Chuyên để I Ứng dung đạo hàm để xét tính biên thiên uà đổ thị hàm đố BTN 14 A KIEN THUC CO BẢN Đường tiệm cận ngang e© Cho hàm số y= ƒ(zx) xác định khoảng vô hạn (là khoảng dạng (z;+e),(—œ;b) (—œ;+eo)) Đường thắng y= y, đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) đồ thị ham sé y= f(x) điều kiện sau thỏa mãn lim ƒ(%)= yạ, lim ƒ(x)= yạ x+e e© x——œ Nhận xét: Như để tìm tiệm cận ngang đồ thị hàm số ta cần tính giới hạn hàm số vơ cực Đường tiệm cận đứng e Đường thang x= *¿ gọi đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) đồ thị hàm số y=f(x) điều kiện sau thỏa mãn lim ƒ(x)=+, lim ƒ(x)=-œ, lim ƒ(x)=-œ, lim ƒ(x)=+œ xX B XX XX XXq KỸ NĂNG CƠ BẢN Quy tắc tìm giới hạn vơ cực Quy tắc tìm giới hạn tich f (x).g(x) Nếu lim ƒ(z)=L#0 lim g(x)= + XX XX (hoặc—œ) lim ƒ(x).g(x) X Xp tính theo quy tắc cho bang sau: lim f(x) lim g(x) XX lim f (x)g(x) *->*%g XX L>0 “ “ L0 Xo L-+©o Và x —> — Ví dụ Tìm lim (+) —2*) x——o Giải Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn IITHBTN Chuyên để I Ứng dung đạo hàm để xét tính biên thiên đổ thị hàm đố Ta có Vì BTN 14 lim(xÌ—2x)= lim x” li-2)=— x X——00 +x—>—œ lim xÌ=—œ im (1-2, }=1>0 x—>—00 x—>—œ X 5.2 Vi dy Tim lim 22% rte x — x+] Gidi 2-——+— 2x —5x +1 Ta có lim ——— = lim | x —*_*_ | = +00 x0 Vi oy —-x+1 va>» lim x=+00 x—>+00 x—>+e 1 l-—+— x Xx 2-—+-1: ——*—~-=2>0 x Xx lim x—+ee x Xx Vi du Tim lim 2-3 xolt x— Gidi Ta có lim(x—1)=0,x—-1>0 voi moi x>1 va lim (2x—3)=-1 x—Ï Ví đụ Tìm lim ^^ xol” X— Giải Ta có lm(x—])=0,x—1a+b A Cau 50 B -3 Cho hàm số y= ==) x — Goi M C -1 D -2 1a diém bat ky trén (C), d la tông khoảng cách từ Ä⁄ hai đường tiệm cận đồ thị (C) Giá trị nhỏ cla d JA A.5 B 10 C Cau 51 D đến D.2 Cho hàm số y= ox = (C) Goi d khoảng cách từ giao điểm tiệm cận (C) đến x— tiếp tuyến đồ thị (C) Giá trị lớn đ A.2 Cau 52 B V3 Cho hàm số y= 2-3 x — C 3V3 (C) Gọi đ tiếp tuyến (C), đ cắt hai đường tiệm cận đồ thi (C) lan lượt A, B Khi khoảng cách A va B ngắn A 4, D V2 B 32 Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn C 242 D 343 9ITHBTN Chuyên để I Ứng dung đạo hàm để xét tính biên thiên uà đổ thị hàm đố E ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC BTN 14 NGHIỆM I~ ĐÁP ÁN mm ¬` ` Tee) BỊ|ỊC|IA|IB Spee — nee OL en C a Il -HUONG DAN GIAI Câul |ẾW@W| Phương pháp tự luận Ta có lim ° 2x EM lim ` 2x x—>‡œ _ x-1 — x-= =—œ lim ` ° — xL x- = +e nên đô thị hàm sơ có tiệm cận đứng x = Aw x : ` A on ˆ ia ` =2 nên đồ thị hàm sơ có tiệm cận ngang y = Aw Xx ° ` RK , aA A ` Phuong pháp trắc nghiệm Nhập biểu thức “Z—” x — AnCALC *=1+10" , An = duoc két qua -999999998 nên lim ox = = —œo xoili AnCALC x- *=1-10° An= kết 999999998 nên lim ox = xol X— = +00 => dé thị hàm số có tiệm cận dimg la ¥=1 a pe A, = kêtke et băng * -10° An nên A CALC An qs lim x—>+co 2X-3 | x- TT = đồ thị hàm số có tiệm cận ngang Y =Z Câu2 |ỂW@WØW Phương pháp tự luận Tacó Ta có „ + 1-3x lim x>(-2)" x+2 lim ` =+©œ + 1-3x lim x>(-2” x+2 a ah ae Le Kk ta AC 42 1A = —œ nên thị hàm sơ có tiệm cận đứng x=—2 ——““=-—3 nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y =—3 xt x +2 Phương pháp trắc nghiệm Nhập biểu thức + * x+2 Ấn CALC zx=—2+10? Ấn = kết 6999999997 nên Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn lim LTỦ Tào, x(-2)* x+2 10ITHBTN Chuyên để I Ứng dung đạo hàm để xét tính biên thiên uà đổ thị hàm đố BTN 14 An CALC x=-2-10° An = dugc két qua bang -7000000003 nén lim I= = = x>(-2" x+ —CO© , = đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x=-—2 An CALC x=10" An = duoc két qua bang -2,999999999 nén lim L3 Tà, xt — + đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y =—3 Câu Phương pháp tự luận 2x-3 Ta có lim———————=+œ 2x—3 lim———————— = —œ nên thị hàm sơ có tiệm cận đứng xi!x —3x+2 xl x" —3x4+2 x =1 Tinh tuong ty voi x =2 Ta có lim _ =0 nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y=0 x¬+e x“ —3x+ Phương pháp tự luận Nhập biểu thức —“ — — x" -3x+2 Xét tai x=1: An 2x—3 m — CALC x=1+10° Ấn = kết 999999998 nên =-+oo, xo x” —3x+2 An CALC x=1+10° An = dugc két qua bang -1,000000002 nén lim — xl xX" =— —3X Tương tự xét với x= = đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x=1 x=2 x= = An 10 bang qua két duoc Ấn CALC — đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y=0 oto lim nên 2107 _ xe x —3x+2 Câu Phương pháp tự luận ° 1—3+? lim ———————=— x93" x° —6§6x4+9 Ta cé lim ————— ° — 3x xt too x” —6x+9 ` 1—3x? A Và lim ——————— =— x93 x x ` A gta A r ` nên đô thị hàm sô có tiệm cận đứng x= —6x4+9 = -3 nên thị hàm sơ có tiệm cận ngang y =—3 nw x s ` A z oA ˆ^ ` Phương pháp trắc nghiệm Tương tự câu 3,4 nên tự tính kiểm tra Cau Tương tự câu Cau Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn IIITHBTN Chuyên để I Ứng dung đạo hàm để xét tính biên thiên uà đổ thị hàm đố BTN 14 pA gn tn ge at ` Tìm tương tự câu ta tiệm cận đứng x= “5 tiệm cận ngang y = ¬5 —= Câu?7 Số đường tiệm cận |ỂW@WD Tìm tương tự câu ta tiệm cận đứng x = "3 = CâuS ^ A cA A La ` tiệm cận ngang y =0 ` A A Sé đường tiệm cận GhonD) Tìm tiệm cận đứng x= +2 tiệm cận ngang y =0 > Câu ` |ØR@WfCI Số đường tiệm cận 3 a2 — Quy đồng biến đổi hàm số cho tré thanh_ y= —>* —3* x*—3x—4 Tìm tiệm cận đứng x= —l, x= khơng có tiệm cận ngang (Vì lim y=#đeœ +x—œ ) —= Số đường tiệm cận Câu 10 |ẾW@WWf Tìm tiệm cận đứng x =3 tiệm cận ngang y = Giao điểm hai đường tiệm cận /(2;1) tâm đối xứng đồ thị => A,C, D Cau 11 GionBl Đồ thị hàm số y= Câu 12 > có đường tiệm cận.( TCĐ x= +2 TCN y=0 ) —x Chon’) Đồ thị hàm số y = ; 3x =3 )2 có hai đường tiệm cận đứng x=+l tiệm cận ngang Cau 13 Ghon Al Phuong trinh x*+1=0 vé nghiệm nên khơng tìm số x, dé lim ` ` lim — ` 3x — x¬% X” + ï =‡œ A A nw ` RK A s x% — cA ar 3x — X + = too thị hàm sơ khơng có tiệm cận đứng Xr ° ` K aA Lá cA A vr Các đồ thị hàm số B,C,D có TCĐ x=0,x=—2,x=1 Câu 14 (ØW@WWf | Ta có lim NX x->‡ee †+3x +7 2x-1 =too = đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang Các đồ thị hàm số B,C,D có TCN y=2, y=0, y=1 Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 12ITHBTN Chuyên để I Ứng dung đạo hàm để xét tính biên thiên uà đổ thị hàm đố BTN 14 Câu 15 Từ đồ thị ta thấy có tiệm cận đứng x=1 y=1 = loại A,B Xét tiếp thấy giao điểm đồ thị hàm số với trục tung (0;-2) Cau 16 => Chọn C Phương pháp tự luận Ta có im eo = tim 227! xt 3X42 =1 29° 3x42 Do đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = l Phương pháp trắc nghiệm Nhập vào máy tính biểu thức 3* ấn CALC 10” ta kết 3X+2 Tiếp tục CALC —102 ta kết Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = I Cau 17 Phương pháp tự luận , ° Ta có lim _ xe x2 Lại có ° 2x lim , - ° = lim 2x _ xe x+2 _— x>-2' x+2 = —oo; lim x>-2 A A * ` A , ` =2 nên thị hàm sơ có đường tiệm cận ngang y = 2x _— x+2 cA A ` =-+oo nên thị hàm sơ có đường tiệm cận dimg x=-2 aA rn ° ` A ` A A wr Vậy đồ thị hàm số cho có hai đường tiệm cận Phương pháp trắc nghiệm A ` z + oA z Nhập vào máy tính biêu thức an CALC 10? ta kết 2 Tiếp tục CALC —10'? ta kết Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = Tiếp tục ân CALC -2+10”? ta kết —5.10?, ấn CALC -2—10”? ta kết 5.10 nên có Jim 2%! sco: tim 2*—! = x>2' x+2 x2 x+2 +co Do ta x = —2 tiệm cận đứng dé thi ham sé Vay đồ thị hàm số cho có hai đường tiệm cận Cau 18 Phương pháp tự luận Ta có: lim —2*—" _ =o, x¬-= x“ —=3x+2 im 2%" _ = x¬+= x“—3x+2 Do đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang lạ lim — có x¬?' x°—3x+2 tim xo x y =0 ee petim =3x+2 xl"x“ =3x+2 =.e lm— x>27 x“—=3x+2 =e =+œo nên đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng x = l;x = Vậy đồ thị hàm số cho có đường tiệm cận Phương pháp trắc nghiệm Nhập vào máy tính biểu thức X — —1 +3X +2 ấn CALC 10? ta kết Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 13|THBTN Chuyên để I Ứng dung đạo hàm để xét tính biên thiên uà đổ thị hàm đố BTN 14 Tiép tuc CALC -10” ta duoc két Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y =0 Tiếp tục ấn CALC 1+10””? ta kết —1.10, ấn CALC 1—107” ta kết 1.10 nên có lim 2" = foo; im — 221 _ =—œ ta x=1 tiệm cận đứng xa x —3x+2 xo x —3x+2 đồ thị hàm số Tiếp tục ấn CALC 2+10” ta kết 3.102, ấn CALC 1—107? ta kết -3.10 nên có im— + TU = lim 2%" _ = 400 ta x=2 xỈ —3x+2 x2" x° —3x+2 tiệm cận đứng đồ thị ham sé Vậy đồ thị hàm số cho có ba đường tiệm cận Câu 19 Phương pháp tự luận Xét phương trình: mx+9=0 Với x=—m ta có: —m”+9=0 © m= +3 Kiểm tra thấy với m=+3 hàm số khơng có tiệm cận đứng tiệm cận ngang Khi m + +3 hàm số ln có tiệm cận đứng x=rm x=—m tiệm cận ngang y =m Phương pháp trắc nghiệm XY+9 Nhập vào máy tính biểu thức xay + ấn CALC X =-3+10”'°;y =~—3 ta kết —3 Tiếp tục ấn CALC X =—3—10”':Y =~3 ta kết -3 Vậy m=—3 đồ thị hàm số khơng có đường tiệm cận đứng Tương tự với =3 ta có kết tương tự Vậy đáp án A B không thỏa mãn Tiếp tục ấn CALC X =—10';Y =0 ta kết 9x10 '°, ấn CALC X =10;Y =0 ta kết 9x10”, Do hàm số có tiệm cận ngang y=0 Vậy đáp an D sai Cau 20 Phương pháp tự luận Vì TXÐ hàm số IR nên đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng Lại có lim ———— x-xtee = l+ ——— ¬I him lta lim ——— x¬—= = 1+ = fim Vậy đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang y = +I Phương pháp trắc nghiệm Nhập vào máy tính biểu thức x+3 Vx +1 an CALC 10°° ta kết Tiếp tục ấn CALC —10'' ta kết —1 Vậy có hai tiệm cận ngang y = +I Cau 21 Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 14ITHBTN Chuyên để I Ứng dung đạo hàm để xét tính biên thiên uà đổ thị hàm đố BTN 14 Đề đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng zz” +2 +0 ln với moi m Khi đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x= A Agta A r ` Ä ` m Vậy đê tiệm cận đứng qua diém M (-1; V2) thi = =-l©m=2 Câu 22 Đề hàm số có đường tiệm cận ngang m+ø # Ư Khi tiệm cận ngang đồ thị hàm số y=mdo ta có m= Mặt khác đồ thị hàm số qua điểm 7(2;1) nénc6 2m+n=1>n=-3 Vay m+n=-1 Cau 23 ¬ x-9>0 Điêu kiện xác định 'x +1—x Khi có: & x€ (—co;—3] U[3; +00) \{ £5} Vx°-9#4 at Vx’ +1—-x lin—————— =; lim ——————=2 x—>—eœ x1 a] x? —4 nên thị hàm sơ có hai đường tiệm cận Vx°-9-4 ngang Vx°+1-x _ Nx +l—x x-»5° AÍ y -9-4 Mặt khác có lim ——————=+; lim ————_—=+‡e x¬-5° | x2 —0 —4 nên đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng Vậy đồ thị hàm số cho có đường tiệm cận Cau 24 Xét m0 đồ thị hàm số khơng có đường tiệm cận đứng Xét m #0 đồ thị hàm số khơng có đường tiệm cận đứng zđ —bc =0 © —l+m? =0 © m7=*I1 Vậy giá trị m cần tìm m=0;mm= +1 Cau 25 Ta có lim ý “, ° * 3/ + + x Mặt khác Ÿ Xx x- + 3x lim y = 2; lim y=0 xz—>—= x40 + =oo, Vay thị hàm sơ có đường tiệm cận đứng x=l A a » ` A F4 ` A ^ rv ` nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang Vậy đồ thị hàm số cho có đường tiệm cận Cau 26 oe Nx}+2x+2—mx Xét lim ———— —]—†r ro x+2 ` Nx?+2x+2—mx lin ——- xe Để hàm số có hai tiệm cận ngang —l—zm #1—m Vay Vme x+2 l—m (thỏa với ?n) R thi đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang Cau 27 Xét phuong trinh Vx’? -x+1+mx=0 Nếu phương trình khơng có nghiệm x =1 thi đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x=1 Nếu phương trình có nghiệm x=lhay m=—1 Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn ISITHBTN Chuyên để I Ứng dung đạo hàm để xét tính biên thiên uà đổ thị hàm đố VXx?-x+l—x —] lim —————_—-_ = lim ——————- = —— nn ma Khi xét BTN 14 916i han: Ăn ro Jong] tx ma truong hop ney \ thị hàm số đường tiệm cận đứng Vay m#-1 Câu 28 yo Diéu kién: ©‹4xzZ-—Ì x’ -—3x-440 lim Tacó —2 x#4 V4—x° ————=-.; lim x(-1)'x° —3x-—4 x(-1) —2(—1)' Vì lim y khơng tồn nên đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang x—>+© Cau 29 ⁄ 1: 2x A Ta có lim y= lm———=_—œ x1 2x z—>—o x y—[| lim y = lim —— = ` Ỷ nên dudng thang x=1 xol x-1 A ` lim ——=2 nén duong thắng xo—= 1— 4th A „ + A abt bho k tiệm cận đứng đô thị hàm sô y=2 SUA A À “1A kK tiệm cận ngang đô thị hàm sô x x 4-0, lim y= lim x—+eo X—+co NX +H1 xX = lim X—+co ,jI+-y =l x nên đường thăng y =1 x tiệm cận ngang đồ thị hàm sô x —> +eo Cau 30 NGA TA x —(2m+3)x+2(m-1) Đô thị hàm sô y = x-2 khơng có tiệm cận đứng © phương trình ƒ (x) = x7 —(2m+3)x+2(m—1)=0 có nghiệm x=2 © ƒ(2)=0 © 4-2(2m+3)+2(m—1) =0 ©—2m—4=0 © m=~—2 Cau 31 D6 thi ham sé y= 132+2(2m13)x1 mê CỐ hại tiệm cận đứng © phương trình 4x” +2(2m+3)x+ m” —1=0 có hai nghiệm phân biệt > A'> 049 (2m4+3) ~A(mẺ —1) >0 12m >-13 m>-— Cau 32 Dé thi ham sé y= x=1 x*+2(m—1)x+ m” —2 có hai tiệm cận đứn ‘ © phương trình ƒ (x) = xÏ +2(m—1)x+ m”—2 =0 có nghiệm phân biệt khác Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 16|THBTN uy: Chuyên để I Ứng dung đạo hàm để xét tính biên thiên uà đổ thị hàm đố A'>0 — F(I)#O Câu 33 [(m-U-(m2-2)}>0 — = BTN 14 m0 , ©mzl |142(m-1)+m?-240 = [m+ 2m-340 43 (ØW@WWfể - Nếu m=0 y= x+1 Suy ra, đồ thị khơng có tiệm cận ngang em¬ - Nếu ø+eœ lim y= x—>—œ +1 lim Im*2)>+= x—>+eo lim x (Z+1)-x x——œa = lim ———_——_~ = _ X—-+00 vti-x tran x Suy đường thắng y =0 tiệm cận ngang đồ thị hàm số x —› —œ - Voi m>1 thi lim y= lim s[re X—+co lim y= lim [1 Câu 34 [m ¬ x->—= x x——œo° ord X—-+00 =+œ Xx nên đô thị hàm sô tiệm cận ngang A rn ° ` AK ^ cA A (ØW@WR Điều kiện: >—— x’ —x+320 ve 42x+1>0 ©4xZ2 x —2x° -x+240 Với điêu kiện ta có, y >—— ve 25x#2 x#241 x#l1 (x? —x+3)-(2x+1) (x? ~3xz+2)(x+1)(|x?=x+3+xJ2x+1] x?—3x+2 (x°-3x+2)(x+1)(v2" —x+3 +⁄2x+1]) Ta có iim x>(-U" Y; iim x—>(-1)_ (x+1)(dx —x+3 Am) y nên đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 17|THBTN Chuyên để I Ứng dung đạo hàm để xét tính biên thiên uà đổ thị hàm đố Mặt khác lim y= lim x—+ee x—+ ( x|l+— Ly l | =0 BTN 14 nên đường thắng y=0 tiệm ——+-5+,J/-+—= x xX xX xX Xx cận ngang đồ thị hàm số x —› +eo lim y không tôn x——œ Câu 35 Điều kiện: zx? +1 >0 - Nếu m=0 hàm số trở thành y = zx+1 khơng có tiệm cận ngang - Nếu m< hàm số xác định ©——— < Do đó, lim xr - Nêu m >0 a y không tồn nên đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang hàm sơ xác dinh véi moi xe R lim y= tim _ = or “tr = lim ——— Suy đường thắng y= = tiệm cận ngang đồ thị hàm số x —› +œo m lim y= im ——— x—>—œ x—>—œ = 1+ = lim ———*— x—>+eo Inv Suy đường thẳng y=——— Tr _—: tiệm cận ngang đồ thị hàm số x —› —œ Vay m>O thda man yéu cau dé bai Câu 36 x Điêu kiện: |x8l x#m Nếu 7m >1 lim y; lim y khơng tổn nên đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng Nếu m=1 hàm số trở thành y = NXI—x =i —1 yale ~ ica — x—- Suy đường thắng x=1 1A tiém cn dtmg cua dé thi ham s6 x 91 lim y không tồn x¬il" Do đó, m =1 thỏa mãn - Nếu mm” x>m" Suy đường thắng x=m tox =+œ; X— lim y= lim xm xm _ X — F4 tiệm cận đứng đồ thị hàm số x —>m” x—>m_ Vậym 0 (-1) -3.(-1) A ,.|m>0 Vậy với Câu 38 m S_—4 ©jÌm>0 #m = |m#-4 m < —4 m>O S khỏc ôâ> x`3x =m: cú mt nghim khác —1 Ve TH2: Phương trình xÌ—3x” —zn =0 có nghiệm , w~ oa Rk aks: thỏa mãn yêu câu đê Al ChọnD x?-mx— 2m? Đô thị hàm sơ y==————— x — có tiệm cận đứng © khơng nghiệm ƒ (x) =x”—mx— 2m” © f(2)=4-2m—2m? f (2) m—2m #0 m#1 oe Câu 39 Đồ thị hàm số y= ——— Sx_3 x° -—2mx+1 © 1x —2mx+1=0 khơng có tiệm cận đứng vụ nghim ôâ A'