Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác: a.. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các công thức LG để đưa phươn
Trang 1KIẾN THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ LỚP 11 I- PH ƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN :
Phương trìng lượng giác cơ bản:
* sinx=sinα
+
−
=
∈ +
=
π α π
π α
2
; 2
k x
Z k k x
* cosx = cosα
+
−
=
∈ +
=
π α
π α
2
; 2
k x
Z k k x
* tanx =tanα ⇔ x = α +kπ ; (k∈Z) * cotx =cotα ⇔ x= α +kπ (k∈Z)
Phương trìng lượng giác cơ bản đặc biệt :
* sinx =0 x=kπ *cosx =0 ⇔ x=π +kπ
2
* sinx =1 π 2π
2 k
x= +
⇔ *cosx =1⇔ x=k2π với k Z∈
* sinx = -1 π 2π
2 k
x=− +
⇔ *cosx =-1 ⇔ x=π +k2π arcsin + 2
sin + 2
x arc a k
π
=
arc os + 2
sin + 2
x c a k
x arc a k
π π
=
4
4
π
¢
¢
¢
BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG ĐẶC BIỆT
độ -180 o -90 o -60 o -45 o -30 o 0 30 o 45 o 60 o 90 o 120 o 135 o 150 o 180 o
Chú ý: Công thức chuyển đổi từ độ sang rađian và ngược lại:
( )
180
x π x rad
= ÷
o
; x rad( ) 180.x
π
o
Một số phương trình lượng giác thường gặp
1 Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác:
a Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các công
thức LG để đưa phương trình về phương trình LG cơ bản
k Z∈
k Z∈
- arc cosa + k2 π
tan x a = ⇔ = x arc tan + a k k π , ∈ ¢
c x = ⇔ a c x c = α ⇔ = x α π k k ∈ ¢
k Z∈
k Z∈
4
2
4
¢
¢
¢
k Z∈
k Z∈
k Z∈
k Z∈
k Z∈
k Z∈
1
=
π ; 90
2
0
= π
Trang 2b Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: là những phương trình có dạng a.sin2x+b.sinx+c=0
(hoặc a.cos2x+b.cosx+c=0, a.tan2x+b.tanx+c=0, a.cot2x+b.cotx+c=0) để giải các phương trình này ta đặt t bằng
hàm số LG (Chú ý điều kiện của t khi đặt t=sinx hoặc t=cosx)
2 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:
Dạng: asinx+bcosx=c Điều kiện để phương trình có nghiệm là a2+ ≥b2 c2
C
ách giải : Chia hai vế phương trình cho a2+b2 , ta được: 2a 2 sinx 2b 2 cosx 2c 2
Đặt: 2a 2 cos ; 2b 2 sin
+ + Khi đó phương trình tương đương:
cos sinx sin cosx 2c 2
+ hay sin(x ) 2c 2 sin
3 Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx:
Dạng: asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0 (*).
Cách giải : + Kiểm tra nghiệm với
2
x= +π kπ
+ Giả sử cosx≠0: chia hai vế phương trình cho cos2x ta được: atan2x+btanx+c=0.
Chú ý: 12 tan2 1
2 cos x x x k
= + ≠ + ÷
4 Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx:
Dạng: a(sinx ± cosx)+ bsinxcosx=c Cách giải: Đặt t= sinx ± cosx Điều kiện | t |≤ 2
II- CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI
1) Công thức cộng:
cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb
cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb
tan(a - b) =
sin(a - b) = sina.cosb - cosa.sinb
tan(a + b) =
sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb
2) Công thức nhân đôi :
sin2x = 2sinxcosx
cos2x = cos 2 x – sin 2 x
= 2cos 2 x - 1
= 1 – 2sin 2 x
1
tanx tan x
−
2 1 2
cot x
cotx
−
3) Công thức nhân 3 :
sin3x = 3sinx−4sin3 x
cos3x = 4cos 3 x – 3cosx
3 2
3
1 3
tanx tan x
tan x
−
−
4) Công thức hạ bậc:
os
2
cos x
c x= +
sin
2
c x
x= −
5) Công thức tích thành tổng.
1
2 cos x y+ +cos x y−
sinxcosy=
[ ( ) ( )]
2
1
y x Sin y x Sin + + −
1
2 cos x y cos x y
6) Công thức tổng(hiệu) thành tích:
sinx + siny = 2sin
x y x y cos
sinx – siny = 2 os
x y x y
c + sin −
cosx + cosy = 2cos
x y x y cos
x y x y sin
cos
sin x y xcosy
+
cos
sin x y xcosy
−
sin
sin x y xsiny
+
sin
sin y x xsiny
−
III- GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GÓC (CUNG) CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT
1) Cung đối nhau:
cos(–x) = cosx
sin(–x) = – sinx
tan(–x) = – tanx
cot(–x) = – cotx
2) Cung bù nhau:
sin(π −x)=sinx
cos(π −x)=−cosx
tan(π −x)=−tanx
3) Cung hơn kém:
sin(π +x)=−sinx
cos(π +x)=−cosx
tan(π +x)= tanx
cot(π +x)= cotx
2
XUÂN TÂN – 11A 9NĐC
Trang 3 cot(π −x)=−cotx
4) Cung phụ nhau.
2 (π −x
= cosx cosx = sin (900 – x )
2 (π −x
= sinx sinx = cos (900 – x )
2 (π −x
= cotx cotx = tan (900 – x )
2 (π −x
= tanx tanx = cotx (900 – x )
5) Cung hơn kém.
sin( )
2 x cosx
π + = cosx = sin (900 + x )
2 (π +x
= sinx− - sinx = cos (900 + x )
2 (π +x
= cotx− - cotx = tan (900 + x )
2 (π +x
= tanx− - tanx = cotx (900 + x )
Ghi nhớ : Cos đối – Sin bù – Phụ chéo
t anx= sinx ,(x k )
π
≠ + π
cotx= ,(x k )
sinx ≠ π
sin x cos x 12 + 2 =
1 tan x,(x k )
2 cos x
π
1 cot x,(x k ) sin x = + ≠ π
t anx.cotx=1,(x )
2
π
≠
sin3x c + os3x = (sinx cos )(1 sinx.cos ) + x − x
sin3x c − os3x = (sinx cos )(1 sinx.cos ) − x + x
sin cos 1 sin 2
2
x + x = − x
sin cos 1 sin 2
4
x + x = − x
1 sin 2 ± x = sin x ± cos x
x+ x= sin x +π = cos x −π
x− x= sin x −π= − cos x +π
VI- KIẾN THỨC CƠ BẢN
Tập
π + kπ} D = R \ {kπ}
3
XUÂN TÂN – 11A 9NĐC
Trang 4giá trị
Tính
Sự biến
thiên
Đồng biến trên:
k2 ; k2
Nghịch biến trên:
3 k2 ; k2
Đồng biến trên:
(−π + πk2 ; k2π) Nghịch biến trên:
(k2 ;π π + πk2 )
Đồng biến trên mỗi khoảng:
k ; k
− + ππ π+ π
Nghịch biến trên mỗi khoảng:(k ;π π + πk )
Bảng
biến
thiên
2
π
2
y = sinx 0
–1
y =cosx
– 1
1
– 1 a
x
2
π
−
2
π
y = tanx
–∞
+∞
y = cotx
+∞
–∞
a
Đồ thị
y = sinx
………
y = cosx
y = tanx
………
y = cotx
4
XUÂN TÂN – 11A 9NĐC