Chủ đề 2.3. Điểm đặc biệt của họ đường cong

Trang 1

Chuyên đẻ 2 Các bài tốn liên quán dén đồ thị hàm aố BTN_2_3

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

I Bài tốn tìm điểm cố định của họ đường cong

Xét họ đường cong (C„) cĩ phương trình y= ƒ(x,zm), trong đĩ ƒ là hàm đa thức theo bién x

với mm là tham số sao cho bậc của m khong quá 2 Hãy tìm những điểm cố định thuộc họ đường

cong khi 7n thay đơi? s* Phương pháp giải:

o Bước 1: Đưa phương trình y= ƒ(x,zm) về dạng phương trình theo ân m cĩ dạng sau:

Am+B=0 hoặc Am” + Bm + C =0

o Bước 2: Cho các hệ số bằng 0, ta thu được hệ phương trình và giải hệ phương trình:

A=0 | 7 hoac « B=0

r C=0

o Bước3: Kết luận

*ˆ Nếu hệ vơ nghiệm thì họ đường cong (C„) khơng cĩ điểm cố định

ˆ Nếu hệ cĩ nghiệm thì nghiệm đĩ là điểm cơ định của (C,) II Bai todn tim điểm cĩ tọa độ nguyên:

Cho đường cong (C) cĩ phương trình y = f(x) (ham phân thức) Hãy tìm những điểm cĩ tọa độ

nguyên của đường cong?

Những điểm cĩ tọa độ nguyên là những điểm sao cho cả hồnh độ và tung độ của điểm đĩ đều là số nguyên

s* Phương pháp giải:

o Bước1: Thực hiện phép chia đa thức chia tử số cho mẫu số

o Bước2: Lí luận để giải bài tốn

HI Bài tốn tìm điểm cĩ tính chất đối xứng:

Cho đường cong (C) cĩ phương trình y = ƒ(x) Tìm những điểm đối xứng nhau qua một điểm, qua đường thắng

Bai todn 1: Cho dé thi (C): y = Ax’ + Bx’ +Cx+D trén do thi (C) tim nhitng cap diém doi xung nhau qua diémI (Xạ; yr)

Y Goi M(a;Aa’ + Ba’ +Ca+D), N(b;Ab’ + Bb’ +Cb+ D) 1a hai diém trên (C) đối xứng

nhau qua điểm 7 a+b=2x,

A(a°+b})+ B(a?+b?)+C(a+b)+2D =2y,` Giải hệ phương trình tìm được a,b từ đĩ tìm được toạ độ M, N

Trường hợp đặc biệt : Cho đồ thị (C): y= Ax` + Bx” +Cx+D Trên đồ thị (C) tìm những cặp

=

điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ

Trang 2

Chuyén dé 2 Các bài tốn liên quán đến đồ thị hàm aố BTN 2 3 Y Goi M (a, Aa’ + Ba’ +Ca+D),N(b, Ab’ + Bb’ +Cb+D) 1a hai diém trên (C) đối xứng

nhau qua gốc tọa độ

a+b=0

w 'Ta cĩ

of +b°)+B(a’ +b’)+C(a+b)+2D=0

* Giải hệ phương trình tìm được a,b từ đĩ tìm dugce toad6 M,N

Bai todn 3: Cho dé thi (C): y = Ax’ + Bx”+Cx+ D trên đồ thị (C) tìm những cặp điểm đối

xứng nhau qua đường thẳng d: y = AxtB,

Y Goi M(a;Aa’ + Ba’ +Ca+D), N(b;Ab’ + Bb’ +Cb+ D) 1a hai diém trên (C) đối xứng

nhau qua đường thắng đ

Ied (1) 2 +

¥ Tacé: 4 (với J là trung diém cua MN va uz là vectơ chỉ phương của

MN.ua =0 (2)

đường thẳng đ)

Giải hệ phương trình tìm được M, N

IV Bài tốn tìm điểm đặc biệt khác: 1 Lí thuyết:

Loại I Cho hai điểm P(x;:y):0(;;y,)= PO =4|(x—x, +(y;~ y,Ÿ

Cho điểm M(x,;y)) và đường thắng đ: Ax+ By+C =0, thì khoảng cách từ M

đến đ là n(M-d) = ot Bo Cl

VA? +B?

Loại 2 Khoảng cách từ M (xạ; yạ) dén tiém can dimg x=a la h=|x,-a] Loại 3 Khoảng cách từ M (xạ; yạ) đến tiệm cận ngang y= là ù=|yạ —b|

Chú ý: Những điểm cần tìm thường là hai điểm cực đại, cực tiểu hoặc là giao của một đường

thắng với một đường cong (C) nào đĩ Vì vậy trước khi áp dụng cơng thức, ta cần phải tìm

tìm điêu kiện tơn tại rơi tìm tọa độ của chúng

2 Các bài tốn thường gặp:

Bài tốn 1: Cho hàm số y= “1P 7 (c0, ad—bc #0) cĩ đồ thị (C) Hãy tìm trên (C) hai

cx+

điểm A va B thuộc hai nhánh đồ thị hàm số sao cho khoảng cách AB ngắn nhất

v (C) cĩ tiệm cận đứng x= _& do tính chất của hàm phân thức, đồ thị nằm về hai phía

Cc

của tiệm cận đứng Nên gọi hai số œ, đ là hai số đương

Nếu A thuộc nhánh trái thi x, <4 x, -4 ge_4, yY,=Ff(%,)-

Trang 3

Nếu Ư thuộc nhánh phải thì x; _ -4, 85-4 y; = ƒGg)

C C C

v Sau đĩ tính AB’ =(x,—x,) +(ys—y,) =[(a+/8)—(a—#) Ï +(y; — vụ) -

* Áp dụng bất đẳng thức Cơsi (Cauchy), ta sẽ tìm ra kết quả

Bài tốn 2: Cho đơ thị hàm số (C) cĩ phương trình y= ƒ(x) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) để tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ nhất

& » Phương pháp giải:

¥ Goi M (x; y)va tong khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là d thi d= x|+|y]

* Xét các khoảng cach tir M dén hai truc toa d6 khi M nam ở các vị trí đặc biệt: Trên truc hoanh, trén truc tung

* Sau đĩ xét tong quát, những điểm # cĩ hồnh độ, hoặc tung độ lớn hơn hồnh độ hoặc tung độ của M khi nằm trên hai trục thì loại đi khơng xét đến

Những điểm cịn lại ta đưa về tìm giá trị nhỏ nhất của đồ thi hàm số dựa vào đạo hàm rồi tìm được giá trị nhỏ nhất của đ

Bài tốn 3: Cho đồ thị (C) cĩ phương trình y = ƒ (x) Tìm điểm M trên (C) sao cho khoảng cách từ M đến Ox bằng k lần khoảng cách từ M đến trục Oy

VY Theo đầu bài ta cĩ |y|= k|x|© ý ˆ “li ao

y=-kx |ƒ(x)=-kx

ax+b

Bài tốn 4: Cho đơ thị hàm số (C) cĩ phương trình y= f (x)= 7 (c0, ađ—bc #0)

cx+

Tìm tọa độ điểm M' trên (C) sao cho độ dài MI ngăn nhất (với I là giao điểm hai tiệm cận)

cA ˆ z nN wn a

¥Y Tiém can dimg x=——; tiệm cận ngang y=—

Cc Cc

rd ia

Y Ta tim dugc toa dé giao diém J ( ) của hai tiệm cận

Cc €C

Gọi # (x„; y„ ) là điểm cần tìm Khi đĩ:

2 d\ a\

IM* = Xu + + Ym = g(x,)

¥ Su dung phương pháp tìm GTLN - GTNN cho hàm số g để thu được kết quả

Bài tốn 5: Cho đơ thị hàm số (C) cĩ phương trình y= ƒ(x) và đường thẳng d:Ax+By+C =0 Tìm điển I trên (C) sao cho khoảng cách từ I đến d là ngắn nhất

s* Phương pháp giải

v Gọi I thuộc (C) => I(x¿:yạ); yạ = ƒŒ§)

Trang 4

Chuyên đẻ 2 Các bài tốn liên quán dén đồ thị hàm aố BTN_2_3 B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1 Câu 2 Câu 3 Câu 4 Câu 5 Câu 6 Câu 7 Câu 8 Câu 9

Đồ thị của hàm số y= (w—1)x+3—m (m là tham số) luơn đi qua một điểm M cố định cĩ tọa độ là

A M(0;3) B M(;2) C M(-1;-2) D M(0;1)

Dé thi cua ham s6 y =x? +2mx—m+1 (m 1a tham s6) luơn đi qua mot điểm M cố định cĩ tọa

độ là

A M (0;1) B M [z3]: 2 2 C M [z4]: 24 D M(—1;0)

Đồ thị của hàm số y= xÌ—3x?+mx+m (m là tham số) luơn đi qua một điểm Ä⁄ cĩ định cĩ

tọa độ là

A M (-1;2) B M (-1-4) C M (1;-2) D M (1;-4)

Biết đồ thị (C„) của hàm số y= x*—2mmx”+3 luơn di qua mét diém M cố định khi mm thay

đơi, khi đĩ tọa độ của điêm M Ia

A M (-1;1) B M (1;4) C M (0;-2) D M (0;3)

Biết đồ thị (C„„) của hàm số y = “= (m#0) luơn đi qua một điểm M cĩ định khi zm

thay đổi Tọa độ điểm M khi đĩ là

A.M [ 2]} B M (0:1) C M (-1;1) D M (0;-1)

Hỏi khi z thay đơi đồ thị (C„) của hàm số y = x°—3mx”—x+ 3m đi qua bao nhiêu điểm cơ

định ?

A 1 B 3 C 2 D 4

Tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) của hàm số y = *—ˆ sao cho khoảng cách từ điểm M đến

x—

tiệm cận đứng bằng 1 la

A M (0;1),M (2;3) B M (2:1)

c Í~k3) 2 D M [%2] 2

Hỏi khi m thay đổi đồ thị (C„) của hàm số y=(I—2m)x°+3mx”—m—1 đi qua bao nhiêu

điểm cĩ định 2

A 3 B 4 C 1 D 2

Tọa độ các điểm thuộc đồ thị (C) của hàm sé y= z1 mà cĩ tổng khoảng cách đến hai

x—

đường tiệm cận của (C) bằng 4 là

A (4;3),(-2;1) B (2;5),(0;—1)

Trang 5

Chuyên đẻ 2 Các bài tốn liên quán dén đồ thị hàm aố BTN_2_3 Câu 10 Câu 11 Câu 12 Câu 13 Câu 14 Câu 15 Câu 16 Câu 17 Câu 18 Câu 19 Câu 20 Cau 21 2x7 +(1—m)x+l+m

Biết đồ thị (C„) của hàm số y= (m#-—2) luơn luơn đi qua một điểm —x+m

M(x„:y„ ) cố định khi m thay đổi, khi đĩ x„ + y„ bằng

A -1 B -3 C 1 D -2

Cho hàm số y=—x” +?nmx”—x—4m cĩ đồ thị (C„) và A là điểm cố định cĩ hồnh độ âm của

(C,,) Gia tri cua m để tiếp tuyến tại A của (C,,) vuơng gĩc với đường phân giác gĩc phần tư thứ nhất là

A m=-3 B m=-6 C m=2 D m=-2

Trên đồ thị (C) của hàm số = cĩ bao nhiêu điểm cĩ tọa độ nguyên ? x+

A 4 B 1 G22 D 3

Trên đồ thị (C) của hàm số y=x°—5x”+6x+3 cĩ bao nhiêu cặp điểm đối xứng nhau qua

gốc tọa độ ?

A.2 B 1 C 0 D 3

Trén d6 thi (C) ca ham sé y= = cĩ bao nhiêu điểm cĩ tọa độ là các số nguyên đương ?

A 4 B 3 C 1 D 2

Trên đồ thị (C) của hàm số y= 3x-2 cĩ bao nhiêu điểm cĩ tọa độ nguyên ?

A 6 B 2 C 3 D 4

4

: ` ` As oA kK » ` kK Xx ` 2 *2 4 Le

Gọi x,,x, là hồnh độ các điêm uơn của đơ thị hàm sơ y =— ,? —], thi +;x, CĨ giá tri bang 4 A.^ 3 B.0 C.,“ 3 D =2 3

Trên đồ thị (C) của hàm số y= Tan số điểm cĩ tọa độ nguyên là

A 4 B 8 C 3 D 2

Trên đồ thị (C) của hàm số y= — cĩ bao nhiêu điểm cĩ tọa độ nguyên ?

A 4 B 2 C 10 D 6

Trên đồ thị (C) của hàm số y= — cĩ bao nhiêu điểm cĩ tọa độ nguyên ?

A 4 B 2 C 1 D 6

Trên đồ thị (C) của hàm số y= —— cĩ bao nhiêu điểm cĩ tọa độ nguyên ?

A 4 B 2 C 1 D 6

Trên đồ thị (C) của hàm số y= gx+1H 4x+2

A 6 B 2 C 1 D 0

Trang 6

Chuyên đẻ 2 Các bài tốn liên quán dén đồ thị hàm aố BTN_2_3 Câu 22 Câu 23 Câu 24 Câu 25 Câu 26 Câu 27 Câu 28 Cau 29 Cau 30 oA 2 ` A ^ x "aR A + 2 A 9 z

Tọa độ điêm M cĩ hồnh độ dương thuộc đơ thị hàm sơ y = * sao cho tong khoang cach

Xx—

tir M đến 2 tiệm cận của đồ thị hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là

A M(4;3) B M@;5) C M(1;-3) D M(0;-1)

Số cặp điểm thuộc đồ thị (C) của ham s6 y=x°+3x’-2 d6i ximg voéi nhau qua điểm

I (2;18) la

A, 2 B 1 C 3 D 4

kK, 9 4 ge z A A a aha: 4s k 3xt+5 ¿ „ z Trong tât cả các điệm cĩ tọa độ nguyên thuộc đơ thị (C) của hàm sơ y= n7 so diém cĩ

>

hồnh độ lớn hơn tung độ là

A 2 B 8 C 6 D 4

x+2

Cho hàm sé y= ; cĩ đồ thị (C) Gọi 7 là giao điểm hai đường tiệm cận của (C) Biết tọa độ điểm # (x„; y„ ) cĩ hồnh độ dương thuộc đồ thị (C) sao cho ấM7 ngăn nhất Khi đĩ giá trị x„ — y„ bằng

A 0 B 243

Œ 2 D -2

Cặp điểm thuộc đồ thị (C) của hàm số y= x°+3x—2 đối xứng nhau qua điểm /(2;18) là A (1;2) và (3;34) B (3;2) và (1;34)

Œ (0;—-2) và (4;74) D (1;2) và (-1;—6)

Cặp điểm thuộc đồ thị (C) của hàm số y= xzÌ`—4x?+9x+4 đối xứng nhau qua gốc tọa độ O

là

A (3;22) va (—3;-22) B (2;14) va (—2;—14) Œ (1;10) và (—1;—10) D (0;4) và (4:40)

Cặp điểm thuộc đồ thị (C) của hàm số y = x`+x đối xứng nhau qua đường thắng đ: y= -5x

la

A (1;2) va (-2;-10) B (2;-1) va (-2;1) C (1;-2) va (-1;2) D (1;2) và (—1;-2)

- ọ ` £ +1

Toa d6 diém M thuộc đề thi (C) cia ham sé y=—

x—= mà cĩ khoảng cách đến tiệm cận

ngang của (C) bằng 1 là

A M (3;2) B M (5;2)

C M{(5:2),M (—1;0) D u[4:3}.m[ 0-3)

Các giá trị thực của tham số m dé d6 thi (C,,) cua hàm số y= x°—3x?+m cĩ hai điểm phân

biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ là

Trang 7

Chuyén dé 2 Các bài tốn liên quán đến đồ thị hàm aố BTN_2 3

Câu 31 Cho hàm số y= — cĩ đồ thị (C) Gọi đ là khoảng cách từ một điểm M trên (C) đến giao

x+

điểm của hai tiệm cận Giá trị nhỏ nhất cĩ thể cĩ của đ là

A V2 B 23 C 342 D 242

Câu 32 Cho hàm số y= a cĩ đồ thi (C) va 7 là giao điểm của hai đường tiệm cận của (C) Tiếp xX —

tuyến tại một điểm M bat ky cha (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại A và 8 Diện tích của tam giác ABI bằng

A 4 B 5 C 6 D 7

Câu 33 Cho điểm M thuộc đồ thị (C) của hàm số y= —, biết M cĩ hồng độ z và khoảng cách

x+

tir M đến trục Ox bang ba lần khoảng cách từ M đến trục Oy Gia tri cé thể cĩ của ø là A a=1 hoac a= B a=-—1 hoặc x=—

wl[r

wi

rn

C a=-1 hoặc a=, D a=1 hoặc a=-

Câu 34 Cho hàm số y=—^ cĩ đồ thị (C) Goi M là một điểm thuộc đồ thị (C) và đ là tổng

x —

khoảng cách từ M_dén hai tiém can cia (C) Gid tri nh nhat cua đ cĩ thể đạt được là

A 6 B 10 C 2 D.5

Câu 35 Cặp điểm thuộc dé thi (C) của hàm số y= - +x? tin mà chúng đối xứng nhau qua

trục tung là A (3-2) va (-x.-%) B (3:22) va (3:22) 3 3 3 3 C [2] và 2:5") D Km và [-›-3} 3 3 3 3 x +5x+15 xX+

A 2 B Cĩ vơ số điểm 4 thỏa yêu cầu

C 1 D Khơng cĩ điểm 3 thỏa yêu cầu

Câu 36 Cĩ bao nhiêu điểm M thuộc đồ thị (C) của hàm số y= cách đều hai trục tọa độ 2

Câu 37 Cĩ bao nhiêu điểm thuộc đồ thị (C) của hàm số y= cĩ tọa độ nguyên ?

x+2x+2

A 1 B 8 C 3 D 4

Câu 38 Biét dé thi (C,,) cua ham sé y =x°-3(m—-1)x’ -3mx+2 luén lu6n di qua hai diém cé dinh

P(xpsyp) va O(z¿: ve) khi m thay đổi, khi đĩ giá trị của y„ + y„ bằng

A -1 B 6 C 5 D 8

Câu 39 Tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) của hàm số y=“”—ˆ sao cho khoảng cách từ điểm /(—1;2)

x+1

Trang 8

Chuyên đẻ 2 Các bài tốn liên quán dén đồ thị hàm aố BTN_2_3 Câu 40 Câu 41 Câu 42 Cau 43 Câu 44 Câu 45 Cau 46 A M, (-1+V3;2+3), M, (-1-V3;2+3) B ,(—1+v3;2—43), M,(—1+v3;2+43) C M,(—1+v3;2—x3), M, (-1-V3;2+ V3) D M, (-1-V3;2-3), M, (-1-V3;-2-3] 2

^ keg 4 sae , Raa aha: o 4s _Ấ x=4mx+5m ,, Tap hop tat ca cdc gid trithyc cha m dé trén do thi (C,,) cua ham so y =———————_ Cĩ hai

x—

điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ là

A (0+) B (~z;0]| ‘| 2°) t 13

1 4 4 C |1;+00°) bie) D (—;0)| —;— |Ù©| —;+© | Coiou(a:5}u(5™)

LẠ 2 — ` ` Ƒ ` 7 y vr 9 vy ` 2

Cho hàm số y=““ = c6 do thi (C) Biét rang tiép tuyén tai mét diém M bat ky cha (C)

xX —

luơn cắt hai tiệm cận của (C) tại A và B Độ dài ngắn nhất của đoạn thăng À là

A 4 B V2 Gm, D 242

Tọa độ điểm M4 thuộc đồ thị (C) của hàm số y= *†Z sao cho M cách đều hai điểm x—=

A(2,0) và B(0,2)là A [8 nở] ? 1 2 aa 2 2 2 2 C [8 18), 2 2 2 2 D Khéng tén tai diém M 1 og a Le , x +2x-2

Khoảng cách ngăn nhật từ điểm M thuộc đơ thị (C) của hàm sơ y=——————— đên /(I,4) là

x—

A.2 B 2/2 C ¥2+2V2 D V2V2-2

Cho ham s6 y=2271 x+l1

tiệm cận của (C) đạt giá trị nhỏ nhất bằng ?

cĩ đồ thị (C) Tổng khoảng cách từ một điểm M thuộc (C) đến hai

A 3 B 2 C D 4

Wildy

Goi A, B là hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau trên đồ thị (C) của hàm số y= x13

x — , độ dài

ngắn nhất của đoạn thắng AB là

A 43 B 243 C 4 D.2

Biết đồ thị (C„) của hàm số y=xÍ“+mx”—m+2016 luơn luơn đi qua hai điểm M và N cố định khi múm thay đơi Tọa độ trung điểm I cua đoạn thang MN la

Trang 9

Chuyên đẻ 2 Các bài tốn liên quán dén đồ thị hàm aố BTN_2_3 Câu 47 Câu 48 Câu 49 Cau 50 Cau 51 Cau 52 Cau 53 Câu 54 Cau 55 x+2

Cho hàm số y= cĩ đồ thị (C) Tống khoảng cách từ một điểm M thuộc (C) đến hai

x—

hai trục tọa độ đạt giá trị nhỏ nhất bằng ?

A 2 B 2 C 1 p L

3 6

` k x°4+3x4+3 a Ả z a, ack ^ k

Cho hàm sơ y= ——2— cĩ đơ thị (C) Tơng khoảng cách từ một điểm M thuộc (C) dén

x+

hai hai trục tọa độ đạt giá trị nhỏ nhất bằng ?

Av B.A 2 C.2 p 2 2

Tọa độ cặp điểm thuộc đồ thị (C) của hàm số y= x14 đối xứng nhau qua đường thẳng

x—

d:x-2y-6=01

A (44) và (-1;-1) B (1;-5) va (-1;-1) C (0;-2) va (3;7) D (1;-5) và (5:3)

Cho hàm số y= x“+zmx?—m—1 cĩ đồ thị (C,,) Toa d6 các điểm cĩ định của (C„) là

A (-1;0).(1:0) B (1;0),(0;1) C (—2;1),(-2;3) D (2:1).(0:1)

` k x°-5xt+2 0 ¬ z wa ek es a

Cho ham sơ y — cĩ đồ thị (C) Hỏi trên (C) cĩ bao nhiêu điêm cĩ hồnh độ và x

tung độ là các số tự nhiên

A 3 B.2 Œ 8 D 4

Cho ham số y=—+x'+2mx”—2mm+1 cĩ đồ thị (C„) Gọi A là điểm cố định cĩ hồnh độ

dương của (C,) Khi tiếp tuyến tại A của (C,.) song song với đường thang d: y=16x thi gid

tricua m la

A m=5 B m=4 C m=1 D m=

64

; z ; ke ux a, ged nad aq: — k x+4x+5 „„ x Khoảng cách nhỏ nhât từ một điêm thuộc đơ thị (C ) của hàm sơ y = đên đường

x

thang d: y+3x+6=0 bang

A.2 B 4 C x10 D.— v10

Cho hàm số y <= cĩ đồ thị (C) Tổng khoảng cách từ một điểm M thuéc (C) dén hai

x—

tiệm cận của (C) đạt giá trị nhỏ nhất bằng

A 3 B 4 C 2v2 D 2

Tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) của hàm số y= = cách đều hai đường tiệm cận của (C) x là

Trang 10

Chuyên đẻ 2 Các bài tốn liên quán dén đồ thị hàm aố BTN_2_3 Câu 56 Câu 57 Câu 58 Câu 59 Cau 60 Câu 61 Câu 62 Câu 63 Câu 64 C w{ 5s ].w T2] D M (-2;2) 3 5

Toa d6 diém M thuộc đồ thị (C) của hàm số y= x13 cách đều hai trục tọa độ là

x—

A M (—1;-1) M (3:3) B M (-1;3)

C M (-1;-1) D M (3;3)

Tọa độ điểm M cĩ hồnh độ nguyên thuộc đồ thị (C) của hàm số y= x12 cĩ khoảng cách

x—

đến đường thắng A: x— y+1=0 bằng -= là +

A M (-2;0) B M (2;4)

C M (2;4);M (-2;0) D M (2;-2)

Cho hàm số y=(m+2)x°—3(m—2)x+m+7 cĩ đồ thị (C„) Khẳng định nào sau đây là

khẳng định đúng?

A (C„) khơng đi qua điểm cố định nào B (C„) cĩ đúng hai điểm cĩ định

C (C„) cĩ đúng ba điểm cĩ định

D (C„) cĩ đúng một điểm cỗ định

Điều kiện của tham số mm để trên đồ thị (C„) của hàm số y= xÌ —(3m—1)x” +2mx+m+1 cĩ

ít nhất hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua trục Oy là

A m<0 B m<0 C m=-2 D m<-2

Đồ thị hàm số y= 2x) +/mx?—12x—13 cĩ hai điểm cực trị cách đều trục tung khi và chỉ khi:

A m=-1 B m=0 C m=-Lm=-2 D m=-2

cĩ bao nhiêu điểm cách đều hai trục tọa độ?

‘ Ầ ° ` 4 +1

Hỏi trên đơ thị (C) của hàm sơ y= š

x+2

A 3 B 2 C 4 D 0

Tọa độ các điểm thuộc đồ thị (C) của hàm số y = 3x = cách đều hai tiệm cận của (C)

x

A M (-1;1);N(-45-6)

C M (-1;3);N (-3;3) M (1;1);N (3;4)

M(~13);N (-33)

Tọa độ hai điểm trên đồ thị (C) của hàm số y=_—x”°+3x+2 sao cho hai điểm đĩ đối xứng

nhau qua điểm M (-1; 3) là

A (-1;0);(1;6) B (1;0);(1;6) C (0;2); (-2;4) D (10):(-1;6) Trên đỗ thị (C) của hàm số y = So ï ˆ cĩ bao nhiêu điểm cĩ tọa độ nguyên 2

x—

Trang 11

Chuyên đẻ 2 Các bài tốn liên quán dén đồ thị hàm aố BTN_2_3 Câu 65 Câu 66 Câu 67 Câu 68 na ke 2 2 ack a ah at: — k x+1 2 2 ` Tọa độ tat ca các điêm thuộc đơ thị (C) của ham so y= sao cho tơng khoảng cách từ

x —

điểm đĩ đến 2 tiệm cận là nhỏ nhất là

A (11) B (1+ -V3;1+ V3)

C (1-/3;1-V3) D (2+-V3:1+.V3) va (2-/3;1- 3)

Xr 2 ° ` K ™ 1 aA s A ` 4 e A ` ˆ^ RK ° Lá

Đơ thị của hàm sơ y = nhận điêm nào trong các điệm sau làm tâm đơi xứng ?

x+1

A K (-1;-3) B N(3;-1) C M (-1; 3) D I(-3;-1)

Tọa độ các điểm thuộc đồ thị (C) của hàm số y = ox = cách đều tiệm cận đứng và trục hồnh x— là

A M (2;1),M (4;3) B M (0;-1),M (453)

C M (0;-1),M (3;2) D M (2;1),M (3;2)

aes asa nae 7 1 k +2 , Z x ak

Cĩ bao nhiêu diém M thuộc đơ thị (C) của ham so y= *** sao cho khoảng cách từ điểm

M đến tiệm cận ngang bằng 5 lần khoảng cách từ #⁄ đến tiệm cận đứng?

Trang 12

C ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

I- ĐÁP ÁN 11213145 |6 |7 |8 |9 |101| 11|12|113| 14 | 15 16 | 17 | 18 | 19 | 20 BỊ|ỊC|B|ID|BIC|A|B|C|C|IA|A|A|IDIC|D|ID|IDỊIA|IB 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 DỊA |B|AIA|AIC|DIC|IDID|IA|LDIC|B|IC|IC|BỊIỊẠC|D 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 DỊC|C|B|A|ID|IB|IDI|IBIA|B|AIDIC|B|A|C|IC|B|I|B 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 C|JB|C|ID|ID|ID|B|IA II-HƯỚNG DẪN GIẢI Câu |W@WWW

Goi M(x); yp) là điểm cố định cần tìm

Ta cĩ yạ = ứm— Ùxạ +3—m,Vm

x, -1=0 xX, =1

& (x —Dm-x, -y)+3=0,Vm & © => M (I;2) —Xy — ¥y +3=0 Yo =

Phương pháp trắc nghiệm

Chúng ta cĩ thể thế từng đáp án để kiểm tra, tức là thế tọa độ điểm M vào phương trình hàm số

luơn đúng với mọi zn thì điểm đĩ là điểm cố định

Câu2 WWWWI

Goi M(x); y,) là điểm cố định cần tìm

Ta cĩ yạ = x2 +2mx¿ —m+1 wal 2x, -1=0 0 © (2x/—1)m+xj+1—yạ =0,Vm X +1-y, =0 œ4 © _5 2m (2.3) 24 Yo =F 4 Phương pháp trắc nghiệm

Chúng ta cĩ thê thế từng đáp án đề kiểm tra, tức là thế tọa độ điểm Ä⁄ vào phương trình hàm số

luơn đúng với mọi zn thì điểm đĩ là điểm cố định

Câu3 |ỂW@WW

Goi M(x); y,) 1a điểm cĩ định cần tìm

Ta cĩ yạ = x —3%J + mxạ +m,Vm

3 3 X +1=0 X =-l

%g —3*2 — yạ =0

Chúng ta cĩ thê thế từng đáp án đề kiểm tra, tức là thế tọa độ điểm M vào phương trình hàm số

Trang 13

Chuyên đẻ 2 Các bài tốn liên quán dén đồ thị hàm aố BTN_2_3 Câu 4 Câu 5 Câu 6 Câu 7 Câu 8

Gọi M(; yạ) là điểm cố định cần tìm

Ta cĩ => M (0;3).P 4 2 2 4 2x5 =0 + =0 Yạ =*¿ —2m+¿ + 3, Vm © 2x¿m + yạ —3— xạ =0,Vm © = Yo —3- x5 =0 yạ =3 hương pháp trắc nghiệm

Chúng ta cĩ thê thế từng đáp án để kiểm tra, tức là thế tọa độ điểm M vào phương trình hàm số luơn đúng với mọi thì điệm đĩ là điệm cơ định

Chọn B

Gọi Ä⁄ (xạ; yạ) là điểm cĩ định cần tìm _ (m+])xạ+m Ta cĩ yạ Xy +m VN #0 XY +My, = mx, +x, +m, Vm 40 Yo —X —1=0 X) =0 © m(yạ — xạ —Ù)+ *ạy¿ —xạ =0, Vm #Ũ © = => M(0;1) Xy Vo —X% =O yạ=l Phương pháp trắc nghiệm

Chúng ta cĩ thê thế từng đáp án đề kiểm tra, tức là thế tọa độ điểm M vào phương trình hàm số luơn đúng với mọi m thì điểm đĩ là điểm cỗ định

Gọi É(x¿; yạ) là điểm cĩ định cần tìm

Ta cĨ: yạ = x) —3m%2 — xạ + 3m, Vm 2 | 1— xs =0 ẻ = © 3(—-x4}m+ xX — 3x; — yạ =0, Vm © = hoặc 0 =0 yạ=0 3 — Äo ~ Äọ — Yo = Vậy đồ thị hàm số đã cho đi qua hai điểm cĩ định

Goi Ma a

a-

Jeo voi a#1

Tiệm cận đứng của (C) là x=1

Ta cĩ ¡¬l=Le|f 2 Vậy M (0;1),M (2:3) a-

Chon B

Goi M(x); y)) là điểm cố định cần tìm

Ta cĩ yạ =(I—2m)xj +3mx2 —m—1,Vm

2x —3x +1=0

+5 GB + + ca v10 e lễ 410

Trang 14

1 1

x, =-—= x, == S “0 hoặc *o hoặc v2 hoặc v2

Yo =0 yạ=0 _ 3 _ 3

Yo 4 Yo 4

Vậy đồ thị hàm số đã cho đi qua bốn điểm cố định

Câu 9 |ØR@Wfi

Gọi M C 2a+] a-l

}t© với a#l

Tiệm cận đừng và tiệm cận ngang của (C) lần lượt cĩ phương trình x=1, y=2 Khoảng cách từ đến tiệm cận đứng là ”, = |a — ||

Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang là h,=

a=

a—] |a-1|

Tổng khoảng cách từ 3⁄4 đến hai đường tiệm cận bằng 4 nên ta cĩ:

la-ll=3 la=-2

h,+h, =4 œ|a—lÌ+ —=4©|a-IƑ~4|a~l|+3=0 ¿—=1” mm

|a-]

Vậy các điểm cần tìm là: (2;5), (0;—1), (4;3), (—2:1)

Câu 10 lW@WƒCf

Gọi É (x„: y„ ) là điểm cĩ định cần tìm

_ 2x„ +(—m)x„ +l+m —Xy +m Tacé y,, Vm # —2 © —Xy Vy +MY y =2x„ +xự — mxạ„ +1+m,Vm # —2 © (xự + y„ —l)m— xự y„ — 2x — x„ —L1=0,Vm # —2 la Ni

eS => M (-1;2)

Vy =2

Vay x, + yy =1

C4u 11 GhonAl

Goi A(; yạ), xạ <0 là điểm cố định cần tìm Ta cĩ yạ =—xg + mx2 — xạ —4m,Vm

2 3 _ 4—4=0 *Xạ =2

Trang 15

Chuyên đê 2 Các bài tốn liên quán đến đổ thị hàm aố BTN_2 3

Lại cĩ y=—3x? +2mx—1— y(—2) =—4m—13

Phương trình tiếp tuyến của (C,„) tại A(-2;10) cĩ dạng y=(-4m—13)(x+2)+10 hay

y=(-4m—13)x—8m—16 (A)

Đường phân giác gĩc phần tư thứ nhất cĩ phương trình đ: y=x

Vi A vuơng gĩc với đ nên ta cĩ —4n—13 = —l mm = —3 Câu 12 |ẾW@W

Gọi M(xạ: yạ) với xạc Z\{—2} yạ e Z

x, € Z\{-2}

> 9 z => x, +2 {—2;—l;1;2} > xạ e {—4:—3;—1;0} E

X, +2

Vậy trên đồ thị (C) cĩ bốn điểm cĩ tọa độ nguyên C4u 13 GhonAl

Goi A(a;a° -5a’ +6a+3),B(b;b° —5b’ +6b+3) 1a hai diém trén (C) đối xứng nhau qua gốc

a+b=0

tọa độ, ta cĩ mờ [ÉSP-s6*+e)šess8)sẩểu =-I04'+6=0= 4+ lŠ

Câu 14 (ØW@WWể

Goi M(x); y)) với xạe Đ ,yạe Đ” Zae*

=$ 3 e Ne 2% LE th 3} = xe {127

2X, —1

=> M,(-1;-D, M,(0;-3), M,0;3) va M,,(2;1)

Vay trén đồ thị (C) cĩ hai điểm cĩ tọa độ là các số nguyên dương

Câu 15 (ØW@Wf

Goi M(x); y) VỚI xạ € Z2, yạ c Z2 seế 2.1.4 => 4 => 3x, —2€ {-4;-2;-1,1;2;4} => x, € +—~:0;—;1;—;2 EZ 3 3 3 3xạ—2 Do x, € Z > M,(0;-2), M,(1;4) va M,(2;1)

Vậy trên đồ thị (C) cĩ ba điểm cĩ tọa độ là các số nguyên Cau 16 GhonD)

Ta cĩ y =x -2x, y’=3x -2> xx, == Vay X, Xy =>"

C4u17 GhonD)

Gọi M(%ạ; yạ) VỚI xạ € Z, yạc Z2

*XacZ

=> 6 < „— 4ã —le {—6; -3; -2;-1;1;2;3;6} > xe {-3:-

Trang 16

Chuyên đê 2 Các bài tốn liên quán đến đổ thị hàm aố BTN_2 3 Do xe Z2 > M,(0;-6) và M,(1;2)

Vậy trên đồ thị (C) cĩ hai điểm cĩ tọa độ là các số nguyên

Câu 18 GhonD)

Gọi MĨ (xạ; yạ) VỚI xạ € Z, yạc Z

xacZ

>? y=l+ 3 eZ 0 +1 {—9;—3;—1;1;3;9} — xạ e {—10;—4; —2;0;2; 8}

*ạ+Ì

= M,(-10;0), M, (—4;—2), M,(—2;-8), M,(0;10),M,(2;4) va M,(8;2) Vay trén dé thi (C) cĩ sáu điểm cĩ tọa độ là các số nguyên

Câu 19 Ghon Al

Gọi Ä (x¿; yạ) VỚI xạ € 2, yạc Z *Xạc Z2 => => 2x, -—le4-5;-1;145¢ => —2;0;1;3 yy =+{14+—— lez “™ =Í J=2se } 2\ 2x,-l xạ =—2> yạ=Ũ—> M(-2;0) £ xạ =l—> yạ=3— M(1;3) 4 xạ => yạ=-2—> M(0;-2) BX, =3> y =1> M (331)

Vay trén đồ thị (C) cĩ bốn điểm cĩ tọa độ là các số nguyên

Câu 20 (ØW@WW

Gọi Mƒ (xạ: yạ) VỚI xạ € Z2, yạc Z2

XEZ 2 10 => y =-|5- 3 1 3x, +1 11 eZ => 3x, +1e {-11;-1;1;11} > xạ 6 4—4;:——;0;— 3° 3 & X,=-4> y, =2> M(-42) & x,=0> y, =-2> M(0;-2)

Vay trén đồ thị (C) cĩ hai điểm cĩ tọa độ là các số nguyên

Câu 21 (ØĐ@WWể

Gọi M (xạ; yạ) VỚI xạ € Z, yạ c Z

xacZ 9 3 15 > 7 => 4x, +2€ {-7;-1,1;7} => x, € §-—3-=3 3— Yo =2+ EZ, 4 4 44 4x, +2

Do x,¢ Z nên trên đồ thị (C) khơng cĩ điểm nào cĩ tọa độ nguyên Câu 22 Chọn A

Gọi Masts le (C); a>0 và a#2, ta cĩ đ =|a—2|+ ETrnnira

a— a— a—

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ¡~2Ï~4esla-=2Ð| =2 a=

Trang 17

Chuyên đẻ 2 Các bài tốn liên quán dén đồ thị hàm aố BTN_2_3 Cau 23 Cau 24 Cau 25 Cau 26 Cau 27

Goi M(x;y) la điểm trên đồ thị (C) gọi N là điểm đối xứng với M qua ï, ta cĩ

N(4—-x;36— y) Vì N thuộc (C), ta cĩ

~y=(4-x) +3(4-x) -2

l y=(4-x) +3(4-x) => x3 43x? -2=-(4-x) -3(4-x)' +38 x=2 y=x*+3x?—2

Vậy cĩ tất cả một cặp điểm thuộc đồ thị (C) thỏa mãn yêu cầu đề bài

Gọi MĨ (xạ; Yạ) VỚI xạ € Z,y,€ Z *Xạc Z2

4 XỂ, - —Â:—2-—1:1:2:4: _"._—_ - —†: 9: ~&

“1y, 3p 8 og Pe {B21 24,8} > 49 € {7.3115 0;2;3;5:9}

*ạ

=> M,(—7,2).M,(—3,Ù, M,(—1;—Ù, M,(0;—5),M;(2;11, M,(3;7).M,(;5) và M,(@;4) Vậy

cĩ 2 điểm thỏa mãn yêu cầu đề bài

Gọi w|«S`*}e (C) với a>0, ø#1; tọa độ giao điểm các tiệm cận là 7 (1;1), ta cĩ

a-

a+2 ,Ý 9

MP =(a-1) +| -1) =(a-1) + ->6

a-] (a-1)

⁄ + ° a) 3 ‘ 4 a= 341 ` , ` A A

Dâu "=" xảy ra khi va chi khi (a-1) =9 © Vi M cĩ hồnh độ dương nên a=—x43+]

chọn a= V3+1, suy ra M (V3 +1;V3 +1) nên x„ — y„ =0

Gọi A(x,;x) +3x„T—2), B(x,;x2 +3x„T—2) là hai điểm trên (C) đối xứng nhau qua /(2;18)

Ta cĩ: X, +X, =2x, ° “atta 4 (1) Yaty, =2y, x, +3x,—-2+%x,+3x,-2=36 (2)

` 3 3 x, =1>x, =3

Thay (1) vào (2) ta được x¿„ +3x„—2+(4—x„} +3(4—x„)—2=36 © x,=3>x,=1

Vậy cặp điểm cần tìm là A(;2), 8Q;34)

Gọi A(x,;x; —4x2+9x, +4), B(x„;x; —4x2 +9x„ +4) là hai điểm trên (C) đối xứng nhau qua gốc tọa độ

+x„=2 x,+x, =0 1

Ta cĩ Xu T Xpg — “Xo c ‘ B (1)

Yat Ya =2Yo x, -4x,+9x,+4+x, —44,+9x,+4=0 (2)

Trang 18

Chuyên đẻ 2 Các bài tốn liên quán dén đồ thị hàm aố BTN_2_3 Câu 28 Câu 29 Câu 30 Câu 31 Cau 32 3 2 3 2 _ x,=-l>x, =1 x, — 4x, +9x,+44+(-x,) —4(—x„)ˆ +9(—x„)+4=0<© x,=1 >x,=-1

Vậy cặp điểm cần tìm là A(;10), B(—1;—10)

Gọi A(a;a°+a), B(b,b”+b) là hai điểm trên (C) đối xứng nhau qua đường thẳng

hay d:x+2y=0

Ied (1) ~

Ta cĩ: „ (với ï là trung điêm của AB và z(2;—1) là vecto chỉ phương của đ)

ABua=0 (2)

at+atb+b_ 1 atb

2 2 a2

& (a+b)(2a’ —2ab+ 2b? +3) =0 @a=-b (3) 2

(vi 2a’ —2ab+2b° +3=2{ a? abso? +3]=2{ a3] tốp? +3 >0,Ve,b)

Tu (1) ta cĩ

Với AB=[b—a;(b—a)(a” +ab+b” +2), từ (2) ta cĩ 2(b—a)—(b—a)(a2 +ab+b? +1) =0 © (b—a)(a”+ab+b” —1)=0

=> a’ +ab+b* -1=0 (4) (Vi a#b)

Thay (3) vào (4) ta được ni Phan

a=-l—b-l Vậy cặp điểm cần tìm là A(1;2), B(—1;—2)

Đồ thị hàm số cĩ phương trình tiệm cận ngang là y =1

at+l1 at+l

Gọi Ma Je(©),a#2 Tacs

-|=Le 3 a=5 =l© a-2 a=-l a- a— Vay M (5;2),M (-1;0)

D6 thi ham sé (C,,) c6 hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ khi và chỉ khi tồn tại

xX, #0 sao cho Y(%) =—-Y(-%) c tồn tại xạ #0 sao cho xạ 3x) +m=—| (x) -3(-x,) +m | <= ton tai x, #0 sao cho 3x; =m = m>0

Giao điểm của hai tiệm cận là 7 (—1;1), gọi M [a ˆ

Trang 19

Tiệm cận z=1,y=1=I(I,1) Gọi M[m mẽ (C), ta tìm được tọa độ Ai), _ m= B(2m-1,1)

Diện tích $= 2 1AIB =!" 1, l2m-1-1|=4 2 2|m

Phương pháp trắc nghiệm ax+b

Cho dé thi ham s6 (C): y= 7 Goi M 1a diém tiy ¥ thudc (C) Tiép tuyến tại M cắt hai

cx+

tiệm cận tại A, 8 Gọi 7 là giao điểm hai tiệm cận Khi đĩ diện tích tam giác AB luơn là hằng

số Cách tính nhanh:

1 Chọn M (2,3) thuộc (C) Viết phương trình tiếp tuyến tại M là d: y=—2x+7 Khi d6

A(I.5).P(3,1) va JA=4,/JB=2

2 Tam giac ABI la tam giác vuơng tại 7 Diện tích S,,, = = JAB =4

C4u 33 GhonD)

Theo giá thiết ta cĩ :

x77 _4 A n0

y=3x ai ih 3x?+2x+7=0_ | 98"

ly|=3lxÌ © y=-3x = ff = =

xt+1

3x*+4x-7=0 xelvn=—2

Nhắc lại: Điểm M €(C): y= f(x) sao cho khoang c4ch tir M tới Ox bang k lần khoảng

xÌ=kx

cách từ M tới Oy cĩ hồnh độ là nghiệm phương trình | /0]=lelss|7 | | Đề

x)=- Cach khac:

7 7 a=l

Gọi M [ai ) vi a#-—1 Theo đề ta cĩ: — =3)o| 7

atl atl a=-

Câu 34 @WCf

2a—3 x „

Gọi au : Je(o với a+2, ta cĨ

a—2

d=|a—2|+ mini : ề? a-

Vậy giá trị nhỏ nhất của đ bằng 2

Câu 35 (ØW@WWf

Phương pháp tự luận

1 3 2 1 1 1 3 2 1 1 ` 4 ^ Ae r

Goi A Xài— 54 +x¿ +3x, —a B Xp?—a *p +x; +3xp 3 la hai diém trên (C) đơi xứng

nhau qua trục tung

Ta cĩ J2 T3» =0 a CO ve A (1)

Trang 20

Chuyên đề 2 Các bài tốn liên quán đớn đồ thị hàm aố BTN_2 3 Thay (1) vao (2) ta được:

Vậy cĩ hai cặp điểm cần tìm là A|s `) ,B [- SỈ

X,+x, =0

Ya — Ya

Kiểm tra điều kiện đối xứng qua trục tung | và kiểm tra điểm cĩ thuộc đồ thị

khơng

Cau 36 Chon)

Gọi M (x„, vụ ).(x„ #3) thỏa yêu cầu bài tốn Ta cĩ:

9 á _ 15 =x„+2+ Ma Yu Xu x, +3 2 15 Yu =txXy Yu ——a2 Câu 37 (ØW@Wf

Gọi ÄM (xạ; yạ) VỚI xạ € Z2, yạc 2 *Xạc Z

=> 2 cz 0 + 2% F2€ {-23-L 15,2} x2 +2x¿+2

4 xạ +2xạ+2=~2 (vơ nghiệm) xạ +2x+2=lâ xu =l= y=2= M(-1;2)

2 ơ= › x, =0> y, =1>M (031)

*#ạ=~2—> yạ=l—>M(-—?.])

Vậy cĩ trên đồ thị (C) cĩ ba điểm cĩ tọa độ là các số nguyên Cau 38 Chon Bl

Gọi (+a; yạ) la diém cơ định cân tìm

Ta cĩ yạ¿ = xạ —3(m—1)x2 —3mx, +2, Vm x) +X) =0 © 3(17 +x¿)m+ 0 0 yạT— x) —3x7 —2=0,Vm © 0 0 0 Yạ —x)—3x2—2=0 {* =-l, _ h =0 S hoặc yạ=4 yạ=2

Suy ra P(—1;4),@(0;2) hoặc P(0;2),@(-1;4) nên y„ + y„ =6

Cau 39 Chon’)

Goi M|x — i Je (C) với xạ #—1 Tiếp tuyến tại M⁄ cĩ phương trình

Xo

_ 2x, 71 — 3

X,+1 (x,+1)’

(x—X,)

Trang 21

Chuyên dé 2 Các bài tốn liên quán đến đổ thị hàm aố BTN_2 3

Khoảng cách từ /(—1;2) tới tiếp tuyến

_ 43 — 2(x, +1)” + 2x5 — 2x, -1 — 6lxg+l| — 6

9+(x, +1) _jJ9+Gy+1ƒ | _3— = +(x, +1)? | (x, +)

Theo bất đẳng thức Cơsi: an +(x, +1)’ = 2/9 =6, vay ds 46 Khoảng cách đ lớn nhất Xa + 0

Vậy : M (—I+xJ3;2—x3), M {—I—x3;2+3)

Câu 40 (ØW@WWể

Đồ thị hàm số (C,„) cĩ hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ khi và chỉ khi tồn tại

X) #2 và xạ #0 sao cho y(%¿) =—y(—*ạ)

3g — 4maxy +5m _ é (—xạ)” —4m(—xạ) + 5m

Xạ—2 (—xạ)—2

m<0 5m(l1— 2m) <0 m>— & 4(1-2m).44+5m 406 2 (1—2m).0+5m #0 4 m Cau 41 GhonD)

Lay diém M [m2+ Jeo voi m#2.Tacé y'(m)=-

HI—

Tiếp tuyến tại M cĩ phương trình đ: y= —— —(x-m)+ 2+

(m—2) m—2

Giao điểm của đ với tiệm cận đứng là A|2 2+ 2 ) m—

Giao điểm của đ với tiệm cận ngang là 8(2m—2;2)

Ta cĩ "Ninh rl>® suy ra AB>22 Dấu “=” xảy ra khi (m—2)” =1,

m—2 nghĩa là m= 3 hoặc m=—1

Câu 42 (ØW@Wf

Phương trình đường trung trực đoạn AB là y= x

Những điểm thuộc đồ thị cách đều A và B cĩ hồnh độ là nghiệm của phương trình :

Trang 22

1—x/5 mHiiEre ns)

2 , , , °

Hai điểm trên đồ thị thỏa yêu cầu bài tốn là 5 5 5 Câu 43 (ØW@Wf

Gọi M (x; y) thuộc (C), ta cĩ

2 2

IM =(x—1;y—4)—> IM? =(x-1) +[x43+-4) =(x-1) den)

x-1 : x— g(x) Ma g(x) =(x-1) +(x-1)' + L_+2=2(x-1Ÿ + L——+2>2+242 x-1) x-1 1 1 x=1 #5

— min 7M =+|2+2AÍ2 Đạt được khi 2(x—1) = are (x-I) =5 > x

Xx—

x=1+—=

Cau 44 Gon Bl

Phương pháp tự luận

Goi M [se2- : ¡Jtuậ (C) Va MH, MK là khoảng cách từ ⁄ đến tiệm cận đứng và

Xy

1

X +

1

„+ > 2 (Cauchy)

tiệm cận ngang Khi đĩ M⁄H =|Xu +]| va MK =

Do as

MH + MK =|x,, +1|+

, =—2> =3

Suy ra MH + MK bé nhất khi (x„ +1) -e|” Ym

Xy =0>y, =1 Phương pháp trắc nghiệm

Cho đồ thị hàm số (C): y= #“*Ê , Gọi 4 là điểm thuộc đồ thị hàm số, khi đĩ tổng khoảng

Cx+

z ` A cA A 4 A x? 2 A ` ad = bc

cách từ M đên 2 tiệm cận cĩ độ dài nhỏ nhât là 2 >|:

e

Câu 45 (ØW@WĐf

Goi A là điểm thuộc thuộc nhánh trái của đồ thị hàm số, nghĩa là x„ <3— với số œ >0, đặt

6 6 6

x, =3-a@,suyra y, =1+ =l+ =l-— {])

2ˆ me ya x,-3 3-a-3 a (1)

Tương tự gọi B là điểm thuộc nhánh phải, nghĩa là x; >3— với số >0, đặt x„ =3+ đ,

T1 6 _,, 6 _,,6 suy ta yy 14 alt lt (2)

Trang 23

Chuyên đẻ 2 Các bài tốn liên quán dén đồ thị hàm aố BTN_2_3 g;8)=(ø+ 8) 2) =(œ+ØŸ`+(6} (x+ØŸ (2] 36 a’ B =(0? + B+ 2a) 1+ Dùng bất đăng thức Cauchy, ta cĩ

£(G/)>(258+2a8)| 1+ a) sap +2 dad = 48

a B

Vay AB > V48 =42/3 Dấu đẳng thức xảy ra khi vả chỉ khi

a=B œ=8

4 © ; | =ơ=Ø=—

14408 =— z8 (af) 36 ob) =— Vậy độ dài AB ngắn nhất là 42/3

C4u 46 GhonD)

Gọi (xạ; yạ) là điểm cố định cần tìm

Ta cĩ y, =x, +mx —m+ 2016, Vm © (x, —l)m+ x; — yạ +2016 =0, Vm » -1=0 Xo x,=1 ' Xp = —] c© hoặc — yy +2016 = lâm yạ= 2017 y, = 2017 M (1;2017) _ |M(-1;2017) hoặc N(-1;2017) N(; 2017) Tọa độ trung điểm I của đoạn thắng MN là 1(0;2017)

Câu 47 (ØW@WW

Điểm M năm trên trục Ĩx : M(—2;0) > d,, =|-2/+0=2

Diém M nằm trên trục tung : đ„ =0+

-7|-2<2 3| 3

Xét những điểm 3 cĩ hồnh độ lÌ>=4 =lx|+|| >=

Xét những điểm Ä⁄ cĩ hồnh độ thỏa mãn |x| <ãiy<-5 = | >30

" Trường hợp : 0<x<= Do (*) cho nên : đ„ =bl*lb|>2

" Trường hợp : ~2 ox <0;-2<y<0>d, =-x-l—— _;d!, =-l+ > 5

3 3 x-3 (x-3)

x=3+45

2

xe [-$:0} vay min d,, =dy(0)= 5

Cau 48 Ghon'D)

Trang 24

Xét những điểm ⁄ cĩ hồnh độ lớn hơn = =>d =|x|+|y| >=

Xét những điểm M cĩ hồnh độ nhỏ hơn si

«Với 0<x<<=y>_ =đ=|x|*|y|>= 2 2 2

1 1

° Với -Š<x<0;y>0—>4=-x+x+1+ ! =1+ ;j'=— 7 <0

2 x+2 x+2 (x+2)

Chứng tỏ hàm số nghịch bién Suy ra mind = y(0)=

Câu 49 (ØW@WW

Gọi đường thắng A vuơng gĩc với đường thăng đ: y= se 3 suy ra Á:y=—2x+m

bo

|

Wo

Giả sử A cat (C) tai hai diém phan biét A, B Khi d6 hoanh độ của A, B 1a nghiệm của

Để A cắt (C) tại hai điểm phân biệt thì phương trình ø(x)=0 cĩ hai nghiệm phân biệt khác _ [A>0 mˆ—10m—23>0 |m<5-4N3

2, tức là h(2)#0 ` |-6#0 S 2 m>5+4V3 (*)

Điều kiện đủ:

Gọi ƒ là trung điểm của AB, ta cĩ:

Đ hai diém A,B đối xứng nhau qua d:x-2y-6=0 khi

m+3 3m+3

led @——-2 —6=0<> m =—3 (thỏa điều kiện (*))

=-l=y=-I

Vậy tọa hai điểm cần tìm là (1;—5) và (—1;—1)

C4u 50 GhonAl

Gọi (x, y) là điểm cố định của ho dé thi(C,,): y = x* +mx’ —m-1, ta cd y=x*+mx’ —m-1,Vm

x —1=0 Po ha

S®S4„, => > X —l—y=0 y=0 |y=0

Trang 25

Chuyên đẻ 2 Các bài tốn liên quán đốn đồ thị ham sé BIN_2_3

Cau 51

Cau 52

Cau 53

Cau 54

Gọi Ä (x¿; yạ) Voi XH EN, YEN

xEN => 1 § => x, +1e {-8;—-4; -2;-1;1;2;4;8} => xạ e {—9;—5;—3;—2;0;1;3; 7} Vo ==| % —O+ eN 2 X) +1 Do x, € Nnén # x, =0> y, =1>M(0;1) # %=15 y=-5 (loai) TT (loạn) 4 xạ=7—> yạ=l>M(;:1)

Gọi A(%; yạ), xạ >0 là điểm cĩ định cần tìm

Ta cĩ: yạ =—x§ +2mx2 —2m+1,Vm = A(1;0) »-1=0 =1 (x, >0 cdma HIE == 00m 691% _, [70 =1 œ >0) 1=x)-yy=0 [% =0 Laicé y =-4x°+4mx=> y (1) =4m—4

Phương trinh tiép tuyén cia (C,) tại điểm A(1;0) c6 dang y=(4m—4)(x-1) hay

y=(4m—4)x+4—4m (A)

>m=5

Vi A song song véi d nén

Goi M[xx+2+ 4m —4=16 m=5 SS 4— 4m +0 m#] Jeo x+2

Khoảng cách từ M đến d là h(M;d) cho béi [3x+ y+6| — 1 v0 v10 x+2 1 1 1 3x+6+x+2+ x+6+x =-=|4|x+2)+ + (x42)+L h(M ;d)= e Khi x+2>0:

x+2 x+2 4 2 Zs v10: Ta cĩ 4(x+2)+ Vậy h(M;đ) đạt giá tr nh nht l eđâ Khi x+2<0 1 (x+2) Ta cĩ -4(x+2)— Dấu bằng xảy ra ©>—4(x+ 2) =— x+2 4 2

Vậy h(M;d) dat giá trị nhỏ nhất là —— v10

Trang 26

Chuyên đẻ 2 Các bài tốn liên quán dén đồ thị hàm aố BTN_2_3 Câu 55 Câu 56 Cau 57 Cau 58 Cau 59 Cau 60 Cau 61

Goi w{«$` ]s (C) với a#1 ta cĩ đ =|a—1|+ a— Chọn B

Goi M [a

a+]1 2

a+2

ave min 2 |z—2| | ˆ Vậy a=4

aQa-

Jeo với a#2 ta cĩ |a—2|= a— M (0:—1).M (4:3) *_94-3=0 [a=-l

Goi ua? )e(c) với a#l1 ta cĩ lal =|2*° |” Vậy

a-] a-1 a’ +3=0 a=3

M (-1;-1),M (3;3)

Chon C

Goi w{«S°2](e) với a#1 ta cĩ a-

| a+2 1 a=1+3

“đ ` + 2 —a-3 ?“—2a-2=0 =l—

[an |_ 1 ea a a eS a=l V3,

12 42 ja-1| a —4=0 a=2

a=-2 Vậy cĩ hai diém thda yéu cau 1a M (2;4);M (-2;0)

Gọi É (xạ; yạ) là điểm cĩ định của họ đồ thị (C,,), ta c6

Yo =(m+2) x, -3(m—2) x, +m+7,Vm

i +6x,+7-—y, =0

Vì hệ cĩ 3 nghiệm phân biệt nên họ đồ thị cĩ 3 điểm cĩ định

Gọi M (x,y),N(—x, y) là hai điểm thuộc đồ thị (C„) đối xứng nhau qua trục tung Ta cĩ

x* —(3m—1) x” +2mx+m+1=—x” —(3m —1) x” — 2mx+m + x=0 2 €2 +4m=0e9| x“ˆ =—2m Vậy m<Q0

Ta cĩ y'=6x?+2mmx—12 Điều kiện <= m=0 Vay m=0

S=0

Trang 27

Chuyên đẻ 2 Các bài tốn liên quán dén đồ thị hàm aố BTN_2_3 Câu 62 Câu 63 Cau 64 Cau 65 Cau 66 Cau 67 Cau 68 atl a+2 atl a+2

a’ +a-1=0

= a’ +3a+1=0 2 Phương trình cĩ 4 nghiệm nên trên đồ thị cĩ 4 điểm cách đều hai trục tọa độ

a=1 3" 3a—5

a-

Goi „a5 (C) với a#2 ta cĩ |a—2|=

-|es(a~2Ÿ'=Le|

a

Q = a,—a` +3a+2), B(b,—b` +3b+ 2) 1a hai diém trén (C) đối xứng nhau qua Ä (-1; 3), at+b=-2

—a`+3a+2—b`+3b+2=6

a+b=-2 a+b=-2 [la=0 [a=-2

Vậy cĩ 4 điêm thỏa yêu câu bài tốn

Chọn D

Goi M [a

at e(0) với a#2.Tacb d=|a—2|4|2** -1] =|a—2]+ >_> 03,

a—2 a— ja—2|

r 2 a=2+43 V2

Dau "=" xảy ra khi và chỉ khi (a-2} =3 Vậy hai đim đĩ là

a=2-43

(2+x5;1+x3)và (2—v3;1—x2]

Chọn D

Tâm đối xứng của đồ thị là giao điểm của hai đường tiệm cận Vậy điểm cần tìm 1a M (-1; 3)

2a+1

Gọi Ma ar elo voi a#1

a-

a’ —2a+1=2a+1 a=

= Vậy điểm cần tìm là: (0;—1),M (4:3)

Gọi Ma S5 Jeo voi a#2

Trang 28

a+2 Ta cĩ 5|z—2|= 722 a—

— 2 Sla—2)= 4 a— 9 5(at dard) =

+

c3 5ø?~20z+16=0ša=1032X5

Định dạng
Số trang	28
Dung lượng	6,68 MB