tom tat cong thuc luong giac toan 22655

Công thức lợng giác I. Giá trị các hàm số lợng giác của các cung (góc ) đặc biệt Góc Hslg 0 0 30 0 45 0 0 0 90 0 120 0 135 0 150 0 180 0 360 0 0 6 4 3 2 3 2 4 3 6 5 2 sin 0 2 1 2 2 2 3 1 2 3 2 2 2 1 0 0 cos 1 2 3 2 2 2 1 0 2 1 2 2 2 3 -1 1 tg 0 3 3 1 3 kxđ 3 -1 3 3 0 0 cotg kxđ 3 1 3 3 0 3 3 -1 3 kxđ kxđ Ta nên sử dụng đờng tròn lợng giác để ghi nhớ các giá trị đặc biệt II. Quan hệ lợng giác của các cung (góc) có liên quan đặc biệt 1. Cung đối nhau:( Cos đối) 2. Cung bù nhau(Sin bù) cos( ) cos sin( ) sin ( ) cot ( ) cot tg tg g g = = = = cos( ) cos sin( ) sin ( ) cot ( ) cot tg tg g g = = = = 3. Cung phụ nhau: (phụ chéo) 4. Cung hơn kém cos( ) sin 2 sin( ) cos 2 ( ) 2 cot ( ) t 2 tg cotg g g = = = = cos( ) cos sin( ) sin ( ) cot ( ) cot tg tg g g + = + = + = + = 5. Cung hơn kém 2 6. Cung hơn kém 2k cos( ) sin 2 sin( ) cos 2 ( ) 2 cot ( ) t 2 tg cotg g g + = + = + = + = sin( 2 ) sin cos( 2 ) cos ( 2 ) cot ( 2 ) cot k k tg k tg g k g + = + = + = + = III. Công thức lợng giác 1. Công thức lợng giác cơ bản 2 2 2 2 cos sin 1 1 1 tg = cos + = + 2 2 1 1 cotg = sin tg . cotg = 1 + 2. Công thức cộng cos( ) cos .cos sin .sin cos( ) cos .cos sin .sin sin( ) sin .cos sin .cos sin( ) sin .cos sin .cos + = = + + = + = tg +tg tg( + ) = 1 . tg tg tg( ) = 1 . tg tg tg tg + 3. Công thức nhân đôi 2 sin 2 2sin .cos 2 2 1 tg tg tg = = 2 2 2 2 cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin = = = 4 Công thức nhân ba(tham khảo) 3 3 cos3 4cos 3cos sin 3 3sin 4sin = = 5. Công thức hạ bậc: 1 sin .cos sin 2 2 x x x= 2 1 cos 2 cos 2 + = 2 1 cos 2 sin 2 = 2 1 cos 2 1 cos 2 tg = + 6.Công thức tính sin ,cos ,tg theo 2 t tg = 22 2 2 1 2 ; 1 1 cos; 1 2 sin t t tg t t t t + = + = + = 7. Công thức biến đổi tích thành tổng [ ] [ ] [ ] 1 cos .cos cos( ) cos( ) 2 1 sin .sin cos( ) cos( ) 2 1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 = + + = + = + + 8. Công thức biến đổi tổng thành tích cos cos 2cos .cos 2 2 cos cos 2sin .sin 2 2 sin sin 2sin .cos 2 2 sin sin 2cos .sin 2 2 + + = + = + + = + = 2 2 sin( ) cos cos sin( ) cos cos 1 cos 2 cos 2 1 cos 2sin 2 tg tg tg tg a a a a + + = = + = = 4 cos33cos cos 3 + = 4 3sinsin3 sin 3 = ONTHIONLINE.NET Công thức lượng giác I Giá trị hàm số lượng giác cung (góc ) đặc biệt Góc 00 Hslg sin α cos α tg α cotg α kxđ 300 450 π 3 3 00 π 2 2 π 3 2 3 900 1200 π 2π 3 − 1350 kxđ − − 3 3π 2 − -1 -1 1500 5π 3 − − − 1800 3600 π 2π 0 -1 0 kxđ kxđ Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ giá trị đặc biệt II Quan hệ lượng giác cung (góc) có liên quan đặc biệt Cung đối nhau:( Cos đối) Cung bù nhau(Sin bù) Cung phụ nhau: (phụ chéo) Cung π cos(−α ) = cosα sin(−α ) = − sinα tg(−α ) = −tgα cot g(−α ) = − cot gα π cos( − α ) = sin α π sin( − α ) = cos α π tg ( − α ) = cotgα π cot g ( − α ) = t gα π Cung π cos( + α ) = − sin α π sin( + α ) = cos α π tg ( + α ) = −cotgα π cot g ( + α ) = − t gα cos(π − α ) = − cosα sin(π − α ) = sinα tg(π − α ) = −tgα cot g(π − α ) = − cot gα cos(π + α ) = − cos α sin(π + α ) = − sin α tg (π + α ) = tgα cot g (π + α ) = cot gα Cung k 2π sin(α + k 2π ) = sin α cos(α + k 2π ) = cos α tg (α + k 2π ) = tgα cot g (α + k 2π ) = cot gα III Công thức lượng giác Công thức lượng giác cos 2α + sin α = 1 + tg 2α = cos 2α sin α tgα cotgα = 1 + cotg 2α = Công thức cộng cos(α + β ) = cos α cos β − sin α sin β cos(α − β ) = cos α cos β + sin α sin β sin(α + β ) = sin α cos β + sin β cos α sin(α − β ) = sin α cos β − sin β cos α tgα +tgβ − tgα tg β tgα − tgβ tg(α − β ) = + tgα tg β tg(α +β ) = Công thức nhân đôi cos 2α = cos α − sin α sin 2α = 2sin α cos α 2tgα tg 2α = − tg 2α = cos α − = − 2sin α Công thức nhân ba(tham khảo) cos α = cos 3α + cos α sin α = sin α − sin 3α cos 3α = cos α − 3cos α sin 3α = 3sin α − 4sin α Công thức hạ bậc: sin x.cos x = sin x − cos 2α sin α = 6.Công thức tính sin α ,cos α ,tgα theo t = tg sin α = + cos 2α − cos 2α tg 2α = + cos 2α cos α = α 2t 1− t2 2t ; cos α = ; tgα = 2 1+ t 1+ t 1+ t2 Công thức biến đổi tích thành tổng [ cos(α + β ) + cos(α − β )] sinα sin β = [ cos(α − β ) − cos(α + β )] sinα cos β = [ sin(α + β ) + sin(α − β )] cosα cosβ = Công thức biến đổi tổng thành tích α +β α −β cos 2 α +β α −β cos α − cos β = −2sin sin 2 α +β α −β sin α + sin β = 2sin cos 2 α +β α −β sin α − sin β = cos sin 2 cos α + cos β = cos sin(α + β ) cos α cos β sin(α − β ) tgα − tg β = cos α cos β a + cos a = cos 2 a − cos a = 2sin 2 tgα + tg β = KIÕn thøc lỵng gi¸c A- KIÕn thøc cÇn nhí §êng trßn lỵng gi¸c: - 3 -1 - 3/3 (Điểm gốc) t t' y y' x x' u u' - 3 -1 - 3/3 1 1 -1 -1 - π /2 π 5 π /6 3 π /4 2 π /3 - π /6 - π /4 - π /3 -1/2 - 2 /2 - 3 /2 -1/2- 2 /2- 3 /2 3 /2 2 /2 1/2 3 /2 2 /2 1/2 A π /3 π /4 π /6 3 /3 3 B π /2 3 /3 1 3 O B¶ng gi¸ trÞ lỵng gi¸c: Góc Hslg 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 120 0 135 0 150 0 180 0 360 0 0 6 π 4 π 3 π 2 π 3 2 π 4 3 π 6 5 π π π 2 sin α 0 2 1 2 2 2 3 1 2 3 2 2 2 1 0 0 cos α 1 2 3 2 2 2 1 0 2 1 − 2 2 − 2 3 − -1 1 tg α 0 3 3 1 3 kxđ 3 − -1 3 3 − 0 0 cotg α kxđ 3 1 3 3 0 3 3 − -1 3 − kxđ kxđ V. Hàm số lượng giác của các cung (góc) có liên quan đặc biệt: Đó là các cung : 1. Cung đối nhau : và - α α (tổng bằng 0) (Vd: 6 & 6 ππ − ,…) 2. Cung bù nhau : và - α π α ( tổng bằng π ) (Vd: 6 5 & 6 ππ ,…) 3. Cung phụ nhau : và 2 π α α − ( tổng bằng 2 π ) (Vd: 3 & 6 ππ ,…) 4. Cung hơn kém 2 π : và 2 π α α + (Vd: 3 2 & 6 ππ ,…) 5. Cung hơn kém π : và α π α + (Vd: 6 7 & 6 ππ ,…) 1. Cung đối nhau: 2. Cung bù nhau : cos( ) cos sin( ) sin ( ) cot ( ) cot tg tg g g α α α α α α α α − = − = − − = − − = − cos( ) cos sin( ) sin ( ) cot ( ) cot tg tg g g π α α π α α π α α π α α − = − − = − = − − = − 3. Cung phụ nhau : 4. Cung hơn kém 2 π cos( ) sin 2 sin( ) cos 2 ( ) 2 cot ( ) t 2 tg cotg g g π α α π α α π α α π α α − = − = − = − = cos( ) sin 2 sin( ) cos 2 ( ) 2 cot ( ) t 2 tg cotg g g π α α π α α π α α π α α + = − + = + = − + = − 5. Cung hơn kém π : cos( ) cos sin( ) sin ( ) cot ( ) cot tg tg g g π α α π α α π α α π α α + = − + = − + = + = Ví dụ 1: Tính ) 4 11 cos( π − , 4 21 π tg Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: )3cos()2cos() 2 cos( xxxA ++−++= ππ π VI. Công thức lượng giác: 1. Các hệ thức cơ bản: 2 2 cos sin 1 sin tg = cos cos cotg = sin α α α α α α α α + = 2 2 2 2 1 1 tg = cos 1 1 cotg = sin tg . cotg = 1 α α α α α α + + Ví dụ: Chứng minh rằng: 1. xxxx 2244 cossin1sincos −=+ 2. xxxx 2266 cossin31sincos −=+ 2. Công thức cộng : Đối cos Bù sin Phụ chéo Hơn kém 2 π sin bằng cos cos bằng trừ sin Hơn kém π tang , cotang cos( ) cos .cos sin .sin cos( ) cos .cos sin .sin sin( ) sin .cos sin .cos sin( ) sin .cos sin .cos tg +tg tg( + ) = 1 . tg tg tg( ) = 1 . tg tg tg tg α β α β α β α β α β α β α β α β β α α β α β β α α β α β α β α β α β α β + = − − = + + = + − = − − − − + Ví dụ: Chứng minh rằng: π α α α π α α α + = − − = + 1.cos sin 2 cos( ) 4 2.cos sin 2 cos( ) 4 3. Công thức nhân đôi: α α α α α α α α α α α α α = − = − = − = − = = − 2 2 2 2 4 4 2 cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin cos sin sin2 2sin .cos 2 2 1 tg tg tg 4 Công thức nhân ba: 3 3 cos3 4cos 3cos sin 3 3sin 4sin α α α α α α = − = − 5. Công thức hạ bậc: α α α α α α α 2cos1 2cos1 ; 2 2cos1 sin; 2 2cos1 cos 222 + − = − = + = tg 6.Công thức tính sin ,cos ,tg α α α theo 2 t tg α = 22 2 2 1 2 ; 1 1 cos; 1 2 sin t t tg t t t t + = + − = + = ααα 7. Công thức biến đổi tích thành tổng : 2 2cos1 cos 2 α α + = 2 2cos1 sin 2 α α − = ααα 2sin 2 1 cossin = 4 cos33cos cos 3 αα α + = 4 3sinsin3 sin 3 αα α − = [ ] [ ] [ ] 1 cos .cos cos( ) cos( ) 2 1 sin .sin cos( ) cos( ) 2 1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 α β α β α β α β α β α β α β α β α β = + + − = − − + = + + − Ví dụ: 1. Biến đổi thành tổng biểu thức: xxA 3cos.5cos = 2. Tính giá trò của biểu thức: 12 7 sin 12 5 cos ππ = B 8. Công thức biến đổi tổng thành tích : cos cos 2cos .cos 2 2 cos cos 2sin .sin 2 2 sin sin 2sin .cos 2 2 sin sin 2 cos .sin 2 2 sin( ) cos cos sin( ) cos cos tg tg tg tg α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β + − + = + − − = − + − + = + − − = + + = − − = Ví dụ: Biến đổi thành tích biểu thức: 3xsin 2x sinsin ++= xA 9. Các công thức thường dùng khác: cos sin 2 cos( ) 2 sin( ) 4 4 cos sin 2 cos( ) 2 sin( ) T T à à i i l l i i ệ ệ u u l l u u y y ệ ệ n n t t h h i i Đ Đ ạ ạ i i H H ọ ọ c c m m ơ ơ n n V V ậ ậ t t l l ý ý 2 2 0 0 1 1 3 3 G G V V : : B B ù ù i i G G i i a a N N ộ ộ i i : 0 0 9 9 8 8 2 2 . . 6 6 0 0 2 2 . . 6 6 0 0 2 2 Trang: 208 BẢNG TÓM TẮT CÔNG THỨC LƯNG GIÁC THƯỜNG DÙNG TRONG VẬT LÝ 1. Đơn vò đo – Giá trò lượng giác các cung.  1 0 = 60’ (phút), 1’= 60” ( giây) ; 1 0 = π 180 (rad); 1rad = 180 π (độ)  Gọi  là số đo bằng độ của 1 góc, a là số đo tính bằng radian tương ứng với  độ khi đó ta có phép biến đổi sau: a = α.π 180 ( radian) ;  = 180.a π (độ)  Đổi dơn vò: 1mF = 10 -3 F; 1F = 10 -6 F; 1nF = 10 -9 F; 1pF = 10 -12 F ; 1 0  = 10 -10 m. Các đơn vò khác cũng đổi tương tự.  Bảng giá trò lượng giác cung đặc biệt. Góc  Giá trò 0 0 0 30 0 /6 45 0 /4 60 0 /3 90 0 /2 120 0 2/3 135 0 3/4 150 0 5/6 180 0  270 0 3/2 360 0 2 sin 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 1 2 0 -1 0 cos 1 3 2 2 2 1 2 0 - 1 2 - 2 2 - 3 2 -1 0 1 tg 0 1 3 1 3 +  - 3 -1 - 1 3 0  0 cotg +  3 1 1 3 0 1 3 -1 - 3  0  Cung đối nhau ( và -) Cung bù nhau  và ( - ) Cung hơn kém  ( và  + ) Cung phụ nhau ( và /2 - ) Cung hơn kém /2 ( và /2 + ) cos(-) = cos sin(-) = -sin tg(-) = -tg cotg(-) = -cotg cos( - ) = -cos sin( - ) = sin tg( - ) = -tg cotg( - ) = -cotg cos( + ) = -cos sin( + ) = -sin tg( + ) = tg cotg( + ) = cotg cos(/2 - )= sin sin(/2 - ) = cos tg(/2 - ) = cotg cotg(/2 - ) = tg cos(/2 +) = -sin sin(/2 +) = cos tg(/2 +) = -cotg cotg(/2 +) = -tg 2) Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản: sin 2  + cos 2  = 1 ; tg.cotg = 1 ; 2 1 sin  = 1 + cotg 2  1 + tg 2  = 2 1 cos α 4) Công thức biến đổi a) Công thức cộng cos(a + b) = cosa.cos b - sina.sin b cos (a - b) = cosa.cos b + sin a.sin b sin(a + b) = sina.cos b + sinb.cos a sin (a - b) = sin a.cos b - sin b.cos a tg(a - b) = tga - tgb 1+ tga.tgb tg(a + b) = tga + tgb 1- tga.tgb b) Công thức nhân đôi, nhân ba cos 2a 2 2 2 2 cos a - sin a = 2 cos a - 1 = 1 - 2sin a  ; sin 3a = 3sina – 4sin 3 a sin 2a = 2 sin a.cos a ; cos 3a = 4cos 3 a – 3cosa ; tg 2a = 2 2 1 tga tg a c) Công thức hạ bậc: cos 2 a = 1 cos 2 2 a ; sin 2 a = 1 cos 2 2 a ; tg 2 a = 1 cos 2 1 cos 2 a a   ; cotg 2 a = 1 cos 2 1 cos 2 a a   d) Công thức tính sin, cos, tg theo t = tg α 2 sin = 2 2 1 t t tg = 2 2 1 t t , 2 k k z         cos = 2 2 1 1 t t   T T à à i i l l i i ệ ệ u u l l u u y y ệ ệ n n t t h h i i Đ Đ ạ ạ i i H H ọ ọ c c m m ơ ơ n n V V ậ ậ t t l l ý ý 2 2 0 0 1 1 3 3 G G V V : : B B ù ù i i G G i i a a N N ộ ộ i i : 0 0 9 9 8 8 2 2 . . 6 6 0 0 2 2 . . 6 6 0 0 2 2 Trang: 209 e) Công thức biến đổi tích thành tổng cosa.cosb = 1 2 [cos(a-b) + cos(a+b)] sina.sinb = 1 2 KIẾN THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ LỚP 11 I- PH ƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN : Phương trìng lượng giác cơ bản: * sinx=sin α     +−= ∈+= παπ πα 2 ;2 kx Zkkx * cosx = cos α     +−= ∈+= πα πα 2 ;2 kx Zkkx * tanx =tan α ⇔ x = α +kπ ; ( ) Zk ∈ * cotx =cot α ⇔ x= α +kπ ( ) Zk ∈ .  Phương trìng lượng giác cơ bản đặc biệt : * sinx =0  π kx = *cosx =0 π π kx +=⇔ 2 * sinx =1 π π 2 2 kx +=⇔ *cosx =1 π 2kx =⇔ với k Z∈ * sinx = -1 π π 2 2 kx +−=⇔ *cosx =-1 ππ 2kx +=⇔ arcsin + 2 sin , sin + 2 x a k x a k x arc a k π π π =  = ⇔ ∈  = −  ¢ arc os + 2 os , sin + 2 x c a k c x a k x arc a k π π =  = ⇔ ∈  = −  ¢ tan 1 , 4 tan 0 , tan 1 , 4 x x k k x x k k x x k k π π π π π =− ⇔ =− + ∈ = ⇔ = ∈ = ⇔ = + ∈ ¢ ¢ ¢ BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG ĐẶC BIỆT x rad -π - - - - 0 π độ -180 o -90 o -60 o -45 o -30 o 0 30 o 45 o 60 o 90 o 120 o 135 o 150 o 180 o sin 0 -1 - - - 0 1 0 cos -1 0 1 0 - - - -1 tan 0 || - -1 - 0 1 || - -1 - 0 cot || 0 - -1 - || 1 0 - -1 - || Chú ý: Công thức chuyển đổi từ độ sang rađian và ngược lại: ( ) . 180 x x rad π   =  ÷   o ; 180 ( ) .x rad x π   =  ÷   o  Một số phương trình lượng giác thường gặp 1. Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác: a. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các công thức LG để đưa phương trình về phương trình LG cơ bản. k Z∈ k Z∈ - arc cosa + k2 π tan arc tan + ,x a x a k k π = ⇔ = ∈¢ ot ot ot + ,c x a c x c x k k α α π = ⇔ = ⇔ = ∈ ¢ k Z∈ k Z∈ ot 1 , 4 ot 0 , 2 ot 1 , 4 c x x k k c x x k k c x x k k π π π π π π =−⇔ =− + ∈ = ⇔ = + ∈ = ⇔ = + ∈ ¢ ¢ ¢ k Z∈ k Z∈ k Z∈ k Z∈ k Z∈ k Z∈ 1 180 0 = π ; 90 2 0 = π b. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: là những phương trình có dạng a.sin 2 x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos 2 x+b.cosx+c=0, a.tan 2 x+b.tanx+c=0, a.cot 2 x+b.cotx+c=0) để giải các phương trình này ta đặt t bằng hàm số LG (Chú ý điều kiện của t khi đặt t=sinx hoặc t=cosx) 2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx: Dạng: asinx+bcosx=c. Điều kiện để phương trình có nghiệm là 2 2 2 a b c + ≥ . C ách giải : Chia hai vế phương trình cho 2 2 a b + , ta được: 2 2 2 2 2 2 sin cos a b c x x a b a b a b + = + + + Đặt: 2 2 2 2 cos ; sin a b a b a b β β = = + + . Khi đó phương trình tương đương: 2 2 cos sin sin cos c x x a b β β + = + hay ( ) 2 2 sin sin c x a b β ϕ + = = + . 3. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx: Dạng: asin 2 x+bsinxcosx+ccos 2 x=0 (*). Cách giải : + Kiểm tra nghiệm với 2 x k π π = + . + Giả sử cosx≠0: chia hai vế phương trình cho cos 2 x ta được: atan 2 x+btanx+c=0. Chú ý: 2 2 1 tan 1 2 cos x x k x π π   = + ≠ +  ÷   4. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx: Dạng: a(sinx ± cosx)+ bsinxcosx=c. Cách giải: Đặt t= sinx ± cosx. Điều kiện | t | 2 ≤ . II- CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI 1) Công thức cộng:  cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb  cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb  tan(a - b) =  sin(a - b) = sina.cosb - cosa.sinb  tan(a + b) =  sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb 2) Công thức nhân đôi :  sin2x = 2sinxcosx  cos2x = cos 2 x – sin 2 x = 2cos 2 x - 1 = 1 – 2sin 2 x  tan2x = 2 2 1 tanx tan x−  cot2x = 2 1 2 cot x cotx − 3) Công thức nhân 3 :  sin3x = xx 3 sin4sin3 −  cos3x = 4cos 3 x – 3cosx  tan3x = 3 2 3 1 3 tanx tan x tan x − − 4) Công thức hạ bậc:  2 1 2 os 2 cos x c x + =  2 1 os2 sin 2 c x x − = 5) Công thức tích thành tổng.  cosxcosy= [ ] 1 ( ) ( ) 2 cos x y cos x y+ + −  sinxcosy= [ ] )()( 2 1 yxSinyxSin −++  sinxsiny= [ ] 1 ( ) ( ) 2 cos x y cos x y− + − − 6) Công thức tổng(hiệu) thành tích:  sinx + siny = 2sin 2 2 x y x y cos + −      ÷  ÷      sinx – siny = 2 I. CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC 1.Công thức cộng 1) cos( ) cos cos sin sina b a b a b+ = − 2) cos( ) cos cos sin sina b a b a b− = + 3) sin( ) sin cos cos sina b a b a b+ = + 4) sin( ) sin cos cos sina b a b a b− = − 5) tan tan tan( ) 1 tan tan a b a b a b + + = − 6) tan tan tan( ) 1 tan tan a b a b a b − − = + 2. Công thức nhân 2.1. Công thức nhân đôi 1) 2 2 cos 2 cos sina a a= − 2) sin 2 2sin cosa a a = 3) 2 2 tan tan 2 1 tan a a a = − 2.1.1.Công thức hạ bậc: 1) 2 1 cos2 cos 2 a a + = 2) 2 1 cos 2 sin 2 a a − = 3) 2 1 cos 2 tan 1 cos 2 a a a − = + 2.1.3 Công thức tính theo tan 2 a t= 1) 2 2 1 cos 1 t a t − = + 2) 2 2 sin 1 t a t = + 3) 2 2 tan 1 t a t = − 2.2. Công thức nhân ba 1) 3 cos3 4cos 3cosa a a= − 2) 3 sin 3 3sin 4sina a a= − 3) 3 2 3tan tan tan3 1 3tan a a a a − = − 3. Công thức biến đổi tích thành tổng 1) 1 cos cos [cos( ) cos( )] 2 a b a b a b= + + − 2) 1 sin sin [cos( ) cos( )] 2 a b a b a b= − + − − 3) 1 sin cos [sin( ) sin( )] 2 a b a b a b= + + − 4. Công thức biến đổi tổng thành tích 1) cos cos 2cos cos 2 2 a b a b a b + − + = 2) cos cos 2sin sin 2 2 a b a b a b + − − = − 3) sin sin 2sin cos 2 2 a b a b a b + − + = 4) sin sin 2cos sin 2 2 a b a b a b + − − = Một số công thức cơ bản 1) cos sin 2 cos( ) 4 a a a π + = − 2) cos sin 2 sin( ) 4 a a a π + = + 3) cos sin 2 cos( ) 4 a a a π − = + 4) cos sin 2 sin( ) 4 a a a π − = − − 5) 4 4 2 2 cos sin 1 2sin cosa a a a+ = − 6) 6 6 2 2 cos sin 1 3sin cosa a a a+ = − II PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 1. Phương trình 2 sin sin ,( ) 2 x a k x a k x a k π π π = +  = ⇔ ∈  = − +  ¢ a là góc tính bằng radian, chẳng hạn , 6 4 a a π π = = ; 1 sin 1a− ≤ ≤ 2. Phương trình 2 cos cos ,( ) 2 x a k x a k x a k π π = +  = ⇔ ∈  = − +  ¢ 3. Phương trình tan tanx a= Điều kiện ,( ) 2 x k k π π ≠ + ∈¢ tan tan ,( )x a x a k k π = ⇔ = + ∈¢ 4. Phương trình cot cotx a= Điều kiện ,( )x k k π π ≠ + ∈¢ cot cot ,( )x a x a k k π = ⇔ = + ∈¢ III. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 1. Phương trình bậc nhất, bậc hai, bậc cao đối với một hàm số lượng giác Cách giải. + Đối với các phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác ta biến đổi về dạng phương trình lượng giác cơ bản. + Đối với phương trình bậc hai, bậc cao đối với một hàm số lượng giác ta đặt ẩn phụ, sau đó giải phương trình theo ẩn phụ. Lưu ý: Nếu đặt cost x= hay sint x= thì điều kiện 1.t ≤ 2. Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x là Phương trình có dạng sin cos ,a x b x c+ = với , ,a b c ∈¡ (1) Cách giải. Cách 1. Chia hai vế của (1) cho 2 2 a b+ ta được 2 2 2 2 2 2 sin cos a b c x x a b a b a b + = + + + (2) Đặt 2 2 2 2 cos ,sin . a b a b a b β β = = + + Khi đó (2) trở thành 2 2 2 2 cos sin sin cos sin( ) c c x x x a b a b β β β + = ⇔ + = + + (3) (3) có nghiệm 2 2 2 2 2 1 c a b c a b ⇔ ≤ ⇔ + ≥ + Cách 2. Chia hai vế của (1) cho a rồi đặt tan b a α = Ta được sin tan cos sin cos sin cos cos c c x x x x a a α α α α + = ⇔ + = sin( ) cos c x a α α ⇔ + = . Phương trình này có nghiệm khi cos 1 c a α ≤ 3. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x Đó là Phương trình dạng 2 2 sin sin cos cos 0; , ,a x b x x c x a b c+ + = ∈¡ (2) Cách giải. Nếu cos 0 ,( ) 2 x x k k π π = ⇔ = + ∈¢ thì thay vào (2) để xét 2 x k π π = + có là nghiệm của Phương trình (2) hay không. Nếu cos 0 ,( ) 2 x x k k π π ≠ ⇔ ≠ + ∈¢ thì chia cả hai vế của phương trình cho 2 cos 0x = ta được 2 tan tan 0a x b x c+ + = Lưu ý Nếu Phương trình có vế phải khác 0 như 2 2 sin sin cos cosa x b x x c x d+ + = thì ta biến đổi như sau 2 2 2 2 sin sin cos cos (sin cos )a x b x x c x d x x+ + = + rồi chuyển vế phải sang trái Ngoài ra ta cũng có thể giải