Chủ đề 1.2. Cực trị của hàm số

cách tìm cực trị của hàm số 2 biến

Trang 1

Chu dé 1.2 CUC TRI CUA HAM SO A KIEN THUC CO BAN

1 Định nghĩa: Cho ham số y = ƒ(x) xác định và liên tục trên khoảng (2;b) (có thể a là -œ; b là +oo) va diém x, € (a;b)

> Nếu tồn tại số >0 sao cho f(x)< f(x,) voi moi xe (x) —h;x, +h) va x#x, thita noi ham sé f(x) đạt cực đại tại Xp

> Néu tén tại số >0 sao cho ƒ(x)> ƒ(x¿) với mọi xe (xạ —j; xạ +) và x # xạ thì ta nói hàm

số f(x) đạt cực tiểu tại Xy

2 Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: Giả sử hàm số y = ƒ(z) liên tục trên K = (x¿ — h; xạ +) và có

đạo hàm trên K hoặc trên K \{+x¿}, với h>0

> Nếu ƒ'(x)>0 trên khoảng (xạ —;xạ) và ƒ(x)<0 trên (x;;xạ +) thì xạ; là một điểm cực đại của hàm số f(x) > Nếu f’(x) <0 trên khoảng (x¿—h;xạ) và ƒ(x)>0 trên (xạ;x¿+J) thì x¿ là một điểm cực tiêu của hàm số ƒ(+x) Minh họa bằng bảng biến thiến x Xy—h Xo Xy th x xạ—h Xo Xy) th f(x) + — f(x) — + Sop /@| mm /0 | _ _” va Chú ý

*® Nếu hàm số y=ƒŒ) đạt cực đại (cực tiểu) tại x, thi x, dugc goi la diém cuc dai (diém

cực tiểu) của hàm số; ƒ (xạ) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là ƒ„ (ƒ„), còn điểm M(%; ƒ(+¿)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số

® Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị Giá trị cực đại (giá trỊ cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số

B KỸ NĂNG CƠ BẢN

1 Quy tác tìm cực trị cia ham so > Quy tac 1:

Bước I Tìm tập xác định của hàm SỐ

Bước 2 Tính ƒˆ(x) Tìm các điểm tại đó ƒ (x) bằng 0 hoặc ƒ (x) không xác định

Bước 3 Lập bảng biến thiên

Trang 2

Bước 4 Dựa vào dấu của ƒ”(x,) suy ra tính chất cực trị của điểm x,

2 Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm số bậc ba y =ax” +bx” +cx+d (a #0) Ta có yˆ= 3ax” +2bx+c

> D6 thi hàm số có hai điểm cực trị khi phương trình yˆ=0 có hai nghiệm phân biệt

2

ax`+bx”+cx+d —(3ax? + 2bxe)( 242) 9A B= y=Ax+B a Hoặc sử dụng công thức y— ae a > Khoang cach giita hai diém cyc tri cua do thi ham so bậc ba là: 3 2 AB = 4e+l6e với =? 3ac a 9a

3 Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm trùng phương Cho ham s6: y= ax‘ + bx” +c (a #0) c6 dé thi la (C) x=0 2 > 2a y =4ax’ +2bx; y=06 (C) có ba điểm cực trị yˆ= 0 có 3 nghiệm phân biệt © > >0 q Khi đó ba điểm cực trị là: A(0;c) , B 24-5 ,C — với A=b?—4ac 2a 4a 2a 4a Độ dài các đoạn thăng: AB= AC = >—¬—›:›BC=2|->- l6a“ 2a 2a Các kết quả cần ghi nhớ: > AABC vuông cân © BC” = AB” + AC” 4 4 3 3 =-2 -| P 2 Nes Pao 2{(Fat}-06 241-0

a l6a2 2a} 16a?” 2a 2a\ 8a 8a

Trang 3

bề [> 4|a| 2a _ p? | bY ob | b 4|a|+l6a°—2abÌ l6a7 2a 2a > Phương trình đường tròn ngoại tiếp AABC là: x”+ y”— l2 + c] yt (2 -<) =0 b 4a b 4a

> Bán kính đường tròn nội tiếp AABC 1a r=

4 Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm phân thức

Công thức tính nhanh đạo hàm a b > (=) le i ad-bc cx+d (cxt+d) (cx+dy > Ca _ gmx” +2anx+bn—cm , mx+n (mx +n) a 1 b 1 x? +2 a, C 1 x+ b 1 oc 1 a, b, a, C, b, C; > KH _ 2 2 A,X” +b,x+C, (a,x? +b,x+c,) 2

2 2 ¬ ad args f ax’ +bx+c, 2ax+b

Phương trình đường thăng qua 2 điêm cực trỊ của đô thi ham so y= —=—”“pb v= a

mx+n m

C KY NANG SU DUNG MAY TINH

Trang 4

D BAI TAP TRAC NGHIEM Cau 1 Cau 2 Cau 3 Cau 4 Cau 5 Cau 6 Cau 7 Cho hàm số y = ƒ(z) có đồ thị như hình vẽ: + Y wi Đồ thị hàm số y= ƒ(z) có may điểm cực trị? A 2 B 1 C 0 D 3 Cho hàm số y = ƒ(z) có bảng biến thiên: Xx —co 2 4 +co yí + 0 — 0 + _ oN 3 a +co 3 —oco —2

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Hàm số đạt cực đại tại x= 2 B Hàm số đạt cực đại tại x=3 C Hàm số dat cuc dai tai x=4 D Ham sé dat cuc dai tai x =-2

Cho hàm số y = x`—3x? +2 Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Hàm số đạt cực đại tại x=2 và đạt cực tiểu tại x=0 B Hàm số đạt cực tiểu tại x=2 và đạt cực đại x=0 C Hàm số đạt cực đại tại x= —2 và cực tiểu tại x=0 D Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và cực tiểu tại x= —2

Cho hàm số y = x* —2x? +3 Khang dinh nao sau day 1a ding? A Hàm số có ba điểm cực trị B Hàm số chỉ có đúng 2 điểm cực trị C Hàm số không có cực trỊ D Hàm số chỉ có đúng một điểm cực trị Biết đồ thị hàm số y= xÌ—3x+1 có hai điểm cực trị A, 8 Khi đó phương trình đường thắng AB là: Á y=x—2 B y=2x-1 C y= 2x41 D y=-x+2 x ¬ ¬ VÀ ae E x?+3x+3 ¬ Goi M,n 1an luot là giá trị cực đại, giá trị cực tiêu của hàm sô y = Khi đó gia tri x+ của biểu thức 4”—2n bằng: A 8 B 7 C 9 D 6

Cho hàm số y = xz`+17x?—24x+8 Kết luận nào sau đây là đúng?

Trang 5

2

A Xep =1 B Xep = 3° C x„ =—3 D xe; =—12

Câu 8 Cho hàm số y=3x*—6x” +1 Kết luận nào sau đây là đúng?

A Yop = —2 B yop = 1 C Yop = D Yop = 2

Câu 9 Trong các hàm số sau, hàm số nào đạt cực đại tại x == ?

A yapatoxt tx? cây B y=A|—x?+3x—2 C y=xl4x?—12x—8 D y=2— x+2 Câu 10 Trong các hàm sô sau, hàm sô nào chỉ có cực đại mà không có cực tiêu? A y=—10x!—5x” +1 B y=—17x`+2x°+x+5 2 _x 2 D y=2 txt x+1 x-1 L4 ? 1 1 2 2 ` ° x Cau 11 Cho ham sô y ———=—= Duong thang di qua hai diém cyc tri cua do thi ham s6 cé x+ phương trình là: A 5x-2y+13=0 B y=3x+13 Œ y=6x+13 D 2x+4y-1=0

Câu 12 Cho hams6 y=Vx’-2x Khang dinh nao sau day 1a ding

A Hàm số có hai điểm cực trị B Hàm số đạt cực tiểu tại x=1 C Hàm số dat cuc dai x=1 D Ham số không có cực trị

Câu 13 Cho hàm số y=x” —x' Khăng định nào sau đây là đúng

A Hàm số có dung 1 diém cuc tri B Hàm số có đúng 3 điểm cực trị Œ Hàm sô có đúng hai điêm cực trị D Hàm sô có đúng 4 điêm cực trị

Cau 14 Cho hamsé y= f(x) có đạo hàm ƒ (z) = (x+1)(x—2)?(x—3)°(x+5)f Hỏi hàm số

y= ƒ(z) có mấy điểm cực trị?

A.2 B 3 Œ 4 D 5

Câu 15 Cho hàm số y=(x?— 2x)" Khăng định nào sau đây là đúng?

A Ham số đạt cực tiểu tại x=1 B Ham số đạt cực đại tại x=1 € Hàm sô không có điêm cực trị D Hàm sô có đúng 2 điêm cực trị

Câu 16 Cho hàm số y=—x°+3x”+6x Hàm số đạt cực trị tại hai điểm x,,x, Khi đó giá trị của biểu thức § = x? +x? bằng:

A —10 B -8 C 10 D 8

Câu 17 Cho hàm số y= ƒ(+) có dao ham trén R Khang dinh nao sau day 1a ding? A Nếu đạo hàm đổi dấu khi x chạy qua xạ thì hàm số đạt cực tiểu tai x,

B.Nếu ƒ(%)=0 thì hàm số đạt cực trị tại xạ

C Nếu hàm số đạt cực trị tại x, thi dao ham đôi dấu khi x chay qua x,

Trang 6

Cau 18 Cau 19 Cau 20 Cau 21 Cau 22

D Néu f(x) = f’(%) =0 thi ham sé khong dat cực trị tại xạ

Cho ham s6 y= f(x) xác dinh trén [a,b] va x, thudc doan [a,b] Khang dinh nao sau day là

khang dinh ding?

A Hams6 y= f(x) dat cuc tritai x, thi f’(x,)<0 hodc f’(x,)>0 B Hams6é y= f(x) dat cuc tritai x, thi f’(x,)=0

C Hamsé y =f (x) đạt cực trị tại xạ thì nó không có dao ham tại xạ

D Nếu hàm số đạt cực trị tại x, thì hàm SỐ không có đạo hàm tại xạ hoặc f’(x%))=0

Cho hàm số y = f(x) Khang dinh nao sau day 1a ding?

A Nếu hàm số y= ƒ(z) có giá trị cực đại là M, giá trỊ cực tiêu là m thì M >m

B Nếu hàm số y = ƒ(z) không có cực trị thì phương trình ƒ(x¿)=0 vô nghiệm

C Hàm số y= ƒ(z) có đúng hai điểm cực trị thì hàm số đó là hàm bậc ba

D Hàmsố y=ax'°+bx?+c với a#0 luôn có cực trị

Hàm số bậc ba có thể có bao nhiêu điểm cực trị?

A.0 hoặc lhoặc2 B l hoặc 2 C 0 hoặc 2 D 0 hoặc 1 Cho hàm số y= ƒ(z)= |x? -2x-4 có đồ thị như hình vẽ: WY Ham sé y= f(x) c6 may cực trị? A 4 B 1 C 3 D 2 Cho hàm số y= ƒ(x) Hàm số y= ƒ (z) có đồ thị như hình vẽ: aN | Z NP 4 |

Khang dinh nao sau day 1a khang dinh ding?

A Dé thi ham sé y= f(x) cat trục hoành tại ba điểm phân biệt

Trang 7

Cau 23 Cau 24 Cau 25 B D6 thi ham sé y = f(x) có hai điểm cực trị C Đồ thị hàm số y= ƒ(z) có ba điểm cực trị D Đồ thị hàm số y = ƒ(x) có một điểm có một điểm cực trị Cho hàm số y= ƒ(x) Hàm số y = ƒ (x) có đồ thị như hình vẽ: + -1 4 Khang định nào sau đây là khẳng định đúng? A Hàm sô y= ƒ(x) đạt cực đại tạ x=l B Đồ thị hàm số y = f(x) c6 một điểm cực tiểu C Hàmsố y= ƒ(x) đồng biến trên (—œ;1) D Đồ thị hàm số y = ƒ(z) có hai điểm cực trị Cho hàm số y = x°—3x—2l có đồ thị như hình vẽ: VY 0 1 2 3

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A Đồ thị hàm số y = ƒ(x) chỉ có điểm cực tiêu và không có điểm cực đại

B Đồ thị hàm số y= ƒ(z) có một điểm cực tiểu và một điểm cực đại

C Đồ thị hàm số y= ƒ(+) có bốn điểm cực trị

D Đồ thị hàm sô y= ƒ(x) có một điêm cực đại và hai điêm cực tiêu Hàm sô nào sau đây có đúng hai điêm cực tr?

Trang 8

Cau 26 Cau 27 Cau 28 Cau 29 Cau 30 Cau 31 Cau 32 Cau 33 Cau 34 Cau 35 Cau 36 A y=xz+—L_ B y=x`+3x”+7x—2 x+l 4 2 2 Œ y=_—x -2x/ +3 D y=x-—— x+1 Hàm số nào sau đây không có cực trị?

A y=2x+—“— B y=x° +3x’ C y=-x°+2x +3 D y= x11

x+1 x-2

Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào là khẳng định sai?

A Đồ thịhàm số y= ax) +bx?+cx+đ,(a#0) luôn có cực trị

B Đồ thị hàm số y== ax' +bx? +c,(a #0) luôn có ít nhất một điểm cực trị „" - ,(ad —bc # 0) luôn không có cực trị

C Hàm số y=

cx+

D Đồ thị hàm số y = ax)+bx? +cx+ đ,(a #0) có nhiều nhất hai điểm cực trị

Điêm cực tiêu của hàm sô y=—x”+3x+4 là: A x=-l B x=1 C x=-3 D x=3 Hàm số nào sau đây đạt cực đại tại x=1 ? A y=x`—5x?+5x-—13 B y=x!—-4x+3 C yexte D y =2Vx-x x

Hàm số nào sau đây có cực trị?

Trang 9

Cau 37 Cau 38 Cau 39 Cau 40 Cau 41 Cau 42 Cau 43 Cau 44 Cau 45 Cau 46 Cau 47 Cau 48 Cau 49 Cho ham s6 y =3x*—4x° +2 Khang dinh nao sau day là đúng: A Ham sé không có cực trị B Ham số đạt cực tiểu tại x = 1 C Hàm số đạt cực đại tại x=1 D Hàm số đạt cực tiểu tại x=0 ` k ° 7 2 , rd ° , Hàm sô y= asin2x+bcos3x—2x (0< x<2Z) đạt cực trị tại x=.-;x=Z, Khi đó, giá trị của biểu thức P=a+3b—3ab là: A 3 B -1 C 1 D -3 Ham s6 y=—4x° —6x” —3x+2 c6 may diém cuc tri? C 1 B 2 C 0 D 3 Hàm số y= x`—3x”+mx—2 đạt cực tiểu tại x= 2 khi? Á m>0 B m+0 C m=0 D m<0 Đồ thị hàm số y = x—6x?+9x—1 có tọa độ điểm cực đại là: A @;0) B (1;3) C (1;4) D @;1) Cho hàm số y= (w—1)x)—3x? —(m+1)x+ 3m? —m +2 Đề hàm số có cực đại, cực tiểu thì: A m=1 B m#1 C m>1 D mtty y

Khắng định nào là đúng trong các khăng định sau: A Ham s6 y = ax* +bx’ +c có thể có 2 điểm cực trị B Hàm số bậc 3 có thể có 3 cực trị C Hàm số y= øax!* +bx?+c luôn có cực trị D Hàm phân thức không thể có cực trị Giá trị cực tiểu của hàm số y= xÍ—2x?+5 là: A 5 B 4 C 0 D 1 Đồ thị hàm số y=~3Ÿx? +2 có bao nhiêu điểm cực đại? A 2, B 0 C 1 D 3

Cho ham sé y =—3x* +4x? —2017 Khang dinh nao sau day là đúng?

A Hàm số có 1 điểm cực đại và không có điểm cực tiểu B Hàm số không có cực trị

C Hàm số có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu D Hàm số có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiêu

Hàm số nào sau đây không có cực trị?

A y=x`+3z B y=x`—x C.y=x-3x +2 D y=x

Trang 10

Cau 50 Cau 51 Cau 52 Cau 53 Cau 54 Cau 55 Cau 56 Cau 57 Cau 58 Cau 59 Cau 60 Cau 61 Nếu đồ thị hàm số y = ax) +bx”+cx+đ có 2 điểm cực trị là gốc tọa độ và điểm A(-—1;—1) thi hàm số có phương trình là: A y=2x° —3x’ B y=-2x° -3x’ C y=x°+3x7 +3x D y=x”—3x—1 Hàm số nào dưới day có cực tri? A y=x +1 B y=xÌ+x +2x—1 x+] C » y=2x-1 D 7 2x-1 y= Điều kiện để hàm số y = ax*+bx?+c (a#40) có 3 điểm cực trị là: A ab<0 B ab>0 C.b=0 D c=0

Cho hàm số y= sx —2m>xˆ? +(4m—1)x— 3 Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Hàm số có cực đại, cực tiểu khi m < - B Với mọi m, hàm số luôn có cực trị C Hàm số có cực đại, cực tiểu khi m# - D Hàm số có cực đại, cực tiểu khi m >

Hàm số y=—x' +4x?+3 có giá trị cực đại là: A 2 B 3 C 0 D 7 Trong cdc ham sé dudi day, ham sé nao cé ding 2 cực trị? A y=x1 43x? +2 B y=x°`—5x? +7 2 — C y= = I x D y=2017x° +2016x* Điểm cực trị của đồ thị hàm số y=NI+4x—x° có tọa độ là: A (1;2) B (0;1) Œ (2;3) D (3;4) Biết đồ thị hàm số y = xÌ—2+? +axz+b có điểm cực trị là A(1;3) Khi đó giá trị của 4a—b là: A 1 B 2 Œ 3 D 4

Cho hàm số y= xzÌ—3x”—2 Gọi a,blần lượt là giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số

Trang 11

Cau 62 Cau 63 Cau 64 Cau 65 Cau 66 Cau 67 Cau 68 Cau 69 ` AK 1 + A oA Ham s6 y= ae —2x” +4x—1 có bao nhiêu điểm cực trị ? A 1 B.0 Œ 2 D 3

Cho hàm số y= x°—3+x” +2 Khẳng định nào sau đây đúng :

A Hàm số có cực đại, cực tiểu B Hàm số không có cực trị

C Hàm số có cực đại, không có cực tiểu D Hàm số có cực tiểu không có cực đại Cho hàm số y = ƒ(x) có bảng biến thiên như sau Xx —œo Xo x, xX, +co y — | + 0 - + Khi đó hàm số đã cho có :

A Một điểm cực đại, một điểm cực tiểu B Một điểm cực đại , hai điểm cực tiểu C 1 điểm cực đại, không có điểm cực tiểu D 2 điểm cực đại, 1 điểm cực tiểu Tim tat cả các giá trị thực của m để hàm số y= mx” —(m+1)x” +2m—1 có 3 điểm cực trị ? m<-—l “| B m<-l C -l<m<0O D m>-l m>Q Tim tat cả các giá trị thực của m để hàm số y= xÌ—2x” +(m+3)x—1 khơng có cực trị? À m>—Š B m>—> C m>—> D m<—2 3 3 3 3 A 9 4 °# ° 9 RK A ` RK 1 ° Tìm tât cả các giá trị thực của tham sô zm đê hàm sô y= 37 —mx* +(m+1)x-1 đạt cực đại tại x=—2 ? A -1 B Không tồn tại m C 2 D 3 Cho hàm số y = ƒ(+) liên tục trên IR có bảng biến thiên Xx —co 1 3 -+oo y — 0 + 0 — +eo 1 y oN 1 _ oN 3 =

Trong các khẳng định sau, khăng định nào là đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3) B Hàm số đạt cực tiểu tại x= 3

Trang 12

Cau 70 Cau 71 Cau 72 Cau 73 Cau 74 Cau 75 Cau 76 Cau 77 Cau 78 vr vr ° vr 1 3 2 Tim tat cả các giá trị thực của tham sô đê hàm sô: ÿ =.a1* +mx +(m+6)x+m CỐ CỰC đại và cực tiểu m<—2 mS-—2 A —2<m<3 B C D —2<m<3 m>3 m23 Tim tat các giá trị thực của tham số m để hàm số y =(m+2)x° +3x” + mx—6 có 2 cực trị 2 A me (—3;1)\{-2} B me (~3;1) C me (—s;—3)t2(1;+©) D me [-3;1] AK Z z ° A A ` RK 1

Tim tat các giá trị thực của tham sô m đề hàm sô y = ae +(m+3)x’ +4(m+3)x+m° —m dat

cuc tri tai x,,x, thoaman —1< x, <x, <-3 A | emer B —3< m <1 C m D a! eme-3 2 m>1 2 kL oe en ath tet , k Â tàxn cÁ I Tim tat ca cdc gid tri thực của tham sô zm để hàm sô y= rad +(m”—m+2)x?+ (3m + 1) x dat cực tiêu tại x= —2 =3 =-3 A k B m=3 C m=1 D k m=1 7, * 9 A A ` A 1 1 * Tìm các giá trị của tham sô đê hàm sô: y =2 mu —(m-—1)z7 +3(m-2)x+e đạt cuc tri tai X,,x, thoa man x, +2x, =1 2 ao mete VS B.| "3 2 2 2 C me (eg) \{0} D m=2 Tìm các giá trị cua tham s6 m dé ham so y = mx*+(m-1)x? +m chi c6 ding mét cu tri <0 <0 A.0<m<1 B.|”^”, C|” D.0<m<1 m2>1 m2>1 Tim cdc gid tri cua tham s6 m dé ham sé y = mx‘ + (m’ —4m+ 3)+” +2m—1 có ba điểm cực trị A me (—=;0) B me (0;1)t2(3;+©) C me (—=;0)t2(1;3) D me (1;3)

Tim cdc gid tri cua tham s6m dé dé thi ham sé: y= x*—2m’x? +1 c6 ba diém cuc trị là ba

đỉnh của một tam giác vuông cân

A m=-1 B m#0 C m=1 D m=H1

Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: y= x*—2(m+1)x” +m” có ba điểm cực trị là

ba đỉnh của một tam giác vuông cân

Trang 13

Cau 79 Cau 80 Cau 81 Cau 82 Cau 83 Cau 84 Cau 85 Cau 86 Cau 87 ` =0 A Không tôn tạm B.m=0 C k 1 D m=-1 m=-

Tim cdc gid tri cua tham sé m dé dé thi ham sé: y= x*-—2mx?+2m+m‘* có ba điểm cực trị là

ba đỉnh của một tam giác đều m=0 m= 13 Khoảng cách giữa 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số y= xÌ—3x là: A 4V5 B 2 C.2V5 D 4 A Không tổn tại m h.| Cc m=%3 D m=+V3 Ẫ 1 A eas cA , 4 2 2 ` Z cA Cho ham so y= 7 —2x”+3 có đô thị là (C) Diện tích tam giác có các đỉnh là các điểm cực trị của đồ thị (C) là: Á m=8 B m=16 C m=32 D m= 4 3 A s‹ ° ° RK A ` RK 1 # ° Tim tat cả các giá trị của tham sô zr đê hàm sô y = 2" —m%7 + (2m —]1)x—3 có cực trị A m#1 B Vm Œ m <1 D m >1 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = mx‘ + (m? -9) +? +10 có 3 điểm cực tri 0<m<3 0<m<3 A B m<-3 Œ 0<m <3 D m< —3 m<—3 AK 2 4 247 ° ? RK A ` RK 3 > z A Tim tat ca cdc giá trị thực của tham sô đê hàm sô y= (m+1)x* —mx* +5 chỉ có cực tiêu mà không có cực đại A m<-l B —-l<mm <0 Œ m >1 D -l<m<0O

Tìm tất cả các giá tri thc cla tham sé m dé ham sé y = x° —3mx” +(m—1)x +26 cuc dai, cuc

tiêu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số có hoành độ dương

A 0<m <†1 B m >1 Œ m>0 D m >1

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số y=—+*`+3mx+1 có 2 điểm cực trị A,B sao cho tam giác OAB vuông tại Ó ( với Ó là gốc tọa độ )

3 1

A m=-— B m=-— C m=1 D m=-—

2 2 2

Tìm tất cả các gia tri cua tham sé m dé dé thi ham sé y =x° —3(m+1)x* +12mx—3m+4 (C) c6 hai điểm cực trị là A và B sao cho hai điểm này cùng với điểm C [¬:-2) lập thành tam giác nhận sốc tọa độ Ó làm trọng tâm

A HC B m=-2 C m=2 D m=—

Trang 14

Cau 88 Cau 89 Cau 90 Cau 91 Cau 92 Cau 93 Cau 94 Cau 95 Cau 96 A 2 2 ? KR A 4A "rs A 2 2 2

Tim tat cả các giá trị thực của tham sô m để đô thị hàm số y = sx —mx”— 2(3m? “x45 có hai điểm cực trị có hoành độ x,, x; sao cho x,x,+2(x,+x,)=1

2 2 1

Á m=0 B.m=—— C m=-— D.m=——

3 3 2

Goi x,,x, la hai điểm cực trị của hàm số y=z°`—3m+x” +3(m -1)x-m’ +m Tim tat ca cdc

giá trị của tham số thực m dé: x7 +x) —x,x, =7

A m=+/2 B m=+2 C m=0 D m=+1

Cho ham sé y=(m-1)x‘—3mx? +5 Tim tat ca cdc gid tri cha tham số thuc m để hàm số có

cực đại mà không có cực tiểu

A me (—s;0]t2[1;+) B me [0;1]

C me (0:1) D me (-0;0) U(1;+<0)

Cho ham s6 y=x*-2(1-m”)x? +m+1 Tim tat cả các giá trị của tham số thực m để hàm số

có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số lập thành tam giác có diện tích lớn

nhất

1

A m=— B m=-— Œ m=0 D m =1

2 2

Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = 2x +3(m—3) x” +11— 3m có hai điểm cực

trị Đồng thời hai điểm cực trị đó và điểm Œ (0;—1) thắng hàng

A m=4 B m=1 C m=-3 D m= 2

Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để đường thang qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số: y=+#`—3mx+2 cắt đường tròn tâm 7 (I;1) bán kính bằng 1 tại 2 diém A,B mà diện tích tam giác IAB lớn nhất J2 i A m=1+— B m=1+— 2 2 C — D `

Tim tat ca các giá trị thực của tham số z để đồ thị hàm số y=2xÌ—3(m+1)x”+6mx có hai

điểm cực trị A, 8 sao cho đường thắng AB vuông góc với đường thắng : y=x+2

A h B h | C k D h

m= 2 m=3 mă=2_' m=—3

Cho hàm số y= xÌ—6x?+3(m+2)x—m—6 Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số có

điêm 2 cực trị và giá trị 2 cực trị cùng dâu

À ST <m<2 B C“ <m<2 C.““ <m<2 D TỦ <m<2

Trang 15

Cau 97 Cau 98 Cau 99 Cau 100 Cau 101 Cau 102 Cau 103 Cau 104 A V10-V2 B ¥10+42 C 420-410 D 43+42

Cho hàm số y = x' —2/nx? +m—1 Tìm tất cả các giá trị của tham số thực zm để đồ thị hàm số

có ba điểm cực trị tạo thành 1 tam giác nhận sốc toa dd O làm trực tâm A m=4 B m=2 C m=3 D m=1 Tính theo mm khoảng cách giữa điêm cực đại và điêm cực tiêu ( nêu có) của đô thị hàm x 1 SỐ:y=2# — mx —x+m+l A 2m” +1)(4m* +5m’ +9) B 32m” +1)(4m* + 8m? +13) C 5 (a? +1) (4m! + 8m" +13) D 4|(4m? +4)(4m* +8m? +10)

Tìm các giá trị của tham sốm để đồ thị hàm số: y= 2x) +3(m—1)x”+6m(1—2m)x có điểm

cực đại và điểm cực tiểu nằm trên đường thăng có phương trình: y=-4x (đ)

A me {I} B me {0;1} C me {0 = | D me GỊ

Tìm các giá trị của tham số để đồ thị hàm số: y= x°+zmx?+7x+3 có đường thăng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu vuông góc với đường thắng có phương trình: y=3x (đ)

=0

A mat ® V9 B.| m=1 C m=2 D m=a+, (42 \2

Tìm các giá trị của tham sốzn để đồ thị hàm số: y=—x°+3xˆ +3(m? -1)x—3m? —1 có điểm cực đại và điềm cực tiêu cùng với gôc tọa độ tạo thành tam giác vuông tai O

n„= —] =1+_— V6

A m=1 B 6: C.|Ị”"”?, D m=1

m=— 2 m= +1

Tìm các giá trị của tham sốzn để đồ thị hàm số: y = x`—3x”—zmx+2 có điểm cực đại và điểm

cực tiêu cách đều đường thắng có phương trình: y = z— (2)

m=0 9

A m=0 B 9 C m=2 D m=——

iam) 2

Tìm các giá trị của tham sốzn để đồ thị hàm sé: y=x*-—2mx’+m-1 cé ba điểm cực trị

Đồng thời ba điểm cực trị đó là ba đỉnh của một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1 m=] m=1 ~1+/5 A —~1+./5- B -1+^/5- C m=+#+ D m=1 m=t 2 m= 2 2

Tìm các giá trị của tham số để đồ thị hàm số: y= xÌ—2m”x?+mm'+1 có ba điểm cực trị

Đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc O tạo thành 1 tứ giác nội tiếp A m=+1 B m=1 C Không tổn tạm D m=-—1

Trang 16

Cau 105 Cau 106 Cau 107 Cau 108 Cau 109 Cau 110 Cau 111 Cau 112 Cau 113

Tim cdc gid tri cua tham sém dé dé thi ham sé: y = x‘ —8m’x’ +1 c6 ba diém cuc tri Đồng

thời ba điểm cực trị đó là ba đỉnh của một tam giác có diện tích bằng 64

A Khong tontaim B m=*/2, C m=-Ñ2 D m=+Ñ2

Tìm các giá trị của tham số zw để đồ thị hàm số: y = xÌ —2mmx”?+m có ba điểm cực trị Đồng

thời ba điểm cực trị đó là ba đỉnh của một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn hơn 1

A m<-l B m> 2

C me (-00;-1) (2; +0) D Khong tén tai m

Tìm các giá trị của tham số m dé dé thi ham sé: y = x* —(3m—1)x? +2m+1 c6 ba diém cuc tri

Đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với điểm D(7;3) ndi tiếp được một đường tròn

A m=3 B m=1

C m=-1 D Khong tén tai m

Tìm các giá trị của tham sốzm để đồ thị hàm s6: y =—x*+2mx?—4m+1 c6 ba diém cuc tri Đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc tọa độ tạo thành 1 hình thoi 1 m= 4 A Khong téntaim B C m=-1 D m=1 2+42 m= 2

Tìm tất cả cdc gid tri thuc cha tham sé m dé ham s6 y=—x`+3x” +3(m” —1)z—3m”—1 có

cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ Ó

1 1

A m= *~ B m=~ C m=-1 D m = +1

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y= x`—3mmx”+3m` có hai điểm

cực trị Á và Ö sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48

A m=2 hoặc m=0 B m = 2 C m=-2 D m= +2

Cho hàm số y= x“—2(m+1)x” +m (C)_ Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m dé 46 thi

hàm số (C) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA= BC; trong đó Ó là gốc tọa độ, A là điểm cực trị thuộc trục tung, 8 và C là hai điểm cực trị còn lại

A.m=2+242 B.m=2+2A2 C.m=2-2N2 D.m=+I

` A 3 , 7 2 RK A ar 48 A 2 , , oR

Tim tat cả các giá trị thực của tham sô z đê đồ thị hàm sô y = x`—3mx7 + 4m` có các điểm cực đại và cực tiêu đối xứng nhau qua đường thắng (đ): y = x

42

C m=O hoac HS, D m=+—

Tìm tât cả các giá trị thực của tham sô m dé ham s6 y = x° —3mx? +3(m’? —1)x—m’ +m C6 cuc

tri đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến sốc tọa độ O bằng 42 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O

A m=-3-2V2 hodc m=-1 B m=—3+2/2 hoặc m=—1

Trang 17

Cau 114 Cau 115 Cau 116 Cau 117 Cau 118 C m=-3+2V2 hoic m=-3-2V2 D m=-3+2N2

Tim tat cả các giá tri thực của tham số zz để đồ thị hàm số y = x*—2mˆ”x? +1 (C) có ba điểm cực tr là ba đỉnh của một tam giác vuông cân

A m7 +1 B m =1 hoặc m=0

Œ m=_—1 hoặc m=0 D m =-—I1

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số z để đồ thị hàm số y = m+° —3mx? +3mm—3 có hai điểm

cuc tri A,B sao cho 24B? —(OA? + B7?) = 20( Trong đó O là gốc tọa độ) A m=-1 B m=1 C m=-1 hoac m= D m =1 hoặc m= 11 11 Cho hàm số y= x°—3xˆ (C).Tìm tất cả các giá trị thực tham số m để đường thăng đi qua 2 tA so À ˆ re ` 2 nA , Ã 4 điêm cực trị của đồ thị (C) tạo với đường thăng Á: x+z„y+3=0 một góc # biệt cos#= 5 A m=2 hoic m=—~ B m=—2 hoặc m=-— 11 11 C m=2 hote m== D m=2

Tim tat cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y= x”—4(7m—1) x”+2m—1 có 3

điểm cực trị tạo thành 3 đỉnh của một tam giác đều

NE) NE)

A.m=0 B m =1 C m=1+— D.m=1——

2 2

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để điểm M(2m°;m) tạo với hai điểm cực đại, cực tiêu của đồ thị hàm số y=2x?—3(2mm+1)x?+6m(n+])x+1 (C) một tam giác có diện tích nhỏ

nhất

A m=2 B m=0 C m=1 D m = —]

Trang 21

Câu 18 GhonD) Câu 19 (ØWW Cau 20 Ghon'G) Ham s6 bac ba: y = ax? +bx’? +cx+d,(a #0) c6TXD: D=R y'=3ax?+2bx+c A'=b? —3ac

Nếu A'<0 thì y' không đổi dấu trên IR nên hàm số không có cực trị

Nếu A'>0 thì phương trình y'=0 luôn có hai nghiệm phân biệt *¡,*„ Và y' đổi dấu khi x chạy qua x,,x, nén ham số đạt cực trị tại X15 Xq- Cau 21 Chon’) Câu 22 (ØW@Wf Câu 23 (ØW@WW C4u 24 GhonD) Cau 25 Chon Al Hàm số y= x+— 06 TXD: D= R\{-† x+1 '=I 0= |: =0 y = _ = (x+ 1} x=-2 y' đổi dấu khi x chạy qua —2 va 0 nên hàm số đã cho có hai điểm cực trị Cau 26 Ghon'D) Hàm số y= — có TXĐ: D=lR\{2} x— y'= “5 <0,Vxe D nén ham số không có cực trị x-— C4u 27 GhonAl Cau 28 Chon Al TXD D=R ' 2 x =1 y'=-3x°+3=06 x=-l y' đổi dẫu từ "—" sang "+" khi x chay qua —1 nén ham s6 dat cuc tiéu tai x=—1 Câu 29 GhonD) Hàm số y=2Ax—x có TXĐ ÐD =[0;+œ) y)=0 1 nên hàm sô đạt cực đại tại x=1 y'@=-><0 C4u 30 Ghon Bl + A Hàm sô trùng phương luôn luôn có cực trị +B y=xz +1 Ta có: y'=3x” > y'>0Vxe R

Do đó, hàm số luôn đồng biến trên # Hàm số này không có cực trị

+ Đối với phương án C và D, đây là hàm số bậc nhất và phân thức hữu tỉ bậc nhất/bậc nhất Đây

là 2 hàm số luôn đơn điệu trên từng khoảng xác định của chúng, do đó 2 hàm số này không có cuc tri

Trang 22

Cau 31 Cau 32 Cau 33 Cau 34 Cau 35 Cau 36 Cau 37 Cau 38 Cau 39 Cau 40

+ Đây là hàm số trùng phương có øb=—3 < 0 nên hàm số này có 3 điểm cực trị Mặt khác, có

a =1>0nên hàm sô có 2 điêm cực tiêu và 1 điêm cực đại + Đề hàm số đạt cực đại x =1 thì + Hàm phân thức hữu tỉ bậc nhất/ bậc nhất luôn đơn điệu trên các khoảng xác định của chúng, do đó hàm này không có cực trị + Ta có: y'=3x7—-4x+1 y{J)=3.1—2m.1+2m—3=0 y")=6.1—2m<0 <©>m >3 1 y'=06 3x7-4x41=006 1 3 Hàm số đạt cực tiểu tại x=1—> Yer =3

+ Hàm trùng phương có 1 điểm cực trị khi ab >0 © m—2>0 © m >2

+ Ta có: y'=—x”+§x—5

x,, x, la hai nghiệm của phương trình: y'=0 © —x” +8x—5 =0

Khi đó, theo định lý Viet, ta có: x,x, =5 + Ta có: y'=12x°—12x” =12x”(x-1) x=0 Xét y'=0 ©12x?(x—I) 029] Lap bang bién thién, ta thay hàm số đạt cực tiểu tai x=1 TXD: D=R + Ta có: y'=2acos2x— 3bsin 3x— 2 ` k ous at A OLA ` Hàm sô đạt cực trỊ tại x= 2” =Z nên ta có hệ phương trình: y(2)=-2a+3b-2-0 2 = be A [471 y (a) =2a-2=0 3

Do đó, giá trị của biểu thức P =a+3b—3ab =1

+ Đây là hàm số bậc 3 có b? —3ac = 6? —3.3.4=0 Do đó, hàm số luôn đơn điệu trên Ẩ

Hàm số này không có cực trị

Trang 23

Cau 41 Cau 42 Cau 43 Cau 44 Cau 45 Cau 46 Cau 47 Cau 48 y'=3x° —6x+m y"=6x-6 Ham sé dat cuc tiéu tai x=2 khi: y (2) =3.2? -6.2+m=0 Pio eno y'=3x”-12x+9 oa m=0 y'=0e98ˆ-12x+9=0 2l"

Hàm số đạt cực đại tại x=1— Yep =3 + Hàm số có cực đại, cực tiêu khi |

+A Hàm số trùng phương luôn có cực tri do dao ham cua nó là một đa thức bậc 3 luôn có nghiệm thực Nên đáp án này đúng

+ B Hàm số bậc 3 có tối đa 2 cực trị Nên đáp án này sai

+ C Hàm số trùng phương chỉ có thể có 1 hoặc 3 điểm cực trị Nên đáp án này sai

+ D Dap an nay sai Chon B y'=4x° —4x =4x(x? -1) b? —3ac >0 ae >0 ome a#0 m_—lz0 =0 y'=0 © 4x@+? T—1)=0 œ | x=] Hàm số đạt cực tiểu tại x= +1 và ycy =4 4 ' 2 x ` A RK ` ° A 7 ° ` K ` A : A : + Ta có: y'= Te De dang nhan thay x=0 1a diém tdi han cua ham so, và y' đôi dâu khi đi x

qua x=0 Nên x=0 là cực trị của hàm số Hơn nữa, ta có hàm số đồng biến trên (—œ;0) và

nghịch biến trên (0;+e) Do đó, zx=0 là cực đại của hàm số

+ Đây là hàm số trùng phương có ab=-—3.4<0 nên hàm số này có 3 điểm cực trị Hơn nữa, hàm số có a=—3< 0 nên hàm số có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu

+A Có y'=3x? >0Vxe R Do đó, hàm số này luôn đồng biến trên ® Hay nói cách khác, hàm số này không có cực trị + B Đây là hàm số bậc 3 có ø?—3øc =3 >0 Do đó, hàm số này có 2 cực trị + C Hàm số trùng phương luôn có cực trị + D Đây là hàm số bậc 3 có øˆ —3øc =9 >0 Do đó, hàm số này có 2 cực trị y'=3x?—12x+4 y'=06 3x7 -12x4+4=0

X,,x, la hai nghiém cua phuong trinh y'=0

Trang 24

Khi đó, theo định lý Viet, ta có: x,+x, =4 Câu 49 (W@WØ y'=3x" —6x =3x(x—-2) y= 042 3u(4-2)= 064" XxX Yeo — Yer = YO)— y(2) = 4 Cau 50 Ghon'Bl y'=3ax”+2bx+c + Đồ thị hàm số có điểm cực trị là gốc tọa độ, ta có: DU (0=0 y(0) =0 + Đồ thị hàm số có điểm cực trị là A(—1;—1), ta có: y{-10)=0 3a—2b =0 a=-2 Đến =-l = ee mm = | =_—3 Vậy hàm số là: y=—2x° 3x” Câu 51 GhonAl + A Hàm số trùng phương luôn có cực trị <©=c=d=0

+ B Đây là hàm số bậc 3 có ø? —3ac =—5 <0 Do đó, hàm số này không có cực trị

+ Hàm số bậc nhất đơn điệu trên R Do đó, hàm số này cũng không có cực trị

+ D Ham số phân thức hữu tỷ bậc nhất/bậc nhất luôn đơn điệu trên các khoảng xác định của nó Do đó, hàm số này không có cực trị C4u 52 GhonAl + Như ta đã biết, điều kiện để hàm số trùng phương có 3 điểm cực trị là = >0 Ở đây lại có, a a#0 nên điều kiện trở thành ab <0 Cau 53 Ham sé bac 3 c6 cuc dai, cuc tiéu thi b? —3ac > 0 = 4m? —(4m-1) >0 © (2m-—1)7 >0 m#e., Câu 54 (ØW@WWể y'=—4+x`+8x=—4x(x” —2) x y'=0es-440°=2)=0| x= +,/2 Hàm số đạt cực đại tại x = +/2 > Vep =7- Câu 55 Chon Bl

+ A Day la ham sé bac 3 c6 b? —3ac = 25>0 Do đó, hàm số có 2 cực trị + B Ham sé y = x4 +3x? +2 06 1 cue tri

2x? +1 3x?

+C Có y'= >0Vxe R\{0} Do đó, hàm số này đồng biến trên từng khoảng xác định

của nó Hàm số này không có cực trị

Trang 25

C4u 56 Chon Al Ta có y'= Cau 57 Ghon Al Ta có y'=3x7—4x+a 2-2x° V¥1+4x—x" y'=0{€Ồ©x=l=y(l)=2 Đồ thị hàm số có điểm cực trị là A(1;3), ta có: y{)=-l+a=0 a=1 S&S yd) =-1+a+b=3 b=3 Khi đó ta có, 4a—b =1 Câu 58 Chon’) y'=3x" -6x x=0 '=0<«> y ao Ta c6:a= y(0) =—2;b = y(2) =—6 —> 2a”+b = 2 Câu 59 + Hàm số trùng phương luôn đạt cực trị tại x=0 Do đó: x,x,x, =0 Câu 60 [Phương pháp tự luận] ' 2 x= 1 y'=3x°-3=0 © x=-1 Lập bảng biến thiên > Ham số đạt cực đại tại x= —1 Câu 61 [Phương pháp tự luận] x=0 x=t1 Lập bảng biến thiên Suy ra: y„„ =—4 y'=—4x°+4x=0 °\ Câu 62 [Phương pháp tự luận] y'=xz?~4x+4=(x—2)}” >0,Vxe R Hàm sô không có cực trị Câu 63 [Phương pháp tự luận] =0 , * Vay ham so c6 2 cuc tri y'=3x" —6x=0 3| Cau 64 Cau 65 [Phuong phap ty luan]: y'=4mx° —2(m+1)x=0 2 x=0 © 2x(2mx’-m-1)=0e| 2mxˆ =m +] , va m<-—l

Hàm sô có 3 điểm cực tri = m(m+1)>049] m> 0

Trang 26

Cau 66 Cau 67 Cau 68 Cau 69 Cau 70 Cau 71 Cau 72

[Phương phap trac nghiém] : Dé thi ham sé y = ax‘ +bx? +c c6 3 cực trị khi và chỉ khi ø và

b trái dấu , tức là : ab<0 m<-l Suy ra: m(m+1) >0] m>0 [Phương pháp tự luận] y'=3#-4x+m+3 Hàm số không có cực trị = A'y: <0©.4~3(m+3)<0œ m>~Š [Phương pháp tự luận] y'=x?-2mx+m+l y"=2x-2m Ham s6 dat cuc dai tai x =—2 khi: y'(-2)=0 4+4m+m+1=0 m=-1 eae PS Chọn C Chọn D [Phương pháp tự luận] y'=mx’ +4x+m A',>0 Í4-m2>0 c© m>0 m>Q ycbt =| ©0<m<2 y =x’ +2mx+m+6 Ham số có cực đại và cực tiểu © y=0 có hai nghiệm phân biệt m<—2 om -m-6>069) m>3 y =3(m+2)xˆ+6x+m Hàm số có 2 cực trị © y =0 có hai nghiệm phân biệt m#—2 m#—2 2), © © me (-3:1)\{—2} mm“ + 2m— 3< 0 —3<m<Ì] y =x’ +2(m+3)x+4(m+3)

Yêu cầu của bài toán = y’=0 cé hai nghiém phan biét x,, x, thoa man: -1< x, <x,

Trang 27

[ns (m+3) —4(m+3)>0 [(m+3)(m—1)>0 m>1 © 4(x,4+1)(x,+1)>0 © xã, +Íx +,)+1>0 €3 {m >2 =2 <m<=8 *x+*; >~2 Xx, +x, >~2 m<-2 Cau 73 Chon Bl y =x +2(m? —m+2)x+3m +1 y” =2x+2(m’ —m+2)

Hàm số đạt cực tiểu tại x= —2 khi:

Trang 28

m #0 +0 5 l © me (—=;0)©(1;3) Hàm số có 3 cực trị €9 { mì =4m+3 _ 0© me (—s;0)U(13) m Câu 77 Chon D) y =4x —4m’x y=0©4z(z —m’)=0 Hàm số có 3 điểm cực trị © m#0

Khi đó 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là : A(0;1), B(m;1-m'‘), C(-m;1-m‘)

Do tính chất đối xứng, ta có AABC cân tại đỉnh A

Kết hợp điều kiện ta có: = +1 ( thỏa mãn) 3 Lưu ý: có thê sử dụng công thức c1 =0 a Câu 78 (ØW@WW y=4x —4(m+l)x y=0© 4x(x? —m-1) =0 Hàm số có điểm 3 cực trị @ m>-1 Khi đó 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là : A(0;m?), B[—m+1;~2m—1), C[jm+1;~2m—1)

=0

m=—

Kết hợp điều kiện ta có: m =0 ( thỏa mãn)

Lưu ý: Có thê làm theo cách khác:

+) Cách 1: Gọi Mĩ là trung điểm của ĐC, tìm tọa độ điểm M, AABC vuông tại đỉnh A thì

2AM = BC

+) Cách 2: Sử dụng định lý Pitago BC” = AB? + AC? +) Cách 3: cos (BA, BC) =cos 45° 3 +) Hoặc sử dụng công thức gi =0 a Câu 79 (ØW@Wf y=4x*)—-4mx y=0 = 4x(x? —m) =0 Hàm số có 3 cực trị © zm >0 Khi đó 3 điêm cực trị của đô thị hàm sô là : A(0;m! +2m), B(—Vm;m‘— m’ +2m), C(Vm;m*—m? + 2m)

Trang 29

Cau 80 Cau 81 Cau 82 Cau 83 Cau 84 m=0 m=‡B

Kết hợp điều kiện ta có: m= 13 ( thoa man) : 3 ~2m)y Luu ¥: c6 thé sử dụng công thức 5 t3=0 227) 5320 © mì =3 © m = 1J3 a Ta có: y=x°—3x Các điểm cực trị A(1;—2); Ø8(—1;2) Nên ta có AB = 2/5 Z 1 4 2 Ta có: yaue —2x° +3 Các điểm cực trị: A(—2;—1); B(0;3);C(2;—1) Các điểm cực trị tạo thành tam giác cần tại B H(0;—1) là trung điểm của AC Nên Š,„„« = 2BH.AC = 44 =8 Taco: y= x* —2mx+2m-1

Hàm số có cực trị © yˆ=0 có 2 nghiệm phân biệt © Aˆ=rm?—2m+1>0 ©m#L1 Đề hàm số có ba cực trị thì trước hết hàm số phải là hàm số trùng phương tức m0 2 —9 ) m Ta có : y'=4me +2(m? -9)x=4mx(x2 +" K 2 ` * ` ° ° 1 , oA A A m — Hàm sô có 3 cực trị khi và chỉ khi: y' có 3 nghiệm phân biệt <> 2 m 0<m<3 c© m(m°—9)<0 c© m<_—3 0<m<3 Vậy các giá trị cần tìm của m là : m<-—3

Ta xét hai trường hợp sau đây:

THỊ: m+1=0 6 m=-—1 Khi đó yaxts —= hàm số chỉ có cực tiểu ( x= 0) mà không có

cực đại —> m= —1 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Trang 30

Cau 85 Cau 86 Cau 87 Cau 88 Cau 89 Tacé y'=3x?-6mx+m-1

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi PT y=0 có hai nghiệm phân biệt

Điều này tương đương A' =97ø? —3(m— L) >0 © 3m?—mm+1>0 (đúng với mọi 7n ) >0 2m>0 Hai điểm cực trị có hồnh độ dương «€> ©4m—I]1 ©>m>1 P>0 —a—>0 Vậy các giá trị cần tìm của m là z > 1 Ta có y'=_—3x” +3m y'=06 x -m=0(*)

Đồ thị hàm số (1) c6 2 diém cuc tri <> PT (*) c6 2 nghiém phan biét = m > 0(**)

Khi đó 2 điểm cực trị A(—Vm;1-2mm) ; B(Vm;1+ 2mm)

1

Vay m=— ay 2

2+2m_—1=0

AABC nhận O là C nhan O lam trong tam 4m} +12? +6m+4-—=0 â

Ta 06: y'=2x" —2mx—2(3m? -1) =2(x? —mx-3m’ +1),

m= -> (thoa (*)

ø(x)=x?—-mx—3m” +1 là tam thức bậc hai có A =13m—4 Do đó hàm số có hai điểm cực

Trang 31

Cau 90 Cau 91 y'=3z —6mx+3(m” -1) Hàm số luôn luôn có cực trị với moi 7n X, +x, =2m Theo định lí Viet : 2 X,.xX, =m —] 43? —xx, =7 (2m) -3(m? -1)=7@ m= 42 x=m+1 Cách 2: y'=0 3° 2+? —1)=089| 1 x=m- XP 4X5 — XX, =7 ©(m+1) +(m—1)” —(m—1)(m+1)=7 © m=+2 [Phương pháp tự luận] y'=4(m-1)x° -6mx =0 (*)

TH1 : Néu m=1, (*) trở thanh: y'=-6x=0 hay x=0,y"=-6<0

Vậy m =1 hàm số đạt cực đại tại x= 0 TH2 : Néu m#1 x=0 (*) S| 2 x = 3m 2(m-1) m—-1<0 Hàm số có cực đại mà ko có cực tiểu 3m eg 7 0Sm<i 2(m-1) © Kết hợp 2 trường hợp : me [0;1] [Phương pháp tự luận] y'=4z —4(I-m?)x ¬ x=0 „=0 =5 =l—m?

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi : |m| <1

Trang 32

[Phương pháp trắc nghiệm] AB =( 1—m? ;-m'* +2m’ -1} AC =(—l-m°;—mề +2m7 -1) Khi đó S = 2|^5,A€| = Vi—m? (m‘ -2m? +1)=,/(I-m) <1 Vậy S đạt giá trị lớn nhất = m=0 Câu 92 (ØW@WÑ [Phương pháp tự luận] y'=6xz°+6(m—3)x , |: =0 y=0 26 x=3-m Hàm số có 2 cực trị © zm # 3 Khi đó đồ thị hàm số đã cho có 2 điểm cực trị A(0;11—3m) B(3—m;m°—9m” +24m—16) AB =(3-m,(3-m) |

Phuong trinh dt AB : (3—m) x+y—11+3m=0

A,B,C thang hang — Ce AB

Hay : —-l—11+3zm=0 mm =4

[Phương pháp trắc nghiệm]

Bước 1 : Bam Mode 2 (CMPLX)

"y" 6x’ +6( y—3)x)(12x+6( y—-3

Bước 2 : _— 1 x +6 a dal x+6(y=3))

Bước 3: Cacl x=¡ , y =1000

Kết qua : -2989-994009i Hay : y=-2989—994009x

Từ đó : -2989 =~3mm+11 , -994009 =—(m—3)”

Vậy phương trình đt qua 2 điểm cực trị AB là : (3—zn)” x+ y—11+3m=0

A,B,C thang hang = Ce AB Hay : —-l—11+3zm=0 © m= 4 Cau 93 Ghon Bl [Phương pháp tự luận] y'=3x’ -3m x= Vm RK Z ‘ a ? 1 y'=0©= Hàm sơ có 2 cực trị khi và chỉ khi : zwm > Ö x=-Nm Khi đó tọa độ 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số là: M (Vm :-2m^lm + 2) N(-Vm; 2mv'm +2) => MN = (—2Vm;4mVm)

Phuong trinh dt MN : 2mx+ y—2=0

( Học sinh có thể dùng cách lấy y chia cho yˆ)

Trang 33

Ta CÓ : S vấp =21AJB.sin AIB =.sin AIB << z ` — N 2 —] Dau bang xay ra khi AJB =90° = a[1,mn]=~2 eo Pm cœm=I+XÖ 2 V4m?+1 2 2 [Phương pháp trắc nghiệm] Bước 1 : Bam Mode 2 (CMPLX) (6x? -3y)(12x) 18 Bước 2 : y-2 2 =2x3 -3yx+2- 18a

Buéc 3: Cacl x=i , y=1000

Két qua: 2—2000i Hay : y= 2—2000x Từ đó : —2000 = -2m,

Vậy phương trình dt qua 2 diém cuc tri A,B 1a: y=2—2mx hay 2mx+ y—2=0

Giải như tự luận ra kết quả Câu 94 (ØW@Wf [Phương pháp tự luận] Ta có : y=6x7 —6(m+1)x+6m ; =] y'=006 x=m Điều kiện dé hàm số có 2 diém cuc tri lA: m#1 Ta có : A(I;3m—1) B(m;—m” + 3m” Hệ số góc đt AB là: k=—(m—1)” A - 3 os eq: m=0 Đt AB vuông góc với đường thắng y=x+2 khi và chỉ khi k =—I =| 2 m= [Phương pháp trắc nghiệm] Bước 1 : Bắm Mode 2 (CMPLX) "y" 6x?—6(y+1)x+6y|(12x—6(y+1 Bước 2: y- 22 99 -3(y si) +6yx-! a (y +1) oo (y ))

Buéc 3: Cacl x=i , y=1000

Két qua : 1001000 —9980001.i Hay : y =1001000—9980001.x

Vậy phương trình đt qua 2 điểm cyc tri AB la: y=m’—m—(m-1) x ; =0 Có đt AB vuông góc với đường thẳng y=x+2 khi và chỉ khi © (m—1)” =1 =|" ¬ n= Céu 95 GhigniD! [Phương pháp tự luận] y'=3x”—12x+3(m+2) y'=0« y'=+x”—4x+(m+2)=0 Hàm số có 2 điểm cực trị x,x„ > A'>0 © m<2

Chia y cho y' ta được : y=2y'(x~2)+(m~2)(2x+1)

Điểm cực trị tương ứng : A(x,;(m—2)(2x +1)) và B(x,:(m—2)(2x, +1))

Trang 34

Có : y,.y; = (m—2} (4xx; +2(% +x,)+1) =4 Với : (aes nên : y,.y, =(m—2) (4m+17) XX, =m+2 moat Hai cực trị cùng đấu © y,.y, >0 © (m—2) (4m+17) >0 © 4 m # 2 Kết hợp đk : — <m<2 Cau 96 Ghon Bl [Phương pháp tự luận] Ta có : y'=6x”“—1§x+12 , x=l1= y(I)=5+m y=0< x=2>y(2)=4+m A(1;5+m) va B(2;4+m) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số OA =(1;5+m) , OB =(2;4+m), AB =(1;—1)

Chu vi của AOAB là: 2p=a|I+(m+5Ÿ +4|4+(m+4}” +xJ2 Sử dụng tính chất |ữ|+ |?| > |# + | với # = (1;—5—m) và ÿ =(2;4+ m) Từ đó ta có : \1+(m+5Ÿ +4|4+(m+4Ÿ +42 >.J3?°+(—1)” +42 =v10+2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi Z,ÿ cùng hướng © Sam 1 ya 4+m 2 3 Vậy chu vi AOAB nhỏ nhất bằng (x10 ++/2} khi m= -= C4u 97 GhonD) [Phương pháp tự luận] y'=4x° —4mx x=0 , dã „0e 2 Hàm sô có 3 điêm cực trỊ © m > 0 x =m Khi đó đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là: A(0;m—1) B(Vm;m* +m-1) C(-Vm;m’ + m-1)

Vì B,C đối xứng nhau qua trục tung nên BC | OA

Trang 35

Vay m=1 lagtct C4u 98 Ghon'C) [Phương pháp trắc nghiệm] Cách 1: y=x?—-2mx—l Aˆ=m?+1>0Vm, suy ra hàm số có 2 cuc tri Vm Goi x,,x„ là hai nghiệm cua pt y =0 Bấm máy tính: đa —mx2 —xz+m+1-(z? -2m~1)|S~5] x=i,m=A=1000 › 2003 _ 2000002 3 3 3 2m+3 2m’?+2 x 3 3 2 2

Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là: Ai 3 — —_ : “i B là: = 3 — —_ 2 5]

Trang 36

_ 6973 _ 1999958, _ x` +mx?+7x+3— (4 + 2me+7)( 24%) mm 9 9 _ 7000-27 _(2.10°-42)\. (2m?-42) | Im-27 9 9 9 9 2 — —

Dudng thang di qua 2 diém cuc tri la: y = {7 ™ 27 (A) sider-| 3= Lem? = 2 es m=4/— ( thỏa mãn) Câu 101 Ghon'D) [Phương pháp trắc nghiệm] y=-3x7 +6x+3(m? -1) 2m? = Hàm số có 2 cực trị m#0 , goi +,, +; là hai nghiệm của phương trình y’ =0 Bấm máy tính: —x` +33? +3(m? —1)}x—3m2 —1—(~3x? +6x+3(m? -1))( 2-5} es 2000002 + 20000001 = —(2.10° + 2)+2.10°i = 2m?x-2m’? -2

Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A(x,;2m?x,-2m? -2); B(x,;2m’x, — 2m -2)

AOAB vuông tại O = OA.OB =0 > x,x, + (2m?x, — 2m —2)(2m?x, — 2m? 2) =0 > xx, +4m'x,x, —4m? (m? +1)(x, +x) +4(m? +1) =0 <> (1-m”)(1+4m*)+4(m? +1)(1+m? -2m’) =0 = (1-m’)(4m‘ + 4m? +5)=0 m=H1 Câu 102 Ghon Al [Phương pháp trắc nghiệm] yˆ=3x”-6x—m Ham s6 c6 2 cuc tri m>-3 , gọi X,, x; là hai nghiệm của phương trình y =0, ta có: x, +x, =2 Bấm máy tính: x`—3x7—mx+ 2-(3x? —6x—m) lš-š) Eee _994 2006 1000-6 — 2000+6, 2m+6_m-6 3 3 3 3 3 3

Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là: Ai 3 11a 5) a( _ 2m+6 =

Gọi 7 là trung điểm của AB > I (1;—m)

Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là: y=— 2m+6 Xx-= m—6

(A)

3 3

Trang 37

có có — [A/doAsd |_36_1 |m-_2 Yêu câu bài tốn c© 3 S&S 2 led —m=1-1 m=0 Kết hợp với điều kiện thi m=0 Câu 103 ØW@WWi 2 3 2 x=0 Ta có: y =4x —4mx =4x(x -m)=0@ 2 xX =m

Hàm số đã cho có ba điểm cực trị khi m>0 (*)

Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

A(0;m-1), B(—Vin;—m’ +m-1), C(Vin;-m’ +m-1)

SABC =F l¥ ~y, [xe —x,|= mm ; AB = AC =Vm' +m, BC =2Vm AB.AC.BC (m* +m) 2Vm m=1 = pew AS sinc =l© —————-lCẦrr`-2m+]1=(0<> Amˆ^|m m = Ị _ R m=1 Kết hợp điều kiện (*) ta có J5-1- m=— 2 [Phương pháp trắc nghiệm] =] b`—8a (—2m)`—8 „ Áp dụng p dụng công thức cơng thức: R=———— 8|z|P © 1=~———_ © m`+1=2m © 8(—2m) m m n= = _ m =1 Kết hợp điều kiện (*) ta có J5-1- m= —— 2 Câu 104 Chon Al yˆ=y=4x*°`—4m?x Hàm số có 3 điểm cực trị khi m#0

Khi đó 3 điểm cực trị là: A(0; mì +1), B(—m;1),C (m;1)

Trang 38

2 Áp dụng công thức Š AAnc = a | > , ta cd: 4lalÝ 2a Ssape == —-2 - Si 8m 8, m= 48/2 ( thỏa mãn) nụ 2 Câu 106 W@Wi [Phương pháp tự luận] Hàm số có 3 điểm cực trị khi m>0 Ba điểm cực trị là A(0;m), B(—Ím;m— m? Ì,C[SÏm;m —mˆ ) Gọi 7 là trung điểm của BC —> ï (0;mm—m”) Sane = = AIBC =m /m Chu vi của AABChà: 2p = AB+ BC+ AC =2(/m+m* +/m) 2 Bán kính đường tròn nội tiếp AABC 1a: r= Saas _1™ vm p Vm+m' +Jm mn 2x (Win-+ mé -/m} >l© 1 Vvm+m'‘ +\m m <-l <> Vm(m +m‘ alow ©Xm”+m` >m” +m © m” —m— >0 | m>2

Theo bài ra: r >l———————— >1 (vì m>0)

Trang 39

Câu 108 Chon Bl

[Phương pháp tự luận]

Hàm số có 3 điểm cực trị khi zm >0

Ba điểm cực trị là: A(0;1—4m), BÍ—m;mÊ —4m +1), C[Ím;m? —4m-+1)

Tứ giác OBAC đã có OB =OC, AB = AC Vậy tứ giác OBAC là hình thoi chỉ cần thêm điều kiện OB=AC & m+(m? ~4m+1} =m+m © (m? —4m+1) —mˆ`=0 © (m?—4m+1—m? Ì(m” —4m+1+ m? =0 © (L—4m) 2m” — 4m +1) ( thỏa mãn) +42 2 Câu 109 ØW@WØ Ta có : y'=~3x” +6xz+3(m? —1)=~3(x?—2x—mˆ +1)

có hai nghiệm phân biệt <> ø(x) có hai nghiệm phân biệt©> A'>0 © m+0 q) Khi đó y' có các nghiệm là: 1+ — tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là A(1-m;-2-2m’) va B(1+m;-2+2m’) Ta c6: OA(1—m;-2-2m’) = OA? =(1-m) +4(1+m°)’ OB(1+m;—-2+2m°) => OB? =(1+m) +4(1-m’)

A và B cách đều gốc tọa độ khi và chỉ khi :

OA=OB œ ØA?=OB? œ (L—m)”+4(I+mÈŸ =(1+m)°+4(L-mÈ} 0 m & —-4m+16m' =0 c© +1, 2 Đối chiếu với điều kiện (1), ta thay chi m= + thỏa mãn yêu cầu bài toán Câu 110 ØW@Wƒf y'=3x° —6mx = 3x(x-2m) y'=0 c© a x=2m

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi :2m #0 @ m#0 (1)

Trang 40

Câu 111 Chon Al

Ta có :y'=4x —4(m+1)x=4x| x” —(m+1)|

Hàm sô có 3 điêm cực trỊ khi và chỉ khi:

y' có 3 nghiệm phân biệt © m+1>0 <= m>-1 (*) x=0 A(0;m) Khi đó, ta có: y'=0 @ 4x=-m+I = 4 B(—lm+1;—m?—m~]]., x=vm+l1 c| m+1;—m2 —m.—]) (vai tro cua B, C trong bài toán là như nhau ) nên ta giả sử : BỊ m+1;—m? —m—]), c(- m+1;—mÊ —im—1)) Ta c6 :OA(0;m) => OA=|ml; BC(2Vm+1;0) => BC=2Vm+1 Do đó OA= BC © |m|=2jm+l â@ m-4m-4=0 (A'=Đ)â m=2+2x2 (thỏa mãn (*)) Vay m=2+2V2 Câu 112 Ghon'D) y’ = 3x" —6mx x=0 2 Đề hàm sô có cực đại và cực tiêu thì z0 x=2m y=0e

Giả sử hàm số có hai điểm cực trị là: A(0;4m°); B(2m;0)— AB= (2m;—4m`)

Trung điểm của doan AB la I(m;2m’)

Điều kiện để AB đối xứng nhau qua đường thắng y=x là AB vuông góc với đường thắng =0 ‹ 2m—4m° =0 “ (4):y=x và Ie(đ) = 2 2m` =m mas 42 Kết hợp với điều kiện ta c6: m= + Câu 113 ØW@W† Tacó y ‘= 3x? —6mx + 3(m? —1)

Hàm số (1) có cực trị thì PT y =0 có 2 nghiệm phân biệt

Định dạng
Số trang	42
Dung lượng	10,73 MB