⇔  thoã mãn đk Vậy phương trình có nghiệm phân biệt x=1 x=3 f Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn Từ phương trình tích ( )( x +1 −1 ) x +1 − x + = ( 2x + − x )( ) 2x + − x + = , Khai triển rút gọn ta phương trình vô tỉ tương đối khó, độ khó phương trình dạng phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát Từ tìm cách giải phương trình dạng Phương pháp giải thể qua ví dụ sau Bài Giải phương trình : ) ( x2 + − x2 + x = + x2 + Giải: t = x + , ta có : t = t − ( + x ) t − + 3x = ⇔  t = x − Bài Giải phương trình : ( x + 1) x2 − 2x + = x2 + Giải: Đặt : t = x − x + 3, t ≥ Khi phương trình trở thành : ( x + 1) t = x + ⇔ x + − ( x + 1) t = Bây ta thêm bớt , để phương trình bậc theo t có ∆ chẵn: t = x − x + − ( x + 1) t + ( x − 1) = ⇔ t − ( x + 1) t + ( x − 1) = ⇔  t = x − Từ phương trình đơn giản : ( 1− x − 1+ x )( ) 1− x − + 1+ x = 13 Khai triển ta phương trình sau Bài Giải phương trình sau : x + − = x + − x + − x Giải: Nhận xét : đặt t = − x , pttt: + x = x + 2t + t + x (1) Ta rút x = − t thay vào pt: ( ) 3t − + + x t + Nhưng ( ∆ = + 1+ x ) − 48 ( 1+ x −1 = ) ( x +1 −1 ) Không có dạng bình phương Muốn đạt mục đích ta phải tách 3x theo ( ) ( 1− x , 1+ x ) Cụ thể sau : 3x = − ( − x ) + ( + x ) thay vào pt (1) ta được: Bài Giải phương trình: 2 x + + − x = x + 16 Giải : Bình phương vế phương trình: ( x + ) + 16 ( − x ) + 16 ( − x ) = x + 16 Ta đặt : t = ( − x2 ) ≥ Ta được: x − 16t − 32 + x = Ta phải tách x = α ( − x ) + ( + 2α ) x − 8α cho ∆ t có dạng chình phương h Đặt ẩn phụ đưa hệ Đặt u = α ( x) ,v = β ( x) tìm mối quan hệ α ( x ) β ( x ) từ tìm hệ theo u,v Bài Giải phương trình: ( ) x 25 − x3 x + 25 − x3 = 30 Đặt 14 y = 35 − x3 ⇒ x3 + y = 35 Khi phương trình chuyển hệ phương trình sau  xy ( x + y ) = 30  3  x + y = 35 , giải hệ ta tìm ( x; y ) = (2;3) = (3;2) Tức nghiệm phương trình x ∈ {2;3} Bài Giải phương trình sau: x + + x −1 = Điều kiện: x ≥ Đặt a = x − 1, b = + x − 1(a ≥ 0, b ≥ 0) ta đưa hệ phương trình sau: a + b = → (a + b)(a − b + 1) = ⇒ a − b + = ⇒ a = b −  b − a =  Vậy x −1 + = + x −1 ⇔ x −1 = − x ⇒ x = 11 − 17 Dạng 5: Phương pháp đánh giá: Dùng đẳng thức : Từ đánh giá bình phương : A2 + B ≥ , ta xây dựng phương trình dạng A2 + B = Từ phương trình ( ) ( 5x − − x + ) − 5x − + x − = ta khai triển có phương trình : ( x + 12 + x − = x x − + − x ) Dùng bất đẳng thức: Một số phương trình tạo từ dấu bất đẳng thức: A ≥ m  B ≤ m dấu (1) (2) đạt x0 x0 nghiệm phương trình A = B Ta có : + x + − x ≤ Dấu x = x +1 + ≥2 x +1 , 15 dấu x=0 Vậy ta có phương trình: + 1+ x x +1 − 2008 x + + 2008 x = Đôi số phương trình tạo từ ý tưởng :  A ≥ f ( x )   B ≤ f ( x) :  A = f ( x ) A=B⇔  B = f ( x ) * Nếu ta đoán trước nghiệm việc dùng bất đẳng thức dễ dàng hơn, có nhiều nghiệm vô tỉ việc đoán nghiệm không được, ta dùng bất đẳng thức để đánh giá Bài Giải phương trình (): 2 + x = x+9 x +1 Giải: Đk x ≥ Ta có :   x     = x+9 + ( x + 1)  +   x +  x + ÷      2 1 = ⇔x= Dấu xảy ⇔ x +1 x  2  + x÷ ≤  2    x +1   ( ) 2 Vậy nghiệm pt là: x=1/7 Bài Giải phương trình : x + x + 13 x − x = 16 Giải: Đk: −1 ≤ x ≤ Biến đổi pt ta có : ( x 13 − x + + x ) = 256 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: ( 13 13 − x + 3 + x ) ≤ ( 13 + 27 ) ( 13 − 13 x + + x ) = 40 ( 16 − 10 x ) Áp dụng bất đẳng thức Côsi: 10 x ( 16 − 10 x 2 )  16  ≤  ÷ = 64  2 Dấu 16   x= + x2   1− x = ⇔ ⇔  10 x = 16 − 10 x   x = − Vậy phương trình có nghiệm x = ± Bài 3: Giải phương trình: x2 + x = ⇔ x2 + = x ⇔ x2 + 1= 4x 6 Giải: Đk x ≥ Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có :  x2 +  x2 + x2 + x  2x2 + 4x + x + + + ÷=  ÷ ≤ 12 + 12 + 12   ÷ 6 24 24 6    ( ) x2 + x x+1  x + 1 = ⇒ + ≤ ÷ 6   Phương trình cho có nghiệm x2 + x = ⇔ x2 + = x ⇔ x2 + 1= 4x ⇔ x = 2± (thoả mãn Đk) 6 Vậy phương trình cho có tập nghiệm là: S = { 2− 3;2+ 3} Bài tập đề nghị: Giải phương trình sau: 1− 2x + 2x + + 2x − 2x 1  2) − x + − = −  x + ÷ x x  1) + x + − x = Bài tập Giải phương trình a 3x − = - 2x b − 2x = x − c 3x − 9x + + x - = HD: Biến đổi theo dạng dạng 2 Giải phương trình: x2 - 3x + x − 3x + = HD: Đặt t = x − 3x + ( t ≥ ) ĐS: x = -1 x = Giải phương trình: x − + 3x − = x − HD: Đặt đk sau bình phương hai vế ĐS: x = 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường: 17 Đề tài kiểm nghiệm năm học giảng dạy lớp 10, học sinh đồng tình đạt kết quả, nâng cao khả giải phương trình vô tỉ Các em hứng thú học tập hơn, lớp có hướng dẫn kỹ em học sinh với mức học trung bình cứng trở lên có kỹ giải tập Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt Cụ thể lớp khối 10 sau áp dụng sáng kiến vào giảng dạy số HS hiểu có kỹ giải dạng toán nói trên, kết qua kiểm tra thử sau:năm học 2015-2016, lớp thực dạy áp dụng theo sáng kiến kinh nghiệm lớp 10C2, lớp học tương đương không áp dụng sáng kiến kinh nghiệm lớp 10C6, sau làm kiểm tra thu kết sau : Năm học 2015-2016 Điểm trở Điểm từ lên đến Tổng Lớp số Số Số Tỷ lệ Tỷ lệ lượng lượng 10C6 42 4% 15 36% 10C2 44 20 45% 20 45% Điểm Số Tỷ lệ lượng 25 60% 10% Như vậy, thấy phương pháp có hiệu cao Theo dạy phần toán giải phương trình vô tỉ giáo viên cần rõ dạng toán cách giải tương ứng để học sinh nắm tốt KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ: 3.1 Kết luận: Trên giải pháp mà đúc rút suốt trình giảng dạy trường THPT Thạch Thành Phương trình vô tỉ nội dung quan trọng chương trình môn Toán lớp 10 nói riêng bậc THPT nói chung Nhưng học sinh lại mảng tương đối khó, phần nhiều thầy cô giáo quan tâm Qua thực tế giảng dạy, thấy phương pháp giải nêu áp dụng tốt vào việc dạy học nhà trường Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắn có nhiều thiếu sót hạn chế Tôi mong quan tâm tất đồng nghiệp bổ sung góp ý cho Tôi xin chân thành cảm ơn 3.2 Kiến nghị: - Đề nghị cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh giáo viên có nhiều tài liệu, sách tham khảo đổi phòng thư viện để nghiên cứu, học tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ - Nhà trường cần tổ chức buổi trao đổi phương pháp giảng dạy Có tủ sách lưu lại tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập giáo viên hàng năm để làm cở sở nghiên cứu phát triển chuyên đề 18 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 21 tháng năm 2016 Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Trương Thị Tuyến 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO - Sách giáo khoa Đại số 10 (NXB Giáo dục); - Sách hướng dẫn giảng dạy; - Tài liệu tập huấn sách giáo khoa (NXB Giáo dục); - Các giảng luyện thi môn toán (NXB Giáo dục - Phan Đức Chính, Vũ Dương Thụy, Đào Tam, Lê Thống Nhất); - Toán nâng cao Đại số 10 (Phan Huy Khải); - Báo Toán học tuổi trẻ (NXB Giáo dục); - Các đề thi đại học năm trước; - Các đề thi thpt quốc gia năm trước đề thi thử thpt quốc gia trường thpt,đh; - Bài giảng chuyên sâu Toán THPT:Giải toán đại số 10 (Lê Hồng Đứcnhóm cự môn; NXB giáo dục Việt Nam; 1994); - Phương trình hệ phương trình không mẫu mực (Nguyễn Đức TấnPhan Ngọc Thảo; NXB giáo dục Việt Nam; 1996) 20 ... phương trình vô tỉ tương đối khó, độ khó phương trình dạng phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát Từ tìm cách giải phương trình dạng Phương pháp giải thể qua ví dụ sau Bài Giải phương trình. .. nâng cao Đại số 10 (Phan Huy Khải); - Báo Toán học tuổi trẻ (NXB Giáo dục); - Các đề thi đại học năm trước; - Các đề thi thpt quốc gia năm trước đề thi thử thpt quốc gia trường thpt, đh; - Bài... tìm phương pháp giải gặp toán giải phương trình chứa ẩn dấu Trong sách giáo khoa Đại số 10 nêu phương trình dạng f(x) = g(x) trình bày phương pháp giải cách biến đổi hệ quả, trước giải đặt điều