2.3 Điểm đặc biệt của họ đường cong tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các l...
Vấn đề 3. ĐIỂM CỐ ĐỊNH CỦA MỘT HỌ ĐƯỜNG I. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI: 1. Cấp độ 1: Chứng minh họ đường đi qua một điểm cố định có sẵn Ví dụ 1. Từ một điểm A ở ngoài (O), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn. D là điểm di động trên đoạn BC. Đường vuông góc với OD tại D cắt AB và AC lần lượt tại E và F; cắt (O) tại M và N. a) Chứng minh rằng: ME = NF. b) Chứng minh rằng: Đường tròn (AEF) luôn đi qua một điểm cố định khác A. ⇒ Chú ý: Để chứng minh đường tròn (ABC) đi qua một điểm cố định, ta có thể xét thêm một điểm D cố định nào đó rồi chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn, từ đó suy ra điều phải chứng minh. 2. Cấp độ 2: Điểm cố định là giao của họ đường với một đường cố định nào đó. Ví dụ 2. Qua điểm P nằm trên đường tròn (O) cho trước và một điểm Q nằm trên một đường thẳng d cho trước, ta vẽ một đường tròn (O') bất kì, cắt (O) tại điểm thứ hai là R và cắt d tại điểm thứ hai là S. Chứng minh rằng: Đường thẳng RS luôn đi qua một điểm cố định khi (O') thay đổi. 3. Cấp độ 3: Dự đoán điểm cố định ⇒ Phương pháp: Dự đoán hoặc vẽ một số trường hợp để phát hiện ra điểm cố định rồi chứng minh (có thể bằng cách chứng minh sự thẳng hàng hoặc đồng quy). Ví dụ 3. Cho đường tròn (O) và một dây AB cố định. Gọi M là điểm bất kì trên cung AB, K là trung điểm của MB. Kẻ KP ⊥ AM. Chứng minh rằng: Khi M chạy trên cung AB thì KP luôn đi qua một điểm cố định. II. BÀI TẬP: Bài 1. Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O) với AB < AC. Trên cạnh AB và AC lần lượt lấy các điểm D và E. Vẽ DH ⊥ BC; EK ⊥ BC. Cho biết HK = 1 2 BC. Chứng minh rằng: Đường tròn (ADE) luôn đi qua một điểm cố định khác A. Bài 2. Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O). Điểm D di động trên cung BC không chứa A. a) Dựng đường tròn (O 1 ) qua D và tiếp xúc AB tại B; đường tròn (O 2 ) qua D và tiếp xúc AC tại C. b) (O 1 ) và (O 2 ) cắt nhau tại điểm thứ hai là E. Chứng minh rằng: Đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định. Bài 3. Cho ∆ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn (O). Qua A, vẽ một cát tuyến bất kì cắt đường thẳng BC tại D và cắt (O) tại điểm thứ hai là E. a) Chứng minh rằng: AB là tiếp tuyến của đường tròn (BDE). b) Gọi F là điểm đối xứng của C qua AE. Chứng minh rằng: Khi AE quay quanh A thì đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định. Bài 4. Cho ∆ABC. Gọi Cx, Cy là các tia trên nửa mặt phẳng bờ AC có chứa điểm B sao cho tia Cx nằm giữa hai tia Cy và CB; Cx // AB. Một đường thẳng bất kì qua B Thầy giáo : Nguyễn Ngọc Sơn Vấn đề 3. ĐIỂM CỐ ĐỊNH CỦA MỘT HỌ ĐƯỜNG 1 Th.s ĐẶNG VĂN QUẢN CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO 10 - MÔN TOÁN cắt Cx, Cy tại D và E. Gọi F là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng: Đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định. Vấn đề 2. CHỨNG MINH CÁC ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY2 Chủ đề 2.3 - ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG A KIẾ KIẾN THỨ THỨC CƠ CƠ BẢ BẢN I Bài tốn tìm điểm cố định họ đường cong Xét họ đường cong (Cm ) có phương trình y = f ( x, m) , f hàm đa thức theo biến x với m tham số cho bậc m không Hãy tìm điểm cố định thuộc họ đường cong m thay đổ i? Phương pháp giải: o Bước 1: Đưa phương trình y = f ( x, m) dạng phương trình theo ẩn m có dạng sau: Am + B = Am + Bm + C = o Bước 2: Cho hệ số , ta thu hệ phương trình giải hệ phương trình: A = B = A = B = C = o Bước 3: Kết luận Nếu hệ vơ nghiệm họ đường cong (Cm ) khơng có điểm cố định Nếu hệ có nghiệm nghiệm điểm cố định (Cm ) II Bài tốn tìm điểm có tọa độ ngun: Cho đường cong (C ) có phương trình y = f ( x ) (hàm phân thức) Hãy tìm điểm có tọa độ nguyên đường cong? Những điểm có tọa độ nguyên điểm cho hồnh độ tung độ điểm số nguyên Phương pháp giải: o Bước 1: Thực phép chia đa thức chia tử số cho mẫu số o Bước 2: Lí luận để giải tốn III Bài tốn tìm điểm có tính chất đối xứng: Cho đường cong (C ) có phương trình y = f ( x ) Tìm điểm đối xứng qua điểm, qua đường thẳng Bài toán 1: Cho đồ thị ( C ) : y = Ax + Bx + Cx + D đồ thị ( C ) tìm cặp điểm đối xứng qua điểm I ( xI , yI ) Phương pháp giải: Gọi M ( a; Aa3 + Ba + Ca + D ) , N ( b; Ab3 + Bb + Cb + D ) hai điểm ( C ) đố i xứng qua điểm I a + b = xI Ta có 3 2 A(a + b ) + B ( a + b ) + C ( a + b ) + D = yI Giải hệ phương trình tìm a, b từ tìm toạ độ M, N Trường hợp đặc biệt : Cho đồ thị ( C ) : y = Ax + Bx + Cx + D Trên đồ thị ( C ) tìm cặp điểm đối xứng qua gốc tọa độ Phương pháp giải: http://megabook.vn/ Gọi M ( a, Aa3 + Ba + Ca + D ) , N ( b, Ab3 + Bb + Cb + D ) hai điểm ( C ) đố i xứng qua gốc tọa độ a + b = Ta có 3 2 A(a + b ) + B ( a + b ) + C ( a + b ) + D = Giải hệ phương trình tìm a, b từ tìm toạ độ M , N Bài toán 3: Cho đồ thị ( C ) : y = Ax + Bx + Cx + D đồ thị ( C ) tìm cặp điểm đối xứng qua đường thẳng d : y = A1 x + B1 Phương pháp giải: Gọi M ( a; Aa3 + Ba + Ca + D ) , N ( b; Ab3 + Bb + Cb + D ) hai điểm ( C ) đố i xứng qua đường thẳng d (1) I ∈ d Ta có: (với I trung điểm MN u d vectơ phương MN u d = (2) đường thẳng d ) Giải hệ phương trình tìm M, N IV Bài tốn tìm điểm đặc biệt khác: Lí thuyết: Loại Cho hai điểm P ( x1 ; y1 ) ; Q ( x2 ; y2 ) ⇒ PQ = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) Cho điểm M ( x0 ; y0 ) đường thẳng d : Ax + By + C = , khoảng cách từ M đến d h ( M ; d ) = Ax0 + By0 + C A2 + B Loại Khoảng cách từ M ( x0 ; y0 ) đến tiệm cận đứng x = a h = x0 − a Loại Khoảng cách từ M ( x0 ; y0 ) đến tiệm cận ngang y = b h = y0 − b Chú ý: Những điểm cần tìm thường hai điểm cực đại, cực tiểu giao đường thẳng với đường cong (C ) Vì trước áp dụng cơng thức, ta cần phải tìm tìm điều kiện tồn tìm tọa độ chúng Các tốn thường gặp: ax + b ( c ≠ 0, ad − bc ≠ ) có đồ thị ( C ) Hãy tìm (C ) hai cx + d điểm A B thuộc hai nhánh đồ thị hàm số cho khoảng cách AB ngắn Phương pháp giải: d ( C ) có tiệm cận đứng x = − tính chất hàm phân thức, đồ thị nằm hai phía c tiệm cận đứng Nên gọ i hai số α , β hai số dương Bài toán 1: Cho hàm số y = Nếu A thuộc nhánh trái x A < − http://megabook.vn/ d d d ⇒ xA = − − α < − ; y A = f ( xA ) c c c Nếu B thuộc nhánh phải xB > − d d d ⇒ xB = − + β > − ; y B = f ( xB ) c c c 2 Sau tính AB = ( xB − x A ) + ( yB − y A ) = ( a + β ) − ( a − α ) + ( y B − y A ) Áp dụng bất đẳng thức Côsi (Cauchy), ta tìm kết Bài tốn 2: Cho đồ thị hàm số ( C ) có phương trình y = f ( x ) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C ) để tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ Phương pháp giải: Gọi M ( x; y ) tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ d d = x + y Xét khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ M nằm vị trí đặc biệt: Trên trục hồnh, trục tung Sau xét tổng quát, điểm M có hồnh độ, tung độ lớn hồnh độ tung độ M nằm hai trục loại khơng xét đến Những điểm lại ta đưa tìm giá trị nhỏ đồ thi hàm số dựa vào đạo hàm tìm giá trị nhỏ d Bài toán 3: Cho đồ thị (C ) có phương trình y = f ( x ) Tìm điểm M (C ) cho khoảng cách từ M đến Ox k lần khoảng cách từ M đến trục Oy Phương pháp giải: f ( x ) = kx y = kx Theo đầu ta có y = k x ⇔ ⇔ y = −kx f ( x ) = −kx ax + b ( c ≠ 0, ad − bc ≠ ) cx + d Tìm tọa độ điểm M (C ) cho độ dài MI ngắn (với I giao điểm hai tiệm cận) Bài toán 4: Cho đồ thị hàm số (C ) có phương trình y = f ( x) = Phương pháp giải: −d a ; tiệm cận ngang y = c c −d a Ta tìm tọa độ giao điểm I ; hai tiệm cận c c Tiệm cận đứng x = Gọi M ( xM ; yM ) điểm cần tìm Khi đó: 2 d a IM = xM + + yM − = g ( xM ) c c Sử dụng phương pháp tìm GTLN - GTNN cho hàm số g để thu kết Bài toán 5: Cho đồ thị hàm số (C ) có phương trình y = f ( x ) đường thẳng d : Ax + By + C = Tìm điểm I (C ) cho khoảng cách từ I đến d ngắn Phương pháp giải Gọi I thuộc (C ) ⇒ I ( x0 ; y0 ) ; y0 = f ( x0 ) Khoảng cách từ I đến d g ( x0 ) = h ( I ; d ) = Ax0 + By0 + C A2 + B Khảo sát hàm số y = g ( x ) để tìm điểm I thỏa mãn yêu cầu http://megabook.vn/ B BÀI TẬ TẬP TRẮ TRẮC NGHIỆ NGHIỆM Câu Đồ thị hàm số y = (m − 1) x + − ... BIỆN LUẬN SỐ ĐỒ THỊ ĐI QUA 1 ĐIỂM BIỆN LUẬN SỐ ĐỒ THỊ ĐI QUA 1 ĐIỂM Bài 1 Bài 1 Tìm điểm cố định của Tìm điểm cố định của )( m C : : )12(2)232()1( 223 −++−−+−= mmxmmxmxy Bài 2 Chứng minh rằng )( m C : : 124)2(3)2( 23 −+−+−+= mxxmxmy có 3 điểm cố định thẳng hàng. có 3 điểm cố định thẳng hàng. Viết phương trình đường thẳng đi qua 3 điểm cố định đó. Viết phương trình đường thẳng đi qua 3 điểm cố định đó. Bài 3 Chứng minh rằng )( m C : : 1)16()3(3)3( 23 +++−+−+= mxmxmxmy có 3 điểm cố định thẳng có 3 điểm cố định thẳng hàng. Viết phương trình đường thẳng đi qua 3 điểm cố định đó. hàng. Viết phương trình đường thẳng đi qua 3 điểm cố định đó. Bài 4 Cho họ mx mmxx yC m − −+− = 22 :)( tìm các điểm Oxy ∈ có đúng hai đường của họ )( m C đi qua. Bài 5 Cho mx mmxmmmx yC m − +−+−+− = )2()1( :)( 222 . Chứng minh rằng mỗi điểm ở bên phải đường thẳng 1x = luôn có đúng hai đường của )( m C đi qua. Bài 6 Cho mx mmxmmmx yC m − +−+−+− = )2()1( :)( 222 . Chứng minh rằng mỗi điểm ở bên phải đường thẳng 1x = luôn có đúng hai đường của )( m C đi qua. Bài 7 Cho họ đồ thị mx mxm yC m − −+ = 22 )1( :)( . Chứng minh rằng các điểm nằm bên phải trục tung luôn có đúng hai đồ thị của họ )( m C đi qua. Bài 8 Cho họ đồ thị 12:)( 224 ++−= mmxxyC m . Chứng minh rằng với mỗi điểm ∈ )1,(aA đường y=1 luôn có đúng một đồ thị của )( m C đi qua. Bài 9 Cho họ đồ thị 1325:)( 223 +−++−= mmxmxxyC m . Chứng minh rằng không tồn tại điểm A(a,b) sao cho có 3 đồ thị phân biệt của họ )( m C đi qua. Bài 10 Cho họ 0422:)( 2 =−+−− mxmmxmyxyC m . a- Tìm các điểm M sao cho có đúng một đồ thị của )( m C đi qua. b- Tìm các điểm M sao cho có đúng hai đồ thị của )( m C đi qua. Bài 11 Cho .4)1(:)( 223 mxmxyC m −++= . Tìm M ∈ đường x=2 sao cho a- Qua điểm M (2,y) có đúng một đồ thị của )( m C đi qua. b- Qua điểm M (2,y) có đúng hai đồ thị của )( m C đi qua. c- Qua điểm M (2,y) có đúng ba đồ thị của )( m C đi qua. Bài 12 Cho )(2 22 :)( 2 mx mmmx yC m + ++ = . Tìm trên mặt phẳng toạ độ các điểm có đúng 1 đường cong của họ )( m C đi qua. Bài 13 Cho họ đồ thị 1 )1 :)( 2 22 +++ +−+− = mmmx mmmxx yC m . Tìm trên Oy những điểm mà không có đồ thị nào của họ )( m C đi qua. Bài 14Cho họ đồ thị 54 )12( :)( 2 22 +++ −++− = mmx mmxmx yC m . Tìm a trên y = a để có một điểm duy nhất mà không có đồ thị nào đi qua. Bài 15 Cho mx mmxm xfyC m + +−+ == 2 )13( )(:)( . Tìm trên mặt phẳng toạ độ các diểm mà không có đồ thị nào của )( m C đi qua. 1 1 Bài 16 Cho 618)3(32:)( 23 +++−= mxxmxyC m . Chứng minh rằng trên (P) 14 2 += xy có 2 điểm mà không có đồ thị nào )( m C đi qua. Bài 17 Cho 644:)( 2223 −+−−= mmxxmmxyC m . Tìm trên trục Ox các điểm mà không có đồ thị nào của họ )( m C đi qua. Bài 18 Tìm các điểm Oxy ∈ mà không có đồ thị của mmxmyC m 2)2(:)( 2 +++= đi qua. Bài 19 Tìm các điểm Oxy ∈ mà không có đồ thị nào của )( m C đi qua. 1, 2)(:)( 232 −+−== mxmxxfyC m . 2, 4532)(:)( 2323 −−−+== mmmxxxfyC m . 3, 11 1 :)( 2 2 2 ++ + ++ + = mm m x mm m yD m . 4, 1)22(:)( 2 ++−+= mxmmxyP m . 5, 1 8 TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(33).2009 83 THE USE OF MAPLE MATHEMATICAL SOFTWARE IN SUPPORT OF THE TEACHING AND LEARNING OF THE PROBLEM OF FIXED POINTS OF CURVE FAMILY SỬ DỤNG PHẦN MỀM MAPLE HỖ TRỢ DẠY VÀ HỌC BÀI TOÁN TÌM CÁC ĐIỂM CỐ ĐỊNH CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG Trần Quốc Chiến Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng Võ Đăng Thể HV Cao học khoá 2006 – 2009 TÓM TẮT Maple là một hệ thống tính toán trên các biểu thức đại số và minh họa toán học mạnh mẽ do một nhóm các nhà khoa học của Canada thuộc trường đại học Warterloo làm ra. Maple cung cấp nhiều công cụ trực quan, các gói lệnh tự học gắn liền với toán phổ thông và đại học. Bài báo này trình bày chương trình toán học bằng phần mềm Maple để phân tích quá trình giải bài toán tìm các điểm cố định của họ đường cong. Từ đó áp dụng giải một số bài toán dạ ng này. ABSTRACT Maple is a calculating system about algebraic expressions and efective mathematical illustrations made by a group of Scientists of Warterloo University, Canada. Maple provides a lot of picturial tools and instructions for solving mathematical problems for Students at High schools and Universities. This paper presents a new approach in solving the problem of fixed points of curve family with the help of a program written with the Maple software. This program is then applied to the solutions to some problems of this form. 1. Đặt vấn đề Các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số trong chương trình môn Toán trung học phổ thông là một chủ đề quan trọng và thường xuất hiện trong các kỳ thi. Với những tính năng của phần mềm Maple và đặc tính môn học tôi lựa chọn Bài toán tìm điểm cố định của họ đường cong để giới thiệu trong bài báo này. 2. Bài toán Cho họ đường cong phụ thuộc tham số ( ): y = f(x,m). Tìm tất cả các điểm cố định mà họ đường cong ( ) luôn đi qua với mọi m. Phương pháp: Biểu diễn phương trình hàm số dưới dạng phương trình đa thức ẩn m: 00 (, )Ax y Điểm là điểm cố định của họ đường cong ( ) khi và chỉ khi TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(33).2009 84 00 (, )Ax y ∈ ( ), ∀ m ⇔ , ∀ m. ⇔ = = = 3. Chương trình toán học giải bài toán tìm các điểm cố định của họ đường cong Maple là một ngôn ngữ lập trình hướng thủ tục (procedure). Chế độ thủ tục được thực hiện bằng cách đóng gói một dãy các lệnh xử lí cùng một công việc vào một thủ tục duy nhất, sau đó chỉ cần gọi thủ tục này và Maple tự động thực hiện các lệnh có trong chu trình đó một cách tuần tự và sau đó trả lại kết quả cuối cùng. Mục này giới thiệu một số lệnh cơ bản của Maple và trình bày thủ tục giải bài toán tìm điểm cố định của họ đường cong. 3.1. Lệnh nhập, xuất dữ liệu - Hàm readstat: Hiện cửa sổ nhập dữ liệu từ bàn phím. - Hàm print(data1, data2, ): Hiển thị dữ liệu ra màn hình. Lưu ý: Xâu ký tự đặt trong dấu ` `. 3.2. Xây dựng thủ tục trong Maple Thủ tục là chương trình được truy xuất thông qua định danh. Thủ tục có thể được tạo lập, biên dịch, được nạp vào bộ nhớ để sử dụng. 3.2.1. Khai báo thủ tục procedure_name:=proc(parameter_sequence) [local local_sequence] [global global_sequence] [optios options_sequence] statements_sequence end; Trong đó: - procedure_name là tên thủ tục. - parameter_sequence là dãy các tham số truyền cho thủ tục. - local local_sequence là dãy các biến cục bộ, chỉ có giá trị sử dụng trong phạm vi thủ tục. - global global_sequence là dãy các biến toàn cục, có giá trị sử dụng trong và ngoài phạm vi thủ tục. - optios options_sequence là dãy các tuỳ chọn cho thủ tục. - statements_sequence là dãy các câu lệnh của thủ tục. Chương trình giải bài toán tìm tất cả các điểm cố định mà họ đường cong ( ) TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(33).2009 85 y = f(x,m) luôn đi qua với mọi m > restart; > proc_dcd:=proc( ) # Thủ tục tìm điểm cố định của họ đường cong local f, pt, pt_1, hpt, i, k, sys: global global_f: f:=readstat("f="): global_f:=f: print(`Bài TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 1(30).2009 72 BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM CỐ ĐỊNH CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG VỚI SỰ TRỢ GIÚP CỦA PHẦN MỀM TOÁN HỌC SOLVING THE PROPLEM OF FINDING FIXED POINTS OF CURVES FAMILIES WITH THE HELP OF MATHEMATICAL SOFTWARE Trần Quốc Chiến Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng Phạm Văn Tiến Học viên Cao học khoá 2005 – 2008 TÓM TẮT Mục tiêu của bài viết này là nêu bài toán, phân tích, hướng dẫn các bước cơ bản để viết chương trình, xây dựng thủ tục, tạo thư viện dưới dạng file, nạp thủ tục vào bộ nhớ, và gọi một chương trình giải bài toán liên quan đến khảo sát hàm số bằng phần mềm Maple. Từ đó có thể xây dựng nhiều chương trình khác phục vụ cho việc giảng dạy và học tập, đồng thời đưa những thành tựu nổi bật của công nghệ thông tin để hỗ trợ việc đổi mới phương pháp dạy và học theo chủ trương của Bộ Giáo dục & Đào tạo. ABSTRACT The paper's aim is formulating, analysing and presenting basic steps to programming, creating storing and loading procedures, solving mathematical problems related to function study by maple software. With this approach, other computer programs may be constructed in order to use the outstanding achievements in inofrmation technology to support education innovation and increase education quality in teaching and studying. Chỉ thị số 58-CT/TW, ngày 17-10-2000 của Bộ Chính trị đã nêu: “… đẩy mạnh ứng dụng và phát triển công nghệ thông tin phục vụ sự nghiệp công nghiệp hoá, hiện đại hoá”. Đồng thời Bộ Giáo dục & Đào tạo cũng đưa chủ trương ứng dụng những thành tựu nổi bật của công nghệ thông tin vào việc hỗ trợ đổi mới phương pháp dạy và học ở trường trung học. Hiện nay có rất nhiều công cụ để giải toán, thậm chí các phần mềm hiện nay có thể giải được rất nhiều bài toán cao cấp ở bậc đại học như Maple, Mathcad, Derive, Mathematica, Tuy nhiên, để việc dạy và học có hiệ u quả hơn, sinh động hơn thì giáo viên cần phải sáng tạo hơn nữa trong việc xây dựng công cụ dạy và học. 1. Tìm điểm cố định của họ đường thẳng hoặc đường cong: * Bài toán: Cho họ đường cong (C m Đây là bài toán rất thông dụng và là một vấn đề trong bài toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. ) có phương trình y=f(x,m), trong đó m là tham số, hãy tìm những điểm cố định khi m thay đổi? TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 1(30).2009 73 * Cách giải: Với một giá trị của tham số m ta được một đồ thị của (C m ) tương ứng. Như vậy khi m thay đổi thì đồ thị (C m − Hoặc mọi điểm của (C ) cũng thay đổi theo 2 trường hợp: m − Hoặc có một vài điểm của (C ) đều di động. m Những điểm đứng yên khi m thay đổi được gọi là điểm cố định của họ đường (C ) đứng yên khi m thay đổi. m ). Đó là những điểm mà mọi đường (C m Nếu A(x ) đều đi qua với mọi giá trị của m. 0 ,y 0 ) là điểm cố định của đồ thị (C m ) thì y 0 =f(x 0 ,m) thỏa mãn ∀m. Điều này có nghĩa là phương trình y 0 =f(x 0 Vậy để tìm các điểm cố định của họ đường (C ,m) vô định theo tham số m. m Đưa phương trình y=f(x,m) về dạng phương trình theo ẩn m dạng ) ta thực hiện các bước sau đây: Am+B=0 hoặc Am 2 Cho các hệ số bằng 0, ta được hệ phương trình: +Bm+C=0 0 0 A B = = hoặc 0 0 0 A B C = = = Giải hệ phương trình: 0 0 A B = = hoặc 0 0 0 A B C = = = (*) − Nếu hệ phương trình (*) vô nghiệm thì (Cm) không có điểm cố định. − Nếu hệ phương trình (*) có nghiệm (x 0 ,y 0 ) thì điểm có tọa độ (x 0 ,y 0 ) là điểm cố định của (C m * Ví dụ 1: Tìm điểm cố định của một họ đường cong ) . ( 1) 2 2 m xm y xm − ++ = ++ (C m Biến đổi (Cm) về dạng: ) y(x+m+2)=(m-1)x+m+2 ⇔ (1+x-y)m+2-yx-2y-x=0 BTN_2_3 Chuyên đề Các toán liên quán đến đồ thị hàm số Chủ đề 2.3 - ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG A KIẾ KIẾN THỨ THỨC CƠ CƠ BẢ BẢN I Bài toán tìm điểm cố định họ đường cong Xét họ đường cong (Cm ) có phương trình y = f ( x, m) , f hàm đa thức theo biến x với m tham số cho bậc m không Hãy tìm điểm cố định thuộc họ đường cong m thay đổ i? Phương pháp giải: o Bước 1: Đưa phương trình y = f ( x, m) dạng phương trình theo ẩn m có dạng sau: Am + B = Am + Bm + C = o Bước 2: Cho hệ số , ta thu hệ phương trình giải hệ phương trình: A = B = A = B = C = o Bước 3: Kết luận Nếu hệ vô nghiệm họ đường cong (Cm ) điểm cố định Nếu hệ có nghiệm nghiệm điểm cố định (Cm ) II Bài toán tìm điểm có tọa độ nguyên: Cho đường cong (C ) có phương trình y = f ( x ) (hàm phân thức) Hãy tìm điểm có tọa độ nguyên đường cong? Những điểm có tọa độ nguyên điểm cho hoành độ tung độ điểm số nguyên Phương pháp giải: o Bước 1: Thực phép chia đa thức chia tử số cho mẫu số o Bước 2: Lí luận để giải toán III Bài toán tìm điểm có tính chất đối xứng: Cho đường cong (C ) có phương trình y = f ( x ) Tìm điểm đối xứng qua điểm, qua đường thẳng Bài toán 1: Cho đồ thị ( C ) : y = Ax + Bx + Cx + D đồ thị ( C ) tìm cặp điểm đối xứng qua điểm I ( xI , yI ) Phương pháp giải: Gọi M ( a; Aa3 + Ba + Ca + D ) , N ( b; Ab3 + Bb + Cb + D ) hai điểm ( C ) đố i xứng qua điểm I a + b = xI Ta có 3 2 A(a + b ) + B ( a + b ) + C ( a + b ) + D = yI Giải hệ phương trình tìm a, b từ tìm toạ độ M, N Trường hợp đặc biệt : Cho đồ thị ( C ) : y = Ax + Bx + Cx + D Trên đồ thị ( C ) tìm cặp điểm đối xứng qua gốc tọa độ Phương pháp giải: Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 1|THBTN BTN_2_3 Chuyên đề Các toán liên quán đến đồ thị hàm số Gọi M ( a, Aa3 + Ba + Ca + D ) , N ( b, Ab3 + Bb + Cb + D ) hai điểm ( C ) đố i xứng qua gốc tọa độ a + b = Ta có 3 2 A(a + b ) + B ( a + b ) + C ( a + b ) + D = Giải hệ phương trình tìm a, b từ tìm toạ độ M , N Bài toán 3: Cho đồ thị ( C ) : y = Ax + Bx + Cx + D đồ thị ( C ) tìm cặp điểm đối xứng qua đường thẳng d : y = A1 x + B1 Phương pháp giải: Gọi M ( a; Aa3 + Ba + Ca + D ) , N ( b; Ab3 + Bb + Cb + D ) hai điểm ( C ) đố i xứng qua đường thẳng d (1) I ∈ d Ta có: (với I trung điểm MN u d vectơ phương MN u d = (2) đường thẳng d ) Giải hệ phương trình tìm M, N IV Bài toán tìm điểm đặc biệt khác: Lí thuyết: Loại Cho hai điểm P ( x1 ; y1 ) ; Q ( x2 ; y2 ) ⇒ PQ = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) Cho điểm M ( x0 ; y0 ) đường thẳng d : Ax + By + C = , khoảng cách từ M đến d h ( M ; d ) = Ax0 + By0 + C A2 + B Loại Khoảng cách từ M ( x0 ; y0 ) đến tiệm cận đứng x = a h = x0 − a Loại Khoảng cách từ M ( x0 ; y0 ) đến tiệm cận ngang y = b h = y0 − b Chú ý: Những điểm cần tìm thường hai điểm cực đại, cực tiểu giao đường thẳng với đường cong (C ) Vì trước áp dụng công thức, ta cần phải tìm tìm điều kiện tồn tìm tọa độ chúng Các toán thường gặp: ax + b ( c ≠ 0, ad − bc ≠ ) có đồ thị ( C ) Hãy tìm (C ) hai cx + d điểm A B thuộc hai nhánh đồ thị hàm số cho khoảng cách AB ngắn Phương pháp giải: d ( C ) có tiệm cận đứng x = − tính chất hàm phân thức, đồ thị nằm hai phía c tiệm cận đứng Nên gọ i hai số α , β hai số dương Bài toán 1: Cho hàm số y = Nếu A thuộc nhánh trái x A < − d d d ⇒ xA = − − α < − ; y A = f ( xA ) c c c Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 2|THBTN BTN_2_3 Chuyên đề Các toán liên quán đến đồ thị hàm số Nếu B thuộc nhánh phải xB > − d d d ⇒ xB = − + β > − ; y B = f ( xB ) c c c 2 Sau tính AB = ( xB − x A ) + ( yB − y A ) = ( a + β ) − ( a − α ) + ( y B − y A ) Áp dụng bất đẳng thức Côsi (Cauchy), ta tìm kết ... d Ta có: (với I trung điểm MN u d vectơ phương MN u d = (2) đường thẳng d ) Giải hệ phương trình tìm M, N IV Bài tốn tìm điểm đặc biệt khác: Lí thuyết: Loại Cho hai điểm P ( x1 ; y1 ) ; Q... 3;1 − ( a − 2) a = + =3⇔ Vậy hai điểm a = − ) Câu 66 Chọn D Tâm đối xứng đồ thị giao điểm hai đường tiệm cận Vậy điểm cần tìm M ( −1; 3) Câu 67 Chọn B 2a + Gọi M a; ∈ ( C ) với... qua điểm cố định B ( Cm ) có hai điểm cố định C ( Cm ) có ba điểm cố định D ( Cm ) có điểm cố định Câu 59 Điều kiện tham số m để đồ thị ( Cm ) hàm số y = x − ( 3m − 1) x + 2mx + m + có hai điểm