BTN 2 3 DIEM DAC BIET

BTN_2_3 Chuyên đề Các toán liên quán đến đồ thị hàm số Chủ đề 2.3 - ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG A KIẾ KIẾN THỨ THỨC CƠ CƠ BẢ BẢN I Bài toán tìm điểm cố định họ đường cong Xét họ đường cong (Cm ) có phương trình y = f ( x, m) , f hàm đa thức theo biến x với m tham số cho bậc m không Hãy tìm điểm cố định thuộc họ đường cong m thay đổ i? Phương pháp giải: o Bước 1: Đưa phương trình y = f ( x, m) dạng phương trình theo ẩn m có dạng sau: Am + B = Am + Bm + C = o Bước 2: Cho hệ số , ta thu hệ phương trình giải hệ phương trình: A =  B =  A =  B = C =  o Bước 3: Kết luận Nếu hệ vô nghiệm họ đường cong (Cm ) điểm cố định Nếu hệ có nghiệm nghiệm điểm cố định (Cm ) II Bài toán tìm điểm có tọa độ nguyên: Cho đường cong (C ) có phương trình y = f ( x ) (hàm phân thức) Hãy tìm điểm có tọa độ nguyên đường cong? Những điểm có tọa độ nguyên điểm cho hoành độ tung độ điểm số nguyên Phương pháp giải: o Bước 1: Thực phép chia đa thức chia tử số cho mẫu số o Bước 2: Lí luận để giải toán III Bài toán tìm điểm có tính chất đối xứng: Cho đường cong (C ) có phương trình y = f ( x ) Tìm điểm đối xứng qua điểm, qua đường thẳng Bài toán 1: Cho đồ thị ( C ) : y = Ax + Bx + Cx + D đồ thị ( C ) tìm cặp điểm đối xứng qua điểm I ( xI , yI ) Phương pháp giải: Gọi M ( a; Aa3 + Ba + Ca + D ) , N ( b; Ab3 + Bb + Cb + D ) hai điểm ( C ) đố i xứng qua điểm I a + b = xI Ta có  3 2  A(a + b ) + B ( a + b ) + C ( a + b ) + D = yI Giải hệ phương trình tìm a, b từ tìm toạ độ M, N Trường hợp đặc biệt : Cho đồ thị ( C ) : y = Ax + Bx + Cx + D Trên đồ thị ( C ) tìm cặp điểm đối xứng qua gốc tọa độ Phương pháp giải: Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 1|THBTN BTN_2_3 Chuyên đề Các toán liên quán đến đồ thị hàm số Gọi M ( a, Aa3 + Ba + Ca + D ) , N ( b, Ab3 + Bb + Cb + D ) hai điểm ( C ) đố i xứng qua gốc tọa độ a + b = Ta có  3 2  A(a + b ) + B ( a + b ) + C ( a + b ) + D = Giải hệ phương trình tìm a, b từ tìm toạ độ M , N Bài toán 3: Cho đồ thị ( C ) : y = Ax + Bx + Cx + D đồ thị ( C ) tìm cặp điểm đối xứng qua đường thẳng d : y = A1 x + B1 Phương pháp giải: Gọi M ( a; Aa3 + Ba + Ca + D ) , N ( b; Ab3 + Bb + Cb + D ) hai điểm ( C ) đố i xứng qua đường thẳng d (1)  I ∈ d Ta có:  (với I trung điểm MN u d vectơ phương MN u d = (2) đường thẳng d ) Giải hệ phương trình tìm M, N IV Bài toán tìm điểm đặc biệt khác: Lí thuyết: Loại Cho hai điểm P ( x1 ; y1 ) ; Q ( x2 ; y2 ) ⇒ PQ = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) Cho điểm M ( x0 ; y0 ) đường thẳng d : Ax + By + C = , khoảng cách từ M đến d h ( M ; d ) = Ax0 + By0 + C A2 + B Loại Khoảng cách từ M ( x0 ; y0 ) đến tiệm cận đứng x = a h = x0 − a Loại Khoảng cách từ M ( x0 ; y0 ) đến tiệm cận ngang y = b h = y0 − b Chú ý: Những điểm cần tìm thường hai điểm cực đại, cực tiểu giao đường thẳng với đường cong (C ) Vì trước áp dụng công thức, ta cần phải tìm tìm điều kiện tồn tìm tọa độ chúng Các toán thường gặp: ax + b ( c ≠ 0, ad − bc ≠ ) có đồ thị ( C ) Hãy tìm (C ) hai cx + d điểm A B thuộc hai nhánh đồ thị hàm số cho khoảng cách AB ngắn Phương pháp giải: d ( C ) có tiệm cận đứng x = − tính chất hàm phân thức, đồ thị nằm hai phía c tiệm cận đứng Nên gọ i hai số α , β hai số dương Bài toán 1: Cho hàm số y = Nếu A thuộc nhánh trái x A < − d d d ⇒ xA = − − α < − ; y A = f ( xA ) c c c Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 2|THBTN BTN_2_3 Chuyên đề Các toán liên quán đến đồ thị hàm số Nếu B thuộc nhánh phải xB > − d d d ⇒ xB = − + β > − ; y B = f ( xB ) c c c 2 Sau tính AB = ( xB − x A ) + ( yB − y A ) = ( a + β ) − ( a − α )  + ( y B − y A ) Áp dụng bất đẳng thức Côsi (Cauchy), ta tìm kết Bài toán 2: Cho đồ thị hàm số ( C ) có phương trình y = f ( x ) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C ) để tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ Phương pháp giải: Gọi M ( x; y ) tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ d d = x + y Xét khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ M nằm vị trí đặc biệt: Trên trục hoành, trục tung Sau xét tổng quát, điểm M có hoành độ, tung độ lớn hoành độ tung độ M nằm hai trục loại không xét đến Những điểm lại ta đưa tìm giá trị nhỏ đồ thi hàm số dựa vào đạo hàm tìm giá trị nhỏ d Bài toán 3: Cho đồ thị (C ) có phương trình y = f ( x ) Tìm điểm M (C ) cho khoảng cách từ M đến Ox k lần khoảng cách từ M đến trục Oy Phương pháp giải:  f ( x ) = kx  y = kx Theo đầu ta có y = k x ⇔  ⇔  y = −kx  f ( x ) = −kx ax + b ( c ≠ 0, ad − bc ≠ ) cx + d Tìm tọa độ điểm M (C ) cho độ dài MI ngắn (với I giao điểm hai tiệm cận) Bài toán 4: Cho đồ thị hàm số (C ) có phương trình y = f ( x) = Phương pháp giải: −d a ; tiệm cận ngang y = c c  −d a  Ta tìm tọa độ giao điểm I  ;  hai tiệm cận  c c Tiệm cận đứng x = Gọi M ( xM ; yM ) điểm cần tìm Khi đó: 2 d  a  IM =  xM +  +  yM −  = g ( xM ) c  c  Sử dụng phương pháp tìm GTLN - GTNN cho hàm số g để thu kết Bài toán 5: Cho đồ thị hàm số (C ) có phương trình y = f ( x ) đường thẳng d : Ax + By + C = Tìm điểm I (C ) cho khoảng cách từ I đến d ngắn Phương pháp giải Gọi I thuộc (C ) ⇒ I ( x0 ; y0 ) ; y0 = f ( x0 ) Khoảng cách từ I đến d g ( x0 ) = h ( I ; d ) = Ax0 + By0 + C A2 + B Khảo sát hàm số y = g ( x ) để tìm điểm I thỏa mãn yêu cầu Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 3|THBTN BTN_2_3 Chuyên đề Các toán liên quán đến đồ thị hàm số B BÀI TẬ TẬP TRẮ TRẮC NGHIỆ NGHIỆM Câu Đồ thị hàm số y = (m − 1) x + − m ( m tham số) qua điểm M cố định có tọa độ A M (0;3) Câu B M (1; 2) C M (−1; −2) D M (0;1) Đồ thị hàm số y = x + 2mx − m + ( m tham số) qua điểm M cố định có tọa độ A M ( 0;1) 1 3 B M  ;  2 2 1 5 C M  ;  2 4 D M (−1; 0) Câu Đồ thị hàm số y = x − x + mx + m ( m tham số) qua điểm M cố định có tọa độ A M ( −1; ) B M ( −1; −4 ) C M (1; −2 ) D M (1; −4 ) Câu Biết đồ thị ( Cm ) hàm số y = x − 2mx + qua điểm M cố định m thay đổi, tọa độ điểm M A M ( −1;1) B M (1; ) C M ( 0; −2 ) D M ( 0;3) (m + 1) x + m ( m ≠ ) qua điểm M cố định m x+m thay đổi Tọa độ điểm M 1  A M  −1; −  B M ( 0;1) C M ( −1;1) D M ( 0; −1) 2  Câu Biết đồ thị ( Cm ) hàm số y = Câu Hỏi m thay đổi đồ thị (Cm ) hàm số y = x3 − 3mx − x + 3m qua điểm cố định ? A Câu Câu C Tọa độ điểm M thuộc đồ thị ( C ) hàm số y = D 2x −1 cho khoảng cách từ điểm M đến x −1 tiệm cận đứng A M ( 0;1) , M ( 2;3) B M ( 2;1) 3  C M  −1;  2   5 D M  3;   2 Hỏi m thay đổ i đồ thị (Cm ) hàm số y = (1 − 2m) x + 3mx − m − qua điểm cố định ? A Câu B B C Tọa độ điểm thuộc đồ thị ( C ) hàm số y = D 2x +1 mà có tổng khoảng cách đến hai x −1 đường tiệm cận ( C ) A ( 4;3 ) , ( −2;1) B ( 2;5 ) , ( 0; −1) C ( 2;5 ) , ( 0; −1) , ( 4;3 ) , ( −2;1) D ( 2;5 ) , ( 4;3 ) Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 4|THBTN BTN_2_3 Chuyên đề Các toán liên quán đến đồ thị hàm số x + (1 − m) x + + m (m ≠ −2) luôn qua điể m −x + m cố định m thay đổ i, xM + yM Câu 10 Biết đồ thị (Cm ) hàm số y = M ( xM ; yM ) A −1 B −3 C D −2 Câu 11 Cho hàm số y = − x3 + mx − x − 4m có đồ thị (Cm ) A điểm cố định có hoành độ âm (Cm ) Giá trị m để tiếp tuyến A (Cm ) vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ A m = −3 B m = −6 Câu 12 Trên đồ thị (C ) hàm số y = A B C m = D m = − 2 có điểm có tọa độ nguyên ? x+2 C D Câu 13 Trên đồ thị ( C ) hàm số y = x − x + x + có cặp điểm đối xứng qua gốc tọa độ ? A B Câu 14 Trên đồ thị (C ) hàm số y = A B Câu 15 Trên đồ thị (C ) hàm số y = A B C D 3 có điểm có tọa độ số nguyên dương ? 2x −1 C D có điểm có tọa độ nguyên ? 3x − C D Câu 16 Gọi x1 , x2 hoành độ điểm uốn đồ thị hàm số y = A B C x4 − x − , x1 x2 có giá trị D −2 số điểm có tọa độ nguyên 4x −1 A B C D x + 10 Câu 18 Trên đồ thị (C ) hàm số y = có điểm có tọa độ nguyên ? x +1 A B C 10 D Câu 17 Trên đồ thị (C ) hàm số y = Câu 19 Trên đồ thị (C ) hàm số y = A B Câu 20 Trên đồ thị (C ) hàm số y = A B Câu 21 Trên đồ thị (C ) hàm số y = A B x+2 có điểm có tọa độ nguyên ? 2x −1 C D 5x − có điểm có tọa độ nguyên ? 3x + C D x + 11 có điểm có tọa độ nguyên ? 4x + C D Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 5|THBTN BTN_2_3 Chuyên đề Các toán liên quán đến đồ thị hàm số Câu 22 Tọa độ điểm M có hoành độ dương thuộc đồ thị hàm số y = x+2 cho tổng khoảng cách x−2 từ M đến tiệm cận đồ thị hàm số đạt giá trị nhỏ A M (4;3) B M (3;5) C M (1; −3) D M (0; −1) Câu 23 Số cặp điểm thuộc đồ thị ( C ) hàm số y = x + 3x − đối xứng với qua điểm I ( 2;18 ) A B C D Câu 24 Trong tất điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị (C ) hàm số y = 3x + , số điểm có x −1 hoành độ lớn tung độ A B C D x+2 Câu 25 Cho hàm số y = có đồ thị ( C ) Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận ( C ) Biết tọa x −1 độ điểm M ( xM ; yM ) có hoành độ dương thuộc đồ thị ( C ) cho MI ngắn Khi giá trị xM − yM A B C D −2 Câu 26 Cặp điểm thuộc đồ thị (C ) hàm số y = x + 3x − đối xứng qua điểm I (2;18) A (1;2) (3;34) B (3; 2) (1;34) C (0; −2) (4;74) D (1;2) (−1; −6) Câu 27 Cặp điểm thuộc đồ thị (C ) hàm số y = x − x + x + đối xứng qua gốc tọa độ O A (3; 22) (−3; −22) B (2;14) (−2; −14) C (1;10) (−1; −10) D (0;4) (4; 40) Câu 28 Cặp điểm thuộc đồ thị (C ) hàm số y = x3 + x đối xứng qua đường thẳng d : y = − x A (1; ) ( −2; −10 ) B ( 2; −1) ( −2;1) C (1; −2 ) ( −1; ) D (1; ) ( −1; −2 ) Câu 29 Tọa độ điểm M thuộc đồ thị ( C ) hàm số y = x +1 mà có khoảng cách đến tiệm cận x−2 ngang ( C ) A M ( 3; ) B M ( 5; ) C M ( 5; ) , M ( −1; ) 1  5  D M  4;  , M  0; −  2  2  Câu 30 Các giá trị thực tham số m để đồ thị (Cm ) hàm số y = x3 − 3x + m có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc tọa độ A −1 < m < B m ≠ C m > −3 Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn D m > 6|THBTN BTN_2_3 Chuyên đề Các toán liên quán đến đồ thị hàm số x−3 có đồ thị ( C ) Gọi d khoảng cách từ điểm M ( C ) đến giao x +1 điểm hai tiệm cận Giá trị nhỏ có d Câu 31 Cho hàm số y = A B C D 2 x +1 có đồ thị ( C ) I giao điểm hai đường tiệm cận ( C ) Tiếp x −1 tuyến điểm M ( C ) cắt hai tiệm cận ( C ) A B Diện tích tam Câu 32 Cho hàm số y = giác ABI A B C D x−7 , biết M có hoàng độ a khoảng cách x +1 từ M đến trục Ox ba lần khoảng cách từ M đến trục Oy Giá trị có a Câu 33 Cho điểm M thuộc đồ thị ( C ) hàm số y = A a = a = D a = a = − B a = −1 x = C a = −1 a = − 2x − có đồ thị ( C ) Gọi M điểm thuộc đồ thị ( C ) d tổng x−2 khoảng cách từ M đến hai tiệm cận ( C ) Giá trị nhỏ d đạt Câu 34 Cho hàm số y = A B 10 C D 11 Câu 35 Cặp điểm thuộc đồ thị (C ) hàm số y = − x + x + 3x − mà chúng đối xứng qua 3 trục tung 16  16     16   16  A  3; −   −3; −  B  3;   −3;  3 3 3    3  11   11   C  2;   −2;  3  3  11  11    D  2; −   −2; −  3 3   x + x + 15 cách hai trục tọa độ ? x+3 B Có vô số điểm M thỏa yêu cầu D Không có điểm M thỏa yêu cầu Câu 36 Có điểm M thuộc đồ thị ( C ) hàm số y = A C có tọa độ nguyên ? x + 2x + C D Câu 37 Có điểm thuộc đồ thị (C ) hàm số y = A B Câu 38 Biết đồ thị (Cm ) hàm số y = x3 − 3(m − 1) x − 3mx + luôn qua hai điểm cố định P ( xP ; y P ) Q ( xQ ; yQ ) m thay đổ i, giá trị y P + yQ A −1 B C Câu 39 Tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C ) hàm số y = D 2x −1 cho khoảng cách từ điểm I (−1; 2) x +1 đến tiếp tuyến ( C ) M lớn nhất.là Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 7|THBTN BTN_2_3 Chuyên đề Các toán liên quán đến đồ thị hàm số ( B M ( −1 + C M ( −1 + D M ( −1 − ) 3), M 3), M 3), M ( ( −1 + ( −1 − ( −1 − ) 3;2 + ) 3; + ) 3; −2 − ) A M −1 + ;2 + , M −1 − 3;2 + ;2 − ;2 − 3;2 − 2 Câu 40 Tập hợp tất giá trị thực m để đồ thị (Cm ) hàm số y = x − 4mx + 5m có hai x−2 điểm phân biệt đối xứng qua gốc tọa độ { }   B  − ;0  \ −   13  4   D ( −∞;0 ) ∪  ;  ∪  ; +∞   3 3  A ( 0; +∞ ) C [1; +∞ ) 2x − có đồ thị ( C ) Biết tiếp tuyến điểm M ( C ) x−2 cắt hai tiệm cận ( C ) A B Độ dài ngắn đoạn thẳng AB Câu 41 Cho hàm số y = A B C Câu 42 Tọa độ điểm M thuộc đồ thị ( C ) hàm số y = D 2 x+2 cho M cách hai điểm 2x −1 A ( 2, ) B ( 0, )  + 1+  A  ,     1− −  B  ,    1− 1−  1+ 1+  ;  C  , , 2   2      D Không tồn điểm M Câu 43 Khoảng cách ngắn từ điểm M thuộc đồ thị ( C ) hàm số y = A B 2 C 2+ 2 D x2 + 2x − đến I (1, ) x −1 2 −2 2x +1 có đồ thị ( C ) Tổng khoảng cách từ điểm M thuộc ( C ) đến hai x +1 tiệm cận ( C ) đạt giá trị nhỏ ? Câu 44 Cho hàm số y = A B C D Câu 45 Gọi A, B hai điểm thuộc hai nhánh khác đồ thị ( C ) hàm số y = x+3 , độ dài x−3 ngắn đoạn thẳng AB A B C D Câu 46 Biết đồ thị (Cm ) hàm số y = x + mx − m + 2016 luôn qua hai điểm M N cố định m thay đổ i Tọa độ trung điểm I đoạn thẳng MN A I (−1;0) B I (1;2016) C I (0;1) D I (0;2017) Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 8|THBTN BTN_2_3 Chuyên đề Các toán liên quán đến đồ thị hàm số x+2 có đồ thị ( C ) Tổng khoảng cách từ điểm M thuộc ( C ) đến hai x −3 hai trục tọa độ đạt giá trị nhỏ ? A B C D Câu 47 Cho hàm số y = x2 + 3x + có đồ thị ( C ) Tổng khoảng cách từ điểm M thuộc ( C ) đến x+2 hai hai trục tọa độ đạt giá trị nhỏ ? A B C D 2 Câu 48 Cho hàm số y = Câu 49 Tọa độ cặp điểm thuộc đồ thị (C ) hàm số y = x+4 đối xứng qua đường thẳng x−2 d : x − y − = A ( 4; ) ( −1; −1) B (1; −5 ) ( −1; −1) C ( 0; −2 ) ( 3; ) D (1; −5 ) ( 5;3) Câu 50 Cho hàm số y = x + mx − m − có đồ thị ( Cm ) Tọa độ điểm cố định ( Cm ) A ( −1; ) , (1; ) B (1;0 ) , ( 0;1) C ( −2;1) , ( −2;3) D ( 2;1) , ( 0;1) x − 5x + có đồ thị (C ) Hỏi (C ) có điểm có hoành độ 2x + tung độ số tự nhiên A B C D Câu 51 Cho hàm số y = Câu 52 Cho hàm số y = − x + 2mx − 2m + có đồ thị (Cm ) Gọi A điểm cố định có hoành độ dương (Cm ) Khi tiếp tuyến A (Cm ) song song với đường thẳng d : y = 16 x giá trị m A m = B m = C m = D m = Câu 53 Khoảng cách nhỏ từ điểm thuộc đồ thị ( C ) hàm số y = 63 64 x2 + 4x + đến đường x+2 thẳng d : y + x + = A B C 10 D 10 x +1 có đồ thị ( C ) Tổng khoảng cách từ điểm M thuộc ( C ) đến hai x −1 tiệm cận ( C ) đạt giá trị nhỏ Câu 54 Cho hàm số y = A B C 2 Câu 55 Tọa độ điểm M thuộc đồ thị ( C ) hàm số y = A M ( 2;1) D x+2 cách hai đường tiệm cận ( C ) x−2 B M ( 0; −1) , M ( 4;3) Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 9|THBTN BTN_2_3 Chuyên đề Các toán liên quán đến đồ thị hàm số 1  7  C M  5;  , M  −3;  5  3  D M ( −2; ) A M ( −1; −1) , M ( 3;3 ) x+3 cách hai trục tọa độ x −1 B M ( −1;3) C M ( −1; −1) D M ( 3;3) Câu 56 Tọa độ điểm M thuộc đồ thị ( C ) hàm số y = Câu 57 Tọa độ điểm M có hoành độ nguyên thuộc đồ thị ( C ) hàm số y = đến đường thẳng ∆ : x − y + = x+2 có khoảng cách x −1 A M ( −2; ) B M ( 2; ) C M ( 2; ) ; M ( −2;0 ) D M ( 2; −2 ) Câu 58 Cho hàm số y = ( m + ) x − ( m − ) x + m + có đồ thị ( Cm ) Khẳng định sau khẳng định đúng? A ( Cm ) không qua điểm cố định B ( Cm ) có hai điểm cố định C ( Cm ) có ba điểm cố định D ( Cm ) có điểm cố định Câu 59 Điều kiện tham số m để đồ thị ( Cm ) hàm số y = x − ( 3m − 1) x + 2mx + m + có hai điểm phân biệt đối xứng qua trục Oy A m ≤ B m < C m = −2 D m ≤ −2 Câu 60 Đồ thị hàm số y = x3 + mx − 12 x − 13 có hai điểm cực trị cách trục tung khi: A m = −1 B m = Câu 61 Hỏi đồ thị ( C ) hàm số y = A B C m = −1; m = −2 D m = −2 x +1 có điểm cách hai trục tọa độ? x+2 C D A M ( −1;1) ; N ( −4; −6 ) 3x − cách hai tiệm cận ( C ) x−2 B M (1;1) ; N ( 3; ) C M ( −1;3) ; N ( −3;3) D M ( −1;3) ; N ( −3;3) Câu 62 Tọa độ điểm thuộc đồ thị ( C ) hàm số y = Câu 63 Tọa độ hai điểm đồ thị ( C ) hàm số y = − x3 + x + cho hai điểm đối xứng qua điểm M ( –1; ) A ( −1; ) ; (1; ) B (1;0 ) ; (1; ) Câu 64 Trên đồ thị ( C ) hàm số y = A B C ( 0; ) ; ( −2; ) D (1; ) ; ( −1; ) 3− x có điểm có tọa độ nguyên ? x −1 C D Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 10 | T H B T N BTN_2_3 Chuyên đề Các toán liên quán đến đồ thị hàm số  x0 = −   x0 = −1 x =  hoặc   ⇔ y = y =   y = −    x0 =  y = −  Vậy đồ thị hàm số cho qua bốn điểm cố định Câu Chọn C  2a +  Gọi M  a;  ∈ ( C ) với a ≠  a −1  Tiệm cận đừng tiệm cận ngang ( C ) có phương trình x = 1, y = Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng h1 = a − Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang h2 = 2a + −2 = a −1 a −1 Tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận nên ta có: a =  a − =  a = −2 h1 + h2 = ⇔ a − + = ⇔ a −1 − a − + = ⇔  ⇔ a = a −1  a − =  a = Vậy điểm cần tìm là: ( 2;5 ) , ( 0; −1) , ( 4;3) , ( −2;1) Câu 10 Chọn C Gọi M ( xM ; yM ) điểm cố định cần tìm Ta có yM = xM2 + (1 − m) xM + + m , ∀m ≠ −2 − xM + m ⇔ − xM yM + myM = xM2 + xM − mxM + + m , ∀m ≠ −2 ⇔ ( xM + yM − 1)m − xM yM − xM2 − xM − = 0, ∀m ≠ −2  xM + y M − =  yM = − xM ⇔ ⇔  2 − xM yM − xM − xM − = − xM (1 − xM ) − xM − xM − =  xM = −1 ⇔ ⇒ M (−1; 2)  yM = Vậy xM + yM = Câu 11 Chọn A Gọi A( x0 ; y0 ) , x0 < điểm cố định cần tìm Ta có y0 = − x03 + mx02 − x0 − 4m, ∀m  x = −2  x − = ⇔ ( x02 − 4)m − x03 − x0 − y0 = 0, ∀m ⇔  ⇒ ⇒ A(−2;10)  − x0 − x0 − y0 =  y0 = 10 Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 14 | T H B T N BTN_2_3 Chuyên đề Các toán liên quán đến đồ thị hàm số Lại có y ′ = −3x + 2mx − ⇒ y ′(−2) = −4m − 13 Phương trình tiếp tuyến (Cm ) A(−2;10) có dạng y = (−4m − 13)( x + 2) + 10 hay y = (−4m − 13) x − 8m − 16 (∆) Đường phân giác góc phần tư thứ có phương trình d : y = x Vì ∆ vuông góc với d nên ta có −4m − 13 = −1 ⇔ m = −3 Câu 12 Chọn A Gọi M ( x0 ; y0 ) với x0 ∈ ℤ \ {−2} , y0 ∈ ℤ  x0 ∈ ℤ \ {−2}  ⇒ ⇒ x0 + ∈ {−2; −1;1; 2} ⇒ x0 ∈ {−4; −3; −1; 0}  x + ∈ℤ  Vậy đồ thị (C ) có bốn điểm có tọa độ nguyên Câu 13 Chọn A Gọi A ( a ; a − 5a + 6a + 3) , B ( b ; b3 − 5b + 6b + ) hai điểm ( C ) đối xứng qua gốc a + b = ⇒ −10a + = ⇒ a = ± tọa độ, ta có  3 2 a + b − a + b + a + b + = 6 ( ) ( )  Câu 14 Chọn D Gọi M ( x0 ; y0 ) với x0 ∈ ℕ* , y0 ∈ ℕ*  x0 ∈ ℕ *  ⇒ ⇒ x0 − ∈ {1;3} ⇒ x0 ∈ {1;2}  2x −1 ∈ ℕ *  ⇒ M (−1; −1), M (0; −3), M (1;3) M (2;1) Vậy đồ thị (C ) có hai điểm có tọa độ số nguyên dương Câu 15 Chọn C Gọi M ( x0 ; y0 ) với x0 ∈ ℤ, y0 ∈ ℤ  x0 ∈ ℤ    ⇒ ⇒ x0 − ∈ {−4; −2; −1;1;2; 4} ⇒ x0 ∈ − ;0; ;1; ; 2  3   3x − ∈ ℤ  Do x0 ∈ ℤ ⇒ M1 (0; −2), M (1;4) M (2;1) Vậy đồ thị (C ) có ba điểm có tọa độ số nguyên Câu 16 Chọn D Ta có y ′ = x3 − x, y′′ = x − ⇒ x1 x2 = −2 −2 Vậy x1 x2 = 3 Câu 17 Chọn D Gọi M ( x0 ; y0 ) với x0 ∈ ℤ, y0 ∈ ℤ  x0 ∈ ℤ   1 7 ⇒ ⇒ x0 − ∈ {−6; −3; −2; −1;1;2;3;6} ⇒ x0 ∈ − ; − ; − ;0; ; ;1;   4 4  4x −1 ∈ ℤ  Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 15 | T H B T N BTN_2_3 Chuyên đề Các toán liên quán đến đồ thị hàm số Do x0 ∈ ℤ ⇒ M (0; −6) M (1;2) Vậy đồ thị (C ) có hai điểm có tọa độ số nguyên Câu 18 Chọn D Gọi M ( x0 ; y0 ) với x0 ∈ ℤ, y0 ∈ ℤ  x0 ∈ ℤ  ⇒ ⇒ x0 + ∈ {−9; −3; −1;1;3;9} ⇒ x0 ∈ {−10; −4; −2;0;2;8} y = + ∈ ℤ  x0 +  ⇒ M (−10;0), M (−4; −2), M (−2; −8), M (0;10), M (2;4) M (8; 2) Vậy đồ thị (C ) có sáu điểm có tọa độ số nguyên Câu 19 Chọn A Gọi M ( x0 ; y0 ) với x0 ∈ ℤ, y0 ∈ ℤ  x0 ∈ ℤ  ⇒ ⇒ x0 − ∈ {−5; −1;1;5} ⇒ x0 ∈ {−2; 0;1;3} 1   y0 =  + x −  ∈ ℤ    x0 = −2 ⇒ y0 = ⇒ M (−2; 0) x0 = ⇒ y0 = ⇒ M (1;3) x0 = ⇒ y0 = −2 ⇒ M (0; −2) x0 = ⇒ y0 = ⇒ M (3;1) Vậy đồ thị (C ) có bốn điểm có tọa độ số nguyên Câu 20 Chọn B Gọi M ( x0 ; y0 ) với x0 ∈ ℤ, y0 ∈ ℤ  x0 ∈ ℤ 10    ⇒ ⇒ 3x0 + 1∈ {−11; −1;1;11} ⇒ x0 ∈ −4; − ; 0;  1 11  3   y0 =  − x +  ∈ ℤ    x0 = −4 ⇒ y0 = ⇒ M (−4; 2) x0 = ⇒ y0 = −2 ⇒ M (0; −2) Vậy đồ thị (C ) có hai điểm có tọa độ số nguyên Câu 21 Chọn D Gọi M ( x0 ; y0 ) với x0 ∈ ℤ, y0 ∈ ℤ  x0 ∈ ℤ   5 ⇒ ⇒ x0 + ∈ {−7; −1;1; 7} ⇒ x0 ∈ − ; − ; − ;  y = + ∈ ℤ  4 4  x0 +  Do x0 ∈ ℤ nên đồ thị (C ) điểm có tọa độ nguyên Câu 22 Chọn A a+2  a+2 Gọi M  a; −1 = a − + ≥4  ∈ ( C ) ; a > a ≠ , ta có d = a − + a−2 a−2  a−2 a = Dấu " = " xảy a − = ⇔ a − = ⇔  a = Kết luận M (4; 3) Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 16 | T H B T N BTN_2_3 Chuyên đề Các toán liên quán đến đồ thị hàm số Câu 23 Chọn B Gọi M ( x; y ) điểm đồ thị (C ) , gọi N điểm đố i xứng với M qua I, ta có N ( − x;36 − y ) Vì N thuộc ( C ) , ta có 36 − y = ( − x )3 + ( − x ) − ⇒ x + x − = − ( − x ) − ( − x ) + 38 ⇔ x =   y = x + 3x − Vậy có tất cặp điểm thuộc đồ thị ( C ) thỏa mãn yêu cầu đề Câu 24 Chọn A Gọi M ( x0 ; y0 ) với x0 ∈ ℤ, y0 ∈ ℤ  x0 ∈ ℤ  ⇒ ⇒ x0 − 1∈ {−8; −4; −2; −1;1; 2; 4;8} ⇒ x0 ∈ {−7; −3; −1; 0; 2;3;5;9} y = + ∈ ℤ  x0 −  ⇒ M (−7; 2), M (−3;1), M (−1; −1), M (0; −5), M (2;11), M (3; 7), M (5;5) M (9; 4) Vậy có điểm thỏa mãn yêu cầu đề Câu 25 Chọn A  a+2 Gọi M  a;  ∈ ( C ) với a > 0, a ≠ ; tọa độ giao điểm tiệm cận I (1;1) , ta có  a −1  a+2  MI = ( a − 1) +  − 1 = ( a − 1) + ≥  a −1  ( a − 1) 2 a = + Dấu " = " xảy ( a − 1) = ⇔  Vì M có hoành độ dương nên  a = − + chọn a = + , suy M ( + 1; + 1) nên xM − yM = Câu 26 Chọn A Gọi A( x A ; x 3A + 3x A − 2), B ( xB ; xB3 + 3xB − 2) hai điểm (C ) đối xứng qua I (2;18) (1)  x A + xB =  x + x = xI Ta có:  A B ⇔ 3  y A + yB = yI  x A + 3x A − + xB + xB − = 36 (2)  x = ⇒ xB = Thay (1) vào (2) ta x A3 + x A − + (4 − x A )3 + 3(4 − x A ) − = 36 ⇔  A  x A = ⇒ xB = Vậy cặp điểm cần tìm A(1; 2) , B(3;34) Câu 27 Chọn C Gọi A( x A ; x 3A − x A2 + xA + 4), B ( xB ; xB3 − xB2 + xB + 4) hai điểm (C ) đối xứng qua gốc tọa độ (1)  x A + xB =  x + x = xO Ta có  A B ⇔ 3  y A + yB = yO  x A − xA + x A + + xB − xB + xB + = (2) Thay (1) vào (2) ta Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 17 | T H B T N BTN_2_3 Chuyên đề Các toán liên quán đến đồ thị hàm số  x A = − ⇒ xB = x 3A − x A2 + x A + + ( − x A )3 − 4( − xA ) + 9( − x A ) + = ⇔   x A = ⇒ x A = −1 Vậy cặp điểm cần tìm A(1;10) , B(−1; −10) Câu 28 Chọn D Gọi A ( a; a + a ) , B ( b; b + b ) hai điểm (C ) đối xứng qua đường thẳng d : y = − x hay d : x + y = (1)  I ∈ d (với I trung điểm AB u d (2; −1) vecto phương d ) Ta có:   AB.u d = (2) a +b a3 + a + b3 + b Từ (1) ta có =− 2 2 ⇔ (a + b)(2a − 2ab + 2b + 3) = ⇔ a = −b (3) 3    (vì 2a − 2ab + 2b + =  a − ab + b +  =  a − b  + b + > 0, ∀a, b ) 2    2 Với AB = ( b − a; (b − a)(a + ab + b + 2) ) , từ (2) ta có 2(b − a) − (b − a )(a + ab + b + 1) = ⇔ (b − a)(a + ab + b − 1) = ⇒ a + ab + b − = (4) (Vì a ≠ b )  a = ⇒ b = −1 Thay (3) vào (4) ta a − a + a − = ⇔   a = −1 ⇒ b = Vậy cặp điểm cần tìm A (1; ) , B ( −1; −2 ) Câu 29 Chọn C Đồ thị hàm số có phương trình tiệm cận ngang y = a = a +1  a +1  Gọi M  a; −1 = ⇔ =1⇔   ∈ ( C ) , a ≠ Ta có a−2 a−2  a−2  a = −1 Vậy M ( 5; ) , M ( −1; ) Câu 30 Chọn D Đồ thị hàm số (Cm ) có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc tọa độ tồn x0 ≠ cho y ( x0 ) = − y (− x0 ) ⇔ tồ n x0 ≠ cho x03 − x02 + m = − (− x0 )3 − 3(− x0 )2 + m  ⇔ tồn x0 ≠ cho x02 = m ⇔ m > Câu 31 Chọn D  a−3 Giao điểm hai tiệm cận I ( −1;1) , gọi M  a;  ∈ ( C ) với a ≠ −1 ta có  a +1  16  a−3  MI = ( a + 1) +  − 1 = ( a + 1) + ≥ ⇒ MI ≥ 2  a +1  ( a + 1) 2 Câu 32 Chọn A Phương pháp tự luận Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 18 | T H B T N BTN_2_3 Chuyên đề Các toán liên quán đến đồ thị hàm số  m +1  m+3 Tiệm cận x = 1, y = ⇒ I (1,1) Gọi M  m,  ∈ (C ) , ta tìm tọa độ A 1, ,  m −1   m −1  B ( 2m − 1,1) 1 m+3 − 2m − − = IA.IB = 2 m −1 Phương pháp trắc nghiệm ax + b Cho đồ thị hàm số (C ) : y = Gọi M điểm tùy ý thuộc ( C ) Tiếp tuyến M cắt hai cx + d tiệm cận A, B Gọi I giao điểm hai tiệm cận Khi diện tích tam giác ABI số Cách tính nhanh: Chọn M ( 2,3) thuộc ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến M d : y = −2 x + Khi Diện tích S = A (1,5 ) , B ( 3,1) IA = 4, IB = Tam giác ABI tam giác vuông I Diện tích S ABI = IA.IB = Câu 33 Chọn D Theo giả thiết ta có : x−7  vô n  x + = 3x 3x + x + =  y = 3x y =3 x ⇔  ⇔ ⇔ ⇔  x = 1∨ x = − y = − x x − 3x + x − =    = −3 x   x + Nhắc lại: Điểm M ∈ (C ) : y = f ( x ) cho khoảng cách từ M tới Ox k lần khoảng  f ( x ) = kx cách từ M tới Oy có hoành độ nghiệm phương trình f ( x ) = kx ⇔   f ( x ) = − kx Cách khác: a = a−7  a−7   Gọi M  a; =3 a ⇔  với a ≠ −1 Theo đề ta có: a = − a +1  a +1   Câu 34 Chọn C  2a −  Gọi M  a;  ∈ ( C ) với a ≠ , ta có  a−2  2a − d = a−2 + −2 = a−2 + ≥ a−2 a−2 Vậy giá trị nhỏ d Câu 35 Chọn B Phương pháp tự luận 11   11   Gọi A  x A ; − x A3 + x A2 + 3x A −  , B  xB ; − xB3 + xB2 + xB −  hai điểm (C ) đối xứng 3  3  qua trục tung (1)  xB = − x A  x A + xB =  Ta có  ⇔ 11 11 2  y A = yB − x A + x A + xA − = − xB + xB + xB − (2) Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 19 | T H B T N BTN_2_3 Chuyên đề Các toán liên quán đến đồ thị hàm số Thay (1) vào (2) ta được:  x A = −3 ⇒ xB = 11 11 − x A3 + x A2 + x A − = − (− x A )3 + (− x A )2 + 3(− x A ) − ⇔  3 3  x A = ⇒ x A = −3  16   16  Vậy có hai cặp điểm cần tìm A  3;  , B  −3;  3  3  Phương pháp trắc nghiệm x + x = Kiểm tra điều kiện đố i xứng qua trục tung  A B kiểm tra điểm có thuộc đồ thị  y A = yB không Câu 36 Chọn C Gọi M ( xM , yM ) , ( xM ≠ −3) thỏa yêu cầu toán Ta có: 15   xM = −  y = x + +  M M  xM + ⇔     y = − 15  yM = ± xM  M Câu 37 Chọn C Gọi M ( x0 ; y0 ) với x0 ∈ ℤ, y0 ∈ ℤ  x0 ∈ ℤ  ⇒ ⇒ x02 + x0 + ∈ {−2; −1;1; 2}  x2 + x + ∈ ℤ  x02 + x0 + = −2 (vô nghiệm) x02 + x0 + = ⇔ x0 = −1 ⇒ y0 = ⇒ M (−1; 2)  x0 = ⇒ y0 = ⇒ M (0;1) x02 + x0 + = ⇔   x0 = −2 ⇒ y0 = ⇒ M (−2;1) Vậy có đồ thị (C ) có ba điểm có tọa độ số nguyên x02 + x0 + = −1 (vô nghiệm) Câu 38 Chọn B Gọi ( x0 ; y0 ) điểm cố định cần tìm Ta có y0 = x03 − 3(m − 1) x02 − 3mx0 + 2, ∀m  x02 + x0 = ⇔ 3( x02 + x0 )m + y0 − x03 − 3x02 − = 0, ∀m ⇔   y0 − x0 − x0 − =  x0 = −1 ⇔  y0 =  x0 =   y0 = Suy P ( −1; ) , Q (0; 2) P ( 0; ) , Q (−1; 4) nên y P + yQ = Câu 39 Chọn C  Gọi M  x0 ;  x0 −   ∈ (C ) với x0 ≠ −1 Tiếp tuyến M có phương trình x0 +  y− x0 − = ( x − x0 ) x0 + ( x0 + 1) hay x − ( x0 + 1) y + x02 − x0 − = Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 20 | T H B T N BTN_2_3 Chuyên đề Các toán liên quán đến đồ thị hàm số Khoảng cách từ I (−1;2) tới tiếp tuyến d= −3 − 2( x0 + 1) + x02 − x0 − + ( x0 + 1) ( x0 + = + ( x0 + 1) = + ( x0 + 1) 2 ( x0 + 1) + ( x0 + 1)2 ≥ = , d ≤ Khoảng cách d lớn ( x0 + 1)2 Theo bất đẳng thức Côsi: = ( x0 + 1) ⇔ ( x0 + 1) = ⇔ x0 = −1 ± ( x0 + 1) ) ( ) Vậy : M −1 + 3; − , M −1 − ; + Câu 40 Chọn D Đồ thị hàm số (Cm ) có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc tọa độ tồn x0 ≠ x0 ≠ cho y ( x0 ) = − y (− x0 ) x02 − 4mx0 + 5m (− x0 ) − 4m(− x0 ) + 5m =− ⇔ tồn x0 ≠ x0 ≠ cho x0 − (− x0 ) − ⇔ tồn x0 ≠ x0 ≠ cho (1 − 2m ) x02 + 5m = m <  5m(1 − 2m) < m >  ⇔ (1 − 2m).4 + 5m ≠ ⇔   (1 − 2m).0 + 5m ≠   m ≠  Câu 41 Chọn D   Lấy điểm M  m; +  ∈ ( C ) với m ≠ Ta có y ' ( m ) = − m−2  ( m − 2) Tiếp tuyến M có phương trình d : y = − (m − 2) ( x − m) + + m−2   Giao điểm d với tiệm cận đứng A  2; +  m−2  Giao điểm d với tiệm cận ngang B ( 2m − 2; )   2 Ta có AB = ( m − ) + ≥ , suy AB ≥ 2 Dấu “=” xảy ( m − ) = , 2 ( m − )   nghĩa m = m = −1 Câu 42 Chọn C Phương trình đường trung trực đoạn AB y = x Những điểm thuộc đồ thị cách A B có hoành độ nghiệm phương trình :  1− x=  x+2 = x ⇔ x2 − x − = ⇔  x −1  1+ x =  Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 21 | T H B T N BTN_2_3 Chuyên đề Các toán liên quán đến đồ thị hàm số 1− 1−  1+ 1+  ;  Hai điểm đồ thị thỏa yêu cầu toán  , , 2   2      Câu 43 Chọn C Gọi M ( x; y ) thuộc ( C ) , ta có 2 1     IM = ( x − 1; y − ) ⇒ IM = ( x − 1) +  x + + −  = ( x − 1) +  x − + x −1  x −    2 g ( x) Mà 2 g ( x ) = ( x − 1) + ( x − 1) + ( x − 1) 2 + = ( x − 1) + ⇒ IM = + 2 Đạt ( x − 1) = ( x − 1) ( x − 1) +2 ≥ 2+ 2  x = 1− ⇔ ( x − 1) = ⇒   x = 1+  4 Câu 44 Chọn B Phương pháp tự luận   Gọi M  xM , −  thuộc (C) Và MH, MK khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng xM +   Do xM + tiệm cận ngang Khi MH = xM + MK = MH + MK = xM + + ≥ ( Cauchy ) xM +  x = −2 ⇒ yM = Suy MH + MK bé ( xM + 1) = ⇔  M  xM = ⇒ yM = Phương pháp trắc nghiệm ax + b Cho đồ thị hàm số ( C ) : y = Gọi M điểm thuộc đồ thị hàm số, tổng khoảng cx + d cách từ M đến tiệm cận có độ dài nhỏ ad - bc c2 Câu 45 Chọn A Gọi A điểm thuộc thuộc nhánh trái đồ thị hàm số, nghĩa x A < ⇒ với số α > , đặt x A = − α , suy y A = + 6 = 1+ = 1− xA − 3 −α − α (1) Tương tự gọi B điểm thuộc nhánh phải, nghĩa xB > ⇒ với số β > , đặt xB = + β , suy y B = + 6 = 1+ = 1+ xB − 3+ β −3 β Vậy AB = ( xB − x A ) + ( yB − y A ) ( 2)     = ( + β ) − ( − α )  +  +  − 1 −    β   α   Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 2 22 | T H B T N BTN_2_3 Chuyên đề Các toán liên quán đến đồ thị hàm số g (α ; β ) = (α + β ) 6 6 2 2  +  +  = (α + β ) + ( ) (α + β )   α β   αβ   36  = (α + β + 2αβ )  + 2   α β  Dùng bất đẳng thức Cauchy, ta có  36  144 g (α ; β ) ≥ ( 2αβ + 2αβ )  + 2  = 4αβ + ≥ 4.144 = 48 αβ  α β  Vậy AB ≥ 48 = Dấu đẳng thức xảy vả α = β α = β   ⇔ ⇒α = β =  144αβ = αβ (αβ ) = 36  Vậy độ dài AB ngắn Câu 46 Chọn D Gọi ( x0 ; y0 ) điểm cố định cần tìm Ta có y0 = x04 + mx02 − m + 2016, ∀m ⇔ ( x02 − 1)m + x04 − y0 + 2016 = 0, ∀m  x02 − = x = ⇔ ⇔  y0 = 2017  x0 − y0 + 2016 =  x0 = −1   y0 = 2017 M (−1; 2017)  M (1; 2017)  ⇒  N (1; 2017)  N (−1; 2017) Tọa độ trung điểm I đoạn thẳng MN I (0; 2017) Câu 47 Chọn B Điểm M nằm trục Ox : M (−2; 0) ⇒ d M = −2 + = Điểm M nằm trục tung : d M = + − 2 = 3 2 Xét điểm M có hoành độ thỏa mãn x < ; y < − ⇒ y > (*) 3 2 Trường hợp : ≤ x ≤ Do (*) : d M = x + y > 3 2 5 Trường hợp : − < x < 0; − < y < ⇒ d M = − x − − ; d 'M = −1 + 3 x −3 ( x − 3) Xét điểm M có hoành độ x > x = 3− d 'M = ⇔  Khi lập bảng biến thiên,ta thấy hàm số nghịch biến với mọ i  x = +   x ∈  − ;  Vậy d M = d M (0) =   Câu 48 Chọn D  3 Điểm M  0,  nằm trục Oy Khoảng cách từ M đến hai trục d =  2 Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 23 | T H B T N BTN_2_3 Chuyên đề Các toán liên quán đến đồ thị hàm số 3 ⇒d = x + y > 2 Xét điểm M có hoành độ nhỏ : 3 • Với < x < ⇒ y > ⇒ d = x + y > 2 1 • Với − < x < 0; y > ⇒ d = − x + x + + = 1+ ;d ' = − ∆ > , tức  ⇔ ⇔ (*) h(2) ≠ −6 ≠  m > + Điều kiện đủ: Gọi I trung điểm AB , ta có: Để hai m+3  xA + xB x =  I  xI =   m + 3m +  ⇔ ⇒ I ;   m +    y I = xI + m y = +m  I điểm A, B đối xứng qua d : x − 2y − = m+3 3m + − − = ⇔ m = −3 (thỏa điều kiện (*))  x = −1 ⇒ y = −1 Với m = −3 phương trình h( x) = ⇔ x − = ⇔   x = ⇒ y = −5 I ∈d ⇔ Vậy tọa hai điểm cần tìm (1; −5 ) ( −1; −1) Câu 50 Chọn A Gọi ( x, y ) điểm cố định họ đồ thị ( Cm ) : y = x + mx − m − , ta có y = x + mx − m − 1, ∀m ⇔ ( x − 1) m + x − − y = 0, ∀m  x − =  x =  x = −1 ⇔ ⇔ ;  x − − y = y = y = Vậy họ đồ thị có hai điểm cố định ( −1; ) , (1; ) Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 24 | T H B T N BTN_2_3 Chuyên đề Các toán liên quán đến đồ thị hàm số Câu 51 Chọn B Gọi M ( x0 ; y0 ) với x0 ∈ ℕ, y0 ∈ ℕ  x0 ∈ ℕ  ⇒ ⇒ x0 + ∈ {−8; −4; −2; −1;1; 2; 4;8} ⇒ x0 ∈ {−9; −5; −3; −2; 0;1;3;7} 1  y = x − + ∈ ℕ   0  2 x0 +   Do x0 ∈ ℕ nên x0 = ⇒ y0 = ⇒ M (0;1) x0 = ⇒ y0 = − x0 = ⇒ y0 = − (loại) (loại) x0 = ⇒ y0 = ⇒ M (7;1) Câu 52 Chọn A Gọi A( x0 ; y0 ) , x0 > điểm cố định cần tìm Ta có: y0 = − x04 + 2mx02 − 2m + 1, ∀m  x02 − =  x0 = ( x0 > 0) ⇔ 2m( x − 1) + − x − y0 = 0, ∀m ⇔  ⇒ ⇒ A(1; 0)  1 − x0 − y0 =  y0 = Lại có y ′ = −4 x + 4mx ⇒ y ′(1) = 4m − Phương trình tiếp tuyến (Cm ) điểm A(1; 0) có dạng y = (4m − 4)( x − 1) hay y = (4m − 4) x + − 4m (∆) 4m − = 16 m = Vì ∆ song song với d nên  ⇔ ⇒ m =  − 4m ≠ m ≠ Câu 53 Chọn D   Gọi M  x, x + +  ∈ (C ) x+2  Khoảng cách từ M đến d h ( M;d ) cho h( M ; d ) = 3x + y + 10 = 1 1 3x + + x + + = ( x + 2) + x+2 x+2 10 10 • Khi x + > : 1 Ta có 4( x + 2) + ≥ dấu xảy 4( x + 2) = ⇔ ( x + 2) = ⇒ x = − x+2 x+2 4 Vậy h ( M;d ) đạt giá trị nhỏ 10 • Khi x + < Ta có −4 ( x + ) − ≥4 ( x + 2) Dấu xảy ⇔ −4 ( x + ) = − Vậy h ( M;d ) đạt giá trị nhỏ 1 ⇔ ( x + 2) = ⇒ x = − x+2 4 10 Câu 54 Chọn C Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 25 | T H B T N BTN_2_3 Chuyên đề Các toán liên quán đến đồ thị hàm số a +1  a +1  −1 = a −1 + ≥2 Gọi M  a;  ∈ ( C ) với a ≠ ta có d = a − + a −1 a −1  a −1  Câu 55 Chọn B a = a+2  a+2 −1 ⇔ a − = ⇔ Vậy Gọi M  a;  ∈ ( C ) với a ≠ ta có a − = a−2 a−2  a−2 a = M ( 0; −1) , M ( 4;3) Câu 56 Chọn A  a+3 Gọi M  a;  ∈ ( C ) với a ≠ ta có  a −1   a − 2a − =  a = −1 a +3 ⇔ ⇔ a= Vậy a −1 a = a + = M ( −1; −1) , M ( 3;3 ) Câu 57 Chọn C  a+2 Gọi M  a;  ∈ ( C ) với a ≠ ta có  a −1  a− a = + a+2  +1 2 a −a−3  a − 2a − = a −1 a = 1− = ⇔ =1⇔  ⇔  a −1 2 a = a − =   a = −2 Vậy có hai điểm thỏa yêu cầu M ( 2; ) ; M ( −2;0 ) Câu 58 Chọn C Gọi M ( x0 ; y0 ) điểm cố định họ đồ thị ( Cm ) , ta có y0 = ( m + ) x03 − ( m − ) x0 + m + 7, ∀m ⇔ ( x03 − 3x0 + 1) m + x03 + x0 + − y0 = 0, ∀m  x03 − 3x0 + = ⇔ 2 x0 + x0 + − y0 = Vì hệ có nghiệm phân biệt nên họ đồ thị có điểm cố định Câu 59 Chọn B Gọi M ( x, y ) , N ( − x, y ) hai điểm thuộc đồ thị ( Cm ) đối xứng qua trục tung Ta có x − ( 3m − 1) x + 2mx + m + = − x − ( 3m − 1) x − 2mx + m + x = ⇔ x3 + 4mx = ⇔  x = − m  Vậy m < Câu 60 Chọn B m + 72 > ∆ ' > Ta có y ' = x + 2mx − 12 Điều kiện  ⇔ ⇔ m = Vậy m = S = m = Câu 61 Chọn C Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 26 | T H B T N BTN_2_3 Chuyên đề Các toán liên quán đến đồ thị hàm số a + a − = a +1  a +1  Gọi M  a, ⇔  ∈ ( C ) với a ≠ −2 , ta có a = a+2  a+2  a + 3a + = Phương trình có nghiệm nên đồ thị có điểm cách hai trục tọa độ Câu 62 Chọn B a = 3a −  3a −  Gọi M  a, − ⇔ ( a − 2) = ⇔   ∈ ( C ) với a ≠ ta có a − = a −2  a−2  a = Vậy M (1;1) ; N ( 3; ) Câu 63 Chọn C Gọi A ( a, − a + 3a + ) , B ( b, −b3 + 3b + ) hai điểm ( C ) đối xứng qua M ( –1; ) , a + b = −2 ta có:  3 − a + 3a + − b + 3b + = a + b = −2  a =  a = −2 a + b = −2 ⇔ ⇔ ⇔ ∨ ab = b = −2 b = ( a + b ) − 3ab ( a + b ) − ( a + b ) + = Câu 64 Chọn D  x −1 = x =  x − = −2  x = −1 − x −x +1+ 2 Ta có y = = = −1 + ⇒ ⇒ x = x −1 x −1 x −1  x − =    x − = −1  x = Vậy có điểm thỏa yêu cầu toán Câu 65 Chọn D a +1  a +1  Gọi M  a; −1 = a − + ≥2  ∈ ( C ) với a ≠ Ta có d = a − + a −2 a−2  a−2 Dấu " = " xảy (2 + ) ( 3;1 + − 3;1 − ( a − 2) a = + =3⇔  Vậy hai điểm  a = − ) Câu 66 Chọn D Tâm đối xứng đồ thị giao điểm hai đường tiệm cận Vậy điểm cần tìm M ( −1; 3) Câu 67 Chọn B  2a +  Gọi M  a;  ∈ ( C ) với a ≠  a −1   a − 2a + = 2a + a = 2a + Ta có a − = ⇔ ⇔ a − 4a = ⇔  a −1 a =  a − 2a + = −2a − Vậy điểm cần tìm là: M ( 0; −1) , M ( 4;3) Câu 68 Chọn A  a+2 Gọi M  a;  ∈ ( C ) với a ≠  a−2 Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 27 | T H B T N Chuyên đề Các toán liên quán đến đồ thị hàm số Ta có a − = BTN_2_3 a+2 −1 ⇔ a − = ⇔ ( a − 4a + ) = a−2 a−2 ⇔ 5a − 20a + 16 = ⇔ a = 10 ± 5 Vậy có hai điểm cần tìm Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 28 | T H B T N ... D 19 A 20 B 21 D 22 A 23 B 24 A 25 A 26 A 27 C 28 D 29 C 30 D 31 D 32 A 33 D 34 C 35 B 36 C 37 C 38 B 39 C 40 D 41 D 42 C 43 C 44 B 45 A 46 D 47 B 48 D 49 B 50 A 51 B 52 A 53 D 54 C 55 B 56 A... ( B M ( −1 + C M ( −1 + D M ( −1 − ) 3) , M 3) , M 3) , M ( ( −1 + ( −1 − ( −1 − ) 3 ;2 + ) 3; + ) 3; 2 − ) A M −1 + ;2 + , M −1 − 3 ;2 + ;2 − ;2 − 3 ;2 − 2 Câu 40 Tập hợp tất giá trị thực m để... AB.u d = (2) a +b a3 + a + b3 + b Từ (1) ta có =− 2 2 ⇔ (a + b)(2a − 2ab + 2b + 3) = ⇔ a = −b (3) 3    (vì 2a − 2ab + 2b + =  a − ab + b +  =  a − b  + b + > 0, ∀a, b ) 2    2 Với AB