Chủ đề 1.2. Cực trị của hàm số

cách tìm cực trị của hàm số 2 biến

Chu dé 1.2 CUC TRI CUA HAM SO

A KIEN THUC CO BAN

1 Định nghĩa: Cho ham số y = ƒ(x) xác định và liên tục trên khoảng (2;b) (có thể a là -œ; b là +oo) va diém x, € (a;b)

> Nếu tồn tại số >0 sao cho f(x)< f(x,) voi moi xe (x) —h;x, +h) va x#x, thita noi ham

sé f(x) đạt cực đại tại Xp

> Néu tén tại số >0 sao cho ƒ(x)> ƒ(x¿) với mọi xe (xạ —j; xạ +) và x # xạ thì ta nói hàm

số f(x) đạt cực tiểu tại Xy

2 Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: Giả sử hàm số y = ƒ(z) liên tục trên K = (x¿ — h; xạ +) và có

đạo hàm trên K hoặc trên K \{+x¿}, với h>0

> Nếu ƒ'(x)>0 trên khoảng (xạ —;xạ) và ƒ(x)<0 trên (x;;xạ +) thì xạ; là một điểm cực đại của hàm số f(x)

> Nếu f’(x) <0 trên khoảng (x¿—h;xạ) và ƒ(x)>0 trên (xạ;x¿+J) thì x¿ là một điểm cực tiêu của hàm số ƒ(+x)

Minh họa bằng bảng biến thiến

*® Nếu hàm số y=ƒŒ) đạt cực đại (cực tiểu) tại x, thi x, dugc goi la diém cuc dai (diém

cực tiểu) của hàm số; ƒ (xạ) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là ƒ„ (ƒ„), còn điểm M(%; ƒ(+¿)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số

® Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị Giá trị cực đại (giá trỊ cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số

B KỸ NĂNG CƠ BẢN

1 Quy tác tìm cực trị cia ham so

> Quy tac 1:

Bước I Tìm tập xác định của hàm SỐ

Bước 2 Tính ƒˆ(x) Tìm các điểm tại đó ƒ (x) bằng 0 hoặc ƒ (x) không xác định

Bước 3 Lập bảng biến thiên

Bước 4 Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị

Bước 4 Dựa vào dấu của ƒ”(x,) suy ra tính chất cực trị của điểm x,

2 Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm số bậc ba y =ax” +bx” +cx+d (a #0)

Ta có yˆ= 3ax” +2bx+c

> D6 thi hàm số có hai điểm cực trị khi phương trình yˆ=0 có hai nghiệm phân biệt

2

© b?—3ac >0 Khi đó đường thăng qua hai điểm cực trị đó là : y=[2- 2 Jer

> Bắm máy tính tìm ra đường thắng đi qua hai điểm cực tri:

ax`+bx”+cx+d —(3ax? + 2bxe)( 242) 9A B= y=Ax+B

3 Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm trùng phương

Cho ham s6: y= ax‘ + bx” +c (a #0) c6 dé thi la (C)

> AABC đều © BC? = AB?

> Bán kính đường tròn nội tiếp AABC 1a r=

4 Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm phân thức

Công thức tính nhanh đạo hàm

2

Phương trình đường thăng qua 2 điêm cực trỊ của đô thi ham so y= —=—”“pb v= a

C KY NANG SU DUNG MAY TINH

Vi du 1: Tim đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số: y = x°+3x?-—x+2

D BAI TAP TRAC NGHIEM

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Hàm số đạt cực đại tại x= 2 B Hàm số đạt cực đại tại x=3

C Hàm số dat cuc dai tai x=4 D Ham sé dat cuc dai tai x =-2

Cho hàm số y = x`—3x? +2 Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Hàm số đạt cực đại tại x=2 và đạt cực tiểu tại x=0

B Hàm số đạt cực tiểu tại x=2 và đạt cực đại x=0

C Hàm số đạt cực đại tại x= —2 và cực tiểu tại x=0

D Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và cực tiểu tại x= —2

Cho hàm số y = x* —2x? +3 Khang dinh nao sau day 1a ding?

Cho hàm số y = xz`+17x?—24x+8 Kết luận nào sau đây là đúng?

2

A Xep =1 B Xep = 3° C x„ =—3 D xe; =—12

Câu 8 Cho hàm số y=3x*—6x” +1 Kết luận nào sau đây là đúng?

A Yop = —2 B yop = 1 C Yop = D Yop = 2

Câu 9 Trong các hàm số sau, hàm số nào đạt cực đại tại x == ?

A yapatoxt tx? cây B y=A|—x?+3x—2

Câu 12 Cho hams6 y=Vx’-2x Khang dinh nao sau day 1a ding

A Hàm số có hai điểm cực trị B Hàm số đạt cực tiểu tại x=1

C Hàm số dat cuc dai x=1 D Ham số không có cực trị

Câu 13 Cho hàm số y=x” —x' Khăng định nào sau đây là đúng

A Hàm số có dung 1 diém cuc tri B Hàm số có đúng 3 điểm cực trị

Œ Hàm sô có đúng hai điêm cực trị D Hàm sô có đúng 4 điêm cực trị

Cau 14 Cho hamsé y= f(x) có đạo hàm ƒ (z) = (x+1)(x—2)?(x—3)°(x+5)f Hỏi hàm số

y= ƒ(z) có mấy điểm cực trị?

Câu 15 Cho hàm số y=(x?— 2x)" Khăng định nào sau đây là đúng?

A Ham số đạt cực tiểu tại x=1 B Ham số đạt cực đại tại x=1

€ Hàm sô không có điêm cực trị D Hàm sô có đúng 2 điêm cực trị

Câu 16 Cho hàm số y=—x°+3x”+6x Hàm số đạt cực trị tại hai điểm x,,x, Khi đó giá trị của

biểu thức § = x? +x? bằng:

Câu 17 Cho hàm số y= ƒ(+) có dao ham trén R Khang dinh nao sau day 1a ding?

A Nếu đạo hàm đổi dấu khi x chạy qua xạ thì hàm số đạt cực tiểu tai x,

B.Nếu ƒ(%)=0 thì hàm số đạt cực trị tại xạ

C Nếu hàm số đạt cực trị tại x, thi dao ham đôi dấu khi x chay qua x,

D Néu f(x) = f’(%) =0 thi ham sé khong dat cực trị tại xạ

Cho ham s6 y= f(x) xác dinh trén [a,b] va x, thudc doan [a,b] Khang dinh nao sau day là

khang dinh ding?

A Hams6 y= f(x) dat cuc tritai x, thi f’(x,)<0 hodc f’(x,)>0

B Hams6é y= f(x) dat cuc tritai x, thi f’(x,)=0

C Hamsé y =f (x) đạt cực trị tại xạ thì nó không có dao ham tại xạ

D Nếu hàm số đạt cực trị tại x, thì hàm SỐ không có đạo hàm tại xạ hoặc f’(x%))=0

Cho hàm số y = f(x) Khang dinh nao sau day 1a ding?

A Nếu hàm số y= ƒ(z) có giá trị cực đại là M, giá trỊ cực tiêu là m thì M >m

B Nếu hàm số y = ƒ(z) không có cực trị thì phương trình ƒ(x¿)=0 vô nghiệm

C Hàm số y= ƒ(z) có đúng hai điểm cực trị thì hàm số đó là hàm bậc ba

D Hàmsố y=ax'°+bx?+c với a#0 luôn có cực trị

Hàm số bậc ba có thể có bao nhiêu điểm cực trị?

A.0 hoặc lhoặc2 B l hoặc 2 C 0 hoặc 2 D 0 hoặc 1

Khang dinh nao sau day 1a khang dinh ding?

A Dé thi ham sé y= f(x) cat trục hoành tại ba điểm phân biệt

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A Đồ thị hàm số y = ƒ(x) chỉ có điểm cực tiêu và không có điểm cực đại

B Đồ thị hàm số y= ƒ(z) có một điểm cực tiểu và một điểm cực đại

C Đồ thị hàm số y= ƒ(+) có bốn điểm cực trị

D Đồ thị hàm sô y= ƒ(x) có một điêm cực đại và hai điêm cực tiêu

Hàm sô nào sau đây có đúng hai điêm cực tr?

A y=2x+—“— B y=x° +3x’ C y=-x°+2x +3 D y= x11

Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào là khẳng định sai?

A Đồ thịhàm số y= ax) +bx?+cx+đ,(a#0) luôn có cực trị

B Đồ thị hàm số y== ax' +bx? +c,(a #0) luôn có ít nhất một điểm cực trị

„" - ,(ad —bc # 0) luôn không có cực trị

C Hàm số y=

cx+

D Đồ thị hàm số y = ax)+bx? +cx+ đ,(a #0) có nhiều nhất hai điểm cực trị

Điêm cực tiêu của hàm sô y=—x”+3x+4 là:

A y=xz” +1 B y=x'+3x⁄+2 CC y=3x+4 D y= ni

Khắng định nào là đúng trong các khăng định sau:

A Ham s6 y = ax* +bx’ +c có thể có 2 điểm cực trị

Cho ham sé y =—3x* +4x? —2017 Khang dinh nao sau day là đúng?

A Hàm số có 1 điểm cực đại và không có điểm cực tiểu

B Hàm số không có cực trị

C Hàm số có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu

D Hàm số có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiêu

Hàm số nào sau đây không có cực trị?

Cho hàm số y = x`—6x? +4x—7 Gọi hoành độ 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số là x,,x; Khi

Cho hàm số y= sx —2m>xˆ? +(4m—1)x— 3 Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Hàm số có cực đại, cực tiểu khi m < -

B Với mọi m, hàm số luôn có cực trị

C Hàm số có cực đại, cực tiểu khi m# -

D Hàm số có cực đại, cực tiểu khi m >

Hàm số y=—x' +4x?+3 có giá trị cực đại là:

Cho hàm số y= xzÌ—3x”—2 Gọi a,blần lượt là giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số

đó Giá trị của 2a? +b là:

Cho hàm số y= x°—3+x” +2 Khẳng định nào sau đây đúng :

A Hàm số có cực đại, cực tiểu B Hàm số không có cực trị

C Hàm số có cực đại, không có cực tiểu D Hàm số có cực tiểu không có cực đại Cho hàm số y = ƒ(x) có bảng biến thiên như sau

A Một điểm cực đại, một điểm cực tiểu

B Một điểm cực đại , hai điểm cực tiểu

C 1 điểm cực đại, không có điểm cực tiểu

D 2 điểm cực đại, 1 điểm cực tiểu

Trong các khẳng định sau, khăng định nào là đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3) B Hàm số đạt cực tiểu tại x= 3

C Hàm số có giá trỊ Cực tiểu là " D Hàm số không có cực trị

Tim tat các giá trị thực của tham sô m đề hàm sô y = ae +(m+3)x’ +4(m+3)x+m° —m dat

cuc tri tai x,,x, thoaman —1< x, <x,

Tim cdc gid tri cua tham s6m dé dé thi ham sé: y= x*—2m’x? +1 c6 ba diém cuc trị là ba

đỉnh của một tam giác vuông cân

Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: y= x*—2(m+1)x” +m” có ba điểm cực trị là

ba đỉnh của một tam giác vuông cân

TOÁN HỌC BẮC-TRUNG-NAM - tcanhocbacirungnamegmail.com 12ITHBTN

Tim cdc gid tri cua tham sé m dé dé thi ham sé: y= x*-—2mx?+2m+m‘* có ba điểm cực trị là

ba đỉnh của một tam giác đều

Tìm tất cả các giá tri thc cla tham sé m dé ham sé y = x° —3mx” +(m—1)x +26 cuc dai, cuc

tiêu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số có hoành độ dương

TOAN HOC BAC-TRUNG-NAM - tcanhocbacirungnamegmail.com 13ITHBTN

Goi x,,x, la hai điểm cực trị của hàm số y=z°`—3m+x” +3(m -1)x-m’ +m Tim tat ca cdc

giá trị của tham số thực m dé: x7 +x) —x,x, =7

Cho ham sé y=(m-1)x‘—3mx? +5 Tim tat ca cdc gid tri cha tham số thuc m để hàm số có

cực đại mà không có cực tiểu

A me (—s;0]t2[1;+) B me [0;1]

C me (0:1) D me (-0;0) U(1;+<0)

Cho ham s6 y=x*-2(1-m”)x? +m+1 Tim tat cả các giá trị của tham số thực m để hàm số

có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số lập thành tam giác có diện tích lớn

nhất

1

Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = 2x +3(m—3) x” +11— 3m có hai điểm cực

trị Đồng thời hai điểm cực trị đó và điểm Œ (0;—1) thắng hàng

Tim tat ca các giá trị thực của tham số z để đồ thị hàm số y=2xÌ—3(m+1)x”+6mx có hai

điểm cực trị A, 8 sao cho đường thắng AB vuông góc với đường thắng : y=x+2

Cho hàm số y= xÌ—6x?+3(m+2)x—m—6 Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số có

điêm 2 cực trị và giá trị 2 cực trị cùng dâu

Cho hàm số y= 2x)—9x? +12x+m Giả sử đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là A, B đồng thời

A, B cùng với gốc tọa độ O không thắng hàng Khi đó chu vi AOAB nhỏ nhất bằng bao nhiêu ? TOÁN HỌC BẮC-TRUNG-NAM - tcanhocbacirungnamegmail.com 14ITHBTN

Cho hàm số y = x' —2/nx? +m—1 Tìm tất cả các giá trị của tham số thực zm để đồ thị hàm số

có ba điểm cực trị tạo thành 1 tam giác nhận sốc toa dd O làm trực tâm

Tìm các giá trị của tham sốm để đồ thị hàm số: y= 2x) +3(m—1)x”+6m(1—2m)x có điểm

cực đại và điểm cực tiểu nằm trên đường thăng có phương trình: y=-4x (đ)

Tìm các giá trị của tham sốzn để đồ thị hàm số: y = x`—3x”—zmx+2 có điểm cực đại và điểm

cực tiêu cách đều đường thắng có phương trình: y = z— (2)

Tìm các giá trị của tham sốzn để đồ thị hàm sé: y=x*-—2mx’+m-1 cé ba điểm cực trị

Đồng thời ba điểm cực trị đó là ba đỉnh của một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1

Tìm các giá trị của tham số để đồ thị hàm số: y= xÌ—2m”x?+mm'+1 có ba điểm cực trị

Đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc O tạo thành 1 tứ giác nội tiếp

A m=+1 B m=1 C Không tổn tạm D m=-—1

TOÁN HỌC BẮC-TRUNG-NAM - tcanhocbacirungnamegmail.com I5SITHBTN

Tim cdc gid tri cua tham sém dé dé thi ham sé: y = x‘ —8m’x’ +1 c6 ba diém cuc tri Đồng

thời ba điểm cực trị đó là ba đỉnh của một tam giác có diện tích bằng 64

A Khong tontaim B m=*/2, C m=-Ñ2 D m=+Ñ2

Tìm các giá trị của tham số zw để đồ thị hàm số: y = xÌ —2mmx”?+m có ba điểm cực trị Đồng

thời ba điểm cực trị đó là ba đỉnh của một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn hơn 1

C me (-00;-1) (2; +0) D Khong tén tai m

Tìm các giá trị của tham số m dé dé thi ham sé: y = x* —(3m—1)x? +2m+1 c6 ba diém cuc tri

Đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với điểm D(7;3) ndi tiếp được một đường tròn

Tìm tất cả cdc gid tri thuc cha tham sé m dé ham s6 y=—x`+3x” +3(m” —1)z—3m”—1 có

cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ Ó

A m= *~ B m=~ C m=-1 D m = +1

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y= x`—3mmx”+3m` có hai điểm

cực trị Á và Ö sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48

A m=2 hoặc m=0 B m = 2 C m=-2 D m= +2

Cho hàm số y= x“—2(m+1)x” +m (C)_ Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m dé 46 thi

hàm số (C) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA= BC; trong đó Ó là gốc tọa độ, A là điểm cực trị thuộc trục tung, 8 và C là hai điểm cực trị còn lại

Tìm tât cả các giá trị thực của tham sô m dé ham s6 y = x° —3mx? +3(m’? —1)x—m’ +m C6 cuc

tri đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến sốc tọa độ O bằng 42 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O

TOÁN HỌC BẮC-TRUNG-NAM - tcanhocbacirungnamegmail.com 161ITHBTN

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số z để đồ thị hàm số y = m+° —3mx? +3mm—3 có hai điểm

cuc tri A,B sao cho 24B? —(OA? + B7?) = 20( Trong đó O là gốc tọa độ)

Tim tat cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y= x”—4(7m—1) x”+2m—1 có 3

điểm cực trị tạo thành 3 đỉnh của một tam giác đều

E DAP AN VA HUONG DAN GIAI BAI TAP TRAC NGHIEM

Lập bảng biến thiên ta được hàm số đạt cực đại tại x= 2 và đạt cực tiểu tại x= 0

Hàm số đạt cực đại tại x =—3 va Yep = 7-3

Ham so dat cu tiéu tai x =—1 va y,, =1

x=l Hàm số đạt cực đại tại x=0 và Yop =1

Nếu A'<0 thì y' không đổi dấu trên IR nên hàm số không có cực trị

Nếu A'>0 thì phương trình y'=0 luôn có hai nghiệm phân biệt *¡,*„ Và y' đổi dấu khi x chạy qua x,,x, nén ham số đạt cực trị tại X15 Xq-

Do đó, hàm số luôn đồng biến trên # Hàm số này không có cực trị

+ Đối với phương án C và D, đây là hàm số bậc nhất và phân thức hữu tỉ bậc nhất/bậc nhất Đây

là 2 hàm số luôn đơn điệu trên từng khoảng xác định của chúng, do đó 2 hàm số này không có cuc tri

TOAN HOC BAC-TRUNG-NAM - tcanhocbacirungnamegmail.com 21IITHBTN