Chủ đề 1.4. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Đường thắng y= y, là đường tiệm cận ngang hay tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = ƒz nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn lim ƒ+= yạ, im fx=y, x+eœ x—-—o e Nhận xét:

Chuyên dé 1 Ung dung dac ham để xét tính biên thiên uà uế đồ thị hàm aố BTN_1 4

A KIEN THỨC CƠ BẢN

1 Đường tiệm cận ngang

e© Cho hàm số y= ƒ(x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng (z;+œ),(—e;b) hoặc

(—œ;+eo)) Đường thắng y= y, là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị

hàm số y = ƒ(z) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn

lim ƒ(+)= yạ, im f(x)=y,

x+eœ x—-—o

e Nhận xét: Như vậy để tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số ta chỉ cần tính giới hạn của hàm

số đó tại vÔ cực

2 Đường tiệm cận đứng

© Đường thắng x= xạ; được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số

y= ƒ(z) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn

lim ƒ(z)=+, lim ƒ()=-œ, lim ƒ(x)=—=, lim ƒ(x)=+se

B KỸ NĂNG CƠ BẢN

1 Quy tắc tìm giới hạn vô cực

Quy tắc tìm giới hạn của tich f (x).g(x)

Nếu lim ƒ(z)=L#0 và lim g(x)=+©œ (hoặc ) thì lim f(x).g(x) được tính theo quy tắc cho

Quy tắc tìm giới hạn của thương 2 C2 g(x)

lim f (x) lim g(x) Dấu của g() im

(Dau cua g(x) xét trên một khoảng K nào đó đang tính giới hạn, với x # xạ)

2 Chú ý: Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hop x > Xy »X Xp »X > +00 Va xX -0o,

Vì lim x=+e và lim———T—=2>0

1 Giới hạn của hàm số tại một điễm

© lim f(x) thì nhập ƒ(z) và CALC x=a+10”

# lim ƒ(z) thì nhập f(x) vaCALC x=a-10”

© lim ƒ@) thì nhập f(x) va CALC x=z+102 hoặc x=z—102

2 Giới hạn của hàm số tại vô cực

Chuyên dé 1 Ung dung dac ham để xét tính biên thiên uà uế đồ thị hàm aố BTN_1 4

Nhap bigu thite 22—3 x

Ấn r máy hỏi X? ấn 1+10^p9= máy hiện -999999998.,

Nén lim 22—3 = co, x> x—ÏI

Ấn r máy hỏi X? ấn 10^10 = máy hiện 3

Ấn r máy hỏi X? ấn p10^10= máy hiện 2

Ấn r máy hỏi X? ẫn 10^10= máy hiện 2

Nhap biéu thire 271, x

Ấn r máy hỏi X? ẫn 2+10^p9= máy hiện 3000000001

Ấn r máy hỏi X? ấn 2p10^p9= máy hiện -2999999999,

A y=2 va x=0 B.x=2 và y=0 € x=2 và y=3 D y=2 và x=3

Câu 6 Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y=-L—”- là:

3+2x

Chuyên dé 1 Ung dung dac ham để xét tính biên thiên uà uế đồ thị hàm aố

A Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng, không có tiệm cận ngang

B Đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng, có ] tiệm cận ngang y =—3

C Đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng, có 1 tiệm cận ngang y =—1

D Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng, có tiệm cận ngang

Do thi ham so nào sau đây không có tiệm cận đứng:

A Khi m=3 thi (C) không có đường tiệm cận đứng

B Khi m=-—3 thì (C) không có đường tiệm cận đứng

có đồ thị (C) Kết luận nào sau đây đúng ?

€ Khi mz++3 thì (C)có tiệm cận đứng x = —n, tiệm cận ngang y =ứn

D Khi =0 thì (C) không có tiệm cận ngang

Chuyên dé 1 Ung dung dac ham để xét tính biên thiên uà uế đồ thị hàm aố BTN_1 4

A Dé thi ham số không có tiệm cận đứng, không có tiệm cận ngang

B Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng và có đúng 1 tiệm cận ngang

C Đồ thị hàm số có đúng 3 tiệm cận đứng và 2 tiệm cận ngang

D Đồ thị hàm số có đúng 2 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y= x41 có hai tiệm

mx +1 can ngang

s ghe 2 2 te gs » k À VE? 3 ta k x —mx—2m 2 QIA

Tim tat cả các giá trị thực của tham sô mm sao cho đô thị của hàm sô y==————————— có tiệm

Chuyên để I 'Ứng dụng đạo hàm để xét tính biên thiên uà uế đồ thị hàm aố BTN_1 4

E DAP AN VA HUONG DAN GIAI BAI TAP TRAC NGHIEM

Ta cé lim 2x3 =—oo va lim 2x3 = +00 nén d6 thi ham s6 cé6 tiém can đứng là x =1

Án CALC x=-2+10° Án = được kết quả bằng 6999999997 nên lim 42 = = 400, x9(-2)t x +

Chuyên dé 1 Ung dung dac ham để xét tính biên thiên uà uế đồ thị hàm aố BTN_1 4

Ấn CALC x=109 Án = được kết qua bing 2.107 nén lim 2273 _=0 xo‡e y“ —3x+ 2

— đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y=0

Tương tự câu 3,4 nên tự tính kiểm tra

Tương tự câu 3

` CÓ CÀ QUA ¬ ay 3 2 ` 1 Tìm tương tự các câu trên ta được tiệm cận đứng là x= “5 và tiệm cận ngang la y = ¬5

Tìm được tiệm cận đứng là x=3 và tiệm cận ngang là y = l

Giao điểm của hai đường tiệm cận 7(;1) là tâm đối xứng của đồ thị

Các đồ thị hàm số ở B,C,D lần lượt có các TCN là y=2, y=0, y=1

Chuyên dé 1 Ung dung dac ham để xét tính biên thiên uà uế đồ thị hàm aố BTN_1 4

Tiếp tục CALC -10” ta duoc két qua là 1

Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là y =1

Lại có lim =—oo; lim =+© nên đô thị hàm sô có đường tiệm cận đứng x=-—2 x2" x+2 x2 x+2

Vậy đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận

Phương pháp trắc nghiệm

Nhập vào máy tính biểu thức 2x = an CALC 10? ta được kết quả là 2

Tiếp tục CALC —10 ta được kết quả là 2

Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là y = 2

Tiếp tục ấn CALC -2+10”2 ta được kết quả là —5.10'?, ấn CALC -2—10”? ta được kết quả

là 5.10? nên có lim 2%! = co: tim 22! = 400, x>-2* x+2 x92 xX+2

Do đó ta được x= —2 là tiệm cận đứng của dé thi ham sé

Tiép tuc CALC —10” ta duoc két qua là 0

Vay đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là y =0

Tiếp tục ấn CALC 1+10”? ta được kết quả là —1.10?, ấn CALC 1—10ˆ? ta được kết quả là

1.10? nén 06 lim— 2% —" _ = 400; lim 2%" _= co do đó ta được x=1 là tiệm cận đứng xo x” —3x+2 xo x° —3x+2

của đồ thị hàm số

Tiép tuc 4n CALC 2+10 ta duoc kết quả là 3.10, ấn CALC 1—10? ta được kết quả là

-3.102 nên 06 lim ——=-«;lim— —=+e do đó ta được x=2 là tiệm cận

Kiểm tra thấy với m= +3 thì hàm số không có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang

Khi mz+ +3 hàm số luôn có tiệm cận đứng x=rm hoặc x=_—m và tiệm cận ngang y =zn

Phương pháp trắc nghiệm

XY+9

Nhập vào máy tính biểu thức y ấn CALC X =-3+10°;y =-~3

ta được kết quả -3

Tiếp tục ấn CALC X =—3—10””°:Y =~3 ta được kết qua -3

Vậy khi m=—3 đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng

Tương tự với =3 ta cũng có kết quả tương tự

Vậy các đáp án A và B không thỏa mãn

Tiếp tục ấn CALC X =—10;Y =0 ta được kết quả 9x10 ”°, ấn CALC X =10;Y =0 ta được kết quả 9x10"

Phương pháp trắc nghiệm

x+3

Ve +1 Tiếp tục ấn CALC —10'' ta được kết quả là —1

Vậy có hai tiệm cận ngang là y = +1

Cau 21 GhonD)

Nhập vào máy tính biểu thức an CALC 10’° ta duoc két qua là 1

Chuyên dé 1 Ung dung dac ham để xét tính biên thiên uà uế đồ thị hàm aố BTN_1 4

Đề đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng thì zz? +2 +0 luôn đúng với moi m

Khi đó đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là x= 5

Vậy đê tiệm cận đứng di qua diém M (1; V2) thi ay =-l©m=2

Câu 22 (ØW@WÑ{

Đê hàm sô có đường tiệm cận ngang thì zm+ øn # Ö

Khi đó tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là y = do đó ta có m= 2

Mặt khác đồ thị hàm số đi qua điểm /(2;1) néncé 2m+n=1>n=-3

Xét m =0 thì đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng

Xét m0 khi đó đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng nếu zđ —bc =0 © —1+m? =0

Mặt khác lim y= 2; lim y =0 nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang x—>++œ x—>—œ

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 3 đường tiệm cận

Nếu phương trình không có nghiệm x = 1 thì đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là x =1

Nếu phương trình có nghiệm xz=1hay m=—1

Suy ra đường thắng x=—1 là tiệm cận đứng của đồ thị ham sé khi x >(-1)” va x—(-1)

Vì lim y không tôn tại nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang

lim y= lim —— = lim ——=2 nên đường thắng y=2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm sô

x—>—eo x>=è y—[| xo—= 1— 1

x khi x—>—œ

© phương trình ƒ (x) = x” +2(m—1)+x+ m”—2=0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1

Chuyên dé 1 Ung dung dac ham để xét tính biên thiên uà uế đồ thị hàm aố BTN_1 4

- Nếu m=0 thì y= x+1 Suy ra, đồ thị của nó không có tiệm cận ngang

- Nếu m< 0 thì hàm số xác định = mx’ +I>0œ-=L<x< Fem Som |

Do đó, lim y không tồn tại nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang

x—+©

- Với 0<m<1 thì lim y= lim [mlpre|=en lim y= lim [m5 |-— nén

X—>te0 x—>+eo x x-›—œ X——00 Xx

đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang

- Voi m=1 thi y=x+Vx' 41

cận ngang của đồ thị hàm số khi x — +0

lim y không tôn tại

x——œ

Điều kiện: mx”+1>0

- Nếu m=0 thì hàm số trở thành y = x+1 không có tiệm cận ngang

Do đó, lim y không tồn tại nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang

Néu m=1 thi ham số trở thành y= — x—

lim y = lim

xol y= zor x-] x>T J/J—x

Suy ra đường thắng x=1 1A tiém c4n dig cia dé thi ham s6 khi x 91°

lim y không tôn tại

xi"

Do đó, m =1 thỏa mãn

- Néu m<1 thi lim y= lim Ì—X — +: lim y= lim Ix _ 6,

Suy ra đường thắng x=zm là tiệm cận dimg cua dé thi ham s6 khi x 3 m* va xm

Vậy m <1 thỏa mãn yêu cầu dé bài

Câu 37 (ØW@WI

Chuyên dé 1 Ung dung dac ham để xét tính biên thiên uà uẽ đồ thị hàm aố

Cau 38

Cau 39

Cau 40

THỊ : Phương trinh x° —3x* —m=0 c6é mét nghiệm đơn x=—1 và một nghiệm kép

Phương trình xÌ—3xz?—mm=0 có nghiệm x=—1 nên (—1)`—3(—1)”-m=0 © m=-—4

© x”—2mx+1=0 vô nghiệm & A'<0 8m’ -1<06-1<m<l

Tập xác dinh D = R\{1} Dao ham "mà

x- (C) có tiệm cận đứng x=1 (đ,) và tiệm cận ngang y=2 (đ,) nên 7 (1;2)

Gợi M l5; 2x; +1 }E(e).szL

*ạ

Tiếp tuyến A của (C) tại M có phương trình y= ƒ '{xy)(x—xạ)+ ƒ (%})

I+,H-—+-=

x Xx

lim (x— x? -4x+2}= im {1+ fi-243, | —eo x—>—oco x—co x xX

vi lim x=—co va lim i$ |-2>0

Do đó đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang là y = 2

Do M thuộc đồ thị hàm số y= ax+l nén M [241] VO1 xX, #1

Chuyên để Ï 'Ứng dụng đạơ hàm để xét tính biên thiên nà uẽ đổ thị hàm aố BTN_1 4

2X — 2

Do đó phương trình tiếp tuyến tại M là y=—

Tìm tọa độ giao của tiệm cận và tiệp tuyên A (2